重难点06 功和能-2025年高考物理【热点·重点·难点】专练（上海专用）

重难点06功和能 年度 是否出题 选择型 填空题 计算题 实验题 2024年 √ √ √ 2025年（预） ☆☆☆☆☆ √ √ （2025年预测的可能性仅供参考，每颗☆代表出题的可能性为20%，以此类推） 【思维导图】 【高分技巧】 一、功 1． 功计算公式：W＝Flcos α 2． 变力做功 (1)用平均力求功：若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功， 如将劲度系数为k的弹簧拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2. (2)面积法：用F－x图像求功 若已知F－x图像，则图像与x轴所围的面积表示功，如图(1)所示，在位移x0内力F做的功W＝x0 (1) (2) 图(2)表示横轴l的上方面积表示正功，下方面积表示负功。 (3)微元法：把位移分割为微小的片段，近似看成直线，进行累积计算。 (4)化变力为恒力，通常应用在使用滑轮的情况下求做功。 (5)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功。 (6)利用动能定理和能量守恒间接计算。 3．摩擦力做功 (1)滑动摩擦力可能做正功、负功、不做功。 如图，A在外力F作用下，相对于B运动，B对A的摩擦力对A做负功； 如果B也向右运动，但运动速度小于A，则A对B的摩擦力做正功； 如果B没有移动，则A对B的摩擦力没有做功。 滑动摩擦力做功，机械能转化为内能，计算公式：W=Q=fs相对 (2)静摩擦力也可以做正功、负功、不做功。 如图，物体相对于传送带向上（下）运动，物体和传送带之间没有滑动。 传送带对物体的静摩擦力做正（负）功； 物体对传送带的静摩擦力做负（正）功； 当传送带停止转动时，静摩擦力不做功。 二、机车启动 1． 两种启动方式对比： 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P－t图象 v－t图像 运动 规律 OA段：做加速度减小的变加速直线运动 AB段：做速度为vm的匀速直线运动 OA段：以加速度a做匀加速直线运动 AB段：做加速度减小的变加速直线运动 BC段：做速度为vm的匀速直线运动 过程 分析 OA段：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓； AB段：F＝F阻⇒a＝0⇒P额＝F阻·vm OA段：a＝不变⇒F不变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·v1； AB段：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓； BC段：F＝F阻⇒a＝0⇒v达到最大值，vm＝ 2． 基本方程： 3． 如果阻力f不是定值，上述模型需做相应修正。 最终达到最大速度时，动力等于阻力的规律不变，比如f=kv，则：F=f=kv； 4． 无论哪种启动方式，最大速度相同 ，且以这个速度做匀速直线运动。 5． 起重机模型 起重机在启动时需要克服重力做功，把重力看出阻力，可按机车起动模型同样分析和计算。 三、动能定理 1． 内容：合外力做功等于物体动能的增量，即：W＝mv22－mv12 2． 条件：通常单个物体。 3． 适用范围：恒力、变力、曲线运动。 4． Ek-s图像斜率是合外力 四、机械能守恒定律 1． 内容：只有重力或弹力（保守力）做功，机械能总量不变。 有摩擦力或外力做功情况下不适用。 2． 机械能守恒定律常用的三种表达式 (1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2) 此式表示系统两个状态的机械能总量相等。 (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp 此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量。 (3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减 此式表示系统A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。 3． 功能关系如下表： 功 能量转化 关系式 重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp 弹力做功 弹性势能的改变 WF＝－ΔEp 合外力做功 动能的改变 W合＝ΔEk 除重力、系统内弹力以外的其他力做功 机械能的改变 W＝ΔE机 两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 机械能转化为内能 Ff·x相对＝Q 五、机械能守恒定律的综合应用题型 1． 斜面+圆周运动 (1)一个多过程问题，通常包括平面、斜面、平抛、竖直上抛、自由落体和圆周运动的组合。 (2)其中圆周运动一般会结合向心力的计算，包括常见的轻杆、轻绳模型。 2．非质点系 (1)非质点系统：指“链条”“缆绳”“液”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。 (2)零势能面的选取，分析链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化。 3．板块模型 隔离法，并把整个过程分解为多个子过程，通常以共速为分解线。 4．传送带 (1)物体静止放到传送带：根据传送带的长度，物体做匀加速直至共速。 (2)物体以一定速度反向放到传送带：根据传送带的长度，物体做匀减速、反向匀加速直至共速。 5．摩擦力 机械能转化为内能，机械能不守恒，根据动能定理或功能关系公式：W＝ΔE机 Q=fs相对 6．图像问题 (1)根据动能定义、势能定义或机械能守恒，按图像的坐标轴导出函数表达式。 (2)E-s图像斜率=外力（重力、弹力以外），Ek-s图像斜率=合外力。 （建议练习时间：60分钟） 一、单选题 1．（23-24高一下·上海）如图甲所示，质量为m的物体放在水平面上，给物体以水平向左的初速度v0=6m/s，同时在物体上施加一水平向右的F=4N的外力，从该时刻开始计时，外力作用一段时间后撤走，经过一段时间物体停止运动，图乙为整个过程中物体的速度随时间的变化规律，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，则下列说法不正确的是（　　） A．m=2kg B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2 C．物体运动的总时间为3s D．拉力做的功为-8J 【答案】A 【详解】从乙图中可以知道，第一段运动为在匀减速运动，设加速度为a1，第二段运动为反向匀加速运动，设加速度为a2。第三段运动为匀减速运动，设加速度为a3，由乙图可知 根据题意可知，由牛顿第二定律得 代入数据可得 第三段运动水平方向只受摩擦力 代入数据可得 第三段运动减速的时间 所以总时间 由图乙为图像，面积代表了位移，可得第一、二段的总位移 拉力做的功 本题选不正确的，故选A。 2．某无人机自重为G，在空中水平匀速飞行时的速度大小为v，所受空气阻力大小为其自重的k倍。则该无人机水平匀速飞行时的功率为（　　） A．Gv B．kGv C． D． 【答案】B 【详解】该无人机水平匀速飞行时的功率 故选B。 3．一辆汽车夜晚在平直公路上以速度v0匀速行驶进入到一段照明不良的路段，该司机为安全起见，在t=0时刻迅速减小油门将功率减小为某一定值，汽车的速度与时间的关系如图所示。设汽车行驶时所受的阻力恒定为f，汽车的质量为m，则下列说法正确的是（　　） A．整个减速过程中，克服阻力做功为 B．t=0时刻功率减小为原来的一半 C．整个减速过程中，汽车的牵引力不断变小 D．若汽车的速度减为原来一半所需的时间为t，则通过的位移大于 【答案】B 【详解】B．根据图像，汽车的速度减半，根据功率和速度关系公式 汽车匀速行驶时牵引力等于阻力，所以功率减小为原来的一半，故B正确； A．根据动能定理，整个过程中合外力做功为 故A错误； C．减速过程中功率不变，根据 可知，汽车牵引力不断变大，故C错误； D．根据图像可知，速度与时间图像下方与坐标轴所围的面积表示位移，通过的位移小于，故D错误。 故选B。 4．如图，带有四分之一光滑绝缘轨道的圆弧槽固定在水平地面上，其最低点B切线水平。一可视为质点的带正电小球自槽上A点由静止释放沿圆弧运动，离开B点落在地面上的D点。若在整个装置所在处加上竖直向下的匀强电场，重复上述实验，则小球（　　） A．落地点在D点右侧 B．落地点仍在D点 C．落地点在D点左侧 D．落地时速度不变 【答案】B 【详解】无电场时，小球在圆弧槽上，根据动能定理有 根据平抛运动规律有 解得 加入竖直方向的电场后，竖直方向的加速度改变，由上式可知水平距离与加速度无关，则小球落地点仍在D点。 故选B。 5．如图所示，外力作用下小球A在竖直平面内做逆时针匀速圆周运动，圆心为O点。另一小球B用轻质弹簧竖直悬挂，且静止时小球B与圆心O在同一竖直高度。向下拉小球B到适当位置，静止释放，运动过程中小球A、B始终在同一竖直高度，不计阻力作用。下列说法正确的是（　　） A．小球A受到的合外力不变 B．以小球A为参考系，小球B静止 C．小球B在运动过程中机械能守恒 D．小球A竖直方向合外力的大小与小球A到O点的竖直距离成正比 【答案】D 【详解】A．小球A做匀速圆周运动，合外力提供向心力，大小不变，方向时刻变化，故A错误； B．以小球A为参考系，小球B在竖直方向的距离不变，但在水平方向的距离时刻变化。所以，以小球A为参考系，小球B运动，故B错误； C．小球B在运动过程中小球B和弹簧组成的系统机械能守恒，小球B的机械能不守恒，故C错误； D．设小球A做圆周运动的半径为，向心力即合外力为，某时刻到圆心的竖直高度为， 与圆心连线和水平方向的夹角为，则 小球A竖直方向合外力为 因为小球A做匀速圆周运动，向心力大小不变， 则小球A竖直方向合外力可表示为 其中 即，小球A竖直方向合外力的大小与小球A到O点的竖直距离成正比。故D正确。 故选D。 6．火箭竖直向上发射的初始阶段，重力加速度不变，空气阻力忽略不计，认为火箭的质量m保持不变，速度的倒数与加速度a的关系图像如图所示，图像中、均已知，下列说法正确的是（    ） A．火箭以恒定的加速度启动 B．火箭的最大动能为 C．火箭以恒定的功率启动 D．火箭发射的初始阶段，重力加速度大小为 【答案】C 【详解】A．由题意可知 根据牛顿第二定律由 联立解得 根据图像可知，发动机功率不变，所以速度增大，动力减小，加速度减小，不是匀变速运动。故A错误； B．根据图像可知，最大速度 所以火箭的最大动能为 故B错误； C．由乙图可知 所以火箭以恒定的功率启动，故C正确； D．根据 将点（0，）代入解得 故D错误。 故选C。 7．2023年10月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀。质量为2t的“空中出租车”从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，不计空气阻力，则“空中出租车”（    ） A．10s内的位移大小为150m B．3s末的合外力大小为24000N C．3s末的输出功率为120kW D．10s内的输出平均功率为160kW 【答案】D 【详解】A．根据图像与坐标轴围成面积表示位移可知10s内的位移大小 故A错误； B．内出租车的加速度 根据牛顿第二定律 可得3s末的合外力大小 故B错误； C．3s末的出租车的速度 3s末的输出功率 故C错误； D．前5s内对出租车做的功 5s到10s对出租车做的功 10s内的输出平均功率 故D正确。 故选D。 8．新能源汽车是指采用非常规的燃料作为动力来源的汽车。为了测试某品牌新能源汽车的性能，使新能源汽车在实验路段上以某种方式加速行驶到最大速度，通过计算机采集实验数据，绘出了汽车牵引力F与车速v的倒数之间的关系图线ABC，如图所示，线段AB平行于横轴，A点对应的横坐标数值为，线段BC延长线过坐标原点，汽车行驶时所受总阻力为车和驾驶员总重力的0.1倍，g取10m/s2。根据图像可知（　　） A．汽车整个运动过程中功率保持不变，大小为60kW B．汽车在AB段做匀加速运动，加速度大小为3m/s2 C．汽车在AB段行驶的路程为30m D．若汽车在BC段所用的时间为20s，则在BC段汽车行驶的路程为200m 【答案】D 【详解】A．图中AB段牵引力F不变，则汽车所受合力不变，v增大，汽车做匀加速直线运动，功率增大，而从B到C段F与成正比关系，即Fv为定值，即 该过程中功率不变，故A错误； B．由图可知，汽车的最大速度为30m/s，此时 所以 所以汽车在AB段的加速度大小为 故B错误； C．汽车的额定功率为 汽车运动到B的速度大小为 汽车在AB段行驶的路程为 故C错误； D．BC段，根据动能定理可得 解得 故D正确。 故选D。 9．2023年12月26日，华为问界M9新车发布，问界M9采用前后双电机布局，纯电续航，被称为“遥遥领先”。某次测试中，质量为、额定功率为的问界M9在平直路面上由静止启动，启动过程的速度-时间图像如图所示，段为直线段，时刻，，时刻，，整个运动过程中问界M9所受阻力大小f恒定。下列说法正确的是（    ） A．问界M9运动中所受阻力大小为 B．当问界M9的速度大小为时，其加速度大小为 C．的值为 D．若已知，则AB段的位移大小可由求得 【答案】A 【详解】A．当速度达到最大速度时有 由功率的计算公式可知 解得 故A正确； BC．由 得 根据牛顿第二定律有 解得 根据速度与时间的公式有 解得 s 故BC错误； D．AB段为非匀变速运动，故AB段的位移大小大于D选项计算结果，故D错误。 故选A。 10．在缓震材料上方高度H1为0.6 m处，将质量0.6 kg的钢球以一定初速度v0竖直向下抛出，钢球刚接触缓震材料时速度大小为4 m/s，与缓震材料的接触时间为0.1 s，钢球反弹的最大高度H2为0.45 m。假设钢球始终在竖直方向运动，不计空气阻力。钢球从抛出到反弹至最高点过程中，下列说法正确的是（　　） A．钢球的机械能损失0.9 J B．钢球的平均速度大小为0.25 m/s C．重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量 D．合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量 【答案】B 【详解】A．钢球从抛出到接触缓震材料以及反弹上升最大高度的过程中，机械能守恒，刚接触缓震材料时的机械能 反弹时的机械能为 故损失的机械能为 A错误； B．从抛出到接触缓震材料，根据机械能守恒定律 解得 故从抛出到接触缓震材料所用时间 反弹至最高点所用时间 整个过程所用时间 故整个过程的平均速度 B正确； CD．整个过程中，根据动能定理可知，重力与弹力所做的功之和等于钢球动能的变化量；而钢球机械能的变化量等于除重力外其它力（非合外力）对钢球做的功，CD错误。 故选B。 11．起重机竖直提升质量为m 的物体，在其输出功率正好等于额定功率时开始计时，此后起重机在额定功率下工作，物体上升的v-t图像如图所示。 时刻图像斜率为a，重力加速度为g。则（    ） A．t=0时刻起重机的牵引力为 ma B．起重机的额定功率为 C．物体上升过程的最大速度 D．0到时间内物体克服重力做功为 【答案】C 【详解】A．设t=0时刻起重机对物体的牵引力为F，且v-t图像的斜率为加速度， 对物体，根据牛顿第二定律有 解得 故A错误； B．起重机的额定功率 故B错误； C．物体匀速运动时，牵引力等于重力，最大速度 为 故C正确； D．在0到时间内，依据动能定理有 解得 故D错误。 故选C。 12．2024年4月30日神舟十七号载人飞船胜利归来，在地表附近匀减速下降阶段，克服阻力做功W、重力势能（取地面为参考平面）与下降距离x或时间t的关系图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．因为神舟十七号在地表附近匀减速下降，根据牛顿第二定律 可知神舟十七号下降过程中阻力不变，故克服阻力做功为 故图像是一条过原点的倾斜直线，图像是开口向下的抛物线，故A正确，B错误； CD．重力势能的变化量为 可得 所以图像是一条倾斜直线，图像是抛物线，故CD错误。 故选A。 二、多选题 13．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）有一段水平粗糙轨道长为s，第一次物块以初速度由A点出发，向右运动到达B点时速度为，第二次物块以初速度由B出发向左运动。以A为坐标原点，物块与地面的摩擦力f随x的变化如图，已知物块质量为m，下列说法正确的是（　　） A．第二次能到达A点，且所用时间与第一次相等 B．图像的斜率为 C．第二次能到达A点且在A点的速度等于 D．两次运动中，在距离A点处摩擦力功率大小相等 【答案】BC 【详解】AC．根据能量守恒，第二次也能到达A点，且在A点的速度也为；第一次的加速度逐渐变大，第二次的加速度逐渐变小，作出对应的图像如图所示 可知第二次的时间更长，故A错误，C正确； B．从A到B运用动能定理，则有 图像的斜率为 故B正确； D．两次运动中，物块运动到距离A点时摩擦力做的功不相等，速度大小不相等，而摩擦力大小相等，根据力的瞬时功率计算公式，可得在距离A点处摩擦力功率大小不相等，故D错误。 故选BC。 14．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）如图，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），已知重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（     ） A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了 C．圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 【答案】BC 【详解】A．圆环在下滑过程中，弹簧对其做负功，故圆环机械能减小，故A错误； B．圆环下滑到最大的距离时，由几何关系可知，圆环下滑的距离为 圆环的速度为零，根据整个系统机械能守恒，可得 即弹簧弹性势能变化了，故B正确； C．圆环下滑过程中，所受合力为零时，加速度为零，速度最大，而下滑至最大距离时，物体速度为零，加速度不为零，所受合力不为零，故C正确； D．在下滑过程中，圆环的机械能与弹簧弹性势能之和保持不变，故D错误。 故选BC。 15．如图，将一半径为R的光滑圆形轨道固定在水平面上，圆心为O，轨道上穿有一质量为m的小圆环，圆环可在轨道上自由移动且其直径远小于圆形轨道半径。整个装置处于水平风场中，圆环受到的风力大小恒为，方向由a到b（ab为圆形轨道的直径）。在b点，给圆环一个沿切线方向的初速度，圆环恰能到达a点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．圆环初速度的大小为 B．圆环到达a点时，其重力势能增加了2mgR C．增大初速度，在a点圆环与轨道间的作用力可能减小，也可能增大 D．增大初速度，在a点圆环与轨道间的作用力一定增大 【答案】AC 【详解】A．圆环恰好到达点时，速度为零，圆环从运动到时，根据动能定理 其中 解得 故A正确； B．圆环到达点时，重力势能不变，故B错误； CD．在点，当F恰好提供向心力时，可知圆环的速度为 则有 时，圆环与轨道间的作用力会随着初速度的增大而减小，当圆环的速度 时，圆环与轨道间的作用力会随着初速度的增大而增大，故C正确，D错误。 故选AC。 16．如图所示，水平地面上有一倾角为θ=37°的传送带，以v0=16m/s的速度逆时针匀速运行。将一煤块从h=33.6m的高台从静止开始运送到地面，煤块可看做质点，已知煤块的质量为m=1kg，煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.25，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。煤块由高台运送到地面的过程中，下列正确的是（　　） A．运送煤块所用的时间为4s B．摩擦力对煤块做的功为112J C．煤块相对传送带运动而产生的划痕长24m D．煤块与传送带之间因摩擦产生的热量为48J 【答案】AD 【详解】A．设传动带的长度为L，则 解得 煤块刚放上传动带时，受到的滑动摩擦力沿斜面向下，根据牛顿第二定律得 解得 则煤块从0加速到与传送带共速需要 煤块的位移为 由于 可知煤块与传送带共速后继续做匀加速运动，摩擦力沿斜面向上， 根据牛顿第二定律得 解得 根据 解得 运送煤块所用的时间为 故A正确； B．煤块受到的滑动摩擦力大小为 第一个过程摩擦力对煤块做功 第二个过程摩擦力对煤块做功 故摩擦力对全程对煤块做功为 故B错误； C．第一个过程传动带的位移为 煤块与传送带的相对位移为 第二个过程传送带的位移 相对位移 第一个过程传送带运动快，第二个过程煤块运动快，煤块在传动带上的划痕应为16m，故C错误； D．第一个过程摩擦生热为 第二个过程摩擦生热为 故总产热 故D正确。 故选AD。 三、解答题 （2024·上海奉贤·一模）抛撒播种 我国某些地区的人们用手拋撒谷粒进行水稻播种，如图（a）所示。在某次抛撒的过程中，有两颗质量相同的谷粒1、谷粒2同时从O点抛出，初速度分别为v1、v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，它们的运动轨迹在同一竖直平面内且相交于P点，如图（b）所示。已知空气阻力可忽略。 17．谷粒1、2在空中运动时的加速度a1、a2的大小关系为（　　） A．a1 > a2 B．a1 < a2 C．a1 = a2 D．无法确定 18．若以O点所在水平面为零势能面，则谷粒2在其轨迹最高点的机械能大小为（　　） A．mgh B． C． D． 19．两粒谷子（　　）到达P点 A．谷粒1先 B．谷粒2先 C．同时 20．两粒谷子到达P点时重力的瞬时功率P1、P2的大小关系为（　　） A．P1 > P2 B．P1 < P2 C．P1 = P2 【答案】17．C 18．B 19．A 20．B 【解析】17．谷粒只受重力，所以加速度均为重力加速度，即 故选C。 18．谷粒在运动过程中机械能守恒，则在最高点的机械能与初始抛出时机械能相等，即 故选B。 19．谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长。 故选A。 20．谷粒1、2在竖直方向位移相同，加速度相同，但谷粒2有向上的初速度，根据速度位移关系可得，到达P点时谷粒2的竖直速度较大，根据 可得 故选B。 21．（24-25高三上·上海浦东新·期中） 《道路交通安全法》规定：机动车在经过学校路段时不得超过30km/h。小张驾车去上班，该车质量m=2×103kg，全程车受到的阻力f=0.1mg，重力加速度g取10m/s2。如图所示，某学校门口路段安置了4个距离均为5m减速带（减速带宽度不计），小张的车（可视为质点），在路口由静止开始匀加速启动。 (1)若车辆直线行驶200m，以15m/s的速度到达第1个减速带，求该过程中发动机所做的功W； (2)汽车经过第2个减速带后，小张将车速从10m/s匀加速提升至15m/s，恰好到达第3个减速带，求此过程中汽车所受合力大小F； (3)在相邻两个减速带之间汽车的机械能随位置区间变化如图所示，汽车在通过最后一个减速带后经过校门。则汽车在经过学校时（　　）超速行为？ A．存在 B．不存在 【答案】(1)6.25×105J (2)2.5×104N (3)A 【详解】（1）根据动能定理 代入数据解得 （2）根据匀变速直线运动规律 解得 根据牛顿第二定律 （3）第2个减速带到第3个减速带与第3个减速带到第4个减速带比较，机械能变化量相同，说明动能的变化量相同，而第2个减速带到第3个减速带，速度从10m/s提升到15m/s；第3个减速带到第4个减速带速度从15m/s减小到10m/s，到第4个减速带时，有 则汽车在经过学校时存在超速行为。 故选A。 22．如图所示，质量M=2kg木板静止放置于水平地面上，一质量为m=1kg的物块（可看成质点）以速度v0=6m/s从左端冲上木板，物块与木板间的动摩擦因数μ1=0.5，木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.1。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度。g=10N/kg，求： (1)共同速度v； (2)木板的长度L； (3)木板停下之前，木板与地面间因摩擦产生的热量Q。 【答案】(1) (2)L=3m (3)Q=3J 【详解】（1）对分析有 对分析有 M、N共速 联立解得 （2）1s后，与不再发生相对运动，故1s内的相对位移是木板长度， 1s内的位移 解得 x1=3.5m 的位移 解得 x2=0.5m 木板的长度 解得 L=3m （3）1s后，与一起运动到停止 则 解得 Q=3J 23．（24-25高三上·上海·期中）能量守恒 能量守恒定律是19世纪的重大发现之一。生活中有很多不同形式的能量，它们之间可以通过不同的方式进行转化或转移，但总的能量总是守恒的。 (1)如图，若质量为m的小球从离地高为的点以大小为的速度斜向上飞出，球能到达的最高点离地高度为。（以点所在水平面为零势能面，不计空气阻力） (1)球在点时的机械能为_______。 A． B． C． D． (2)球从点运动到点的过程中，其动能的变化量为 。 (3)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为，倾角为，斜面长为L。一个质量为的物块（可视为质点）在电动机作用下，从斜面底端点由静止加速至点时达到最大速度v，之后做匀速运动至点，关闭电动机，物块恰好到达最高点。重力加速度为，不计电动机消耗的电热。求： ①段长x； ②段电动机的输出功率； ③全过程物块存储的机械能和电动机消耗的总电能的比值。 【答案】(1)B (2) (3)①；②；③ 【详解】（1）不计空气阻力，小球在空中运动过程中机械能守恒，所以 故选B。 （2）球从P点运动到Q点的过程中，根据动能定理 解得 （3）①物块在CD段运动过程中，由牛顿第二定律得 由运动学公式 联立解得 ②物块在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为 由可得 ③全过程物块增加的机械能为 整个过程由能量守恒得电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知 故可得 24．（24-25高三上·上海松江·期中）撑杆跳 撑杆跳是运动会中非常具有观赏性的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性。如图所示，运动员助跑时杆未发生形变，撑杆起跳后杆弯曲程度逐渐变大，到运动员水平越过横杆时，杆竖直且恢复原状。 (1)关于运动员在撑杆过程中，下列说法中正确的是（　　） A．分析运动员过杆的动作特点时，可将其看成质点 B．上升过程中运动员受到杆的支持力始终大于其受到的重力 C．运动员手上涂“防滑粉”可以增大手掌与杆之间的弹力 D．撑杆起跳过程中运动员受到杆的作用力大小有可能等于重力大小 (2)关于撑杆起跳到运动员越过横杆过程，下列说法正确的是（　　） A．杆的弹性势能先增大后减小 B．运动员在上升过程中机械能守恒 C．运动员越过横杆正上方时动能为零 D．运动员撑杆跳起到达最高点时，杆的弹性势能最大 (3)如图，撑杆跳全过程可分为四个阶段：阶段，助跑加速；阶段，杆弯曲程度增大、人上升；阶段，杆弯曲程度减小、人上升；阶段，人越过横杆后下落，整个过程空气阻力忽略不计。这四个阶段的能量变化为（　　） A．人和杆系统的机械能不变 B．人和杆系统的动能减小、重力势能和弹性势能增加 C．人和杆系统的动能减少量等于重力势能的增加量 D．重力对人所做的功等于人机械能的增加量 (4)撑杆跳运动员越过横杆下落到软垫的过程，如果忽略水平方向的速度，可以等效为小球落到弹簧上的过程。如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于水平地面，质量的小球在轻弹簧正上方由静止下落，空气阻力恒定。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为重力势能零势能参考面，在小球下落至最低点的过程中，小球重力势能、弹簧的弹性势能随小球位移变化的关系图线分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度，则求： ①小球下落到最低点时的重力势能； ②小球在下落过程受到的空气阻力大小； ③已知弹簧的劲度系数，小球下落速度最大时的位置坐标（保留2位有效数字）。 【答案】(1)D (2)A (3)B (4)（1）；（2）；（3） 【详解】（1）A．分析运动员过杆的动作特点时，运动员的大小和形状不能忽略，所以不可将其看成质点，故A错误； BD．上升过程中，运动员先加速后减速上升，所以支持力先是大于重力，接着等于重力，然后小于重力，故B错误，D正确； C．运动员手上涂“防滑粉”可以增大手掌与杆之间的摩擦因数，增大最大静摩擦力，不能增大弹力，故C错误。 故选D。 （2）A．在上升过程中，杆先在运动员的压力作用下由直变弯，杆的形变量最大，杆的弹性势能最大；然后杆再由弯变直，杆的形变量减小，杆的弹性势能减小，杆的弹性势能先增大后减小，故A正确； B．运动员在上升过程中，杆对运动员做功，运动员机械能不守恒，故B错误； C．运动员越过横杆正上方时水平方向上有速度，动能不为零，故C错误； D．运动员撑杆跳起到达最高点时，杆竖直且恢复原状，杆的弹性势能为零，故D错误。 故选A。 （3）A．阶段，助跑加速，重力势能不变，动能增加，所以机械能增加，故A错误； B．阶段，杆弯曲程度增大、人上升，人克服重力和弹力做功，动能减小，位置升高，所以弹性势能和重力势能增加，故B正确； C．阶段，杆弯曲程度减小、人上升，弹性势能及动能的减少量等于重力势能的增加量，故C错误； D．阶段，人越过横杆后下落，只有重力做功，机械能守恒，故D错误。 故选B。 （4）（1）根据甲图可知，小球下落的初始位置距地面的高度为 小球在最低点时的重力势能为 （2）从到过程中，减小的重力势能为 增加的弹性势能为 可知，此过程阻力做的功为 解得，小球下落到最低点过程受到的阻力大小为 （3）小球下落速度最大时受力平衡，即 其中 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06功和能 年度 是否出题 选择型 填空题 计算题 实验题 2024年 √ √ √ 2025年（预） ☆☆☆☆☆ √ √ （2025年预测的可能性仅供参考，每颗☆代表出题的可能性为20%，以此类推） 【思维导图】 【高分技巧】 一、功 1． 功计算公式：W＝Flcos α 2． 变力做功 (1)用平均力求功：若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功， 如将劲度系数为k的弹簧拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2. (2)面积法：用F－x图像求功 若已知F－x图像，则图像与x轴所围的面积表示功，如图(1)所示，在位移x0内力F做的功W＝x0 (1) (2) 图(2)表示横轴l的上方面积表示正功，下方面积表示负功。 (3)微元法：把位移分割为微小的片段，近似看成直线，进行累积计算。 (4)化变力为恒力，通常应用在使用滑轮的情况下求做功。 (5)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功。 (6)利用动能定理和能量守恒间接计算。 3．摩擦力做功 (1)滑动摩擦力可能做正功、负功、不做功。 如图，A在外力F作用下，相对于B运动，B对A的摩擦力对A做负功； 如果B也向右运动，但运动速度小于A，则A对B的摩擦力做正功； 如果B没有移动，则A对B的摩擦力没有做功。 滑动摩擦力做功，机械能转化为内能，计算公式：W=Q=fs相对 (2)静摩擦力也可以做正功、负功、不做功。 如图，物体相对于传送带向上（下）运动，物体和传送带之间没有滑动。 传送带对物体的静摩擦力做正（负）功； 物体对传送带的静摩擦力做负（正）功； 当传送带停止转动时，静摩擦力不做功。 二、机车启动 1． 两种启动方式对比： 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P－t图象 v－t图像 运动 规律 OA段：做加速度减小的变加速直线运动 AB段：做速度为vm的匀速直线运动 OA段：以加速度a做匀加速直线运动 AB段：做加速度减小的变加速直线运动 BC段：做速度为vm的匀速直线运动 过程 分析 OA段：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓； AB段：F＝F阻⇒a＝0⇒P额＝F阻·vm OA段：a＝不变⇒F不变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·v1； AB段：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓； BC段：F＝F阻⇒a＝0⇒v达到最大值，vm＝ 2． 基本方程： 3． 如果阻力f不是定值，上述模型需做相应修正。 最终达到最大速度时，动力等于阻力的规律不变，比如f=kv，则：F=f=kv； 4． 无论哪种启动方式，最大速度相同 ，且以这个速度做匀速直线运动。 5． 起重机模型 起重机在启动时需要克服重力做功，把重力看出阻力，可按机车起动模型同样分析和计算。 三、动能定理 1． 内容：合外力做功等于物体动能的增量，即：W＝mv22－mv12 2． 条件：通常单个物体。 3． 适用范围：恒力、变力、曲线运动。 4． Ek-s图像斜率是合外力 四、机械能守恒定律 1． 内容：只有重力或弹力（保守力）做功，机械能总量不变。 有摩擦力或外力做功情况下不适用。 2． 机械能守恒定律常用的三种表达式 (1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2) 此式表示系统两个状态的机械能总量相等。 (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp 此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量。 (3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减 此式表示系统A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。 3． 功能关系如下表： 功 能量转化 关系式 重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp 弹力做功 弹性势能的改变 WF＝－ΔEp 合外力做功 动能的改变 W合＝ΔEk 除重力、系统内弹力以外的其他力做功 机械能的改变 W＝ΔE机 两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 机械能转化为内能 Ff·x相对＝Q 五、机械能守恒定律的综合应用题型 1． 斜面+圆周运动 (1)一个多过程问题，通常包括平面、斜面、平抛、竖直上抛、自由落体和圆周运动的组合。 (2)其中圆周运动一般会结合向心力的计算，包括常见的轻杆、轻绳模型。 2．非质点系 (1)非质点系统：指“链条”“缆绳”“液”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。 (2)零势能面的选取，分析链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化。 3．板块模型 隔离法，并把整个过程分解为多个子过程，通常以共速为分解线。 4．传送带 (1)物体静止放到传送带：根据传送带的长度，物体做匀加速直至共速。 (2)物体以一定速度反向放到传送带：根据传送带的长度，物体做匀减速、反向匀加速直至共速。 5．摩擦力 机械能转化为内能，机械能不守恒，根据动能定理或功能关系公式：W＝ΔE机 Q=fs相对 6．图像问题 (1)根据动能定义、势能定义或机械能守恒，按图像的坐标轴导出函数表达式。 (2)E-s图像斜率=外力（重力、弹力以外），Ek-s图像斜率=合外力。 （建议练习时间：60分钟） 一、单选题 1．（23-24高一下·上海）如图甲所示，质量为m的物体放在水平面上，给物体以水平向左的初速度v0=6m/s，同时在物体上施加一水平向右的F=4N的外力，从该时刻开始计时，外力作用一段时间后撤走，经过一段时间物体停止运动，图乙为整个过程中物体的速度随时间的变化规律，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，则下列说法不正确的是（　　） A．m=2kg B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2 C．物体运动的总时间为3s D．拉力做的功为-8J 2．某无人机自重为G，在空中水平匀速飞行时的速度大小为v，所受空气阻力大小为其自重的k倍。则该无人机水平匀速飞行时的功率为（　　） A．Gv B．kGv C． D． 3．一辆汽车夜晚在平直公路上以速度v0匀速行驶进入到一段照明不良的路段，该司机为安全起见，在t=0时刻迅速减小油门将功率减小为某一定值，汽车的速度与时间的关系如图所示。设汽车行驶时所受的阻力恒定为f，汽车的质量为m，则下列说法正确的是（　　） A．整个减速过程中，克服阻力做功为 B．t=0时刻功率减小为原来的一半 C．整个减速过程中，汽车的牵引力不断变小 D．若汽车的速度减为原来一半所需的时间为t，则通过的位移大于 4．如图，带有四分之一光滑绝缘轨道的圆弧槽固定在水平地面上，其最低点B切线水平。一可视为质点的带正电小球自槽上A点由静止释放沿圆弧运动，离开B点落在地面上的D点。若在整个装置所在处加上竖直向下的匀强电场，重复上述实验，则小球（　　） A．落地点在D点右侧 B．落地点仍在D点 C．落地点在D点左侧 D．落地时速度不变 5．如图所示，外力作用下小球A在竖直平面内做逆时针匀速圆周运动，圆心为O点。另一小球B用轻质弹簧竖直悬挂，且静止时小球B与圆心O在同一竖直高度。向下拉小球B到适当位置，静止释放，运动过程中小球A、B始终在同一竖直高度，不计阻力作用。下列说法正确的是（　　） A．小球A受到的合外力不变 B．以小球A为参考系，小球B静止 C．小球B在运动过程中机械能守恒 D．小球A竖直方向合外力的大小与小球A到O点的竖直距离成正比 6．火箭竖直向上发射的初始阶段，重力加速度不变，空气阻力忽略不计，认为火箭的质量m保持不变，速度的倒数与加速度a的关系图像如图所示，图像中、均已知，下列说法正确的是（    ） A．火箭以恒定的加速度启动 B．火箭的最大动能为 C．火箭以恒定的功率启动 D．火箭发射的初始阶段，重力加速度大小为 7．2023年10月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀。质量为2t的“空中出租车”从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，不计空气阻力，则“空中出租车”（    ） A．10s内的位移大小为150m B．3s末的合外力大小为24000N C．3s末的输出功率为120kW D．10s内的输出平均功率为160kW 8．新能源汽车是指采用非常规的燃料作为动力来源的汽车。为了测试某品牌新能源汽车的性能，使新能源汽车在实验路段上以某种方式加速行驶到最大速度，通过计算机采集实验数据，绘出了汽车牵引力F与车速v的倒数之间的关系图线ABC，如图所示，线段AB平行于横轴，A点对应的横坐标数值为，线段BC延长线过坐标原点，汽车行驶时所受总阻力为车和驾驶员总重力的0.1倍，g取10m/s2。根据图像可知（　　） A．汽车整个运动过程中功率保持不变，大小为60kW B．汽车在AB段做匀加速运动，加速度大小为3m/s2 C．汽车在AB段行驶的路程为30m D．若汽车在BC段所用的时间为20s，则在BC段汽车行驶的路程为200m 9．2023年12月26日，华为问界M9新车发布，问界M9采用前后双电机布局，纯电续航，被称为“遥遥领先”。某次测试中，质量为、额定功率为的问界M9在平直路面上由静止启动，启动过程的速度-时间图像如图所示，段为直线段，时刻，，时刻，，整个运动过程中问界M9所受阻力大小f恒定。下列说法正确的是（    ） A．问界M9运动中所受阻力大小为 B．当问界M9的速度大小为时，其加速度大小为 C．的值为 D．若已知，则AB段的位移大小可由求得 10．在缓震材料上方高度H1为0.6 m处，将质量0.6 kg的钢球以一定初速度v0竖直向下抛出，钢球刚接触缓震材料时速度大小为4 m/s，与缓震材料的接触时间为0.1 s，钢球反弹的最大高度H2为0.45 m。假设钢球始终在竖直方向运动，不计空气阻力。钢球从抛出到反弹至最高点过程中，下列说法正确的是（　　） A．钢球的机械能损失0.9 J B．钢球的平均速度大小为0.25 m/s C．重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量 D．合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量 11．起重机竖直提升质量为m 的物体，在其输出功率正好等于额定功率时开始计时，此后起重机在额定功率下工作，物体上升的v-t图像如图所示。 时刻图像斜率为a，重力加速度为g。则（    ） A．t=0时刻起重机的牵引力为 ma B．起重机的额定功率为 C．物体上升过程的最大速度 D．0到时间内物体克服重力做功为 12．2024年4月30日神舟十七号载人飞船胜利归来，在地表附近匀减速下降阶段，克服阻力做功W、重力势能（取地面为参考平面）与下降距离x或时间t的关系图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）有一段水平粗糙轨道长为s，第一次物块以初速度由A点出发，向右运动到达B点时速度为，第二次物块以初速度由B出发向左运动。以A为坐标原点，物块与地面的摩擦力f随x的变化如图，已知物块质量为m，下列说法正确的是（　　） A．第二次能到达A点，且所用时间与第一次相等 B．图像的斜率为 C．第二次能到达A点且在A点的速度等于 D．两次运动中，在距离A点处摩擦力功率大小相等 14．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）如图，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），已知重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（     ） A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了 C．圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 15．如图，将一半径为R的光滑圆形轨道固定在水平面上，圆心为O，轨道上穿有一质量为m的小圆环，圆环可在轨道上自由移动且其直径远小于圆形轨道半径。整个装置处于水平风场中，圆环受到的风力大小恒为，方向由a到b（ab为圆形轨道的直径）。在b点，给圆环一个沿切线方向的初速度，圆环恰能到达a点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．圆环初速度的大小为 B．圆环到达a点时，其重力势能增加了2mgR C．增大初速度，在a点圆环与轨道间的作用力可能减小，也可能增大 D．增大初速度，在a点圆环与轨道间的作用力一定增大 16．如图所示，水平地面上有一倾角为θ=37°的传送带，以v0=16m/s的速度逆时针匀速运行。将一煤块从h=33.6m的高台从静止开始运送到地面，煤块可看做质点，已知煤块的质量为m=1kg，煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.25，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。煤块由高台运送到地面的过程中，下列正确的是（　　） A．运送煤块所用的时间为4s B．摩擦力对煤块做的功为112J C．煤块相对传送带运动而产生的划痕长24m D．煤块与传送带之间因摩擦产生的热量为48J 三、解答题 （2024·上海奉贤·一模）抛撒播种 我国某些地区的人们用手拋撒谷粒进行水稻播种，如图（a）所示。在某次抛撒的过程中，有两颗质量相同的谷粒1、谷粒2同时从O点抛出，初速度分别为v1、v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，它们的运动轨迹在同一竖直平面内且相交于P点，如图（b）所示。已知空气阻力可忽略。 17．谷粒1、2在空中运动时的加速度a1、a2的大小关系为（　　） A．a1 > a2 B．a1 < a2 C．a1 = a2 D．无法确定 18．若以O点所在水平面为零势能面，则谷粒2在其轨迹最高点的机械能大小为（　　） A．mgh B． C． D． 19．两粒谷子（　　）到达P点 A．谷粒1先 B．谷粒2先 C．同时 20．两粒谷子到达P点时重力的瞬时功率P1、P2的大小关系为（　　） A．P1 > P2 B．P1 < P2 C．P1 = P2 21．（24-25高三上·上海浦东新·期中） 《道路交通安全法》规定：机动车在经过学校路段时不得超过30km/h。小张驾车去上班，该车质量m=2×103kg，全程车受到的阻力f=0.1mg，重力加速度g取10m/s2。如图所示，某学校门口路段安置了4个距离均为5m减速带（减速带宽度不计），小张的车（可视为质点），在路口由静止开始匀加速启动。 (1)若车辆直线行驶200m，以15m/s的速度到达第1个减速带，求该过程中发动机所做的功W； (2)汽车经过第2个减速带后，小张将车速从10m/s匀加速提升至15m/s，恰好到达第3个减速带，求此过程中汽车所受合力大小F； (3)在相邻两个减速带之间汽车的机械能随位置区间变化如图所示，汽车在通过最后一个减速带后经过校门。则汽车在经过学校时（　　）超速行为？ A．存在 B．不存在 22．如图所示，质量M=2kg木板静止放置于水平地面上，一质量为m=1kg的物块（可看成质点）以速度v0=6m/s从左端冲上木板，物块与木板间的动摩擦因数μ1=0.5，木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.1。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度。g=10N/kg，求： (1)共同速度v； (2)木板的长度L； (3)木板停下之前，木板与地面间因摩擦产生的热量Q。 23．（24-25高三上·上海·期中）能量守恒 能量守恒定律是19世纪的重大发现之一。生活中有很多不同形式的能量，它们之间可以通过不同的方式进行转化或转移，但总的能量总是守恒的。 (1)如图，若质量为m的小球从离地高为的点以大小为的速度斜向上飞出，球能到达的最高点离地高度为。（以点所在水平面为零势能面，不计空气阻力） (1)球在点时的机械能为_______。 A． B． C． D． (2)球从点运动到点的过程中，其动能的变化量为 。 (3)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为，倾角为，斜面长为L。一个质量为的物块（可视为质点）在电动机作用下，从斜面底端点由静止加速至点时达到最大速度v，之后做匀速运动至点，关闭电动机，物块恰好到达最高点。重力加速度为，不计电动机消耗的电热。求： ①段长x； ②段电动机的输出功率； ③全过程物块存储的机械能和电动机消耗的总电能的比值。 24．（24-25高三上·上海松江·期中）撑杆跳 撑杆跳是运动会中非常具有观赏性的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性。如图所示，运动员助跑时杆未发生形变，撑杆起跳后杆弯曲程度逐渐变大，到运动员水平越过横杆时，杆竖直且恢复原状。 (1)关于运动员在撑杆过程中，下列说法中正确的是（　　） A．分析运动员过杆的动作特点时，可将其看成质点 B．上升过程中运动员受到杆的支持力始终大于其受到的重力 C．运动员手上涂“防滑粉”可以增大手掌与杆之间的弹力 D．撑杆起跳过程中运动员受到杆的作用力大小有可能等于重力大小 (2)关于撑杆起跳到运动员越过横杆过程，下列说法正确的是（　　） A．杆的弹性势能先增大后减小 B．运动员在上升过程中机械能守恒 C．运动员越过横杆正上方时动能为零 D．运动员撑杆跳起到达最高点时，杆的弹性势能最大 (3)如图，撑杆跳全过程可分为四个阶段：阶段，助跑加速；阶段，杆弯曲程度增大、人上升；阶段，杆弯曲程度减小、人上升；阶段，人越过横杆后下落，整个过程空气阻力忽略不计。这四个阶段的能量变化为（　　） A．人和杆系统的机械能不变 B．人和杆系统的动能减小、重力势能和弹性势能增加 C．人和杆系统的动能减少量等于重力势能的增加量 D．重力对人所做的功等于人机械能的增加量 (4)撑杆跳运动员越过横杆下落到软垫的过程，如果忽略水平方向的速度，可以等效为小球落到弹簧上的过程。如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于水平地面，质量的小球在轻弹簧正上方由静止下落，空气阻力恒定。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为重力势能零势能参考面，在小球下落至最低点的过程中，小球重力势能、弹簧的弹性势能随小球位移变化的关系图线分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度，则求： ①小球下落到最低点时的重力势能； ②小球在下落过程受到的空气阻力大小； ③已知弹簧的劲度系数，小球下落速度最大时的位置坐标（保留2位有效数字）。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$