专题03 均值不等式（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题03 均值不等式 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：公式基础 题型二：“一正二定三项等”成立条件 题型三：均值基础形式：对勾凑配 题型四：分离常数构造对勾型 题型五：分子有参分离型 题型六：“1”的巧换：常规型 题型七：“1”的巧换：同除型 题型八：“1”的巧换：整体化解不等式 题型九：“1”的巧换：单分母构造型 题型十：“1”的巧换：双分母构造型 题型十一：因式分解与换元型 题型十二：恒成立求参型 题型十三：三元不等式 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 题型01 公式基础 ⭐技巧积累与运用 .基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 1．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 2．下列各不等式，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过举反例说明ACD不正确，对于B选项，利用分类讨论和基本不等式即可证明正确. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，当，时，，故C错误； D选项，当时，，故D错误. 故选：ACD. 3．若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【分析】根据基本不等式易得. 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 题型02 “一正二定三相等“成立条件 ⭐技巧积累与运用 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 2．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 3．已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则在上的最小值为 ． 【答案】 【分析】令求出，再由可求出，从而可求出函数解析式，然后利用基本不等式可求出在上的最小值. 【详解】解：因为对任意非零实数x，均有， 所以，解得， 所以，解得， 所以， 所以，当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 即在上的最小值为． 故答案为：． 题型03 均值基础形式：对勾凑配 ⭐技巧积累与运用 1.对勾型结构： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 2.对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 2．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．函数在定义域内单调递减 B．当时，的最小值是5 C．“”是“”的充要条件 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【分析】对A，根据反函数单调区间判断即可；对B，根据基本不等式求解；对C，举反例判断即可；对D，根据函数定义域性质求解即可. 【详解】对A，函数在区间和上分别递减，故A错误； 对B，当时，，当且仅当时取等号，故B正确； 对C，当时，但不能推出，故C错误； 对D，若函数的定义域为，则函数的定义域，即，故D正确. 故选：BD 3．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【答案】 2 1 【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 题型04 分离常数构造对勾型 ⭐技巧积累与运用 对勾分离常数型（换元型） 1．若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】由题意，，，利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立， 所以函数有最大值. 故选：D. 2．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 【答案】BD 【分析】根据基本（均值）不等式即等号成立的条件判断各选项是否正确. 【详解】对A：因为时，，所以的最小值不是4，故A错误； 对B：因为，且，所以，当且仅当即时取“”，故B正确； 对C：当时，，所以，的最小值不是4，故C错误； 对D：因为，当且仅当即时取“”，故D正确. 故选：BD 3．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是. 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 题型05 分子有参分离型 ⭐技巧积累与运用 对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解 1．正数a，b满足，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】已知条件化简可得：，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由题意得， 令，则，当且仅当时，等号成立． 故选:C． 2．已知均为实数，则的可能值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】分类讨论当同号时、有一个为0时、异号时的情况，求出的取值范围，结合选项，即可得答案. 【详解】由题意得当同号时，有， 则， 当且仅当时等号成立， 当有一个为0时，， 当异号时，有， 则，     结合选项可知，的可能值为，，1， 故选：ABC 3．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 题型06 “1”的巧换：常规型 ⭐技巧积累与运用 “1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换 1．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 2．设，，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断. 【详解】解：对于A，因为， 所以，所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为2，故A正确； 对于B，因为， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当时，即，时等号成立， 因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8 题型07 “1”的巧换：同除型 ⭐技巧积累与运用 特征：有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 1．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 2．已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可． 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 3．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示） 【答案】 【分析】将变形为，求得的最小值为6，由求得m的取值范围. 【详解】由得：，则， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立﹒ ∴，解得：或． 故答案为： 题型08 “1”的巧换：整体化解不等式型 ⭐技巧积累与运用 特征：有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： 1．已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 2．若正实数，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式直接判断AB选项；由已知可得，代入根据函数的性质可得最值. 【详解】由题意，正实数，满足， 对于A，由，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确： 对于C，由，可得，由，可得，且， 令，则，构造函数，，由于函数在上为增函数，所以，所以C错误； 对于D，，令，由上可知， 构造函数，，易知在上单调递减，则的值域为，所以D正确； 故选：ABD. 3．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先利用表示，然后利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型09“1”的巧换：单分母构造型 ⭐技巧积累与运用 单分母 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围 【详解】因为，且， 所以 ，当且仅当时取等号， 又因为恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二次函数、基本不等式等知识求得正确答案. 【详解】依题意，，，且， A选项，，则，当时等号成立，所以A选项错误. B选项，，， 当时等号成立，所以B选项正确. C选项，， ， 当且仅当，时等号成立，所以C选项正确. D选项，由于，所以，则，当时等号成立， 因为，所以由基本不等式得， 所以D选项正确. 故选：BCD 3．已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型10 “1”的巧换：双分母构造型 ⭐技巧积累与运用 双分母 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】设， 则且，解得. 所以， 因为，所以， 当时取等号，即且，解得.故选：B. 2．若实数，满足，以下选项中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为15 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决含有条件的最值问题，求解和为定值或乘积为定值. 【详解】对于选项A:因为实数，满足，所以， 即，当且仅当时，即时，取得最大值，故A正确； 对于选项B: 因为实数，满足， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 故B错误； 对于选项C: 因为实数，满足，所以， 当且仅当时，即时，又，所以，故C错误； 对于选项D:因为实数，满足， 所以， 则，当且仅当时，即时，取得最小值为，故D正确； 故选：AD. 3．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 题型11 因式分解与换元型 ⭐技巧积累与运用 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b++1） 1．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 2．已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】AB 【分析】利用“”的代换变形后，再利用基本不等式求出最小值，排除CD项，验证AB项可得. 【详解】令， 由题意，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 由，解得，此时，故A正确； 由，故CD错误； B项，由方程组，又， 解得，故B正确. 故选：AB. 3．设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 题型12 恒成立求参型 ⭐技巧积累与运用 几个不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 1．已知，， 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为25. 故选：B. 2．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 【答案】AD 【分析】由已知可得，可求得或，可判断A；计算可判断B；利用基本不等式计算可判断CD. 【详解】选项A：存在，使得与同时成立，则， （提示：只有当时，才有） 解得或，所以，故A正确． 选项B：若，则或，又，故B错误． 选项C：，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误． 选项D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故D正确． 故选：AD. 3．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分离变量可得恒成立，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以恒成立. 又，当且仅当时，等号成立. 所以. 则的最小值是. 故答案为：. 题型13三元不等式型 ⭐技巧积累与运用 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1．已知为正数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出最小值为. 【详解】易知 ， 当且仅当时取等号. 故选：C 2．已知，，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A选项，由，得，A错误；先利用基本不等式与将消去，再利用配方法转化为二次函数的形式求解判断B，C，D选项． 【详解】，,两式相加，得， 则，当且仅当时，等号成立，故A错误； 由，得， 当且仅当，时等号成立，故B正确； ，当且仅当，时，等号成立，故C正确； ，当且仅当，时，等号成立．又，故D正确． 故选：BCD． 3．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 能力配有 1． 已知，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】令，则原不等式等价于，应用柯西不等式得，再两次应用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值条件. 【详解】令，即，则， 当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当且，即时等号成立， 综上，，即， 当时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：令，应用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可. 2． 已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（    ） A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a 【答案】D 【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2； 根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案. 【详解】. 构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b. 又∵，∴a>b>2. 故选：D. 【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结. 3． 已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 4． 已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出． 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 5． 设函数，正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，则，整理得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：B 6.设，为正数，且且，则（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式判断A；利用基本不等式建立不等式，换元后解不等式判断BC；根据条件转化为求的最大值，换元后利用二次函数最值得解判断D. 【详解】由， 所以，所以， 对A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对B，由 可得， 当且仅当时取等号， 令，则，解得， 即， 当且仅当时取等号，故B错误； 对C，由， 令，则， 解得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由可得， 所以， 令，由B知， 则由可知当时，， 故当时，有最大值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：通过对已知条件恰当变形后，利用基本不等式，换元法解不等式是解题的关键所在，对变形化简能力要求很高. 7.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】由函数奇偶性定义判定A；由复合函数的单调性，结合基本不等式求函数值域判定B；计算恒成立判定C；由，根据已知得到 ，结合基本不等式即可判定D. 【详解】对于A， 的定义域为 ， 又 ， 所以 为奇函数，故A正确； 对于B，由对勾函数性质知：在 上单调递减，在 上单调递增，且值域为 ， 而在上递增，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 由奇函数的对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且 ， 所以 值域为 ，故B错误； 对于C，当 时， 恒成立， 所以恒有 成立，故C正确； 对于D，由 ， 因为 ，且 ， 所以 ，故 ，当且仅当 时等号成立， 而 时， ，故等号不成立，所以 ，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D，关键是求出，根据基本不等式判定. 8． 已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 高考真题 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 3．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 4．（2010·四川·高考真题）设，则的最小值是 A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案. 【详解】解：， ， 当且仅当，即时取等号， ， 当且仅当取等号，即，取最小值， 可得的最小值：4， 故选B. 【点睛】本题主要考查基本不等式和实数的性质，属于中档题. 5．（2015·湖南·高考真题）若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C. 考点：基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 6．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 均值不等式 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：公式基础 题型二：“一正二定三项等”成立条件 题型三：均值基础形式：对勾凑配 题型四：分离常数构造对勾型 题型五：分子有参分离型 题型六：“1”的巧换：常规型 题型七：“1”的巧换：同除型 题型八：“1”的巧换：整体化解不等式 题型九：“1”的巧换：单分母构造型 题型十：“1”的巧换：双分母构造型 题型十一：因式分解与换元型 题型十二：恒成立求参型 题型十三：三元不等式 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 题型01 公式基础 ⭐技巧积累与运用 .基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 1．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各不等式，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最 值是 ，此时 ， . 题型02 “一正二定三相等“成立条件 ⭐技巧积累与运用 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 1．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 3．已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则在上的最小值为 ． 题型03 均值基础形式：对勾凑配 ⭐技巧积累与运用 1.对勾型结构： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 2.对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．函数在定义域内单调递减 B．当时，的最小值是5 C．“”是“”的充要条件 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 3．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 题型04 分离常数构造对勾型 ⭐技巧积累与运用 对勾分离常数型（换元型） 1．若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 2．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 3．若，则的最小值是 . 题型05 分子有参分离型 ⭐技巧积累与运用 对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解 1．正数a，b满足，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知均为实数，则的可能值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 题型06 “1”的巧换：常规型 ⭐技巧积累与运用 “1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换 1．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设，，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 题型07 “1”的巧换：同除型 ⭐技巧积累与运用 特征：有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 1．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示） 题型08 “1”的巧换：整体化解不等式型 ⭐技巧积累与运用 特征：有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： 1．已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 2．若正实数，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的取值范围是 D．的取值范围是 3．已知，，且，则的最小值是 . 题型09“1”的巧换：单分母构造型 ⭐技巧积累与运用 单分母 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知且，则的最小值为 . 题型10 “1”的巧换：双分母构造型 ⭐技巧积累与运用 双分母 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若实数，满足，以下选项中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为15 D．的最小值为 3．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型11 因式分解与换元型 ⭐技巧积累与运用 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b++1） 1．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 2．已知实数满足，且，则的值可以为（    ） A． B．7 C． D．5 3．设，则的最大值为 . 题型12 恒成立求参型 ⭐技巧积累与运用 几个不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 1．已知，， 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 2．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 3．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 题型13三元不等式型 ⭐技巧积累与运用 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1．已知为正数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 能力配有 1． 已知，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D．1 2． 已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（    ） A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a 3． 已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4． 已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 5． 设函数，正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 6.设，为正数，且且，则（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 7.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 8． 已知实数，满足，则的最小值为 . 高考真题 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 3．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A． B． C．5 D．6 5．（2015·湖南·高考真题）若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 6．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$