专题02：等式的性质与解方程（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年五年级数学寒假自学课（苏教版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年五年级数学寒假自学课 专题02：等式的性质与解方程 1、理解“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”。 2、理解“等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式”。 3、会用等式的性质解简单的方程。 1、等式的性质1。 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 2、解方程。 求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。解方程的过程中，每一步写出的都应是含有未知数的等式。 3、形如x+a=b的方程的解法。 x+a=b 解：x+a-a=b-a x=b-a 4、等式的性质2。 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 5、解方程 （1）形如ax=b的方程的解法。 根据等式的性质，在方程的两边同时除以a。书写格式如下: ax=b 解:ax÷a=b÷a x=b÷a （2）形如x÷a=b(a不等于0)的方程的解法。 根据等式的性质，在方程的两边同时乘a。书写格式如下: x÷a=b 解:x÷a×a=b×a x=b×a 一、选择题 1．如果△＋2＝☆＋3，那么下面式子错误的是（    ）。 A．△＝☆＋1 B．△－1＝☆ C．△＝☆＋5 2．已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．25x＝40y B．5x＋7y＝15y C．2x＝8y－3x D．8x＝5y 3．若x＋7＝15，则2x－7的结果是（    ）。 A．8 B．9 C．17 D．23 4．把一个边长为12厘米的正方形铁丝改围成一个长方形，长方形的长是宽的3倍，设宽为厘米，则下列方程中，（    ）是正确的。 A． B． C． D． A．x－30＝15 B．2x－60＋60＝30＋60C．2x－50＝20 D．2x＝30＋60 二、填空题 6．阳光体育用品商店有一个三层的球架，每层摆放的球总价相等，相同的球单价相同。从图中可以看出： （1）一个的价格＝（ ）个的价格。 （2）一个的价格＝（ ）个的价格。 7．如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝（ ）；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝（ ）。 8．根据下图写出方程是（ ），求出小猫重（ ）kg。 9． 望庐山瀑布 [唐]李白 日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川。 飞流直下三千尺，疑是银河落九天。 唐代的一尺相当于现在的a米，上面诗中的三千尺相当于现在的（ ）米。如果一千尺约为现在的307米，那么a约代表（ ）米。 10．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用来表示（y表示码数，x表示厘米数）。小丽买了一双32码的凉鞋，鞋底长（ ）厘米；小丽妈妈的皮鞋鞋底长23厘米，是（ ）码。 三、计算题 11．解方程。 204＋x＝356    2y÷2.7＝4    10x－7.5x＝30    12x＋3.6＝8.4 四、解答题 12．有一个天平，上面的两边都放着一些水果。请你对换一个水果，使天平平衡。 13．学校体育室一共有186根跳绳。四年级有5个班，每班借了18根。剩下的借给五年级的4个班，平均每班借了多少根？（列方程解答） 14．晨光文具店里一支钢笔的价钱是15.8元，比一支圆珠笔贵7.5元。一支圆珠笔的价钱是多少元？（列方程解答） 15．甲乙两辆汽车同时从上海开往北京，甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时，几小时后两车相距300千米？ 16．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过2.5小时两车在距离中点20千米处相遇。甲车每小时行驶的路程比乙车的2倍少60千米，甲车每小时行驶多少千米？（甲车速度比乙车快） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年五年级数学寒假自学课 专题02：等式的性质与解方程 1、理解“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”。 2、理解“等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式”。 3、会用等式的性质解简单的方程。 1、等式的性质1。 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 2、解方程。 求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。解方程的过程中，每一步写出的都应是含有未知数的等式。 3、形如x+a=b的方程的解法。 x+a=b 解：x+a-a=b-a x=b-a 4、等式的性质2。 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 5、解方程 （1）形如ax=b的方程的解法。 根据等式的性质，在方程的两边同时除以a。书写格式如下: ax=b 解:ax÷a=b÷a x=b÷a （2）形如x÷a=b(a不等于0)的方程的解法。 根据等式的性质，在方程的两边同时乘a。书写格式如下: x÷a=b 解:x÷a×a=b×a x=b×a 一、选择题 1．如果△＋2＝☆＋3，那么下面式子错误的是（    ）。 A．△＝☆＋1 B．△－1＝☆ C．△＝☆＋5 【分析】根据等式的性质1：在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立。 据此逐一分析各项即可。 【解答】A．因为△＋2＝☆＋3，然后在等式两边同时减去2，则可得到△＝☆＋1，正确； B．因为△＋2＝☆＋3，然后在等式两边同时减去3，可得到△－1＝☆，正确； C．因为△＋2＝☆＋3，然后在等式两边同时加上2，可得到△＋4＝☆＋5，该选项错误。 故答案为：C 2．已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．25x＝40y B．5x＋7y＝15y C．2x＝8y－3x D．8x＝5y 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，据此解答。 【解答】A．根据等式的性质2，5x＝8y两边同时乘5，可得到25x＝40y；等式成立，不符合题意； B．根据等式的性质1，5x＝8y两边同时加上7y，可得到5x＋7y＝15y；等式成立，不符合题意； C．根据等式的性质1，5x＝8y边同时减去3x，可得到2x＝8y－3x；等式成立，不符合题意； D．根据等式的性质1，5x＋3x＝8y＋3x无法得到8x＝5y，等式不成立，符合题意。 已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是8x＝5y。 故答案为：D 【点评】熟练掌握等式的性质1和性质2是解答本题的关键。 3．若x＋7＝15，则2x－7的结果是（    ）。 A．8 B．9 C．17 D．23 【分析】先依据等式的性质，方程两边同时减7，求出x的值，再把x的值代入2x－7即可求解。 【解答】x＋7＝15 解：x＋7－7＝15－7 x ＝15－7 x ＝8 把x＝8代入2x－7中，可得： 2x－7 ＝2×8－7 ＝16－7 ＝9 2x－7的结果是9； 故答案为：B 【点评】依据等式的性质，求出x的值是解答本题的关键。 4．把一个边长为12厘米的正方形铁丝改围成一个长方形，长方形的长是宽的3倍，设宽为厘米，则下列方程中，（    ）是正确的。 A． B． C． D． 【分析】根据题意，找出数量关系：即正方形的周长等于长方形的周长；由正方形的周长＝边长×4，长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相应数值即可列出方程。 【解答】解：设长方形的宽为厘米，则长方形的长为3x。 因此列出方程正确的是：。 故答案为：D 5．下列方程的解与方程2x－60＝30的解不同的是（    ）。 A．x－30＝15 B．2x－60＋60＝30＋60 C．2x－50＝20 D．2x＝30＋60 【分析】先将方程2x－60＝30的解求出来为x＝45，再将A、B、C、D四个选项方程的解求出来，找出不同的解。利用等式的基本性质1和2解方程。 【解答】2x－60＝30 解：2x＝30＋60 2x＝90 x＝90÷2 x＝45 A．x－30＝15 解：x＝15＋30 x＝45，符合 B．2x－60＋60＝30＋60 解：2x＝90 x＝90÷2 x＝45，符合 C．2x－50＝20 解：2x＝20＋50 2x＝70 x＝70÷2 x＝35，不符合 D．2x＝30＋60 解：2x＝90 x＝90÷2 x＝45，符合 故答案为：C 二、填空题 6．阳光体育用品商店有一个三层的球架，每层摆放的球总价相等，相同的球单价相同。从图中可以看出： （1）一个的价格＝（ ）个的价格。 （2）一个的价格＝（ ）个的价格。 【分析】（1）从图中可知，第一层球架上有6个，第二层球架上有2个和2个；因为每层摆放的球总价相等，那么6个的价格＝2个的价格＋2个的价格，运用等式的性质得出的价格和的价格的关系。 （2）从图中可知，第三层球架上有1个、1个和1个，根据上一题的答案，用2个替换掉1个，根据第三层球架上球的价格＝第一层球架上球的价格，据此得出等式，再运用等式的性质得出一个的价格相当于几个的价格。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【解答】（1） 6个的价格＝2个的价格＋2个的价格 等式两边同时减去2个的价格，得：4个的价格＝2个的价格； 等式两边同时除以2，得：2个的价格＝1个的价格； 所以，一个的价格＝2个的价格。 （2）1个的价格＋1个的价格＋1个的价格＝6个的价格 把“一个的价格＝2个的价格”代入式子中，得： 1个的价格＋1个的价格＋2个的价格＝6个的价格 即1个的价格＋3个的价格＝6个的价格 等式两边同时减去3个的价格，得：1个的价格＝3个的价格； 所以，一个的价格＝3个的价钱。 7．如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝（ ）；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝（ ）。 【分析】x＋2.5＝7.5，根据等式的性质1，方程两边同时减去2.5，求出方程x的解；再把方程的解代入4.2x式子中，求出4.2x的值； x÷1.5＝5，根据等式的性质2，方程两边同时乘1.5，求出方程x的解，再把方程的解带入x－0.3的式子中，求出x－0.3的值。 【解答】x＋2.5＝7.5 解：x＝7.5－2.5 x＝5 把x＝5带入4.2x式子： 4.2×5＝21 x÷1.5＝5 解：x＝5×1.5 x＝7.5 把x＝7.5带入x－0.3式子中： 7.5－0.3＝7.2 【点评】利用等式的性质1和2，求出方程的解，再根据含有字母式子的化简与求值的知识进行解答。 8．根据下图写出方程是（ ），求出小猫重（ ）kg。 【分析】看图，天平平衡，天平左右两边的重量相等。猫咪重xkg，列方程为“x＋0.5＝2.5”，将方程两边同时减去0.5，解出x。 【解答】x＋0.5＝2.5 解：x＋0.5－0.5＝2.5－0.5 x＝2 所以，根据图写出方程是（x＋0.5＝2.5），求出小猫重2kg。 9． 望庐山瀑布 [唐]李白 日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川。 飞流直下三千尺，疑是银河落九天。 唐代的一尺相当于现在的a米，上面诗中的三千尺相当于现在的（ ）米。如果一千尺约为现在的307米，那么a约代表（ ）米。 【分析】唐代的一尺相当于现在的a米，则三千尺就是3000个a米，用字母表示数为3000a；即一千尺就是1000a米，也就是307米，则1000a＝307，然后根据等式的性质解方程即可。 【解答】3000×a＝3000a（米） 唐代的一尺相当于现在的a米，上面诗中的三千尺相当于现在的3000a米； 1000a＝307 解：1000a÷1000＝307÷1000 a＝0.307 则如果一千尺约为现在的307米，那么a约代表0.307米。 10．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用来表示（y表示码数，x表示厘米数）。小丽买了一双32码的凉鞋，鞋底长（ ）厘米；小丽妈妈的皮鞋鞋底长23厘米，是（ ）码。 【分析】小丽买了一双32码的凉鞋，把y＝32代入含有字母的式子，利用等式的性质求出方程中x的值就是小丽鞋底的长度；小丽妈妈的皮鞋鞋底长23厘米，把x＝23代入含有字母的式子求出结果就是妈妈皮鞋的码数，据此解答。 【解答】当y＝32时， 2x－10＝32 2x－10＋10＝32＋10 2x＝42 2x÷2＝42÷2 x＝21 当x＝23时， y＝2x－10 ＝2×23－10 ＝46－10 ＝36 所以小丽的凉鞋鞋底长21厘米，小丽妈妈的皮鞋是36码。 【点评】本题考查含字母的式子的化简与求值、解方程，掌握含有字母的式子化简求值的方法和方程的解法是解答题目的关键。 三、计算题 11．解方程。 204＋x＝356    2y÷2.7＝4    10x－7.5x＝30    12x＋3.6＝8.4 【分析】（1）利用等式的基本性质1，等式两边同时减去204即可求出未知数； （2）利用等式的基本性质2，等式两边同时乘2.7，再同时除以2即可求出未知数； （3）先计算10x－7.5x＝2.5x，再利用等式的基本性质2，等式两边同时除以2.5即可求出未知数； （4）先利用等式的基本性质1，等式两边同时减去3.6，再利用等式的性质2，等式两边同时除以12即可求出未知数。 【解答】204＋x＝356 解：204＋x－204＝356－204 x＝152 2y÷2.7＝4 解：2y÷2.7×2.7＝4×2.7 2y＝10.8 2y÷2＝10.8÷2 y＝5.4 10x－7.5x＝30 解：2.5x＝30 2.5x÷2.5＝30÷2.5 x＝12 12x＋3.6＝8.4 解：12x＋3.6－3.6＝8.4－3.6 12x＝4.8 12x÷12＝4.8÷12 x＝0.4 四、解答题 12．有一个天平，上面的两边都放着一些水果。请你对换一个水果，使天平平衡。 【分析】左边重：30＋23＋35＋27＋29＝144，右边重：30＋31＋29＋33＋25＝148，右边比左边多：148－144＝4，把多的4平均分：4÷2＝2，再把右边比左边多2的数交换一下即可解答。 【解答】左边重：30＋23＋35＋27＋29＝144， 右边重：30＋31＋29＋33＋25＝148， 右边比左边多：148－144＝4， 把多的4平均分：4÷2＝2，所以把右边的25和左边的23对换。 【点评】此题考查等式的意义和等式的性质。 13．学校体育室一共有186根跳绳。四年级有5个班，每班借了18根。剩下的借给五年级的4个班，平均每班借了多少根？（列方程解答） 【分析】设五年级每班借x根跳绳，四年级有5个班，每班借18根，四年级借的跳绳是5×18根，五年级有4个班，五年级借的跳绳是4x根，四年级借的跳绳＋五年级借的跳绳＝总跳绳数，即：5×18＋4x＝186，即可解答。 【解答】解：设五年级每班借了x根 4x＋5×18＝186 4x＝186－90 4x＝96 x＝96÷4 x＝24 答：平均每班借了24根。 【点评】本题考查列方程解应用题，根据题意找出等量关系，列方程，解方程。 14．晨光文具店里一支钢笔的价钱是15.8元，比一支圆珠笔贵7.5元。一支圆珠笔的价钱是多少元？（列方程解答） 【分析】根据题意，可以设一支圆珠笔的价钱是x元，一支钢笔的价钱比一支圆珠笔贵7.5元，据此列等量关系式：7.5＋一支圆珠笔的价钱＝一支钢笔的价钱，用方程解答即可。 【解答】解：设一支圆珠笔的价钱是x元， 7.5＋x＝15.8 7.5＋x－7.5＝15.8－7.5 x＝8.3 答：一支圆珠笔的价钱是8.3元。 15．甲乙两辆汽车同时从上海开往北京，甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时，几小时后两车相距300千米？ 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：乙车的速度×行驶时间－甲车的速度×行驶时间＝两车相距的距离，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设小时后两车相距300千米。 60－40＝300 20＝300 20÷20＝300÷20 ＝15 答：15小时后两车相距300千米。 16．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过2.5小时两车在距离中点20千米处相遇。甲车每小时行驶的路程比乙车的2倍少60千米，甲车每小时行驶多少千米？（甲车速度比乙车快） 【分析】根据“甲车每小时行驶的路程比乙车的2倍少60千米”，可以设乙车每小时行驶千米，则甲车每小时行驶（2－60）千米； 根据“两车在距离中点20千米处相遇”以及“甲车速度比乙车快”可知，相遇时甲车行驶的路程比乙车行驶的路程多（20×2）千米，由此可得出等量关系：甲车的速度×相遇时间－乙车的速度×相遇时间＝相遇时甲车比乙车多行驶的路程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设乙车每小时行驶千米，则甲车每小时行驶（2－60）千米。 （2－60）×2.5－2.5＝20×2 5－150－2.5＝40 2.5－150＝40 2.5－150＋150＝40＋150 2.5＝190 2.5÷2.5＝190÷2.5 ＝76 76×2－60 ＝152－60 ＝92（千米） 答：甲车每小时行驶92千米。 学科网（北京）股份有限公司 $$