专题04 二元一次方程（组）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

专题04 二元一次方程（组） 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：二元一次方程组的相关概念 1．二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数． （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1． （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式． 2．二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 注意：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为的形式． 3．二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．例如，二元一次方程组． 注意：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4．二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解． （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个． 知识点 2 ：二元一次方程组的解法 1．解二元一次方程组的思想：消元转化为一元一次方程 2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解． 注意：（1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； （2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； （3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法．如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法．整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率． （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可． 注意：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单． 知识点 3 ：实际问题与二元一次方程组 注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组． 知识点 4 ：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 等都是三元一次方程组． 注意：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 注意：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3．三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 注意：（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． （3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 题型归纳 【考点01二元一次方程的定义】 1．（22-23七年级上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川南充·期中）若是二元一次方程，则 ， 3．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ． 【考点02判断是否是二元一次方程组】 1．（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·北京海淀·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点03代入消元法】 1．（22-23七年级下·重庆江津·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 2．（22-23七年级下·浙江·期中）用适当方法解下列方程组： (1) (2) 3．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 4．（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）解下列方程组： (1) ； (2)． 【考点04加减消元法】 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若x、y满足方程，则的值是 ． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组 (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 4．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）解下列方程组： (1) (2) 【考点05二元一次方程组解的综合应用】 1．（22-23七年级下·四川内江·期中）利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（  ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）是关于，的二元一次方程，则 ． 3．（23-24七年级下·海南海口·期中）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则 ． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【考点06方案选择】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？ 2．（23-24七年级下·重庆彭水·期中）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨． (1)台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ (2)该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） (2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【考点07行程问题】 1．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 ． 2．（23-24七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 4．（23-24七年级上·山东滨州·期末）列方程解应用题： (1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？ (2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． ①求该工厂有多少工人生产A零件？ ②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？ 【考点08分配问题】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 2．（23-24七年级下·广东广州·期中）列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 3．（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 4．（22-23七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 【考点09销售盈亏问题】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）为迎接春季运动会，学校先在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳用去720元，后又购买10个足球和50条跳绳用去360元． (1)足球、跳绳的单价各是多少元？ (2)该店最近正在开展促销活动，所有商品都按相同的折数打折销售，在该店促销期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 2．（23-24七年级下·重庆·期中）近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元． (1)请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？ (2)张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量的，由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了的损坏不能售卖． 枇杷售出了枇杷总量的，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价m元，很快便将所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求m的值． 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元． (1)求购进两种水果各多少千克？ (2)8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩品种黑马䍅薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克． (1)求，两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？ (2)根据如图信息，求收购时、两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？ (3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下：，两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，老李给出如下优惠： 收购或的数量（单位：箱） 不超过箱 超过箱 -优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折 第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？ 【考点10三元一次方程组】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 2．（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）已知，用含的代数式表示可得（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．48 B．72 C．36 D．24 4．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，用四个完全相同且长、宽分别为，()的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．已知，，则下列关系式中不正确的是(   ) A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 6．（22-23七年级下·重庆綦江·期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 二、填空题 7．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ． 8．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知、满足方程组，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24七年级下·北京·期中）解方程组： (1) (2) 13．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 15．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由； (2)方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值． 16．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A与点B 在数轴上对应的数a和b； (2)现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P和点Q相遇于点C，求点C 在数轴上表示的数； ②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 7 … (1)填空：________，________，第个格子中的数是________； (2)前个格子中所填整数之和是否可能为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)如果在前个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为前项的累差值，例如前3项的累差值列式为：，那么前项的累差值为多少？ 20．（23-24七年级下·浙江·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了x（）公里，他共用 元（用含x的代数式表示）． (2)甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车（多人乘坐只需一人支付全程费用），在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程． (3)丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差 （直接写出答案）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程（组） 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：二元一次方程组的相关概念 1．二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数． （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1． （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式． 2．二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 注意：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为的形式． 3．二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．例如，二元一次方程组． 注意：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4．二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解． （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个． 知识点 2 ：二元一次方程组的解法 1．解二元一次方程组的思想：消元转化为一元一次方程 2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解． 注意：（1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； （2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； （3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法．如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法．整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率． （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可． 注意：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单． 知识点 3 ：实际问题与二元一次方程组 注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组． 知识点 4 ：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 等都是三元一次方程组． 注意：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 注意：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3．三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 注意：（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． （3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 题型归纳 【考点01二元一次方程的定义】 1．（22-23七年级上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：、是二元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、方程的左边不是整式，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、方程只含有一个未知数，不是二元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·四川南充·期中）若是二元一次方程，则 ， 【答案】 【解析】解：∵是二元一次方程， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【解析】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数， ∴满足题意， ∵，是这个二元一次方程的解， ∴当时，， 解得：， ∴符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点02判断是否是二元一次方程组】 1．（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组； C、第一个方程不是二元一次方程，不是二元一次方程组； D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故选：D． 3．（22-23七年级下·北京海淀·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．方程，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； B．方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； D．该方程组是二元一次方程组，选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 【考点03代入消元法】 1．（22-23七年级下·重庆江津·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由①得， 由②得，， ∴， 将代入③得，， ∴， 把代入，得， ∴方程组的解为． 2．（22-23七年级下·浙江·期中）用适当方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理为， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 3．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴ （2） 得，， 把代入①得，， 解得 ∴ 4．（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）解下列方程组： (1) ； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解：设，， 则原方程组化为， 得：， 解得：， 将代入①得， 解得：， 则， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【考点04加减消元法】 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若x、y满足方程，则的值是 ． 【答案】 【解析】解： 得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， ，得，解得 把代入①，得，解得， 所以方程组的解为； （2）解： 整理①得，即 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1） 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2） 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 4．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． （2）， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【考点05二元一次方程组解的综合应用】 1．（22-23七年级下·四川内江·期中）利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（  ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【解析】解：对于方程组， 若要要消去，则可以将； 若要消去，可以将， 故选：D 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【解析】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 3．（23-24七年级下·海南海口·期中）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【解析】解：①②得， ， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ， 解得． 故答案为：． 【考点06方案选择】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？ 【答案】按方案裁剪张，方案裁剪7张组合，最多可以做个盒子 【解析】解：设计1：选择方案与方案组合， 设按方案裁剪张，按方案裁剪张， 根据题意可得：， 解得：， 可做盒子： (个)， 答：按方案裁剪张，方案裁剪张组合，最多可以做个盒子； 设计2：选择裁剪方案、方案组合， 设按方案裁剪张，按方案裁剪张， 根据题意可得：， 解得：， 可做盒子： (个)， 答：按方案裁剪张，方案裁剪张组合，最多可以做个盒子． 2．（23-24七年级下·重庆彭水·期中）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨． (1)台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ (2)该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下． 【答案】(1)1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 (2)不能全部加工完 【解析】（1）解：设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨， 根据题意得： ， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨； （2）解：（吨）， ∵， ∴不能全部加工完． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） (2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 【答案】(1)参与活动的教师有 4 人，学生有 46 人 (2)购买A种奖品5件，购买B种奖品2件 【解析】（1）解：设这个班参与活动的教师人，学生人， 由题意得：， 解得， 答：这个班参与活动的教师4人，学生46人． （2）解：设购买种奖品件，种奖品件， 由题意得：， 则， 均为正整数， ， 答：购买种奖品5件，种奖品2件． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【解析】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 【考点07行程问题】 1．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 ． 【答案】从甲地到乙地的上坡路程 【解析】解：设从甲地到乙地的上坡路为，平路为， 依题意得， 方程组中x表示从甲地到乙地的上坡路程， 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． 2．（23-24七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【解析】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）用二元一次方程组解决问题： A、B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的速度为，乙的速度为 【解析】设甲的速度为，乙的速度为． 由题意，得 解得 答：甲的速度为，乙的速度为． 4．（23-24七年级上·山东滨州·期末）列方程解应用题： (1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？ (2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． ①求该工厂有多少工人生产A零件？ ②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？ 【答案】(1)甲地和乙地相距240公里 (2)①该工厂有24名工人生产A零件；②应从生产B零件的工人中调出12名工人生产A零件 【解析】（1）解：设车的速度是公里/小时，车的速度是公里/小时， 根据题意得：， 解得， 答：甲地和乙地相距240公里． （2）解：①设该工厂有a名工人生产零件，b名工人生产零件， 根据题意得：，解得 答：该工厂有24名工人生产零件． ②设应从生产零件的工人中调出名工人生产零件． 拫据题意得： 解得：． 答：应从生产零件的工人中调出12名工人生产零件． 【考点08分配问题】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间 【解析】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 2．（23-24七年级下·广东广州·期中）列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【答案】安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子 【解析】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得 ， 解得， 答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 3．（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【答案】该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间 【解析】解：设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间， 根据题意得：， 解得：． 答：该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间． 4．（22-23七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 【答案】(1)辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元 (2)租车费用是元 【解析】（1）解：设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，依题意有 ， 解得， 答：辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元． （2）解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆，则 ，解得， 元． 答：刚好坐满时，租车费用是元． 【考点09销售盈亏问题】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）为迎接春季运动会，学校先在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳用去720元，后又购买10个足球和50条跳绳用去360元． (1)足球、跳绳的单价各是多少元？ (2)该店最近正在开展促销活动，所有商品都按相同的折数打折销售，在该店促销期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 【答案】(1)足球的单价为16元/个，跳绳的单价为4元/条 (2)该店的商品按原价的9折销售 【解析】（1）解：设足球的单价为x元/个，跳绳的单价为y元/条，由题意可得： 解得： 答：足球的单价为16元/个，跳绳的单价为4元/条． （2）设该店的商品按原价的m折销售，由题意可得： 解得： 答：该店的商品按原价的9折销售． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元． (1)请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？ (2)张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量的，由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了的损坏不能售卖． 枇杷售出了枇杷总量的，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价m元，很快便将所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求m的值． 【答案】(1)张大爷售卖的樱桃每斤25元，枇杷每斤15元； (2)m的值为． 【解析】（1）解：设张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤元，由题意可得： ， 解方程组得：， ∴张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤元． （2）解：由题意可得： ， 解得：， ∴答：的值为． 3．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元． (1)求购进两种水果各多少千克？ (2)8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值． 【答案】(1)购进40千克葡萄，85千克西瓜(2) 【解析】（1）解：设购进m千克葡萄，n千克西瓜， 根据题意得：， 解得：． 答：购进40千克葡萄，85千克西瓜； （2）根据题意得：， 解得：． 答：y的值为． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩品种黑马䍅薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克． (1)求，两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？ (2)根据如图信息，求收购时、两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？ (3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下：，两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，老李给出如下优惠： 收购或的数量（单位：箱） 不超过箱 超过箱 -优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折 第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？ 【答案】(1)品种黑马铃薯平均亩产量为千点，品种黑马铃薯平均亩产量为千克 (2)品种每箱元，品种每箱元 (3) 【解析】（1）解：设品种的亩产量为千克，则品种的亩产量为， 根据题意得 ， 解得 品种的亩产量为（千克） 所以品种黑马铃薯平均亩产量为千点，品种黑马铃薯平均亩产量为千克． （2）解：设品种每箱元，品种每箱元， ， 解得 所以品种每箱元，品种每箱元； （3）解：品种共有的箱数：（箱） 产品共有的箱数：（箱） 设第一次收购品种箱，第二次收购箱，则品种第一收购为箱， 整理得 即 那么 解得 所以蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱． 【考点10三元一次方程组】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】B 【解析】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 3．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【解析】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2）共需要450元． 【解析】解：（1）， ①②得：③ ③得： 所以，的值为18； （2）设买1本笔记本需要a元、买1支签字笔需要b元、买1支记号笔需要c元， 由题意得： ①得：③ ②③得 所以，元； 答：买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】解：由题意得：，且， 解得， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）已知，用含的代数式表示可得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， 移项得：， 将的系数化为1得：， 故选：D． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．48 B．72 C．36 D．24 【答案】B 【解析】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为， ∴ ． 故选：B． 4．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，用四个完全相同且长、宽分别为，()的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．已知，，则下列关系式中不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：依题意， 解得： ∴，则只有D选项不正确，符合题意 故选：D． 5．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【解析】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 6．（22-23七年级下·重庆綦江·期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【解析】解： 由，得④， 由，得⑤， 由，得， ∴， 由，得⑥， 由，得， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ． 【答案】 【解析】解：关于，的二元一次方程组， ①②得：， ， ， ∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变 ∴ 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知、满足方程组，则的值为 ． 【答案】1 【解析】解：， ①②得：， 故答案为：1． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】 160 801 【解析】解：根据题意，得：最小的“七巧数”为160； 设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：160，801． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【解析】解：要使S取最大值，最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴， 解方程组 ， 解得：， ∴S的最大值； 要使S取最小值， 联立得方程组 ， 得， ， 得，， ∴， 把，代入， 整理得，，当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴x的最小值是0， ∴， ∴S的最大值与最小值的差：； 故答案为：1 三、解答题 11．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （3）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （4）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 12．（23-24七年级下·北京·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1） 由②得，③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为 （2） 把②代入①，得， 解得：， ①-③，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为：. 13．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 【答案】(1)一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元 (2) 【解析】（1）我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，方法有代入消元法和加减消元法．其中的步骤二通过代入消元法消去未知数z，将三元一次方程组变成了二元一次方程组，体现了数学中消元思想． 故答案为：一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元； （2） 解：由方程②，得……④ 将④分别代入方程①和③，得 整理得： 故答案为： 14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)3， (2)或 (3)和 【解析】（1）解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； （2）解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ①点在线段上时，， 解得：； ②当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； （3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 15．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由； (2)方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值． 【答案】(1)x与y具有“邻好关系”，理由见解析(2)2 【解析】（1）解：x与y具有“邻好关系”，理由如下； ， 将代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ∴， ∵， ∴x与y具有“邻好关系”； （2）解：， 得，， ∵x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得，， ∴k的值为2． 16．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【解析】（1）把代入关于，的二元一次方程组得：， ①②得：， 把代入②得：， 方程组的解为：， 当时，方程组的解为：； （2）， ①②得：， ， ； （3）证明：， ②得：③， ①③得：， ， ， 无论取何数时，代数式的值始终不变． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：． 【答案】． 【解析】解：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组， 解这个方程组得到它的解为． 由，得， 由，得， 经检验，，是原方程的解， ∴原方程组的解为． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A与点B 在数轴上对应的数a和b； (2)现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P和点Q相遇于点C，求点C 在数轴上表示的数； ②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值． 【答案】(1)a为，b为40； (2)①20；②t的值为秒或秒． 【解析】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴点A与点B在数轴上对应的数a为，b为40； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为， ①， ∴， ∴， ∴点C在数轴上表示的数为20； ②∵， ∴或， ∴或， ∴当为15个单位长度时，t的值为秒或秒． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 7 … (1)填空：________，________，第个格子中的数是________； (2)前个格子中所填整数之和是否可能为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)如果在前个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为前项的累差值，例如前3项的累差值列式为：，那么前项的累差值为多少？ 【答案】(1)；；； (2)能，； (3) 【解析】（1）解：根据题意可得， 解得：，， 则表格中数据依次为：，，，，，，……， 即数字以，，循环出现， ∵， ∴第个格子中的数是：； 故答案为：；；； （2）解：能，理由如下： ∵，， ∴， 即前个格子中所填整数之和能为，； （3）解：根据题意，前个数分别为，，，，，，，，，， 其中出现次，出现次，出现次， ∴前项的累差值为． 即：前项的累差值为． 20．（23-24七年级下·浙江·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了x（）公里，他共用 元（用含x的代数式表示）． (2)甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车（多人乘坐只需一人支付全程费用），在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程． (3)丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)乙的乘车时长为10分钟，实际里程为3公里 (3)13分钟或9分钟 【解析】（1）解：（元）． 答：他共用元． 故答案为：； （2）解：设乙的乘车时长为x分钟，实际里程为y公里， 根据题意得，， 解得， 答：乙的乘车时长为10分钟，实际里程为3公理； （3）解：①当丙丁行车都超过7公里时，设丁与丙乘坐滴滴快车行车时间分别为a分、b分，丙行车里程为t公里，则丁行车里程为公里， 由题意得：， 解得， ②当丙丁行车都在7公里内时，设丁与丙乘坐滴滴快车行车时间分别为a分、b分，丙行车里程为t公里，则丁行车里程为公里， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：13分钟或9分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$