复习专题04 双曲线20种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题04 双曲线20种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在． (2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线． (3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小. ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点2 双曲线的方程及简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 知识点3 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2= = 知识点4 直线与双曲线的位置关系 1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、 弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 （为直线斜率） 3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 解题策略1、双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　 解题策略2、求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 解题策略3、双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 解题策略4、双曲线渐近线的求法和设法 (1)若双曲线方程为渐近线方程： (2)若双曲线方程为（，）渐近线方程： (3)若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， (4)若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 解题策略5、求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解． (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 解题策略6、直线和双曲线的一些重要结论 (1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． (2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　 (3)双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 解题策略7、双曲线的实际应用 (1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． (2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： ①建立适当的坐标系． ②求出双曲线的标准方程． ③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 考点剖析 【考点1 求双曲线的标准方程】 例1．双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式5】已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 双曲线方程的充要条件】 例2．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【考点3 双曲线的焦点三角形】 例3．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．10 C．14 D．2或10 【变式1】设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【变式2】设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________； 【变式3】设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 【变式4】已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【变式5】若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________. 【变式6】已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____. 【变式7】设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式8】【多选】已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ） A．P的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的面积为4 【考点4 双曲线上两点距离的最值问题】 例4．已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【变式1】已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 【考点5 双曲线上两线段的和差最值问题】 例5．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式2】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【考点6 双曲线的对称性】 例6．已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【考点7 求双曲线的离心率】 例7．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式2】已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【变式4】设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【考点8 求双曲线离心率的取值范围】 例8．已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞） 【变式1】已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考点9 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 例9．设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 . 【考点10 双曲线的简单几何性质问题】 例10．【多选】已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【变式1】【多选】若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．的最小值为 【变式2】【多选】已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 【考点11 与双曲线的渐近线有关的问题】 例11．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【变式2】双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A．90° B．45° C．60° D．30° 【变式4】已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 【考点12 直线与双曲线的位置关系】 例12．已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【变式1】过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【变式3】已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5】已知双曲线C的方程为. (1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； (2)当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 【变式6】已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【考点13 直线与双曲线的弦长问题】 例13．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 . 【变式3】已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 【变式5】已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，若，求的值． 【考点14 直线与双曲线的中点弦问题】 例14．过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【变式1】已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【考点15 双曲线中的向量问题】 例15．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________． 【变式1】双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【变式2】已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值. 【变式3】已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 【考点16 双曲线中参数范围及最值问题】 例16．双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 【变式3】已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值． 【考点17 与双曲线有关的轨迹方程】 例17．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 【考点18 与双曲线有关的定点、定值问题】 例18．已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 【变式1】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 【变式2】已知点在双曲线上． (1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值； (2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【变式3】已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 【变式4】已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上. (1)求双曲线C的方程； (2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点. 【变式5】已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【考点19 双曲线的实际应用】 例19．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. （1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程； （2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？ 【考点20 双曲线中的存在性(探索性)问题】 例20．已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式1】已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、． ①证明：为定值； ②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（21-22高二上·甘肃兰州·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三·北京·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·天津·期末）设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南文山·期末）若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 9．（23-24高二下·浙江衢州·期末）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 10．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 11．（22-23高二上·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南京·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 13．（22-23高二上·天津·期末）双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为 . 14．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 15．（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 . 四、解答题 16．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 ，求的值及点的坐标. 17．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 18．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 19．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 20．（23-24高二下·甘肃定西·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积．    21．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 22．（23-24高二上·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题04 双曲线20种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在． (2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线． (3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小. ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点2 双曲线的方程及简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 知识点3 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2= = 知识点4 直线与双曲线的位置关系 1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、 弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 （为直线斜率） 3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 解题策略1、双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　 解题策略2、求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 解题策略3、双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 解题策略4、双曲线渐近线的求法和设法 (1)若双曲线方程为渐近线方程： (2)若双曲线方程为（，）渐近线方程： (3)若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， (4)若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 解题策略5、求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解． (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 解题策略6、直线和双曲线的一些重要结论 (1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． (2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　 (3)双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 解题策略7、双曲线的实际应用 (1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． (2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： ①建立适当的坐标系． ②求出双曲线的标准方程． ③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 考点剖析 【考点1 求双曲线的标准方程】 例1．双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据离心率可得，再由可得曲线方程为，然后将点代入即可求解． 【解答】解：双曲线离心率，故， 将点代入双曲线方程可得，， 故，双曲线的方程为， 故选：A． 【变式1】已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标与渐近线方程，列出方程组，求出，得到C的方程. 【详解】由题意得：，解得：， 故C的方程为：. 故选：D 【变式2】已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 【变式3】与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的性质即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 所以设所求双曲线方程为且， 双曲线的渐近线方程为，所以，即 联立，解得. 所以双曲线方程为. 故选：B. 【变式4】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式5】已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程． 【详解】，是的中点，所以， ，则， ，解得， 所以双曲线方程为． 故选：D． 【考点2 双曲线方程的充要条件】 例2．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1】若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 【变式2】“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又当时，方程表示双曲线， 因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 故选：C 【变式3】若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【解析】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 【考点3 双曲线的焦点三角形】 例3．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．10 C．14 D．2或10 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求出答案. 【详解】因为双曲线， 所以，则， 因为点P到它的一个焦点的距离等于6， 设点P到另一个焦点的距离为， 所以，解得或 故选：D. 【变式1】设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案. 【详解】双曲线C：，则，， 由双曲线的定义知：，， ， 所以 . 故选：C. 【变式2】设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________； 【答案】 【分析】由得为直角三角形，由可求出；根据双曲线的定义以及勾股定理可求出. 【详解】因为，所以，则为直角三角形， 所以(为原点)， 又，，所以，， 所以. 不妨设点在双曲线的右支上，则，① 又，② 联立①②解得，， 所以. 故答案为：；. 【变式3】设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 【变式4】已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【解析】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 【变式5】若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________. 【答案】16 【分析】根据条件首先可得，然后可得，即可求出周长. 【详解】双曲线的标准方程为，所以， 因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则， 所以，所以的周长为6+6+10=16 故答案为：. 【变式6】已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____. 【答案】16 【分析】由双曲线的定义可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，从而求出△的面积． 【详解】双曲线，所以，，所以，，    是双曲线左支上的点，，， 在△中，由余弦定理得， ， △的面积为. 故答案为：. 【变式7】设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出． 【详解】设，，由，的面积为， 可得，∴① 由离心率为，可得，代入①式，可得. 故选：A. 【变式8】【多选】已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ） A．P的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的面积为4 【答案】ABD 【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 因为，所以. 由双曲线的定义可得①，两边平方得， 即，解得， 故的面积为，D正确. 设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确. ，解得②， 的周长为，C错误. ①＋②可得，B正确. 故选：ABD 【考点4 双曲线上两点距离的最值问题】 例4．已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 【变式1】已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，， 圆的圆心为，半径长为， 所以，双曲线的左、右焦点分别为、， 由双曲线的定义可得，， 所以，， 当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 【考点5 双曲线上两线段的和差最值问题】 例5．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 【变式1】已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 【变式2】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为. 【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，， 所以下焦点，设上焦点为，则， 根据双曲线定义：，在上支， ，, 在中两边之差小于第三边，， ,   . 故选：D. 【变式3】已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 【考点6 双曲线的对称性】 例6．已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形为矩形以及双曲线的渐近线关于轴对称，可得，利用抛物线方程求出，再根据可求得，从而可得结果. 【详解】因为四边形为矩形，所以，即双曲线的两条渐近线垂直， 根据双曲线的渐近线关于轴对称，可得， 所以，即， 又抛物线的焦点，所以双曲线中， 所以由可得，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D 【变式1】已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，由双曲线的对称性及双曲线的定义，利用勾股定理建立方程求解可得. 【详解】设双曲线另一焦点为，连接，如图， 因为三点共线，， 所以由双曲线的对称性知，四边形为矩形， 设，则，， 在中，，即， 又，解得或（舍去）， 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【变式2】已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率可得双曲线的两条渐近线是互相垂直的，然后利用双曲线经过的外心，同时结合双曲线的对称性和直角三角形的外心特点，通过的面积建立方程，然后解出方程即可 【详解】离心率为，则有： 又有：可得：，此时两条渐近线垂直，即，且直线和直线均与轴的夹角均为 则的外心为在线段的中点 若双曲线M经过点，根据双曲线的对称性可知：当且仅当轴时，且点为双曲线的顶点 此时有：， 的面积为12，则有： 解得： 故双曲线的实轴长为： 故选：C 【考点7 求双曲线的离心率】 例7．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上， 由于双曲线的渐近线方程为， 所以，即， 所以. 故选：A 【变式1】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法即可． 【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率． ∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2． 设双曲线C的方程为，则． 设，，则，，． 由，得， 即，∴，易得，，， ∴双曲线C的离心率． 故选：B． 【变式2】已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为圆心，为半径为径的圆经过点，得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解． 【详解】解：由题意得， 设，则，，，， 在中， 由勾股定理得，解得， 则，， 在中， 由勾股定理得，化简得， 所以的离心率， 故选：B 【变式3】已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 【变式4】设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 【变式5】已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， . 故选：D． 【变式6】已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可. 【详解】   如图所示，设，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作轴于D，， 故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故答案为： 【考点8 求双曲线离心率的取值范围】 例8．已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞） 【答案】C 【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得， 所以双曲线的离心率． 故选：C. 【变式1】已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出直线的斜率为，然后列出不等式，转化为求解双曲线的离心率的范围即可 【详解】设直线为， 因为直线与圆相切， 所以，所以 解得， 因为点在双曲线的右支上， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 故选：B 【变式2】已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围. 【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上. 所以必须满足，得，，，， 又，. 故选：B 【考点9 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 例9．设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，根据双曲线离心率的范围可得不等式，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线方程为,可得， 故实半轴，则， 由得，则， 即k的取值范围为， 故选：A． 【变式1】已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得， 此时，所以， 解得，所以， 当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意. 综上，解得. 故选：A． 【变式2】已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义结合勾股定理得出，再由等面积法得出，，再由结合离心率公式以及范围得出k的取值范围. 【详解】设，由题可知，∴. ∴，∴，∴. 又由，可知，∴，解得. ∵，，∴. ∴，依题意，，∴. 故答案为： 【考点10 双曲线的简单几何性质问题】 例10．【多选】已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 【变式1】【多选】若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】对于选项A，双曲线中，，得，故A不正确； 对于选项B，双曲线，化为形式，反解，得出其渐近线方程为，故选项B正确； 对于选项C，因为，可得双曲线的焦距为，故选项C正确； 对于选项D，为双曲线的焦点，不妨取，设，， 其中，得：（其中）， 当且仅当时取得最小值，最小值为，故D不正确. 故选：BC. 【变式2】【多选】已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】由标准方程可得， 所以，A正确； 离心率，B正确； ，，C错误； 渐近线方程为，D错误. 故选：AB. 【考点11 与双曲线的渐近线有关的问题】 例11．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线几何性质解决即可. 【详解】由题知，双曲线中，，焦点在轴上，渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A 【变式1】若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入方程，求出，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线经过点， ，，解得，所以双曲线方程为， 又，则该双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 【变式2】双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可. 【详解】双曲线，可得，，， 则右焦点到它的渐近线的距离为． 故选：． 【变式3】设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A．90° B．45° C．60° D．30° 【答案】C 【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角. 【详解】设，，由双曲线的定义可知， 又，，，可得，， 即，解得，， 可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为. 故选：C 【变式4】已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 【考点12 直线与双曲线的位置关系】 例12．已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式研究即可. 【详解】联立，消去得， 当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点； 当时，，解得或. 故选：C. 【变式1】过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条. 【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求； 当过点的直线斜率存在时，其方程可设为， 由，整理得 当时，方程可化为，方程仅有一根， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，方程可化为，方程仅有一根， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，若方程仅有一组解， 则，解之得 此时方程为，整理得，则 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意 综上，满足条件的直线共有4条 故选：D 【变式2】直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】已知直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得出结论． 【详解】联立，消y得，. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为. 故选：D． 【变式3】已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据l与C的上支交于不同的两点，联立两个方程，根据判别式和韦达定理列不等式，即可求出t的取值范围 【详解】解：由题意 在直线l：和双曲线C：中， 若l与C的上支交于不同的两点 ∴即 ∴解得： ∴t的取值范围为 故选：D. 【变式4】已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】将曲线的方程两边平方，即可得到曲线表示双曲线在轴及轴上方部分，求出双曲线的渐近线，再结合图象判断即可. 【详解】解：对于曲线，则， 所以，即，表示双曲线在轴及轴上方部分， 双曲线的渐近线为， 又直线与渐近线平行（重合）， 由图可知，当时直线与曲线相切， 所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D 【变式5】已知双曲线C的方程为. (1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； (2)当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 【解析】（1）由已知可设双曲线方程为， 又双曲线过点，即，解得， 故双曲线方程为，即； （2）设直线的方程为，即， 联立得， ， 解得：且， 综上所述：. 【变式6】已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【解析】（1）由题知，， 设右焦点，取一条渐近线， 则焦点到渐近线的距离， ，从而， 所以双曲线的方程为. （2）设，， 由，得， 则，， 所以， 则中点坐标为， 代入圆，得， 所以． 【考点13 直线与双曲线的弦长问题】 例13．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|. 故选：D. 【变式1】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得. 【详解】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，， 故选：D 【变式2】已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值，即可求出直线的方程，令即可得出答案. 【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为， 而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为， 与双曲线方程联立，化简可得， 由，得或． 设，，则，， 则，所以， ，解得：（舍去）或， 所以直线的方程为，令，可得. 故点P的坐标为. 故答案为：. 【变式3】已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】，令，得， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 如果在同一支上，则有； 如果在两支上，则， 因为这样的直线有4条， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4】已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知得，且，再结合求出，进而可得双曲线的方程； （2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果. 【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. 得，且，又， 解得, 所以， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以.    【变式5】已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线关系可求得，由此可得双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得的值. 【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为， 焦点到渐近线的距离， 又离心率，，解得：， 双曲线的方程为：. （2）由得：， 则，解得：且， 设，则，， ， 即，解得：或，均满足且， 或. 【考点14 直线与双曲线的中点弦问题】 例14．过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 【详解】设直线l：，由， 得，（※） 设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在. 故选：A 【变式1】已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设出，，利用“点差法”即可求出结果. 【详解】设，，则有与，两式相减得：，即， 又因为为AB的中点，所以，得到， 即直线AB的斜率为6. 故选：D. 【变式2】已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点差法即可求解 【详解】由已知得，又，，可得. 则双曲线C的方程为.设，， 则两式相减得， 即. 又因为点P恰好是弦的中点，所以，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 经检验满足题意 故选：C 【变式3】已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程. 【详解】设，，则，由点差法得． ∵，∴，，∴，又， ∴，∴渐近线方程为. 故选：A． 【考点15 双曲线中的向量问题】 例15．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________． 【答案】3 【分析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由双曲线定义得点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，然后根据双曲线的性质，数量积的运算律求解． 【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由， 可得． 因为的最小值为，所以的最小值是3． 故答案为：3. 【变式1】双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率； （2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程. 【详解】（1）因为是双曲线E上一点， 可得，即为， 由题意可得，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，则，，① 又，可得，② 由①②可得， ， 代入①可得，解得， 则直线l的方程为. 【变式2】已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程， （2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4， ，解得， 因为 所以双曲线的标准方程为 （2）将直线与曲线联立 得， 设，，则，， 设，由得， 即 ，又因为，解得， 所以或. 【变式3】已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解； （2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以， 又因为双曲线C：过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知：，则， 由题意设直线方程为，令，得，则， 设，则， 因为， 所以，则， 解得，因为点Q在双曲线上， 所以，解得， 所以直线l的斜率为. 【考点16 双曲线中参数范围及最值问题】 例16．双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆的方程，联立方程组，由得出的范围，从而得解. 【详解】由题意，右焦点， 又，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为， ， 联立方程组， 得， 由圆与双曲线有公共点，所以， 即，结合， 化简为， 由方程两根为： ，， 所以不等式的解为，或， 由已知，得 所以， 当时，取得最小值. 故选：A 【点睛】解决本题关键是曲线与曲线的位置关系，用联立方程组的方法，其中化简是个难点. 【变式1】已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围. 【详解】设双曲线的方程为为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得 直线为直线PA, 直线为直线PB, 则， ，又，，可得， 故选：C 【变式2】点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案. 【详解】由题知：设，，则， 由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，    则 ，当时，等号成立， 故， 故答案为:. 【变式3】已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到，再由离心率求出，，得到双曲线方程； （2）解法1：先考虑直线的斜率不存在时，，再考虑直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，由得到，再联立直线方程和双曲线渐近线方程，设，，得到两根之和，两根之积，利用表达出，从而得到结论； 解法2：可设，与双曲线方程联立，由得到，再联立直线方程和双曲线渐近线方程，得到两根之和，两根之积，从而表达出，结合，且，求出面积的最小值. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点， ∴， 又∵，所以，解得， 又因为离心率，解得，， ∴双曲线的标准方程为； （2）解法1：的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，此时，直线方程为，代入渐近线方程， 得到，故，又， 故的面积； 当直线的斜率存在时，设其方程为，直线与双曲线联立得 ， 因为相切，所以，解得， 另设，，    联立， ∴，， ， ， 在中，，， ∴， 所以， 所以， 因为，所以， 综上所述，，其最小值为； 解法2：由条件知，若直线的斜率存在，则斜率不为零， 故可设，直线与双曲线联立得， ， 因为相切，所以，即， 又因为直线与双曲线的渐近线交于两点，设为，， 联立， 由于，所以， 则, 由直线的方程得，直线与轴的交点坐标为， ∴ ， ∵， ∴即，且， ∴时，的最小值为， 综上所述，，其最小值为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【考点17 与双曲线有关的轨迹方程】 例17．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】解：已知圆：圆心，半径为4， 动圆圆心为，半径为， 当两圆外切时：，所以； 当两圆内切时：，所以； 即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义， 所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，， ， 所以动圆圆心的轨迹方程为：， 故选：C. 【变式1】已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可. 【详解】如图所示： ∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点， ∴，， ∵是圆上一动点，∴，∴， ∴，，， ∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式2】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解. 【详解】解：设动点，则， 则，，， 直线与直线的斜率之积为定值， ，化简可得，， 故点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式3】已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（    ） A．（） B． C． D．（） 【答案】A 【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解. 【详解】设，， 所以，整理为：，， 故选：A 【考点18 与双曲线有关的定点、定值问题】 例18．已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明． 【答案】(1) (2)斜率之积为定值4，证明见解析 【分析】（1）由双曲线的实轴长和离心率，求出与，可得双曲线C的标准方程； （2）分直线l斜率存在和不存在两种类型，通过联立方程组，设点，利用韦达定理表示直线QA，QB的斜率之积，化简得定值. 【详解】（1）双曲线的实轴长为4，则，即， 双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得． 所以双曲线C的标准方程为. （2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下： 过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为， 与双曲线方程联立解得，，. 直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为， 双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点， 由，消去得， 设，，有，， ， ， 当直线QA，QB的斜率均存在， . 所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4. 【点睛】方法点睛： 解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式1】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程组求，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，所以，， 由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值. 【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式2】已知点在双曲线上． (1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值； (2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【分析】（1）代入点，得，从而得双曲线方程及，的坐标，设点坐标为，则，结合在双曲线上，即可得答案； （2）设直线方程为，设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及，得，舍去，从而得，直线过定点，为直角三角形，为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证. 【详解】（1）解：因为点在双曲线上， 所以，解得， 所以双曲线，则． 设点坐标为，则， 所以． 因为点在曲线上， 所以， 所以， 所以的值为． （2）证明：依题意，直线的斜率存在， 故设其方程为，设， 联立，消得， 显然，否则不可能有两个交点， ， 由韦达定理得， 因为直线的斜率之积为， 所以， 所以， 即， 所以有， 将韦达定理代入化简得， 而当，此时直线为， 易知恒过定点，故舍去， 所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）    又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角， 所以当点为斜边的中点时，为定值． 综上所述，存在定点，使得为定值． 【变式3】已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离及渐近线方程列方程组，解方程； （2）设直线、方程，分别联立直线与双曲线，结合根与系数关系得、坐标，写出直线方程，可得直线过定点. 【详解】（1）设双曲线的焦点坐标为， 依题意渐近线方程为，即， 有， 解得， ； （2）由（1）可知右焦点， 设直线：，，， 由联立直线与双曲线， 化简得，， 故，， ， 又，则， 同理可得： ， ， 化简得， 故直线过定点. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【变式4】已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上. (1)求双曲线C的方程； (2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上过的点及离心率列出方程组，求出双曲线方程； （2）设出直线方程，分斜率不存在和斜率存在两种情况，特别是当斜率存在时，设直线为，与双曲线方程联立，根据题干中条件，列出方程，找到和的关系，求出过的定点，记得检验是否满足斜率不存在的情况. 【详解】（1）由已知得：，则， 又因为在C上，则， 解得，， 所以双曲线C的方程为. （2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，， 联立方程，消去y得， 由已知，则，且， 可得，， 又因为， 由可得：， 整理得：， 则， 可得，则， 由已知l不经过点，故， 所以，即， 可得l：，过定点； 若直线l的斜率不存在，设，， 可得， 由可得：， 又因为，解得，满足条件， 综上所述：故直线l过定点.    【点睛】方法点睛：直线过定点问题，先考虑直线斜率不存在时，再考虑直线斜率时，要设出直线方程为，与曲线方程联立后得到两根之和与两根之积，根据题意建立等量关系，求出的关系或者的值，从而求出定点. 【变式5】已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，可得双曲线的方程； （2）直线与双曲线联立方程组，设，两点和点坐标，由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设定点为，由恒成立，结合韦达定理求出. 【详解】（1）由已知得，，解得，. 双曲线的方程为：. （2）将代入，得，. 因与有两个交点，所以，，且. 设，， 则，， 从而. 根据对称性可知，如果直线过定点，则所过定点必在轴上， 不妨设为，则，. 过定点，即对恒成立. 即， 即. 因为，， 所以. 所以. 代入上式得，，. 上式对恒成立，当且仅当， 即直线恒过定点. 【点睛】方法点睛： 解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【考点19 双曲线的实际应用】 例19．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是， 由已知可得 ，将点坐标代入解得 的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程 解得 的坐标即可求得地标建筑的高. 【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示. 由题意可得：，， 设，双曲线的方程是， 则，解得 ， 所以双曲线的方程是：， 将点代入得， 解得， 所以该地标建筑的高为： . 故选： . 【变式1】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. （1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程； （2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程； （2），由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值. 【详解】解：（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6， ∴线路段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支， 则其方程为； ∵线路段上任意一点到O的距离都相等， ∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆， 则其方程为； ∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支， 则其方程为. 故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为； （2）设，由，则， 由（1）得，，即. 则. ∴当时，. 则站点为时，站点G到景点Q的距离最近. 【考点20 双曲线中的存在性(探索性)问题】 例20．已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）首先得，再将点的坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程； （2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可 【详解】（1）由题意得，， 所以，所以，， 所以双曲线C的标准方程为； （2）假设存在，设，， 由题意知，直线斜率不为0，设直线， 联立，消去，得， 则，， 且，， 因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线， 则，即，则， 整理得，故， 即，因为，所以，此时； 当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等； 综上所述，故存在满足题意 【变式1】已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、． ①证明：为定值； ②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②存在；或 【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程； (2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值，进而求解即可. 【详解】（1）令，根据题意可知：， 化简，可得：， 所以曲线C的方程为：. （2）设，，可设直线，联立方程 可得：， 则，      故且 ① ．      ②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为： ， ∴，将，代入可得： ，      将代入上式，得到： ， 所以直线过定点，    ∴ ∴或（舍） 所以存在直线l，使得的面积为， 直线l的方程为：或． 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以， 则，， 所以. 故选：A 2．（21-22高二上·甘肃兰州·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 3．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决. 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 4．（21-22高三·北京·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据渐近线方程求出的值，再根据可求结果. 【详解】因为渐近线方程为，所以， 所以， 故选：C. 5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出左焦点到渐近线的距离并得出直线的方程，联立直线和双曲线方程解得点横坐标，可知轴，即可求出的大小为. 【详解】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 6．（22-23高二上·天津·期末）设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点，求出的坐标，求出的坐标，根据求出即得解. 【详解】设双曲线的右焦点， 则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是． 由，得， 由,得， 所以，． 由，得， 则，即，则， 则， 故选：D． 7．（24-25高二上·云南文山·期末）若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实轴长以及焦距可得，，计算可得，再由渐近线方程的形式即可求得结果. 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（   ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AB 【分析】由题意求出，，，即可求得双曲线方程、焦点坐标、渐近线方程即可判断A项、B项；点代入双曲线方程可判断C项；求出直线恒过定点，可判断点在双曲线内，当过该点的直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个焦点即可判断D项. 【详解】由题意知，，解得， 所以双曲线方程为， 所以焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，故A项正确，B项正确； 对于C项，因为，所以点不在双曲线上，故C项错误； 对于D项，由整理得，所以直线恒过点， 又因为，所以点在双曲线内， 所以当时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故D项错误. 故选：AB. 9．（23-24高二下·浙江衢州·期末）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 【答案】AC 【分析】根据双曲线的性质判断A，利用点到直线的距离公式判断B，利用双曲线的定义判断C，求焦点三角形的面积，可判断D. 【详解】如图： 由双曲线的标准方程，可知，，所以，所以双曲线的焦距为：，故A正确； 双曲线的渐近线为，即，点到渐近线的距离为： ，故B错误； 设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义：， 所以，故C正确； 在中，由，，， 由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 10．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 11．（22-23高二上·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 【答案】ACD 【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到直线的方程为，联立方程组求得坐标，代入方程化简得，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断B，结合纵坐标求得面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D. 【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线， 从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为， 设直线与直线相交于点， 联立方程组，解得，即， 又，结合中点坐标公式，可得， 代入双曲线，可得，整理得，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 故直线与圆相切，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南京·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据有公共渐近线，设出双曲线方程，代入，求出，求出双曲线方程. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得，故方程为． 故答案为： 13．（22-23高二上·天津·期末）双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义即可求得. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 设左右焦点分别为，由双曲线的定义得，则， 又因为，所以， 故或， 又因为，故（舍）. 故答案为：. 14．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理得到 ，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中，， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程， 15．（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 . 【答案】/ 【分析】设双曲线的左焦点为，分析可知为矩形，则，分析可知，即可得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，， 由对称性可知：，可知为平行四边形， 且，可知为矩形，可得， 由题意可得：，即， 因为，可得， 整理可得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 四、解答题 16．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 ，求的值及点的坐标. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，代入点即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算即可求出点C的坐标及. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以可设双曲线的方程为， 代入可得，，解得， 所以双曲线方程为， 即双曲线的方程为：. （2）设，，， 因为，则，， 由直线与双曲线方程联立可得，， 消元可得：，， ， ， ， ，解得，， ，. 17．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 18．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 19．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程； （2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以. 20．（23-24高二下·甘肃定西·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线标准方程求法，列方程组解决即可； （2）直线与曲线方程联立方程组，根据韦达定理，得，根据两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）依题意知的方程经过点， 可知焦点在轴，且双曲线的实半轴， 故可设双曲线方程为， 因为经过点，代入解得， 故的方程为； （2）    由（1）知曲线，联立直线与曲线方程， 有则，于是， 设点，点，显然直线斜率存在， 则， 所以直线与直线斜率之积为． 21．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可； （2）设直线的方程及坐标，利用韦达定理及向量的数量积公式证明的余弦值为正即可. 【详解】（1）设，则， 易知的渐近线方程为， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即， 又， 则双曲线方程为：； （2）由上知，不妨设的方程为及， 显然，异号， 则，， 联立，整理得， 则， 易知， 而异号，则， 所以，即， 即为锐角，得证. 22．（23-24高二上·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【详解】（1）解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． （2）解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、，    联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$