专题05 几何图形初步-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

专题05 几何图形初步 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：几何图形 1.点、线、面、体的关系 2.常见的几何体 分 类 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆，侧面是曲的面 有两个面（底面）互相平行且能完全重合 棱柱 底面是多边形，侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆，侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形，侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲的面 知识点 2 ：线段、射线、直线 1.直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB或直线l 射线OA 线段AB或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 2.线段的基本事实和两点之间的距离 （1）线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短； （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离. 知识点 3 ：角 1.角的表示方法 2.角的分类 3.角的单位换算 1周角=3600      1平角=1800 4.角的和、差 5.角平分线、补角和余角 （1）角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. （2）补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. （3）余角 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. （4）余角、补角的性质 ①同角（或等角）的余角相等； ②同角（或等角）的补角相等. 题型归纳 【考点01几何体】 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 2．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 4．（22-23七年级上·山东临沂·期末）如图，正方体的6个面上分别标有汉字“河”“东”“初”“中”“数”“学”，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得与“学”相对的是（　　） A．河 B．东 C．初 D．数 【考点02点线面体之间的联系】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 3．（24-25六年级上·山东青岛·期中）流星划破夜空，留下美丽的弧线，这说明了 ． 4．（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了 ． 【考点03直线、射线、线段之间的区别与联系】 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级上·广西贺州·期末）如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线和线段没有交点 【考点04线段的长短】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知C为的中点，E为线段上的一点，D为线段的中点． （1）如图①，若，，则 ； （2）如图②，若，，则 ． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段a、b、及内部一点P．按下列要求画出图形（保留作图痕迹，不写作法）； ①用无刻度的直尺和圆规在∠O的一条边上作线段，另一条边上作线段； ②画出直线； ③画射线与直线相交于点C； 4．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【考点05角的概念与表示】 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（    ） A．点A在点O的北偏东方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东方向上 D．点D在点O的南偏东方向上 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）比较大小： （用“>”“<”“=”填空）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【考点06三角板中的角度计算问题】 1．（23-24七年级下·云南大理·期末）如图，把一个含角的三角板的直角顶点放置在直线上，过作直线，使，若，平分，将三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转得到三角形，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转得到直线，设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)当直线平分时，求旋转时间的值． 2．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【考点07角平分线的有关计算】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，点在直线上，射线平分，射线平分，射线在内，下列说法中不正确的是（   ） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 2．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图，O为直线上一点，平分． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 4．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【考点08余角与补角的计算】 1．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ． 4．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东佛山·期末）下列说法：其中正确的是（    ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．绝对值等于本身的数只有 C．如果，则点是线段的中点 D．一个角的两边越长，角度越大 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ） A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 4．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 8．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 二、填空题 9．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则 ． 三、解答题 13．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知平面内有A，B，C三点． (1)按下列要求画图： ①作射线，线段；②延长到D，使，点E是的中点，点F是的中点； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 15．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 16．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 17．（23-24七年级上·福建莆田·期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足． (1)求线段的长； (2)，两点分别从，两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点前，，两点的运动速度分别为个单位长度/秒和个单位长度/秒．当点经过点后，它的速度变为原速度的一半；点经过点后，它的速度变为原速度的倍．设运动时间为秒． ①当点为线段的中点时，求线段的长； ②数轴上点表示的数为，当时，求的值． 18．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 19．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 20．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 几何图形初步 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：几何图形 1.点、线、面、体的关系 2.常见的几何体 分 类 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆，侧面是曲的面 有两个面（底面）互相平行且能完全重合 棱柱 底面是多边形，侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆，侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形，侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲的面 知识点 2 ：线段、射线、直线 1.直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB或直线l 射线OA 线段AB或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 2.线段的基本事实和两点之间的距离 （1）线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短； （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离. 知识点 3 ：角 1.角的表示方法 2.角的分类 3.角的单位换算 1周角=3600      1平角=1800 4.角的和、差 5.角平分线、补角和余角 （1）角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. （2）补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. （3）余角 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. （4）余角、补角的性质 ①同角（或等角）的余角相等； ②同角（或等角）的补角相等. 题型归纳 【考点01几何体】 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是四棱锥，故不符合题意； B、是圆柱，故符合题意； C、是四棱柱，故不符合题意； D、是三棱柱，故不符合题意； 故选：B． 2．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选B． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 4．（22-23七年级上·山东临沂·期末）如图，正方体的6个面上分别标有汉字“河”“东”“初”“中”“数”“学”，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得与“学”相对的是（　　） A．河 B．东 C．初 D．数 【答案】C 【解析】由第一次旋转知，与“中”相对的是“数”，由第二次旋转知，与“学”相对是的“学”， 故选：C 【考点02点线面体之间的联系】 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【解析】解：由题意可得， 这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 【答案】B 【解析】解： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积最大是50.24立方厘米； 故选：B 3．（24-25六年级上·山东青岛·期中）流星划破夜空，留下美丽的弧线，这说明了 ． 【答案】点动成线 【解析】解：流星划破夜空，留下美丽的弧线，这说明了点动成线， 故答案是：点动成线． 4．（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了 ． 【答案】面动成体 【解析】解：转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了面动成体， 故答案为：面动成体． 【考点03直线、射线、线段之间的区别与联系】 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：（1）两点确定一条直线，故此项错误； （2）射线是不可度量的，故此项错误； （3）线段和线段是同一条线段，故此项正确； （4）射线和射线是不同一条射线，故此项错误； （5）直线和直线是同一条直线，故此项正确； ∴错误的有3个． 故选：C． 2．（22-23七年级上·广西贺州·期末）如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：①线段与线段是同一条线段，正确； ②线段与线段不是同一条线段，原来的说法错误； ③直线与直线是同一条直线，正确； ④点A不在线段上，原来的说法错误； ⑤点C在射线上，正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：B． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【答案】D 【解析】解：图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O， ∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【解析】解：由题意知，如图1所示，点C在直线上，A错误，故不符合要求； 如图2所示，射线不经过点A，B错误，故不符合要求； 如图3所示，直线a和直线b相交于点A，C正确，故符合要求； 如图4所示，射线和线段有交点，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【考点04线段的长短】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知C为的中点，E为线段上的一点，D为线段的中点． （1）如图①，若，，则 ； （2）如图②，若，，则 ． 【答案】 6 4.5 【解析】解：（1）∵C为线段的中点，， ∴． 又∵， ∴． ∵D为线段的中点， ∴， 故答案为：6． （2）设，则． D为线段的中点， ∴． ∵，即， ∴， 解得，即． ∵，C为线段的中点， ∴． ∴， 故答案为： 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 【答案】2.5 【解析】解：如图，， 可设，，， ∵，即 ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段a、b、及内部一点P．按下列要求画出图形（保留作图痕迹，不写作法）； ①用无刻度的直尺和圆规在∠O的一条边上作线段，另一条边上作线段； ②画出直线； ③画射线与直线相交于点C； 【解析】解：如图所示， 4．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【解析】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 【考点05角的概念与表示】 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（    ） A．点A在点O的北偏东方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东方向上 D．点D在点O的南偏东方向上 【答案】A 【解析】解：由图可得： 点A在点O的东偏北方向上， ∴点A在点O的北偏东方向上， ∴选项A错误，符合题意； 选项C正确，不符合题意； ∵点D在点O的东南方向上，点D在点O的东偏南方向上， ∴点D也在点O的南偏东方向上， 选项B、D均正确，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）比较大小： （用“>”“<”“=”填空）． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 故答案为： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 【答案】 【解析】解：寅时二刻是指， ∵时，时针与分针所成角度为， 再过15分钟，分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【考点06三角板中的角度计算问题】 1．（23-24七年级下·云南大理·期末）如图，把一个含角的三角板的直角顶点放置在直线上，过作直线，使，若，平分，将三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转得到三角形，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转得到直线，设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)当直线平分时，求旋转时间的值． 【答案】(1)60° (2)或 【解析】（1）解：∵，平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ． 下面分两种情况说明． 如解图①，当边在直线上方时， 此时． ． ． ． ∵直线平分， ∴． 即． 解得． 如解图②，当边在直线下方时， 此时平分， ∴． ． ∵． ∴． 解得． ∵， ∴或． 2．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）解：， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：或，理由如下： 当射线与线段不相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， 当射线与线段相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， ， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】(1)， (2) (3)不变 【解析】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，理由见解析 【解析】解：（1）∵，仍然是，的平分线，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴，， ，仍然是，的平分线， ∴，， ∴ ； （3）不变，如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，即为第（2）小问，此时， ； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 综上所述，当在旋转的过程中，的度数保持不变． 【考点07角平分线的有关计算】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，点在直线上，射线平分，射线平分，射线在内，下列说法中不正确的是（   ） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 【答案】D 【解析】解：在直线上， ， 射线平分， ，故C正确； 射线平分， ， 是钝角，故A正确； 射线在内， 是锐角，故B正确； ， 不是平角，故D错误， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图，O为直线上一点，平分． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【解析】（1）解：，平分， ， ； （2）平分．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【解析】（1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 【考点08余角与补角的计算】 1．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：由题意知， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ， ． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析(2) 【解析】（1）解：；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ． （2）解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转．设射线，运动的时间为t秒（），当时，请直接写出t的值 ． 【答案】(1)的值为； (2)的大小为或，过程见解析； (3)或 【解析】（1）解： ； 又是补角的， ，即， ，， 故的值为； （2）解：平分，， ，， 当射线在内部时，   ，， ， ， 当射线在外部时，   ，， ， ， 故的大小为或； （3）解：当顺时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 当逆时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 【答案】(1)和互为垂角 (2) (3)2或14或26 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴和互为垂角； （2）解：设这个锐角的度数为，则，它的垂角是， ， 解得， ∴这个角的度数是； （3）解：分四种情况： 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得（舍去）； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得， 综上，当t的值为2或14或26时，和互为垂角． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东佛山·期末）下列说法：其中正确的是（    ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．绝对值等于本身的数只有 C．如果，则点是线段的中点 D．一个角的两边越长，角度越大 【答案】A 【解析】解：A、一个有理数不是整数就是分数，选项正确； B、绝对值等于本身的数有0和1，选项错误； C、如果，且点A，B，C在同一直线上，则点B是线段的中点，选项错误； D、一个角的两边的长度和角度大小没有关系，选项错误； 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【解析】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ） A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【解析】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 6．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 7．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【解析】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； 由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：（个）， 故选B． 8．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 【答案】A 【解析】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 因为，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在A区、B区之间时，设距离A区x米， 则所有员工步行路程之和 ， ∴当时，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在B区、C区之间时，设距离B区x米， 则所有员工步行路程之和， ， ∴当时，即在B区时，路程之和最小，为5000米， 综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小， 所以停靠点的位置应在A区． 故选：A． 二、填空题 9．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，． 10．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 【答案】 【解析】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】2043231 【解析】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2020条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则 ． 【答案】2或14 【解析】解：平分， ， 以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转， ①如图1中，当平分时， 解得； ②如图2，当平分时， 解得， 故答案为：2或14． 三、解答题 13．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知平面内有A，B，C三点． (1)按下列要求画图： ①作射线，线段；②延长到D，使，点E是的中点，点F是的中点； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析(2) 【解析】（1）解：①如图，射线，线段即为所求； ②如图，线段，点即为所求； （2）解：点E是的中点，点F是的中点， ，， ， ， ． 15．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由题意知：该纸盒的表面积为； （2）解：由题意知：该纸盒的体积为， 当时，， 该纸盒的体积为； （3）解：如图， 由题意得：， ， ， ． 17．（23-24七年级上·福建莆田·期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足． (1)求线段的长； (2)，两点分别从，两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点前，，两点的运动速度分别为个单位长度/秒和个单位长度/秒．当点经过点后，它的速度变为原速度的一半；点经过点后，它的速度变为原速度的倍．设运动时间为秒． ①当点为线段的中点时，求线段的长； ②数轴上点表示的数为，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②秒或秒或秒 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴线段的长为； （2）①∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； ②当点、都在原点的左侧时， ，， ∵， ∴， 解得：； ∵点到达原点需要：（秒），点到达原点需要（秒）， 当点在原点的右侧、点在原点的左侧时，， 当点、在原点的右侧，在点的左侧时， ，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点、都在点的右侧时， ，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当时，的值为秒或秒或秒． 18．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 根据题意，得， 解得．                          与互补， ， ， ， ．                                （2）解：，，， ， ．                ， ． 平分， ．        ， ， 即．                               19．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【解析】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 20．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【解析】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$