专题06 轴对称图形与等腰三角形-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

专题06 轴对称图形与等腰三角形 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：轴对称图形 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 注意：(1)轴对称图形是指一个图形，图形被轴分成的两部分能够互相重合. (2)一个轴对称图形的对称轴不一定只有1条，也可以有两条或多条.如正方形、圆等. 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 3.轴对称的特征： ①有两个图形. ②沿某一条直线对折后能够完全重合， ③对称轴是直线. 4.轴对称和轴对称图形之间有区别也有联系， （1） 区别是：轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是某一个图形具有轴对称这一特征． （2）联系是：把成轴对称的两个图形看成一个图形时是轴对称图形；将轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称． 5.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质和判定是互逆的，角平分线的性质和判定也是互逆的，经常配合三角形全等进行运用． 6.图形轴对称的性质 (1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (2)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 注意：(1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)的对应线段(对折后亚合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等. (2)成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形. 7.线段的垂直平分线的性质与判定 (1)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 8.画轴对称图形 几何图形都可看作由点组成，我们只要分别画出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形的轴对称图形.画轴对称图形的方法步骤： (1)找——在原图形找到特殊点. (2)画——作出一些关键点或特殊点的对 称点. (3)连——按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形. 9.用坐标表示轴对称 （1）关于坐标轴对称 ①点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y). ②点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y). ③点P(x,y)关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是(y,x). ④点P(x,y)关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标是(-y,-x). （2）在坐标系中画轴对称图形的方法 ①计算——计算对称点的坐标. ②描点——根据对称点的坐标描点. ③连接——依次连接所描各点得到轴对称图形. 知识点 2 ：等腰三角形 1.等腰三角形的相关概念 有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所央的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 注意：①性质1是等腰三角形的重要性质，是证明角相等常用的方法. ②应用这个性质时，必须在一个三角形中. (2)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 注意：①应用“三线合一”性质的前提条件是“在等腰三角形中“,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高和中线就不一定重合. ②等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高，底边上的中线)所在的直线是它的 对称轴. 3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 4.等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形. 5.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. (2)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”. (3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 6.等边三角形的判定方法 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 7.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型归纳 【考点01轴对称图形的识别】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列四个选项中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）下列图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下面的图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点02轴对称的特征与性质】 1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，，点、分别在射线、，，的积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 【考点03折叠问题】 1．（23-24八年级上·广西钦州·期末）在中，将，按如图方式折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合．已知，的周长为，则的长（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（    ）． A．6 B．7 C．8 D．11 4．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 【考点04画轴对称图形】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、． (1)请在图中作出关于轴的轴对称图形（、、的对称点分别是、、），并直接写出、、的坐标； (2)求的面积． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，已知点，，． (1)作关于x轴对称的； (2)分别写出点、、关于y轴对称的点的坐标． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中有，其中、、， (1)画出关于轴的对称图形，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上有一点，当最小时，画出点的位置； (3)在轴上有一点，使，则点的坐标为______． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且点的坐标为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)①写出点关于轴的对称点的坐标； ②画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是． 【考点05坐标与轴对称】 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知直角坐标系中点和点关于y轴对称，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知点关于y轴的对称点是，则 ． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为 ． 【考点06线段垂直平分线】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论：①；②；③；④．其中不正确结论的序号是 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ． 4．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【考点07等边对等角】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A．17 B．18 C．20 D．22 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长； (2)若，则的度数为 ． 【考点08三线合一】 1．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F． (1)求的度数； (2)求证：． 【考点09等角对等边】 1．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于，点为延长线上一动点，以为直角边在其上方作等腰三角形，连接． (1)求证； (2)求直线与轴交点的坐标． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求证：． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点E，F在上，与交于点O，，求的长． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点10等腰三角形的性质和判定】 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（只填序号） 4．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且． ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 【考点11含30°角的直角三角形】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【考点12等边三角形的性质和判定】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)试判断线段和的数量关系，并说明理由． 3．（22-23八年级上·广东东莞·期末）是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则______°． (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②连接，若，C，P三点共线，，求的长． 4．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【考点13角平分线的性质与判定】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，点E是的平分线上的一点，，，垂足分别为点C、D，连接交于点F，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，时，直接写出的周长．（用含m、n的式子表示） 3．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接，与相交于点G，求证：是的垂直平分线． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． 图中的为格点三角形，在图中最多能画出（    ）个不同的格点三角形与成轴对称． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 4．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为12，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 7．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则；⑤；⑥的周长．正确的结论有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，中，于平分，且于，与相交于点于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，的平分线交于点E，过点E作于点F．点D在边上，连接、，平分，若，则的面积为 ． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E． （1）若的周长为，则的周长为 ； （2）若平分，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点M在线段上运动（不包含点B），连接，将沿直线翻折得到． （1）当时，则 ． （2）在点M运动过程中，点到直线距离的最大值是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 14．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 15．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、． (1)作出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)求的面积． 16．（24-25八年级上·福建宁德·期中）直线分别与x轴，y轴交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标； (2)的垂直平分线l交于点D，交于点E，点P是直线l上一点，且点P在点E的上方，． ①求点P的坐标 ②在第一象限内是否存在一点C，使得是等腰直角三角形，其中？若存在，请直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． (1)直线的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果） (2)点为线段（含、两点）上的一个动点，连接．若直线将的面积分为两部分．试求点的坐标； (3)在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，则B的纵坐标为______； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含m的式子表示） 19．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 20．（24-25八年级上·山西朔州·期中）数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 轴对称图形与等腰三角形 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：轴对称图形 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 注意：(1)轴对称图形是指一个图形，图形被轴分成的两部分能够互相重合. (2)一个轴对称图形的对称轴不一定只有1条，也可以有两条或多条.如正方形、圆等. 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 3.轴对称的特征： ①有两个图形. ②沿某一条直线对折后能够完全重合， ③对称轴是直线. 4.轴对称和轴对称图形之间有区别也有联系， （1） 区别是：轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是某一个图形具有轴对称这一特征． （2）联系是：把成轴对称的两个图形看成一个图形时是轴对称图形；将轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称． 5.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质和判定是互逆的，角平分线的性质和判定也是互逆的，经常配合三角形全等进行运用． 6.图形轴对称的性质 (1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (2)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 注意：(1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)的对应线段(对折后亚合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等. (2)成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形. 7.线段的垂直平分线的性质与判定 (1)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 8.画轴对称图形 几何图形都可看作由点组成，我们只要分别画出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形的轴对称图形.画轴对称图形的方法步骤： (1)找——在原图形找到特殊点. (2)画——作出一些关键点或特殊点的对 称点. (3)连——按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形. 9.用坐标表示轴对称 （1）关于坐标轴对称 ①点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y). ②点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y). ③点P(x,y)关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是(y,x). ④点P(x,y)关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标是(-y,-x). （2）在坐标系中画轴对称图形的方法 ①计算——计算对称点的坐标. ②描点——根据对称点的坐标描点. ③连接——依次连接所描各点得到轴对称图形. 知识点 2 ：等腰三角形 1.等腰三角形的相关概念 有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所央的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 注意：①性质1是等腰三角形的重要性质，是证明角相等常用的方法. ②应用这个性质时，必须在一个三角形中. (2)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 注意：①应用“三线合一”性质的前提条件是“在等腰三角形中“,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高和中线就不一定重合. ②等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高，底边上的中线)所在的直线是它的 对称轴. 3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 4.等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形. 5.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. (2)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”. (3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 6.等边三角形的判定方法 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 7.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型归纳 【考点01轴对称图形的识别】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列四个选项中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、B、C选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； D选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它是轴对称图形． 故选：D 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）下列图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据轴对称图形的定义， B、C 、D都是轴对称图形，只有A不是轴对称图形． 故选：A． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下面的图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 【考点02轴对称的特征与性质】 1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【解析】解：如图，    第1次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，， 从到，每次循环次， ， 第次碰到是第组的第次碰到； 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，即为边上的高， ， 即：， ， 即：的最小值是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，，点、分别在射线、，，的积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：，． 【考点03折叠问题】 1．（23-24八年级上·广西钦州·期末）在中，将，按如图方式折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将，折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕． ∴根据折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合．已知，的周长为，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由折叠知， ∵的周长为， ， ， ∴； 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（    ）． A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】B 【解析】解：由折叠可知，，， 则， ∴的周长为：， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 【答案】(1)①45，45，②不会发生变化， (2) 【解析】解：（1）①∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45，45； ②随着点A，B的运动，的大小不会发生变化． 设，则． ， ． 平分，平分， ，． ． （2）， ． ． 平分，平分， ． ． 由折叠的性质，得，． ． ． 【考点04画轴对称图形】 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、． (1)请在图中作出关于轴的轴对称图形（、、的对称点分别是、、），并直接写出、、的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【解析】（1）解：如图所示： 即为所求，则； （2）解：由（1）可知，，如图所示： 的面积为． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，已知点，，． (1)作关于x轴对称的； (2)分别写出点、、关于y轴对称的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，， 【解析】（1）解：，，， ，，和，，关于x轴对称， ，，； 如图，即为所求作． （2）点、、关于y轴对称的点的坐标分别为，，； 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中有，其中、、， (1)画出关于轴的对称图形，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上有一点，当最小时，画出点的位置； (3)在轴上有一点，使，则点的坐标为______． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)或 【解析】（1）解：如图所示，即为所求；； 故答案为：；． （2）如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． （3）解： 设点的坐标为()， 当时， ， 解得， 点的坐标为； 当时， ， 解得(舍去)； 当时， ， 解得(舍去)； 当时， 解得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且点的坐标为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)①写出点关于轴的对称点的坐标； ②画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是． 【答案】(1)见解析 (2)①．②见解析 【解析】（1）解：如图． （2）解：①∵点B的坐标为 ∴； ②如图． 【考点05坐标与轴对称】 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：点P关于y轴对称点的坐标是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知直角坐标系中点和点关于y轴对称，则 ． 【答案】1 【解析】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知点关于y轴的对称点是，则 ． 【答案】1 【解析】解：∵点关于轴的对称点为， ， ， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为 ． 【答案】 【解析】解：第一次变换的坐标为； 第二次变换的坐标为； 第三次变换的坐标为； ∴第2024次变换的坐标为． 故答案为：． 【考点06线段垂直平分线】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【解析】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线， 所以点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值， 所以的周长的最小值为， 因为， 所以的周长的最小值为． 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论：①；②；③；④．其中不正确结论的序号是 ． 【答案】④ 【解析】， ，，，， ，故①正确，不符合题意； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确，不符合题意； ，故②正确，不符合题意； ， ， 故④不正确，符合题意； 故答案为：④． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ． 【答案】4 【解析】∵的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：4． 4．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； （2），， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点07等边对等角】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A．17 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长为． 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【解析】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【答案】 【解析】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长； (2)若，则的度数为 ． 【答案】(1)10(2) 【解析】（1）解：是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线，     ， 周长； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【考点08三线合一】 1．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【答案】D 【解析】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，、是上两点，且，，、分别平分、，、交于点，求证：点到的三个顶点的距离相等． 【解析】证明：如图，连接，设与相交于点，与相交于点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， 同理可得， ∴， 即点到的三个顶点的距离相等． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点09等角对等边】 1．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于，点为延长线上一动点，以为直角边在其上方作等腰三角形，连接． (1)求证； (2)求直线与轴交点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)． 【解析】（1）过点作轴，如图所示 可得， ∵， ∴ 在和中， ∴ ∴，，则， ∴ ∴， ∴， 又 ∴ ∴ （2）延长交轴于点 ∵ ∴ ∴ ∴点的坐标为 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【解析】（1）解：根据题意， 是的平分线， （2）根据题意， 是的平分线， 设 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点E，F在上，与交于点O，，求的长． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）是的角平分线， ． ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 【考点10等腰三角形的性质和判定】 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点作于点 由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 由上述证明，设，则，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【解析】解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，故③正确； ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ，故④不正确． 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【解析】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴，故②符合题意； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意． 综上，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 4．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且． ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 【答案】(1) (2)① ②且 【解析】（1）∵满足， ∴； （2）①∵ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴； ∵且点在轴正半轴上， ∴ ②如图3，过点作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动， 如图4，设直线与轴交于点，当时，最小． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵， ∴、均是等腰直角三角形， ∴， ∴且； 【考点11含30°角的直角三角形】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】解：∵点的运动时间为， ∴，， ∵是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∴， ∴，得， 解得：； 当时， ∴， ∴，得， 解得：； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【解析】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【答案】(1)的长为3； (2)①见详解② 【解析】（1）解： 是等边三角形， ，， 设，则，， ， ， ， 即 解得：， 即的长为3； （2）①如图， ∵， ，， 是等边三角形， ②是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点12等边三角形的性质和判定】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】解：连接， 由轴对称的性质知：，，，， ，即， ，， 是等边三角形， 的周长是15， 的长为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)试判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【解析】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 3．（22-23八年级上·广东东莞·期末）是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则______°． (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②连接，若，C，P三点共线，，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②8 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： 如图1，连接，在上取一点，使， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ②解：∵，C，P三点共线， ∴， 由折叠可知，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴， 解得，， ∴， ∴的长为8． 4．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)猜想，证明见解析 (3)的最大值与最小值的差为 【解析】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图2中，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最大值与最小值的差为． 【考点13角平分线的性质与判定】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，点E是的平分线上的一点，，，垂足分别为点C、D，连接交于点F，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，时，直接写出的周长．（用含m、n的式子表示） 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，平分， ∴，， ∴，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 3．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接，与相交于点G，求证：是的垂直平分线． 【解析】解：∵是的角平分线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)8 【解析】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，则， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵x轴垂直平分，且点E在x轴上， ∴， ∴当点P与点E重合时，则，此时的值最小， ∴要使的值最小，则点P的坐标为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． 图中的为格点三角形，在图中最多能画出（    ）个不同的格点三角形与成轴对称． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】解：与成轴对称的格点三角形如图所示， 在图中最多能画出、、、和5个不同的格点三角形与成轴对称． 故选：D． 3．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【解析】解：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 4．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为12，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 【答案】D 【解析】解：由题意知，是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴ ， ∴的周长为20， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴，， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③若，则， , , ，而点C不一定是线段的中点，此说法不一定正确； ， ∴④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③错误，④正确， 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则；⑤；⑥的周长．正确的结论有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【解析】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ∵， ， ；故②正确； ∵， ，， ，， ，， ，故①正确； ∴的周长，故⑥正确； 过点作于，作于，连接，   在中，和的平分线相交于点， ，即到各边的距离相等，故③正确． ；故④正确； 现有条件无法判断，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④⑥，共5个， 故选：B． 8．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，中，于平分，且于，与相交于点于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴．故①正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴． ∴；． ∵， ∴；故②正确； 在和中 ∵平分， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 又由（2），知， ∴；故③正确； 连接，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴垂直平分． ∴， 在中， ∵是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④正确． 则正确的选项有①②③④； 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，的平分线交于点E，过点E作于点F．点D在边上，连接、，平分，若，则的面积为 ． 【答案】7 【解析】解：过作于于， 平分平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：7． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E． （1）若的周长为，则的周长为 ； （2）若平分，则的度数为 ． 【答案】 24 /30度 【解析】解：（1）是的垂直平分线， ∴，． ， ∴， 故答案为：24； （2）垂直平分， 平分， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点M在线段上运动（不包含点B），连接，将沿直线翻折得到． （1）当时，则 ． （2）在点M运动过程中，点到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【解析】解：（1）如图，    ∵， ∴； 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，，当垂足E在线段上时，点到直线距离的最大；    ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【解析】（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 14．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵在中，是高，点是边的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、． (1)作出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，的坐标为； (2)7． 【解析】（1）解：如图所示： 由图可知，的坐标为； （2）解：． 16．（24-25八年级上·福建宁德·期中）直线分别与x轴，y轴交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标； (2)的垂直平分线l交于点D，交于点E，点P是直线l上一点，且点P在点E的上方，． ①求点P的坐标 ②在第一象限内是否存在一点C，使得是等腰直角三角形，其中？若存在，请直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解析式为； (2)①；②或 【解析】（1）解：由题意得：把代入得： ∴直线的表达式为； 当时，即，解得： ∴ （2）如图， 由（1）得：， ∵l是的垂直平分线 ∴ 把代入得： ∴ 设 ∵P在点E的上方， ∴ ∴，即 ∴，解得： ∴； ②存在； 如图，过点分别作，轴 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 设 由①得，由（1）得 ∴ ∴，，，即， 由①②得： ∴； 同理可得：； 综上可得：或 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． (1)直线的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果） (2)点为线段（含、两点）上的一个动点，连接．若直线将的面积分为两部分．试求点的坐标； (3)在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【解析】（1）解： 一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、， 令,则，解得：， 令，则， ，， ， ∵， ∴， ， 与关于轴对称， ， 把点和点的坐标代入一次函数， ，解得， 直线的解析式为：； 联立，解得：， 点的坐标为． 故答案为：；. （2）解：如图1，过点作轴于点，连接， ∵点的坐标为， ， ，， ， ． ，，， ∴，， ∴， 点是线段的中点， ． 当点在线段上时，则有， ， ，解得， 把代入，得 ． 当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图2，此时有， ， ，解得， ∵ ∴点与点重合，， ， 直线与轴重合， ∴点与点重合， ． 综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或． （3）解：当在点的左侧时，如图所示，以为腰，为顶点，作等腰，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，则     ∴ 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴ 当时，，即； 当在点左侧时，如图所示，以为腰，为顶点，作等腰，过点作轴于点， 同理可得 ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴ 当时，，即； 综上所述，或． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，则B的纵坐标为______； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含m的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：如图，作轴于点，   ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 则； （2）解：如图，作轴于点，并延长交的延长线于点，   平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 的纵坐标为． （3）解：如图，连接，作于点于点，   平分平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【解析】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 20．（24-25八年级上·山西朔州·期中）数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；②见解析 【解析】（1）解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． （2）理由如下：在和中，， ∴   ∴． ∴沿画一条射线，则就是的平分线． （3）①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； ②∵点A，B，C在一条直线上，， ∴， ∴． ∵所在直线过的顶点O， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵点C在上， ∴． ∴． ∴射线和射线将三等分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$