第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布（知识+真题+5类高频考点)( 精讲）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 3 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：二项分布及其应用 4 高频考点二：超几何分布及其应用 8 高频考点三：正态分布及其应用（正态分布的概率计算） 12 高频考点四：正态分布及其应用（正态分布的实际应用） 14 第四部分：新定义题 20 第一部分：基础知识 知识点一：伯努利试验与二项分布 （1）重伯努利试验的定义 ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. （2）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． 知识点二：两点分布与二项分布的均值、方差 若随机变量服从两点分布,则,.  若,则,　 .  知识点三：超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． 知识点四：正态分布 （1）正态分布定义： 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. （2）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 （3）正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·高考真题（新课标Ⅰ卷））随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题（甲卷理））一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：二项分布及其应用 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 例题2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 例题3．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为. (1)求的分布列与期望； (2)已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值. 例题4．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 练透核心考点 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 4．（2025·黑龙江大庆·一模）2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望. 高频考点二：超几何分布及其应用 典型例题 例题1．（23-24高三上·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 例题2．（24-25高二下·全国·单元测试）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 例题3．（23-24高二下·天津西青·期末）我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 26 女 14 合计 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (1)请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联； (2)现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望． 例题4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 练透核心考点 1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 3．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 4．（23-24高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 高频考点三：正态分布及其应用（正态分布的概率计算） 典型例题 例题1．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 例题2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 例题4．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 . 练透核心考点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 4．（23-24高二下·河南驻马店·期末）二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 高频考点四：正态分布及其应用（正态分布的实际应用） 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 例题2．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 例题3．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）某工厂研发生产一种产品，自2018年开始量产，下表是年代码与年产量（单位：万件）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 年产量 10 14 18 23 26 (1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程，并预测2023年的产量； (2)根据往年的统计数据，可知产品误差尺寸指标大致符合正态分布，已知，若尺寸指标，每件产品的利润为0元；若，每件产品的利润为10元；若，每件产品的利润为20元，请预测该厂2023年的总利润． 参考公式和数据：中的 随机变量服从正态分布，则，， 例题4．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 练透核心考点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某地为推动乡村振兴，推广红富士苹果种植，经品种改良，果农的收入显著提高．为了解改良效果，工作人员从该地区的1000棵果树中抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm），得到数据如下： 8.41  8.65  8.23  8.41  8.36  8.53  8.46  8.35  8.42  8.39 8.17  8.49  8.42  8.38  8.42  8.41  8.55  8.29  8.42  8.44 根据经验，果实的平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．为进一步提升红富土苹果质量，需要单独研究果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实直径小于8.08cm的果实，则认为该果树果实较小，需要单独研究，经计算得，，若出现果实直径小于8.08cm的果实的概率为0.005，试估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数． 附：． 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 3．（2025·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差. ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数） ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001） 附：①；②若，则③ 第四部分：新定义题 1．（2024·江西·模拟预测）在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． (1)若，求； (2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 5 高频考点一：二项分布及其应用 5 高频考点二：超几何分布及其应用 14 高频考点三：正态分布及其应用（正态分布的概率计算） 23 高频考点四：正态分布及其应用（正态分布的实际应用） 27 第四部分：新定义题 37 第一部分：基础知识 知识点一：伯努利试验与二项分布 （1）重伯努利试验的定义 ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. （2）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． 知识点二：两点分布与二项分布的均值、方差 若随机变量服从两点分布,则,.  若,则,　 .  知识点三：超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． 知识点四：正态分布 （1）正态分布定义： 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. （2）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 （3）正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·高考真题（新课标Ⅰ卷））随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 2．（2023·全国·高考真题（甲卷理））一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【知识点】计算几个数的中位数、独立性检验解决实际问题、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【详解】（1）依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. （2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：二项分布及其应用 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 【答案】4 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立重复试验的概率问题 【分析】设最有可能得分，根据独立重复试验的概率公式，得到，求得的值，即可求解. 【详解】设该名运动员通过罚球命中的次数为，则， 则， 再设最有可能得分，其中， 则，即， 解得，所以则，所以该名运动员通过罚球最有可能得分． 故答案为：. 例题2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)200人； (2)分布列见解析，数学期望为 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）利用正态分布的性质求出，进而求出对应的人数. （2）根据给定条件，利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）由问卷调查的成绩近似服从正态分布，且， 则，于是， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人. （2）由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为， 的可能取值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 例题3．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为. (1)求的分布列与期望； (2)已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)20 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）列出分布列，根据期望定义进行计算，或者利用二项分布期望公式进行计算； （2）由题意可知，依题意列出不等式，可得的范围，即得的最小值. 【详解】（1）根据题意有， 其中， ， ， . 的分布列为： 0 1 2 3 方法1：所以 方法2：因为，故 （2）根据题意有. 由（1）可知， 故应满足. 解得. 故的最小值为20. 例题4．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立. (1)填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析，不能 (2)（i）；（ii）， 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，得到，然后进行数据比对，最终得到答案； （2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据条件得到，利用二项分布的期望公式，即可求出期望；先设时，最大，根据最大，结合二项分布概率求法列出不等式组，即可求出结果. 【详解】（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在内有（只）； 在）内有（只）； 在）内有（只）； 在）内有（只）； 在内有（只） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只）， 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如下：单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联. 根据列联表中数据，得. 根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件发生的概率分别为，则，. 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率. （ii）由题意，知随机变量，所以. 又，设时，最大， 所以 解得，因为是整数，所以. 练透核心考点 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值 【分析】（1）根据二次函数的性质可求当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）根据二项分布可求的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题知：第三组通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以 所以，当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为. 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以随机变量的分布列为: . 2．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【详解】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 4．（2025·黑龙江大庆·一模）2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设相应事件，根据题意利用全概率公式运算求解； （2）分析可知，利用二项分布求分布列和期望. 【详解】（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则， 设“学生的肥胖”为事件B，则， 由全概率公式可得， 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. （2）由题意可知：，且的可能取值为0，1，2，3，则有： ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望. 高频考点二：超几何分布及其应用 典型例题 例题1．（23-24高三上·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【答案】(1)均值为15，方差为1.66. (2)答案见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据均值与方差的概念，计算即可求解； （2）根据超几何分布及古典概型的概率公式即可求解． 【详解】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 例题2．（24-25高二下·全国·单元测试）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 【答案】(1)0.84 (2) 【知识点】超几何分布的均值、离散型随机变量的方差与标准差、指定区间的概率、超几何分布的分布列 【分析】（1）应用正态分布的概率性质计算； （2）应用超几何分布求概率进而求出数学期望及方差. 【详解】（1）因为每个小学生的普通话测试成绩服从正态分布，所以，， 所以． （2）因为总体平均分为， 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以， ． 例题3．（23-24高二下·天津西青·期末）我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 26 女 14 合计 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (1)请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联； (2)现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)填表见解析；有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 (2)分布列见解析；期望为1 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、求超几何分布的概率 【分析】（1）给出列联表，计算的值，再结合的独立性检验进行判断； （2）由超几何分布求出分布列，再计算数学期望即可． 【详解】（1）由题意，可得如下的的列联表： 喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计 男 20 6 26 女 10 14 24 合计 30 20 50 零假设为：该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 根据表中数据，计算得到 根据的独立性检验，零假设为成立， 所以有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关 （2）在喜欢航天知识大讲堂的学生中按性别分层抽样， 男生为（人），女生为2人 X的所有可能取值为， 则： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的期望 例题4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 练透核心考点 1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【答案】(1)70 (2)分布列见详解； 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据题意结合分层抽样求数学组人数，进而可得结果； （2）分析可知物理组5人中男生有2人，女生有3人，的可能取值有：0，1，2，结合超几何分别求分布列和期望. 【详解】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为， 则数学组共有人，其中女生的人数为. （2）因为前排就座的物理组5人中男生有人，女生有人， 可知抽到女生的人数为的可能取值有：0，1，2，则有： ， 可得女生人数的分布列为 0 1 2 所以女生人数的期望. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、方差的性质、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可； （2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 3．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）由题意可知，选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为，进而由二项分布即可求解； （2）由题意可得A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，进而由超几何分布可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 4．（23-24高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析. 【知识点】有放回与无放回问题的概率、利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列． （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【详解】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3， 每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2， ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 高频考点三：正态分布及其应用（正态分布的概率计算） 典型例题 例题1．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】由正态曲线的性质求出，即可求解． 【详解】依题意，得， 则， 则估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是：， 故选：A. 例题2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【答案】A 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 【答案】 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的对称性以及参考数据得出对应不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】由题可得，即， 而，所以． 又因为，所以， 所以，即， 解得，故至少需做次实验． 故答案为： 例题4．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、计算几个数的平均数、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布概率计算确定，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，， 故答案为： 练透核心考点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由条件结合正态密度曲线的对称性可得，结合条件可求. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以随机变量的均值, 所以随机变量的密度曲线关于对称， 所以， 又， 所以， 因为， 所以， 故选：A. 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】/ 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 4．（23-24高二下·河南驻马店·期末）二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 【答案】 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】先计算出二项分布的均值和方差，符合给定定义后求出正态分布的基本量，结合正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为， 同时设正面向上的次数为，则， 所以，， 此时符合，故有， 且，，设所求概率为， 因为， 所以由正态分布对称性得. 故答案为： 高频考点四：正态分布及其应用（正态分布的实际应用） 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】指定区间的概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立性检验解决实际问题、卡方的计算 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求，进而利用对立事件分析求解. 【详解】（1）由题意可得：列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关， 可得， 依据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. （2）由题意可得，物理成绩的平均分为（分）； 方差， 结合题意可知：，即，则， 可得， 记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则为“人物理成绩的等第都是非优秀”， 故， 所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为. 例题2．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)159人 (2)分布列见解析，，． 【知识点】利用二项分布求分布列、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解； （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解． 【详解】（1）样本中100名学生每周阅读时间的均值为： ， 即，又，所以， 所以， 所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人） （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得， 故，，， ，，， 随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故，． 例题3．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）某工厂研发生产一种产品，自2018年开始量产，下表是年代码与年产量（单位：万件）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 年产量 10 14 18 23 26 (1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程，并预测2023年的产量； (2)根据往年的统计数据，可知产品误差尺寸指标大致符合正态分布，已知，若尺寸指标，每件产品的利润为0元；若，每件产品的利润为10元；若，每件产品的利润为20元，请预测该厂2023年的总利润． 参考公式和数据：中的 随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1)见解析 (2)万元 【知识点】根据回归方程进行数据估计、正态分布的实际应用、求回归直线方程 【分析】（1）利用最小二乘法求解即可； （2）利用正态分布求概率，然后求出单件产品的利润即可求出总利润. 【详解】（1） ，， 故，. 故关于的线性回归方程为：. 当时，. 预测2023年的产量为万件. （2）产品误差尺寸指标大致符合正态分布, 故， 所以， ， . 故该厂2023年的每件产品的利润均值为：. 由（1）知，2023年的产量为万件， 故2023年的总利润为：万元. 例题4．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 【答案】(1)； (2)分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 【知识点】特殊区间的概率、正态曲线的性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，得到该市所有参赛者的成绩，设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，结合正态分布曲线的对称性质，分别求得的值，即可得到结论. 【详解】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得： 数据的平均数为， 数据的方差为. （2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布， 设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖， 成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖， 则，，，. 因为，所以. 因为， 所以， 因为，所以. 综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 练透核心考点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某地为推动乡村振兴，推广红富士苹果种植，经品种改良，果农的收入显著提高．为了解改良效果，工作人员从该地区的1000棵果树中抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm），得到数据如下： 8.41  8.65  8.23  8.41  8.36  8.53  8.46  8.35  8.42  8.39 8.17  8.49  8.42  8.38  8.42  8.41  8.55  8.29  8.42  8.44 根据经验，果实的平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．为进一步提升红富土苹果质量，需要单独研究果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实直径小于8.08cm的果实，则认为该果树果实较小，需要单独研究，经计算得，，若出现果实直径小于8.08cm的果实的概率为0.005，试估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数． 附：． 【答案】4000 【知识点】独立重复试验的概率问题、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布和独立重复试验的二项分布规律即可求解. 【详解】依题意，得 ， 故果实平均直径服从正态分布， ， 抽取个果实测量直径，出现直径小于8，08cm的果实的概率为： ， 则，即， 则，所以， 因为为整数，所以， 估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为． 2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】(1)75，71.7 (2)分布列见解析， (3)504，不能 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可； （2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （3）由正态分布的概率特征求解即可． 【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； （2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． 3．（2025·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】(1) (2) (3)11 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题、指定区间的概率 【分析】（1）根据表格由古典概型求解即可； （2）列出得7分的互斥事件，根据相互独立事件乘法公式及互斥事件和的概率公式求解; （3）由二项分布及正态分布的性质及所给结论建立不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差. ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数） ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001） 附：①；②若，则③ 【答案】(1)，； (2)①317户；②0.499. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、独立重复试验的概率问题、正态分布的实际应用、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数和方差的计算公式求解即可. （2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数 ； 这2000户农户家庭年收入的样本方差 . （2）①由（1）知，，，农户家庭年收入近似服从正态分布， 所以， 而， 所以这2000户农户家庭年收入超过万元的户数约为317. ②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布， 所以. 第四部分：新定义题 1．（2024·江西·模拟预测）在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”． (1)若，求； (2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为． （ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果） （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、计算条件概率、利用二项分布求分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出； （2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，根据全概率公式求出，再由条件概率公式求出； （ⅱ）结合（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数证明，从而得到，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以的分布列为： 所以. （2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件， 则，，，， 所以 ， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）知，则， 则， 设，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减； 所以，即（当且仅当时取等号）， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给定义，第二问关键是利用导数证明（当且仅当时取等号），从而得到. 学科网（北京）股份有限公司 $$