专题05 函数零点问题（4基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题05 函数零点问题 零点存在性问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数.在下列区间中，包含零点的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的零点所处的区间是（   ） A． B． C． D． 二分法求零点问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（    ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 直接法求零点问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点为 . 分参法求函数零点问题 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 5．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若关于的方程有解，求的取值范围. 图像法比较零点大小 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数的图象在上连续不断，且，则函数在上无零点 B．函数有且只有1个零点 C．函数有2个零点 D．若，则函数有3个零点 零点之间的关系 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数（）的所有零点之和为 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知是奇函数，若方程有2021个实数根，则这2021个实数根之和为（    ） A．0 B．1010 C．1008 D．2021 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数，函数有4个不同的零点，，，且 ，则的取值可能为（    ） A． B．7 C． D． 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的零点为，函数的零点为，则 . 分类讨论法求零点问题 1．（23-24高一上·河南新乡·期末）（多选）已知函数且，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象与直线一定没有交点 C．若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是 D．若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，给出下列三个结论： ①当时，函数的单调递减区间为； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且． 其中，所有正确结论的序号是 ． 零点综合性问题 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，，则为锐角 D．若，均小于2，则 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为 ． 零点新定义题型 1．（23-24高一上·河北承德·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北保定·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数零点问题 零点存在性问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到函数在上连续且单调递增，再分别计算，根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】易知函数的定义域为，且函数在上是连续不断的， 又，， 由函数零点存在性原理可知，在区间上有零点， 又在区间上单调递增，所以在上只有一个零点， 故选：D. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点的存在定理，判断零点所在区间. 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 由，， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数.在下列区间中，包含零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可. 【详解】，由零点存在定理可知，包含零点的是. 故选：A 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差构造函数，利用零点存在定理进行求解. 【详解】令， 则， ， 因为， 所以函数的零点所在的区间是， 即方程的解所在的区间是. 故选：B. 5．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的零点所处的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性与零点存在性定理可得. 【详解】，且是上的减函数. 由，， 根据区间上零点存在性定理，有且只有一个零点，且在区间上. 故选：B. 二分法求零点问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（    ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理即得答案. 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的近似解在，，，内，又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为2.52，2.55. 故选：BC 直接法求零点问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解. 【详解】A. 因为，所以是非奇非偶函数，故错误； B. 因为，所以是奇函数，故错误； C.因为函数的定义域为，所以是非奇非偶函数，故错误； D.因为，所以是偶函数，令，解得，故正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，即， 所以函数的零点为. 故答案为： 分参法求函数零点问题 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求出k的值，即得的表达式，函数无零点，即无实数解，令，即将问题转化为的图象与直线无交点，进而求出的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是偶函数， 故对于，有， 即， 故， 故，由于，故； 函数无零点，即无实数解， 即无实数解， 令，则的图象与直线无交点； 而， 由于在R上单调递减，故在R上单调递减， 当x趋向于无穷大时，无限趋近于0，且，故，且可无限接近于1， 当x趋向于负穷大时，趋近于正无穷大， 故， 故要使得的图象与直线无交点，需满足， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数奇偶性的应用以及零点问题，解答的关键在于将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可解决. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质计算即可得； （2）结合函数单调性及图象性质计算即可得. 【详解】（1）当时，，当时，，， 是奇函数．．， 又，； （2）当时，单调递增，则， 又是定义在R上的奇函数，时，也单调递增，且， 有两个不同的解，等价于与的图象有两个不同的交点， 实数a的取值范围为． 5．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式解法得，再由指数函数单调性求解； （2）分离参数，得，利用基本不等式求最值，即可. 【详解】（1）当时，，即， 则， ， ， . 故不等式的解集为. （2）即. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的取值范围是. 图像法比较零点大小 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果. 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数的图象在上连续不断，且，则函数在上无零点 B．函数有且只有1个零点 C．函数有2个零点 D．若，则函数有3个零点 【答案】BCD 【分析】举反例即可判断A，利用数形结合即可判断BC，利用换元法和一元二次方程的解即可判断D. 【详解】对于A，在上连续，且，但.故A错误； 对于B，方法一：因为在上单调递增， 则在上单调递增，当时，， 当时，，由零点存在定理可知函数有且只有1个零点. 方法二：，作出两函数，则两个函数图象显然有一个交点，故B正确； 对于C，可转化为，函数，图象有两个交点.故C正确； 对于D，令，则由解得或 若，即，，方程有两个不等正根 若，即，解得， 综上共3个零点，故D正确. 故选：BCD. 零点之间的关系 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数（）的所有零点之和为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：函数的零点等价于函数 和的图象在区间内的交点的横坐标． 由于两函数图象均关于直线对称，且函数 的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即内的所有零点之和为，故选C． 考点：1函数零点；2转化思想． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性以及，可得且，令，则，然后用表示，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果. 【详解】因为函数在上递减，在上递增， 又，所以，且， 令，则， 所以，， 所以， 设函数，， ∵在上单调递增， ∴，即， ∴， 故选：B． 3．（21-22高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围. 【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点， ，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为； 的图象如下： 所以时，与的图象有四个交点，不妨假设， 由图及函数性质知：，易知：，， 所以. 故选：C 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知是奇函数，若方程有2021个实数根，则这2021个实数根之和为（    ） A．0 B．1010 C．1008 D．2021 【答案】A 【分析】直接根据奇函数的对称性得到答案. 【详解】由奇函数的图象的对称性，可知这2021个实数根两两之和为0且，故和为0. 故选：A. 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数，函数有4个不同的零点，，，且 ，则的取值可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】AB 【分析】令得，问题转化为有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案， 【详解】，令得， 函数有4个不同的零点，即有4个不同的根， 根据题意，作出的图像如图所示，    由二次函数的对称性可知， 由对数函数的性质，，即， 则有，得，所以， 由，解得，则， 对勾函数在上单调递增，有，得， 所以. 故选：AB 【点睛】方法点睛： 的零点个数，转化为根的个数，即函数与函数图象交点的个数；求零点的和，要充分利用函数图象的对称性和函数的性质和运算规则. 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数的零点为，函数的零点为，则 . 【答案】6 【分析】根据的零点即为与的交点之横坐标，的零点即为与的交点之横坐标，且与互为反函数，即图象关于对称，且与垂直，所以和与的交点也关于对称，据此求解 【详解】解：令得，则的零点即为与的交点之横坐标， 同理函数的零点为与的交点之横坐标， 又与互为反函数，即它们的图象关于对称，且与垂直， 所以和与的交点也关于对称， 由解得两直线交点为， 所以. 故答案为：6 分类讨论法求零点问题 1．（23-24高一上·河南新乡·期末）（多选）已知函数且，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象与直线一定没有交点 C．若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是 D．若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可；对于B，讨论和时的单调性及最值即可判断；对于C，的图象与直线有2个交点，等价于方程有两个实数根，根据的图象即可得到结果；对于D，由C项分析知，线段的长度为即可判断选项. 【详解】，所以是偶函数，正确. 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时的图象与直线没有交点. 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，此时的图象与直线没有交点， 故的图象与直线一定没有交点，B正确. 令，则，即.若的图象与直线有2个交点， 则1，解得.又因为且，所以的取值范围是，C正确. 由，解得，所以，错误. 故选：ABC. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果. 【详解】当时， 函数的大致图像如图所示： 因为当时，， 所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解， 需要满足且，解得， 故选：A、B. 【点睛】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围 【详解】有两个零点， 有两个零点，即与的图象有两个交点， 由可得，或 ①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意 ②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意 ③当时，函数单调递增，故不符合题意 ④时，单调递增，故不符合题意 ⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点 综上可得，或 故答案为： 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，给出下列三个结论： ①当时，函数的单调递减区间为； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解. 【详解】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误； 对于②，函数可转化为， 画出函数的图象，如图：      由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确； 对于③，令即，结合函数图象不妨设， 则， 所以，，，所以， 令即， 当时，，存在三个零点，且，符合题意； 当时，，存在三个零点，且，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题. 零点综合性问题 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，令，转化为方程有两个不等实根，，零，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 令，则，则， 令，可得， 函数的图象，如图所示，    由题意，方程有两个不等实根，， 不妨设，则，，令， 则，此时解得，或，此时无解， 综上所述，实数k的取值范围是. 故选：C． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，，则为锐角 D．若，均小于2，则 【答案】ABD 【分析】结合一元二次方程的根的分布，根与系数的关系，两角和的正切公式．零点存在定理逐项计算即可得. 【详解】、是关于x的方程的两个不相等的实数根， ，或． 由根与系数的关系得，， ，则，，．故A正确； 令，若，则，得，故B正确； 若，且，，则， 由，， ，， 为钝角，故C不正确； 若，均小于2，则即， ，故D正确. 故选：ABD． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为 ． 【答案】 【解析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解. 【详解】由得有两个不同的解， 令， 的顶点在上， 而与的交点坐标为， 联立得， 由，解得或， 数形结合，要使得有两个不同的解， 则实数的取值范围是或或. 故答案为： 零点新定义题型 1．（23-24高一上·河北承德·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的零点为的零点为0，3.再由题意求解. 【详解】解：的零点为的零点为0，3. 因为与互为“零点相邻函数”， 所以或， 则或， 解得或. 故选：D 2．（23-24高一上·河北保定·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得函数的零点，结合题意，得出不等式或，即可求解. 【详解】令，即，解得，即的零点为， 再令，即，解得或，即的零点为和， 因为与互为“零点相邻函数”，所以或， 则或，解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 试卷第4页，共22页 试卷第3页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$