专题03：列方程解决问题（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年五年级数学寒假自学课（苏教版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年五年级数学寒假自学课 专题03：列方程解决问题 1、经历用方程解决实际问题的学习过程，掌握列方程解决简单的实际问题的步骤和方法会列方程解决一些实际问题。 2、掌握形如 ax±bx=c的方程的解法。 3、会列形如ax±bx=c的方程解决实际问题，并会对所列方程进行检验。 4、理解列方程与用算术方法解决实际问题时不同的思考过程。 1、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出相等关系，列方程； （3）解方程并检验； （4）作答。 2、用方程解决问题。 （1）用形如x±a=b的方程解决问题：先把未知量与已知量结合起来思考，再根据题中的等量关系列方程解答。 （2）已知数量甲比数量乙的几倍多（或少）几和数量甲，求数量乙的实际问题，可设数量乙为x，根据数量乙×倍数±几=数量甲，列出形如ax±b=c的方程进行解答。 （3）解决涉及两个未知量的问题：一般设其中一个未知量为x（通常设标准量为x），另一个未知量用含有x的式子表示，然后根据等量关系列方程求解。 3、解决“已知两个量的和（或差）及两个量的倍数关系，求这两个量”的问题，一般设其中一个未知量为x（通常设标准量为x），另一个未知量用含有x的式子表示，根据等量关系，用形如a±bx=c的方程解答。 4、列方程解决实际问题的关键是找出题中的等量关系，可以用学过的公式，数量关系式或者画图来寻找等量关系。 一、选择题 1．“神舟飞船”是中国自行研制，具有完全自主知识产权的载人航天飞船。“神舟十三号”飞船在轨飞行183天，比“神舟十二号”飞船在轨飞行时间的2倍少3天。“神舟十二号”飞船在轨飞行了多少天？要解决这个问题，如果设“神舟十二号”飞船在轨飞行了x天，下面所列方程错误的是（    ）。 A．2x－3＝183 B．183－2x＝3 C．2x－183＝3 D．2x＝183＋3 【分析】根据题意可得等量关系式：“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2－3＝“神舟十三号”飞船在轨飞行时间，或“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2 －“神舟十三号”飞船在轨飞行时间＝3，或“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2 ＝“神舟十三号”飞船在轨飞行时间＋3，据此列方程解答。 【解答】A．“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2－3＝“神舟十三号”飞船在轨飞行时间，列出方程2x－3＝183，正确； B．“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2 －“神舟十三号”飞船在轨飞行时间＝3，方程183－2x＝3错误； C．“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2 －“神舟十三号”飞船在轨飞行时间＝3，列出方程2x－183＝3，正确； D．“神舟十二号”飞船在轨飞行时间×2 ＝“神舟十三号”飞船在轨飞行时间＋3，列出方程2x＝183＋3，正确； 故答案为：B 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【分析】根据题意可知，每层灯的数量是上一层的2倍，据此设顶层x盏灯，第二层有2x盏灯，第三层有4x盏灯，第四层有8x盏灯，第五层有16x盏灯，第六层有32x盏灯，第七层有64x盏灯，已知一共有381盏灯，列方程为x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381，据此解出方程即可。 【解答】解：设顶层x盏灯。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381 127x＝381 127x÷127＝381÷127 x＝3 塔的顶层共有3盏灯。 故答案为：B 3．“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的记录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天。如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数”这个问题，下面所列方程中不正确的是（    ）。 A．2x＋3＝183 B．183－2x＝3 C．2x＝183＋3 D．2x＝183－3 【分析】已知“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天，据此可得出不同的等量关系，列出相应的方程，从四个选项的方程中找出不符合题意的方程即可。 【解答】A．2x＋3＝183，符合题意，方程正确； B．183－2x＝3，符合题意，方程正确； C．2x＝183＋3，表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍比“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的时长多3天；不符合题意，方程不正确； D．2x＝183－3，符合题意，方程正确。 故答案为：C 4．下面四组信息，能用方程“4x＋x＝25”来解决的问题是（    ）。 A． B．修一条长25千米的公路，甲队每天修路4千米，乙队每天修1千米，两队合作修了x天才完成任务 C．长方形的周长是25分米，宽是x分米，长是宽的4倍 D．妈妈买了一张圆桌和4把塑料椅，其中椅子的单价x元，圆桌的单价25元 【分析】A．看图可知，下边线段是上边1段的4倍，求一个数的几倍是多少用乘法，根据上边1段×4＝下边线段，可以列出方程； B．根据甲队每天修的距离×天数＋乙队每天修的距离×天数＝总长度，可以列出方程； C．求一个数的几倍是多少用乘法，宽×4＝长，根据（长＋宽）×2＝长方形的周长，可以列出方程； D．单价×数量＝总价，没有总钱数，无法列出方程。 【解答】A．能用方程“4x＝25”来解决问题； B．能用方程“4x＋x＝25”来解决问题； C．能用方程“（4x＋x）×2＝25” 来解决问题； D．椅子单价×数量＋圆桌钱数＝总钱数，没有总钱数，无法列出方程。 故答案为：B 5．据相关部门统计，不吸烟而受二手烟危害的民众人数有很多，比吸烟民众数量的3倍少1.6亿。我国吸烟民众的数量约为多少亿人？设我国烟民的数量约为x亿人，用方程3x－1.6＝7.4来解决这个问题，还需要的信息是（    ）。 A．吸烟民众比吸二手烟民众多7.4亿 B．吸二手烟民众比吸烟民众多7.4亿 C．不吸烟而受二手烟危害的民众约7.4亿 D．吸烟民众约7.4亿 【分析】根据所给方程：3x－1.6＝7.4，可以找到等量关系：吸烟民众人数×3－1.6亿人＝不吸烟而受二手烟危害的人数，这里所缺乏的条件是不吸烟而受二手烟危害的人数。据此解答。 【解答】由分析可知：设我国烟民的数量约为x亿人，用方程3x－1.6＝7.4来解决这个问题，还需要的信息是不吸烟而受二手烟危害的民众约7.4亿。 故答案为：C 二、填空题 6．果园里梨树的棵树是桃树的3倍，梨树比桃树多90棵，梨树（ ）棵，桃树（ ）棵。 【分析】可以设果园里桃树有x棵，则梨树有3x棵，根据梨树的棵数－桃树的棵数＝90，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【解答】解：设果园里桃树有x棵，则梨树有3x棵。 3x－x＝90 2x＝90 2x÷2＝90÷2 x＝45 45＋90＝135（棵） 所以梨树有135棵；桃树有45棵。 7．鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 【分析】设鸡有x只，则兔有只，则鸡有2x只脚，兔有4只脚，再根据鸡脚＋兔脚＝94只，列出方程解答即可。 【解答】解：设鸡有x只，则兔有只， 兔：（只） 所以鸡有23只，兔有12只。 8．某次数学考试，5个同学的平均分比后面3个同学的平均分少5分，前面两个同学的平均分是80分。那么，这五个同学的平均分是（ ）分。 【分析】平均数＝总数量÷总份数，总数量＝平均数×总份数，设这五个同学的平均分是x分，则后面3个同学的平均分是（x＋5）分，5个同学的总成绩＝平均分×总人数，前两个同学的总成绩＝平均分×人数，后面3个同学的总成绩＝平均分×人数，根据5个同学的总成绩＝前两个同学的总成绩＋后面3个同学的总成绩，列出方程求出x的值即可。 【解答】解：设这五个同学的平均分是x分。 5x＝80×2＋（x＋5）×3 5x＝160＋3x＋15 5x＝3x＋175 5x－3x ＝3x＋175－3x 2x＝175 2x÷2＝175÷2 x＝87.5 这五个同学的平均分是87.5分。 【点评】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 9．《镜花缘》是清代李汝珍所著的长篇小说，书中出现了一些有趣的数学问题。下面的题目是根据一个问题改编的，你能解决吗？楼上灯有两种：甲种灯下一个大球，下缀两个小球；乙种灯下一个大球，下缀四个小球。大球共有三十六个，小球共一百二十个。甲、乙两种灯各有多少个？答：甲灯有（ ）个；乙灯有（ ）个。 【分析】根据“大球共有三十六个”，可以设乙灯的大球有个，则甲灯的大球有（36－）个； 根据“甲种灯下一个大球，下缀两个小球”可知，甲灯小球数量是甲灯大球的2倍，即有2（36－）个； 根据“乙种灯下一个大球，下缀四个小球”可知，乙灯小球数量是乙灯大球的4倍，即有4个； 根据“小球共一百二十个”可得出等量关系：甲灯小球的数量＋乙灯小球的数量＝两种灯小球的总数量，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设乙灯的大球有个，则甲灯的大球有（36－）个。 2（36－）＋4＝120 72－2＋4＝120 72＋2＝120 2＝120－72 2＝48 ＝48÷2 ＝24 甲灯：36－24＝12（个） 甲灯有12个；乙灯有24个。 10．研究发现，蟋蟀每分钟叫的次数与当地气温如下关系：h＝t÷7＋3（h表示当地气温，t表示蟋蟀每分钟大约叫的次数）。若测得某地气温是26℃则此时蟋蟀每分钟大约叫（ ）次；若某地蟋蟀每分钟大约叫217次。则该地气温是（ ）℃。 【分析】根据关系式：h＝t÷7＋3，可得t＝（h－3）×7，把h＝26代入式子中，计算出它的值，即是蟋蟀每分钟大约叫的次数； 根据关系式：h＝t÷7＋3，把t＝217代入式子中，计算出h的值，即是当地的气温。 【解答】当h＝26时， t÷7＋3＝26 解：t÷7＋3－3＝26－3 t÷7×7＝23×7 t＝161 217÷7＋3 ＝31＋3 ＝34（℃） 所以测得某地气温是26℃此时蟋蟀每分钟大约叫161次；若某地蟋蟀每分钟大约叫217次。则该地气温是34℃。 【点评】本题考查用字母表示数、解方程，解答本题的关键是掌握代入求值的计算方法。 三、计算题 11．看图列方程解答问题。 【分析】观察图可知，行驶3小时路程等于3x，行驶3小时路程＋124千米＝总路程394千米，据此列出方程，求出x的值即可。 【解答】解：3x＋124＝394 3x＋124－124＝394－124 3x＝270 3x÷3＝270÷3 x＝90 四、解答题 12．甲、乙两车同时从A地开往B地，经5小时后，甲车落后乙车42.5千米，甲车每小时行驶58千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【分析】速度×时间＝路程，将乙车的速度设为每小时x千米，那么乙车5小时的路程是（5x）千米。将甲车速度乘5小时，求出甲车路程。根据“乙车路程－甲车路程＝42.5千米”列方程解出x，即可求出乙车的速度运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【解答】解：设乙车每小时行驶x千米。 5x－58×5＝42.5 5x－290＝42.5 5x－290＋290＝42.5＋290 5x＝332.5 5x÷5＝332.5÷5 x＝66.5 答：乙车每小时行驶66.5千米。 13．有甲、乙两个水桶，甲桶盛的水是乙桶的2倍，如果把甲桶的水倒入乙桶5升，那么两个水桶中的水一样多。甲乙两个水桶原来各有水多少升？ 【分析】设乙桶有水升，则甲桶有水升，再根据甲桶水－5升＝乙桶水＋5升，列出方程解答即可。 【解答】解：设乙桶有水升，则甲桶有水升。 甲桶：10×2＝20（升） 答：甲桶有水20升，乙桶有水10升。 14．中国古代数学书中有这样一道有趣的题：“远望巍巍塔七层，红红点点倍加增。有灯三百八十一，请问尖层几盏灯？”意思是说：从远处望见七层的灯塔，每一层的灯都是上一层的2倍，塔上一共有381盏灯。求最高层有几盏灯。 【分析】根据题意可知，每层灯的数量是上一层的2倍，据此设最高层有x盏灯，第二层有2x盏灯，第三层有4x盏灯，第四层有8x盏灯，第五层有16x盏灯，第六层有32x盏灯，第七层有64x盏灯，已知一共有381盏灯，列方程为x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381，据此解出方程即可。 【解答】解：设最高层有x盏灯。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381 127x＝381 127x÷127＝381÷127 x＝3 答：最高层有3盏灯。 15．家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： 他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； 他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； 抄近路下山，下山的路程比上山的路程近2千米； 下山用1小时； 根据上面信息，他作出如下计划： 在山顶游览1小时； 中午12：00回到家吃中餐。 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？ 【分析】根据“他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米”，可以设孔明上山时的速度为千米/时，则他下山的速度为（＋1）千米/时； 根据山的高度不变，可得出等量关系：上山的速度×2＋离山顶的高度＝下山的速度×1＋下山的路程比上山近的路程，据此列出方程，并求出上山、下山的速度； 根据“速度×时间＝路程”，求出山的高度； 根据“时间＝路程÷速度”，求出他上山用的时间，再分别加上游览用的1小时、下山用的1小时，即是他登山游玩一共用的时间； 最后用到家的时刻减去登山游玩一共用的时间，即是他出发的时刻。 【解答】解：设孔明上山时的速度为千米/时，则他下山的速度为（＋1）千米/时。 2＋1＝（＋1）×1＋2 2＋1＝＋1＋2 2＋1＝＋3 2－＝3－1 ＝2 下山时的速度：2＋1＝3（千米/时） 山的高度： 2×2＋1 ＝4＋1 ＝5（千米） 上山用时：5÷2＝2.5（小时） 上山、游览、下山共用时：2.5＋1＋1＝4.5（小时） 4.5小时＝4小时30分 出发时刻：12时－4小时30分＝7时30分 答：孔明同学应该在7：30从家出发。 【点评】本题考查用方程解决问题以及行程问题中速度、时间、路程之间关系的运用，求出上山用的时间是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年五年级数学寒假自学课 专题03：列方程解决问题 1、经历用方程解决实际问题的学习过程，掌握列方程解决简单的实际问题的步骤和方法会列方程解决一些实际问题。 2、掌握形如 ax±bx=c的方程的解法。 3、会列形如ax±bx=c的方程解决实际问题，并会对所列方程进行检验。 4、理解列方程与用算术方法解决实际问题时不同的思考过程。 1、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出相等关系，列方程； （3）解方程并检验； （4）作答。 2、用方程解决问题。 （1）用形如x±a=b的方程解决问题：先把未知量与已知量结合起来思考，再根据题中的等量关系列方程解答。 （2）已知数量甲比数量乙的几倍多（或少）几和数量甲，求数量乙的实际问题，可设数量乙为x，根据数量乙×倍数±几=数量甲，列出形如ax±b=c的方程进行解答。 （3）解决涉及两个未知量的问题：一般设其中一个未知量为x（通常设标准量为x），另一个未知量用含有x的式子表示，然后根据等量关系列方程求解。 3、解决“已知两个量的和（或差）及两个量的倍数关系，求这两个量”的问题，一般设其中一个未知量为x（通常设标准量为x），另一个未知量用含有x的式子表示，根据等量关系，用形如a±bx=c的方程解答。 4、列方程解决实际问题的关键是找出题中的等量关系，可以用学过的公式，数量关系式或者画图来寻找等量关系。 一、选择题 1．“神舟飞船”是中国自行研制，具有完全自主知识产权的载人航天飞船。“神舟十三号”飞船在轨飞行183天，比“神舟十二号”飞船在轨飞行时间的2倍少3天。“神舟十二号”飞船在轨飞行了多少天？要解决这个问题，如果设“神舟十二号”飞船在轨飞行了x天，下面所列方程错误的是（    ）。 A．2x－3＝183 B．183－2x＝3 C．2x－183＝3 D．2x＝183＋3 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 3．“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的记录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天。如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数”这个问题，下面所列方程中不正确的是（    ）。 A．2x＋3＝183 B．183－2x＝3 C．2x＝183＋3 D．2x＝183－3 4．下面四组信息，能用方程“4x＋x＝25”来解决的问题是（    ）。 A． B．修一条长25千米的公路，甲队每天修路4千米，乙队每天修1千米，两队合作修了x天才完成任务 C．长方形的周长是25分米，宽是x分米，长是宽的4倍 D．妈妈买了一张圆桌和4把塑料椅，其中椅子的单价x元，圆桌的单价25元 5．据相关部门统计，不吸烟而受二手烟危害的民众人数有很多，比吸烟民众数量的3倍少1.6亿。我国吸烟民众的数量约为多少亿人？设我国烟民的数量约为x亿人，用方程3x－1.6＝7.4来解决这个问题，还需要的信息是（    ）。 A．吸烟民众比吸二手烟民众多7.4亿 B．吸二手烟民众比吸烟民众多7.4亿 C．不吸烟而受二手烟危害的民众约7.4亿 D．吸烟民众约7.4亿 二、填空题 6．果园里梨树的棵树是桃树的3倍，梨树比桃树多90棵，梨树（ ）棵，桃树（ ）棵。 7．鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 8．某次数学考试，5个同学的平均分比后面3个同学的平均分少5分，前面两个同学的平均分是80分。那么，这五个同学的平均分是（ ）分。 9．《镜花缘》是清代李汝珍所著的长篇小说，书中出现了一些有趣的数学问题。下面的题目是根据一个问题改编的，你能解决吗？楼上灯有两种：甲种灯下一个大球，下缀两个小球；乙种灯下一个大球，下缀四个小球。大球共有三十六个，小球共一百二十个。甲、乙两种灯各有多少个？答：甲灯有（ ）个；乙灯有（ ）个。 10．研究发现，蟋蟀每分钟叫的次数与当地气温如下关系：h＝t÷7＋3（h表示当地气温，t表示蟋蟀每分钟大约叫的次数）。若测得某地气温是26℃则此时蟋蟀每分钟大约叫（ ）次；若某地蟋蟀每分钟大约叫217次。则该地气温是（ ）℃。 三、计算题 11．看图列方程解答问题。 四、解答题 12．甲、乙两车同时从A地开往B地，经5小时后，甲车落后乙车42.5千米，甲车每小时行驶58千米，乙车每小时行驶多少千米？ 13．有甲、乙两个水桶，甲桶盛的水是乙桶的2倍，如果把甲桶的水倒入乙桶5升，那么两个水桶中的水一样多。甲乙两个水桶原来各有水多少升？ 14．中国古代数学书中有这样一道有趣的题：“远望巍巍塔七层，红红点点倍加增。有灯三百八十一，请问尖层几盏灯？”意思是说：从远处望见七层的灯塔，每一层的灯都是上一层的2倍，塔上一共有381盏灯。求最高层有几盏灯。 15．家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： 他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； 他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； 抄近路下山，下山的路程比上山的路程近2千米； 下山用1小时； 根据上面信息，他作出如下计划： 在山顶游览1小时； 中午12：00回到家吃中餐。 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？ 学科网（北京）股份有限公司 $$