第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布(含新定义解答题） (分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】利用超几何分布求解. 【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件,即解得设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B, 故选：C. 3．（23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二项分布求分布列、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得. 【详解】因，则，，1，2，3. . 故选：A. 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】理解泊松分布定义，根据新定义解题. 【详解】由题，，而， 所以泊松分布可作为二项分布的近似，，所以. 故选：B. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，随着越来越大，（    ） A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定 【答案】A 【知识点】3δ原则 【分析】由为定值，与的变化无关，即可得出答案. 【详解】为定值，与的变化无关． 故选：A. 6．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 即， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： ， 故选：B 7．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知，随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若，则（    ） A．5 B．8 C．9 D．14 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、求指定项的系数 【分析】根据正态分布密度曲线，得到，再结合二项式定理得到，利用，可求的值. 【详解】由的分布密度曲线知，，所以， 根据展开式的通项公式可得，， 则，解得． 故选：B 8．（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项分布的方差、利用二项分布求分布列 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·单元测试）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X服从两点分布，，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，则 【答案】CD 【知识点】指定区间的概率、两点分布的方差、方差的性质、利用二项分布求分布列 【分析】对于A，利用两点分布的方差公式计算及可排除；对于B，运用随机变量的方差性质计算可排除；对于C，利用二项分布的概率公式计算可得；对于D，利用正态分布曲线的对称性计算可得. 【详解】对于A，若随机变量X服从两点分布，，则，故A错误； 对于B，若随机变量Y的方差，则，故B错误； 对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C正确； 对于D，若随机变量服从正态分布， 则，故，故D正确． 故选：CD． 10．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）为了解推动新能源汽车出口后的每辆车收入（单位：万元）情况，从某新能源汽车企业抽取样本，得到推动出口后每辆车收入的样本均值，样本方差，已知该企业以往的每辆车收入X服从正态分布，假设推动出口后的每辆车收入Y服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，则 A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】根据题意，得到该企业以往的每辆车收入X服从正态分布，，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解 【详解】由题意知，该企业以往的每辆车收入X服从正态分布， 得，所以A错误，B正确； 由，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 三、填空题 11．（23-24高三·全国·对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ． 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型与对立事件的概率公式，结合超几何分布即可得解. 【详解】依题意，这20件产品中有件合格品， 所以该商家接收这批产品的概率为， 故商家拒收这批产品的概率为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）2023年3月3日，教育部于《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》中提出“教育系统要坚持将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面”．某校积极的参与到该方案实施中，组织全体师生（共1600人）进行了一次“雷锋精神”相关的知识竞赛，经统计，所有参赛者的成绩X近似服从正态分布，估计成绩不低于75分的参赛者人数为 ． 【答案】1346 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据求得，再求即可. 【详解】依题意可知， 所以， 所以， 所以估计成绩不低于75分的参赛者人数为． 故答案为：1346 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求超几何分布的概率、利用二项分布求分布列 【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解; （2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 14．（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元. (1)任选1个香梨，求其重量大于的概率； (2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值. 附：若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析，元 【知识点】指定区间的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）依题意，根据正态分布的性质求出，即可得解； （2）依题意的所有可能取值为，，，，根据正态曲线的性质求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 即任选1个香梨，其重量大于的概率约为； （2）由题意可知，的所有可能取值为，，，， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 10 8 6 5 所以， 即估计该种香梨售价的平均值为元． 15．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、方差的性质、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可； （2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 16．（23-24高三上·山西运城·开学考试）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则【答案】(1)1637人 (2)答案见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据若随机变量，则，，以及正态分布的对称性可得． （2）服从二项分布，因为成绩在区间,的成功概率为，故服从，可取0，1，2，3．代入即可 【详解】（1）因为物理原始成绩， 则， 所以物理原始成绩在的人数为（人） （2）随机抽取1人，其成绩在区间的概率为， 所以随机抽取三人，则可取0，1，2，3，且， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望 B能力提升 17．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 18．（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】(1)75，71.7 (2)分布列见解析， (3)504，不能 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可； （2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （3）由正态分布的概率特征求解即可． 【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； （2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态曲线的性质 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时， 且，则可认为方差． 【详解】（1）对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 （2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差．     I．：当时，有 即． II．     当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量的近似值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，随着越来越大，（    ） A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定 6．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 7．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知，随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若，则（    ） A．5 B．8 C．9 D．14 8．（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·单元测试）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X服从两点分布，，则 B．若随机变量Y的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，则 10．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）为了解推动新能源汽车出口后的每辆车收入（单位：万元）情况，从某新能源汽车企业抽取样本，得到推动出口后每辆车收入的样本均值，样本方差，已知该企业以往的每辆车收入X服从正态分布，假设推动出口后的每辆车收入Y服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，则 A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高三·全国·对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）2023年3月3日，教育部于《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》中提出“教育系统要坚持将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面”．某校积极的参与到该方案实施中，组织全体师生（共1600人）进行了一次“雷锋精神”相关的知识竞赛，经统计，所有参赛者的成绩X近似服从正态分布，估计成绩不低于75分的参赛者人数为 ． 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 14．（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元. (1)任选1个香梨，求其重量大于的概率； (2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值. 附：若，则，，. 15．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 16．（23-24高三上·山西运城·开学考试）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则 B能力提升 17．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 18．（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 学科网（北京）股份有限公司 $$