第12讲：第八章 平面解析几何 章节总结 (精讲）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第12讲 平面解析几何 章节总结 目录 第一部分：典型例题讲解 1 题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率） 1 题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直） 2 题型三：直线与方程（直线方程） 3 题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离） 4 题型五：圆与方程（圆的方程） 4 题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系） 5 题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系） 5 题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程） 6 题型十：圆锥曲线（离心率） 7 题型十一：圆锥曲线（中点弦问题） 8 题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题） 9 题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题） 10 题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题） 11 题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题） 13 题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题） 14 题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题） 16 第二部分：新定义题 17 第一部分：典型例题讲解 题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率） 1．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直） 1．（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的距离为 D．若，则 2．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 题型三：直线与方程（直线方程） 1．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离） 1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是 . 4．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是 . 题型五：圆与方程（圆的方程） 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与横，纵坐标轴均相切，且圆的圆心在直线上，则圆的方程为 ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则圆心在直线上，且过和两点的圆的标准方程为 ． 题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系） 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 2．（多选）（24-25高三上·海南·开学考试）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 3．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ． 题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系） 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若圆与圆相内切，则 . 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆存在公共点，写出的一个取值为 ． 题型八：圆锥曲线（根据定义求轨迹方程） 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程） 1．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 2．（23-24高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)，焦点是，的双曲线； (2)离心率为，短轴长为6的椭圆. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)焦点在直线上． 题型十：圆锥曲线（离心率） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为渐近线上一动点，且在第一象限内，为坐标原点，当最大时，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围． 题型十一：圆锥曲线（中点弦问题） 1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 4．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知动点到点（为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上． （1）求动点的轨迹的方程，并求t的值； （2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程． 题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题） 1．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 2．（多选）（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 3．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 4．（多选）（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴的左、右端点分别为，，虚轴的上、下端点分别为，，斜率为的直线经过且与的左支交于两个不同的点，为上一点，且，则（    ） A． B．四边形的周长小于24 C． D．的面积为 题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题） 1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点. 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过作直线与交于两点，（）． (1)当时，求的值； (2)是否存在异于点的定点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为. (1)设的面积分别为，求证：； (2)若直线，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标. 题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题） 1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C：＋y2＝1，P是椭圆C上异于M，N(M，N在椭圆上关于y轴对称)的任意一点，且直线MP，NP分别与y轴交于点S，R，O为坐标原点，求证：OR·OS为定值． 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明. ①为定值； ②为定值； ③为定值 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，. (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值. 题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题） 1．（23-24高三下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点． （1）求证：； （2）若在射线上，且，求证：点在定直线上． 2．（23-24高三·云南·阶段练习）已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点. (1)求双曲线C的方程； (2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为） 3．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点. （i）求证：点在一条定直线上； （ii）求面积的取值范围. 题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题） 1．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程． 2．（2024高三·上海·专题练习）已知常数，向量，，经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点，其中. （1）求点的轨迹的方程； （2）若，过的直线交曲线于，两点，求的取值范围. 3．（2024·湖南·二模）已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点． (1)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． (2)若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2． 题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题） 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 2．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 第二部分：新定义题 1．（23-24高二上·上海宝山）已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4 （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程. （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上. （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高三上·上海徐汇）给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是. （1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标； （3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平面解析几何 章节总结 目录 第一部分：典型例题讲解 1 题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率） 1 题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直） 3 题型三：直线与方程（直线方程） 6 题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离） 8 题型五：圆与方程（圆的方程） 11 题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系） 12 题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系） 15 题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程） 18 题型十：圆锥曲线（离心率） 21 题型十一：圆锥曲线（中点弦问题） 25 题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题） 29 题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题） 34 题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题） 38 题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题） 42 题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题） 46 题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题） 50 第二部分：新定义题 56 第一部分：典型例题讲解 题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率） 1．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围. 【详解】设动点，则， 化简得， 所以点的轨迹为圆， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C.    3．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求直线交点坐标 【分析】根据题意求交点坐标，结合交点位置关系解得，再根据倾斜角与斜率的关系运算求解. 【详解】由题可知， 联立方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，则    解得， 且直线l的倾斜角为，则，且，解得， 所以直线l的倾斜角θ的取值范围为. 故选：C. 题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直） 1．（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的距离为 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求平行线间的距离 【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值，两平行直线的距离公式可判断． 【详解】对A，若，则，化简可得或， 当时，化简可知与重合，所以，故A错误 对B，由选项A可知，故B正确； 对C，根据两平行直线距离公式，故C正确； 对D，若，根据直线垂直性质可知，解之可得，故D 正确. 故选： 2．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、已知直线垂直求参数 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线围成图形的面积问题、求平行线间的距离 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． （2）因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 题型三：直线与方程（直线方程） 1．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】确定边的中点坐标，及的形状，再由边的垂直平分线过两点，然后根据两点式计算方程即可. 【详解】因为边的中点为且， 所以为等腰直角三角形． 所以边的垂直平分线过， 故由两点式方程得， 即． 故选：B. 3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程， （2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，直线斜率为， 所求直线的方程为，即. （2）设关于直线对称的点为， 则解得 因为反射光线经过点， 所以所在直线的斜率为， 故反射光线所在直线方程为，即. 题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离） 1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可 【详解】可化为： 设直线的定点为，点P到直线的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 4．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】联立两条直线的方程求得交点的坐标，写出的表达式，求出的取值范围. 【详解】联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是. 故答案为：. 题型五：圆与方程（圆的方程） 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与横，纵坐标轴均相切，且圆的圆心在直线上，则圆的方程为 ． 【答案】或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设出圆心坐标，对参数进行分类讨论，建立方程求解即可. 【详解】设圆心的坐标为，根据题意可得 当或时，解得 此时圆的方程为； 当或时，解得 此时圆的方程为； 故所求圆的方程为或． 故答案为：或 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则圆心在直线上，且过和两点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先求直线的方程，再写出的方程得出中垂线进而得出点再求半径最后写出圆的标准方程. 【详解】直线的方程为，整理得． 直线的方程为，整理得， 故线段的中垂线方程为， 联立解得 则，半径为， 故圆的标准方程为． 故答案为： 题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系） 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 2．（多选）（24-25高三上·海南·开学考试）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】设，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断A；联立两直线方程消去判断B；由选项A、B及两圆的位置关系判断C；由数量积运算结合选项C求得数量积的最小值判断C． 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D：， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 3．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线只有一个交点的情况分类讨论求解即可. 【详解】曲线，即 直线过定点， 如图：，， 当直线与曲线有一个交点时， 则直线夹在了直线与直线之间，而， 所以此时k的取值范围是， 当直线与曲线相切时也只有一个交点， 则圆心到直线的距离为： ，解得， 所以实数k的取值范围是：. 题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系） 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为，所以两圆外切. 故选：C 2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若圆与圆相内切，则 . 【答案】-23 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断点与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出两圆的圆心，确定在圆外部，所以圆内切于圆，由圆心距得到方程，计算即可. 【详解】由， 显然， 圆相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆存在公共点，写出的一个取值为 ． 【答案】5（答案不唯一，满足均可） 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆的位置关系列式运算得解. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为， 所以． 依题意， 故，解得， 所以可取为5． 故答案为：5（答案不唯一，均可）. 题型八：圆锥曲线（根据定义求轨迹方程） 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】由中垂线性质可得，动点到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为．    3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】由题意易得定点，再根据直线与圆外切，可得，由双曲线定义即可得到双曲线的方程. 【详解】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程） 1．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）设出焦点在轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可； （2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：，然后利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为：. 由于椭圆经过两个点和， 所以，解得， 所以所求的椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为：， 由于椭圆经过点， ，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 2．（23-24高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)，焦点是，的双曲线； (2)离心率为，短轴长为6的椭圆. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意设双曲线方程为根据焦点坐标和基本量关系求解即可； （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可. 【详解】（1）由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 又，故， 所以双曲线的方程为. （2）当焦点在轴时，设椭圆方程为， 由题可得，解得，， 所以椭圆方程为； 当焦点在轴时，设椭圆方程为， 由题可得，解得，， 所以椭圆方程为； 所以，所求椭圆方程为或. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)焦点在直线上． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）设抛物线的方程为，由，求得，即可求出物线的标准方程； （2）分别令或，求出抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线的标准方程． 【详解】（1）准线方程为，即，故抛物线的焦点在轴的正半轴上， 设其方程为． ，故所求抛物线的标准方程为． （2）令得；令得． 抛物线的焦点为或， 所求抛物线的标准方程为或． 题型十：圆锥曲线（离心率） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据对称以及垂直可证四边形是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解，根据得，即可求解离心率. 【详解】点关于原点对称，所以线段互相平分，故四边形为平行四边形， 又，故，所以四边形是矩形，故，其中， 设，则，由，得，整理得， 由于点在第一象限，所以， 由，得，即， 整理得，即，解得． 故选：C 2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为渐近线上一动点，且在第一象限内，为坐标原点，当最大时，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出点的坐标，然后表示出的斜率，利用到角公式表示出，最后结合基本不等式求出取得最大值时的条件，结合此时，即可求出离心率. 【详解】 由已知得，渐近线方程为，设， 则 所以 ，当且仅当即时等号成立， 此时，即， 即解得或（舍去）. 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解 【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理构造齐次式，再利用对勾函数的性质求范围即可. 【详解】设点在第一象限，由题知， 解得，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 所以， 令，因为，所以， 则， 由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增， 所以． 故选：C 4．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、直线的点斜式方程及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出得出离心率. 【详解】 因为，所以，所以， 设，设直线， 点在直线上，所以， 点B在椭圆上，可得， 所以，即得. 故答案为:. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可. 【详解】注意到直线，设，则， 又四边形为平行四边形，所以， 即，所以，解得， 故的离心率的取值范围为． 题型十一：圆锥曲线（中点弦问题） 1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 4．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线的中点弦、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）因为，所以，即轴，因为抛物线的通径长为，代入即可得解； （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，然后利用点差法结合条件可得斜率进而即得, 【详解】（1） 因为， 所以，即轴. 令，可得， ，， 所以，得， 故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知动点到点（为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上． （1）求动点的轨迹的方程，并求t的值； （2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1），；（2）. 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线的中点弦 【解析】（1）根据抛物线定义得代点得，代值化简即得轨迹的方程； （2）设，用点差法及点是线段的中点可得，代入直线点斜式化简即可. 【详解】解（1）由抛物线定义可得点是以为焦点，直线为准线的抛物线， 则轨迹， 代点得，所以轨迹的方程为 （2）设则 相减得 所以， 因为点是线段的中点， 所以，即 所以直线的方程为，即. 【点睛】 用“点差法”求解弦中点问题的步骤： （1）设点：设出弦的两端点坐标； （2）代入：代入圆锥曲线的方程； （3）作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开； （4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解. 题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题） 1．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 【答案】ABD 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误； 对于D，设， ， 因此，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】对A项, 根据椭圆的定义,即可判断; 对B项, 设出点的坐标，根据两点间距离公式和椭圆的定义, 即可求出点;对C项,表示出,据椭圆的范围即可得到范围，进而判断; 由椭圆的定义可得, ,,求出的范围,即可判断. 【详解】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 3．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 【答案】AD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D. 【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 4．（多选）（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴的左、右端点分别为，，虚轴的上、下端点分别为，，斜率为的直线经过且与的左支交于两个不同的点，为上一点，且，则（    ） A． B．四边形的周长小于24 C． D．的面积为 【答案】ABD 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】对于A，求出实轴长度即可判断；对于B，由勾股定理即可判断；对于C，画出图形即可判断；对于D，结合双曲线定义、余弦定理得，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【详解】对于A，的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，所以，所以A正确； 对于B，四边形的周长为，所以B正确； 对于C，作出与其渐近线，直接由图形得，，所以C错误；    对于D，不妨设位于的左支，则， 所以①， 因为，所以， 所以②， 所以得，， 所以三角形的面积为，所以D正确. 故选：ABD. 题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题） 1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】椭圆的对称性、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意易知，利用通径长可得，即可知椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立并利用对称性和韦达定理，由三点共线可得，即可得直线恒过定点. 【详解】（1）由已知得直线过左焦点时，即为通径，可得； 又，且，解得； 所以椭圆C的方程为 （2）由题意得直线AP的斜率一定存在， 如下图所示： 设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，消去可得， 所以可得 因为三点共线，可得， 所以，即， 即 所以， 也即,可得， 所以直线的方程为 即直线恒过定点. 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过作直线与交于两点，（）． (1)当时，求的值； (2)是否存在异于点的定点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、数量积的坐标表示、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设,由并与抛物线方程联立得，结合数量积的坐标表示计算即得. （2）确定点在轴上，设出直线的方程，，与抛物线方程联立，利用韦达定理及直线斜率和为0即可. 【详解】（1）当时，直线垂直轴，故，所以不合题意， 故，设，由得，即，， ，得，，即，则， 又，得， 故 , 化简得:,则或． （2）由题意，当时，直线垂直轴，， 在轴上， 故若存在定点，则必在轴上， 记直线的斜率分别为，则，     设，， 联立与得， 所以，     因为， 即，则， 故存在定点使得． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为. (1)设的面积分别为，求证：； (2)若直线，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，和 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）将点代入得抛物线方程为，设，联立直线与抛物线方程，韦达定理，然后用坐标表示三个三角形的面积，化简即可证明. （2）先求出直线的方程，令得点的坐标，同理得点的坐标，从而求出以为直径的圆，令得圆恒过的定点. 【详解】（1）将代入，得，所以抛物线方程为， 由题意知，设， 由得，，， 所以， 所以 ，即. （2）直线的斜率， 故直线的方程为，令得， 所以点的坐标为，同理，点的坐标为， 设线段的中点为，则 =， 又= ， 所以以为直径的圆为， 即，令得或， 故以为直径的圆过定点和. 题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题） 1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C：＋y2＝1，P是椭圆C上异于M，N(M，N在椭圆上关于y轴对称)的任意一点，且直线MP，NP分别与y轴交于点S，R，O为坐标原点，求证：OR·OS为定值． 【答案】证明见解析 【知识点】椭圆中的定值问题 【详解】 证明：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(－x1，y1)， 由题知直线MP，NP的斜率存在， 则直线MP的方程为＝. 令x＝0，得yS＝＋y0 ＝＝， 同理，得yR＝，故yR·yS＝.(*) 又点M与点P在椭圆上，所以y＝1－，y＝1－. 代入(*)式，得yR·yS＝＝＝1，所以OR·OS＝|yR|·|yS|＝|yR·yS|＝1，为定值． 2．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明. ①为定值； ②为定值； ③为定值 【答案】(1) (2)③正确，证明见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】 （1）首先求双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，即可求双曲线方程； （2）首先设直线：，与双曲线方程联立，得到，，再利用根与系数的关系表示，，以及，判断定值. 【详解】（1） 设是上的一点，与是的两条渐近线， 到两条渐近线的距离之积， 依题意，，故，双曲线的标准方程为； （2） 正确结论：③为定值. 证明如下：由（1）知，，设，， 因为，不与，重合，所以可设直线：， 与联立：，消去整理可得： 故，，， 所以， ，， ①， ，不是定值， ②， ，不是定值， ③， 所以是定值.    3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，. (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据焦半径公式和圆的弦长公式可解； （2）设直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由题知，点的横坐标为， ∴，， ∴，∴，解得， ∴抛物线的方程为.    （2）由（1）知，设，，直线的方程为， 代入，整理得，∴，即， ∴，， ∴ .    题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题） 1．（23-24高三下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点． （1）求证：； （2）若在射线上，且，求证：点在定直线上． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【知识点】椭圆中的定直线、求直线与椭圆的交点坐标、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）设直线的方程为，联立，根据为线段的中点，表示E的坐标，写出所在直线方程，再由在直线上求解； （2）由直线的方程与椭圆的方程联立，解得G的坐标，再由得求解. 【详解】（1）设直线的方程为，，， 联立得， 由题意知恒成立， 由韦达定理，所以， 因为为线段的中点， 所以，， 此时． 所以所在直线方程为， 又由题设知， 令，得， 即． （2）由（1）知所在直线的方程为， 将其代入椭圆的方程，并由， 解得， 又， 由得， 所以， 所以点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是将线段关系，转化为横坐标关系求解. 2．（23-24高三·云南·阶段练习）已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点. (1)求双曲线C的方程； (2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为） 【答案】(1) (2)在，定直线为 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由离心率得，从而，再把双曲线所过点的坐标代入可求得各双曲线方程； （2）设，，直线，代入双曲线方程应用韦达定理得，写出两条切线方程，记，代入两个切线方程相加，并代入可得的一个关系式，相减又得一个关系式，两者结合消去参数可得，从而得出结论． 【详解】（1）据题意， 则，，是双曲线上的一个点，则， 所以双曲线的方程为. （2）设，，直线， 联立直线与双曲线： ，， 由题知，切线，切线， 记，则 ①+②得， 将代入得③； ①−②得， 由得④，联立③和④得， 故，又，所以，则， 故点的轨迹方程为，所以点在定直线上. 3．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点. （i）求证：点在一条定直线上； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）. 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定直线、抛物线中的参数范围问题 【解析】（1）由题意可得，代入抛物线方程即可求解. （2）（i）联立方程组消去，求出两根之和、两根之积，再求出切线方程以及切线方程，求出两直线的交点即可求解. （ii）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再利用弦长公式求出，由即可求解. 【详解】解：（1）抛物线的焦点到准线的距离为2， 可得，所以抛物线的标准方程为. （2）联立方程组消去得，， ∴， 由得，，所以切线方程为 切线方程为 联立直线､方程可解得，. （i）所以点的坐标为. 所以点在定直线上 （ii）点到直线的距离为. 所以 的面积为 所以当时，有最小值. 面积的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出抛物线的两切线方程，考查了运算求解能力，需熟记弦长公式. 题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题） 1．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）代入点的坐标，并根据离心率建立关于的方程组，即可求解； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，结合坐标间的关系，代入韦达定理，即可求解. 【详解】（1）由已知得：解得，， ∴椭圆E的方程为． （2）由题可设直线，，， 联立消去y得， 由根与系数的关系可得：，， 由，得， ∴，，∴， 即，解得， ∴直线的方程为或． 2．（2024高三·上海·专题练习）已知常数，向量，，经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点，其中. （1）求点的轨迹的方程； （2）若，过的直线交曲线于，两点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【知识点】双曲线中的参数及范围、双曲线中向量点乘问题、直线方向向量的概念及辨析 【分析】（1）由题意结合直线方向向量的性质可得，，由平面向量共线的坐标表示可得，，消去即可得解； （2）按照直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，联立方程组，结合韦达定理、平面向量数量积的坐标运算即可得，求出取值范围即可得解. 【详解】（1）设，则，， 又，， 由题意，， ∴，. 消去得点轨迹的方程； （2）当时，点轨迹方程为，此时为双曲线焦点， ①若直线斜率不存在，直线，不妨设， 易求得； ②若斜率存在，设， 代入，整理得， 则， 设，，则，，， 由且可得， 所以； 综上，的取值范围为. 【点睛】本题考查了直线方向向量、平面向量共线的坐标表示、数量积的坐标运算，考查了直线与双曲线的位置关系及运算求解能力，属于中档题. 3．（2024·湖南·二模）已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点． (1)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． (2)若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2． 【答案】(1)是定值， (2)证明见解析 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入，整理计算可得答案； （2）利用坐标计算，设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理可得点坐标，代入抛物线方程结合判断式可得其横坐标的范围，同理可得两点的横坐标，进而可证明结论. 【详解】（1）由题意不妨设直线的方程为，设， 联立，消去得，， 所以， 因为直线与关于直线对称， 所以，且， 所以，即， 即，将代入得 解得，所以直线的斜率为定值； （2）由已知， 因为，， 所以，所以， 设直线的方程为，联立，消去得，， 所以，所以， 所以，即点的坐标为， 又点在抛物线上所以，得， 又，所以，解得， 所以点的横坐标， 同理可得两点的横坐标也小于， 所以三个顶点的横坐标均小于2. 【点睛】方法点睛：直线和圆锥曲线相交的问题，通常将圆锥曲线和直线联立，然后利用韦达定理结合题目中的条件来解答. 题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题） 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设直线的方程为，设点、，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算，即可证得结论成立； （2）由（1）可知，的内切圆圆心在轴上，设圆心的坐标为，则，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，利用内切圆圆心的几何性质可得出，进而可得出的取值范围，再利用弦长公式结合韦达定理可求得的取值范围. 【详解】（1）解：易知抛物线的焦点为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、，， 则，由得，， 由韦达定理可得，， 则 ，所以． （2）解：由（1）可知：的内切圆圆心在轴上， 所以设圆心，则，设直线的方程为，且， 由得，，且，则， 由韦达定理可得，， 所以， 所以直线的方程为，即． 因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以， 所以，，， 则，上述两个等式作差可得，可得， 所以， 因为在上单调减，所以． 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 2．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据双曲线特征设，结合已知列方程求解； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程应用两根的和结合中点M，即可证明；（ⅱ）先把面积转化为再设函数借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 【详解】（1）由题设可设 ,这里. 易知渐近线为 ，焦距为, 的右焦点， 由题设可知 , 解得. 所以 的方程为,的方程为. （2）（ⅰ）设直线 , 联立直线 和 的方程 ,得. 为使直线 和 均有2个交点，必须有， , 解得且． 由韦达定理可得 注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点． 记上述中点为 ，注意到,所以 . （ⅱ）由（ i ）可知和的面积相等． 记的面积为  , 的面积为 , 的面积为. 由 与 的方向相同可知 . 因为 ， 同理 所以 ， , 设, 则, 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此, 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最小值为． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为，设函数借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设，根据题意得，用两点间距离公式代入计算即可. （2）（ⅰ）设，，则，把点代入方程可得，，结合斜率，化简即可证明. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0，因为，结合（1）的结论可计算，从而可得直线的方程，继而可得，，所以四边形的面积为，利用结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，即，得， 化简得：.所以的方程为. （2）设，，则. （ⅰ）因为在椭圆上，所以，， 即，， 所以， 所以为定值. （ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0. 因为，所以，因为，所以. 由（ⅰ）得，所以，所以：. 令，得，所以，令，得，所以， 所以四边形的面积为. 因为， 又，即，所以， 当且仅当，时，等号成立. 所以，所以四边形的面积的最大值为. 第二部分：新定义题 1．（23-24高二上·上海宝山）已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4 （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程. （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上. （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、直线与抛物线交点相关问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）先计算椭圆：，根据相似比得到椭圆的方程. （2）点是椭圆上的一点，则，设，计算 得到证明. （3）根据题意：只需上存在两点关于对称即可，利用韦达定理计算，得到答案. 【详解】（1）根据题意知，椭圆：，，椭圆： 椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，则 椭圆的方程为： （2）点是椭圆上的一点，则， 设 故 所以点一定在双曲线上 （3）：根据题意：只需上存在两点关于对称即可 设，设的中点为 由韦达定理知： 在直线上，则 故， 此时正方形的边长为 故 2．（23-24高三上·上海徐汇）给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是. （1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标； （3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）椭圆方程，伴随圆方程；（2）；（3）存在，． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、圆锥曲线新定义 【详解】试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（2）为了求点坐标，我们可设直线方程为，直线与椭圆只有一个公共点，即直线的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用可得的一个方程，又直线截圆所得弦长为，又得一个关于的方程，联立可解得；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当时，，但由于，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为，由此得，又有，可解得，故存在． 试题解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为， 2分 其“伴随圆”的方程为． 4分 （2）设直线的方程为 由得 6分 则有得， ① 7分 由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得 ，得 ② 8分 由①②得，又，故，所以点坐标为． 10分 （3）过的直线的方程为：， 即，得 12分 由于圆心到直线的距离为 ， 14分 当时，，但，所以，等式不能成立； 当时，， 由得所以 因为，所以， 得．所以 18分 学科网（北京）股份有限公司 $$