专题05 全等三角形-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

专题05 全等三角形 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：全等三角形的概念 1．全等三角形的相关概念: （1）全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素:     ①对应顶点:全等三角形中，能够重合的顶点． ②对应边:全等三角形中，能够重合的边 ③对应角:全等三角形中，能够重合的角． 2．全等三角形的表示方法: 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 3．常见三角形的全等变换: 4.对应元素的确定方法: （1）图形特征法: ①最长边对最长边，最短边对最短边．②最大角对最大角，最小角对最小角．③相等的边（角）为对应边（角）． （2）位置关系法: ①公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边．③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）字母顺序法: 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 知识点 2：全等三角形的判定与性质 1.全等三角形的性质:对应角相等，对应边相等，对应边上的中线显得更，对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应周长氙灯，对应面积相等． 2.三角形的稳定性 （1）如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性． （2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用 3.三角形稳定性的应用: （1）稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 （2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形．四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等． 4.全等三角形的判定： SAS     ASA     SSS     AAS    HL 题型归纳 【考点01全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，那么（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点02用SSS证明三角形全等】 1．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 3．（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点03用SAS证明三角形全等】 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，D是边上的中点，若，，的取值范围 ． 2．（24-25八年级上·山东·期末）如图，，，，，，则的度数是 ． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点04用ASA或AAS证明三角形全等】 1．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，． (1)求证：． (2)求证：． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点05全等的性质与HL综合】 1．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【考点06添加条件使三角形全等】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在一条直线上，，为了使则下列添加的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，平分，请你添加一个条件： ，使． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【考点07灵活选用判定方法证明全等】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）根据下列已知条件，不能唯一画出的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的三边及三个内角的度数如图所示，现要作一个与全等的三角形，下面是四位同学作出的图形． 其中符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 48．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 【考点08结合尺规作图的全等问题】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（22-23八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【考点09全等三角形的综合问题】 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，点分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段上任意一点（P不与A，E重合），连接，过E作，交的延长线于点G，交的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 2．（23-24八年级上·北京丰台·期中）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，点D，E分别在和上，，点F是上一点，FE的延长线交延长线于点G． (1)若，求的度数； (2)若点E是的中点，与全等吗？请说明理由． 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则AD的长为（　　） A．9 B．8 C．11 D．10 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应边都相等 C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的对应角都相等 3．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，，则长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，的面积为，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，过点作，垂足为．若，，则的长是 ． 10．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，上的点，且，．则的度数为 ． 11．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则的度数为 （用含的代数式表示）； （2）当点运动 时，． 12．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的有 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在与中，，，，分别是和的高，且． (1)求证：； (2)你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对吗？（尝试画图说明） 17．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 19．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，点，，且a，b满足． (1)求点A和点B的坐标； (2)如图2，点在线段上，且满足，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且，求点D的坐标； (3)平移直线，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线上且位于第三象限内的一个点，过点P作轴于点G，若，且，点N是上方一点，且，直接写出点N的坐标． 20．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，其中，点在第四象限内，交轴于点．且，，连接，并作轴于点． (1)求证：； (2)求点的坐标；（用含的式子表示） (3)如图1，过点作直线轴，过点作于点，求证：直线，直线，直线相交于一点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：全等三角形的概念 1．全等三角形的相关概念: （1）全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素:     ①对应顶点:全等三角形中，能够重合的顶点． ②对应边:全等三角形中，能够重合的边 ③对应角:全等三角形中，能够重合的角． 2．全等三角形的表示方法: 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 3．常见三角形的全等变换: 4.对应元素的确定方法: （1）图形特征法: ①最长边对最长边，最短边对最短边．②最大角对最大角，最小角对最小角．③相等的边（角）为对应边（角）． （2）位置关系法: ①公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边．③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）字母顺序法: 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 知识点 2：全等三角形的判定与性质 1.全等三角形的性质:对应角相等，对应边相等，对应边上的中线显得更，对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应周长氙灯，对应面积相等． 2.三角形的稳定性 （1）如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性． （2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用 3.三角形稳定性的应用: （1）稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 （2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形．四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等． 4.全等三角形的判定： SAS     ASA     SSS     AAS    HL 题型归纳 【考点01全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， ， ， ， ． 故选：A 2．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【解析】解：∵点在上，点在上，， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 4．（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点02用SSS证明三角形全等】 1．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 2．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【解析】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：在中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：∵， ． 在和中 ． （2）解：， ， ． 【考点03用SAS证明三角形全等】 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，D是边上的中点，若，，的取值范围 ． 【答案】 【解析】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东·期末）如图，，，，，，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：∵在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 【解析】（1）证明：在和中， ， ， ， 平分； （2）在和中， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：， ∴， 即， 在和中， ， ； （2），， ∴. 是的外角， ∴. ， ∴， ∵是的外角， ∴. 【考点04用ASA或AAS证明三角形全等】 1．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，． (1)求证：． (2)求证：． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为10；（4）和之间的数量关系为；证明见解析 【解析】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点05全等的性质与HL综合】 1．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)1.5． 【解析】（1）证明： 即 在和中 （2）解： ， 又 在和中 ， ． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)20 【解析】（1）解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 【考点06添加条件使三角形全等】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在一条直线上，，为了使则下列添加的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，且， A、添加， ∴，即，可以运用边角边证明，不符合题意； B、添加，不能运用边边角证明三角形全等，符合题意； C、添加，可以运用角边角证明，不符合题意； D、添加， ∴，可以运用角角边证明，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 【答案】B 【解析】解：由题意得，又， 若选择①， 在与中， ， ； 若选择②， 由不能判定和全等； 若选择③， 在与中， ， ； 若选择④， 在与中 ； 综上，①③④符合题意， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，平分，请你添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解： 平分， ， ∵为公共边， ∴添加，利用可以证明； 添加，利用可以证明； 添加，利用可以证明； 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】或 【解析】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 【考点07灵活选用判定方法证明全等】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）根据下列已知条件，不能唯一画出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A. ，已知两边一角，但是已知角不是已知边的夹角，无法唯一确定一个三角形，符合题意； B. ，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； C. ，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意；   D. ，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的三边及三个内角的度数如图所示，现要作一个与全等的三角形，下面是四位同学作出的图形． 其中符合条件的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】解：（1）根据可以判定两个三角形全等，故此图形符合题意； （2）根据“两边及一边的对角对应相等的条件”不能判定三角形全等，故此图形不符合题意； （3）根据可以判定两个三角形全等，故此图形符合题意； （4）根据可以判定两个三角形全等，故此图形符合题意， ∴符合条件的有个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等，所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等， 故选：D． 48．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 【答案】(1)①；③；②（或①；②；③） (2)详见解析 【解析】（1）解：解法一：选的条件是：①，③，结论是②； 解法二：选的条件是：①，②，结论是③； （2）解：解法一证明： ， ， 在和中， ， ， ． 解法二证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 【考点08结合尺规作图的全等问题】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解析】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 4．（22-23八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】2；2；不一定；钝角 【解析】这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种：我们可以发现，此时（即“边边角"对应相等）两个三角形不一定全等 【拓展思考】∵是钝角三角形， ∴一定是钝角三角形 【考点09全等三角形的综合问题】 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，点分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段上任意一点（P不与A，E重合），连接，过E作，交的延长线于点G，交的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解析】解：如图，作轴于，于， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 同理可证， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 当为定值时，点是动点，故，故②错误； 综上所述，C． 2．（23-24八年级上·北京丰台·期中）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【解析】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【解析】解：且 由外角定理可得， 又， ∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ． ，， ，， ， 的面积为，， ， ， ∴ 的面积是 故答案为：， ． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，点D，E分别在和上，，点F是上一点，FE的延长线交延长线于点G． (1)若，求的度数； (2)若点E是的中点，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不全等，理由见解析 【解析】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：不全等，理由如下： ∵点E是的中点， ∴， ∵， 只确定了这两个条件，无法证明全等． 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则AD的长为（　　） A．9 B．8 C．11 D．10 【答案】A 【解析】解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应边都相等 C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的对应角都相等 【答案】B 【解析】解：由题意知，A的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，不是真命题，故不符合要求； B的逆命题为：对应边都相等的三角形是全等三角形，正确，是真命题，故符合要求； C的逆命题为：周长都相等的三角形是全等三角形，错误，不是真命题，故不符合要求； D的逆命题为：对应角都相等的三角形是全等三角形，错误，不是真命题，故不符合要求；故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】解：A、，，，符合“”，所以根据条件能画出唯一，故此选项符合题意； B、，，，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； C、，，，根据三角相等不能能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； D、，，，∵，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A. 4．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 7．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，的面积为，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如下图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴． 故选：A． 8．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】， ， 故①正确； ， 在和中 平分 故③正确； ， 在四边形中 又 故②正确； 延长至N，使,连接， ∵E是的中点， ∴ 在和中， 由①可知： 在中， 故④正确； 若 则 在中，和的高相等， ∴为的中点， 故⑤正确；综上正确的有：①②③④⑤， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，过点作，垂足为．若，，则的长是 ． 【答案】 【解析】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，上的点，且，．则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 11．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则的度数为 （用含的代数式表示）； （2）当点运动 时，． 【答案】 ； 5或2． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的垂线交直线于点， ∴， ∴； 故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时，    ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，，    ∴， ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：5或2． 12．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的有 【答案】①②④ 【解析】解：①∵点P 以每秒2 个单位长度的速度，运动时间为秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当时, 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④点时， ∴，即， ，即， 解得，， 当时， ∴，即， ，即， 解得， ∴若与全等，则或， 故④正确， 综上所述，正确的选项为①②④， 故答案为①②④． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【解析】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，， ， 又， ． 15．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ， 又， ， ， ， 即， ． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在与中，，，，分别是和的高，且． (1)求证：； (2)你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对吗？（尝试画图说明） 【答案】(1)见解析； (2)不对，理由见解析． 【解析】（1）证明：∵在和中,，， ∴, ∴， ∵在和中,,， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴． （2）证明：这句话不对，如图所示，在和中, , , , 两个三角形具有两边及第三边上的高对应相等，但这两个三角形不全等，其中一个是锐角三角形，一个是钝角三角形． 17．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）解：，即， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：延长交于F，在上取，连接， ，， ， 则， ， 平分， ， ，， ， ，则， ， ，即， ， 则． 即：． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 19．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，点，，且a，b满足． (1)求点A和点B的坐标； (2)如图2，点在线段上，且满足，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且，求点D的坐标； (3)平移直线，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线上且位于第三象限内的一个点，过点P作轴于点G，若，且，点N是上方一点，且，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的坐标为． 【解析】（1）解：，， ，， ，， ，； （2）解：如图1，连接，作轴于E，轴于F， ∵，， ∴， ∴， 联立方程组，解得， ， ∵， ， 而， ， ； （3）解：如图2，∵， ∴， ∴，即， ， ， ， ， ，即， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 点分别向左和向上平移4个单位得到点， ∴点分别向左和向上平移4个单位得到点， 即点N的坐标为． 20．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，其中，点在第四象限内，交轴于点．且，，连接，并作轴于点． (1)求证：； (2)求点的坐标；（用含的式子表示） (3)如图1，过点作直线轴，过点作于点，求证：直线，直线，直线相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）∵ ∴， ∴． （2）如图1． ∵ ∴ ∴ 考虑到点C在第四象限，则． 设直线的解析式为：， 将点代入上式，得： 解得： ∴直线的解析式是：， 令，得 ∴． ∴ （3）∵ ∴， 故可设直线的解析式为：， 由且在y轴的负半轴可知，， 将点E的坐标代入的解析式得，， ∴直线的解析式为， 由直线轴，且直线l经过点A可知，直线l的方程为：， 联立，求得直线与直线l的交点坐标是 ∵ ∴直线的方程为． 联立，求得直线与直线l的交点坐标是 故直线，直线，直线l相交于一点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$