专题04 指数、对数、幂函数（11基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题04 指数、对数、幂函数 指数、对数运算 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B．（其中，） C．（其中） D． 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·河北·期末）若，则的值为 ． 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）求解下列问题： (1)计算：； (2)若，，求的值． 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算下列各式 (1)； (2). 对数函数定义域及过定点问题 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为 ． 3．（23-24高一上·河北·期末）函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ． 指数与对数函数图像 1．（23-24高一上·河北·期末）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选）已知且，函数与的图象的交点坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 指对复合函数的单调性 1．（23-24高一上·河北·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的单调递增区间是 ． 5．（23-24高一上·河北·期末）函数的单调递减区间是 . 6．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 指对函数模型应用 1．（（23-24高一上·河北·期末）今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 2．（23-24高一上·河北·期末）我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，由此可知的近似值为（   ） A．1.519 B．1.726 C．1.609 D．1.316 3．（23-24高一上·河北承德·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（    ） A．100 B．900 C．1200 D．8100 4．（23-24高一上·河北·期末）国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（    ）（参考数据：，） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 5．（23-24高一上·河北·期末）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（    ） A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x） C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 6．（23-24高一上·河北·期末）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（   ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 7．（23-24高一上·河北·期末）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（    ） A．43 B．45 C．47 D．49 8．（23-24高一上·河北唐山·期末）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.已知气体在半径为的管道中，流量为，则气体在半径为的管道中，流量为 . 9．（23-24高一上·河北·期末）茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是. (1)求的值； (2)经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到） （附：参考值） 10．（23-24高一上·河北·期末）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间． (1)求h的值； (2)求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数） 参考数据： 利用指对函数单调性解不等式 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是R上的偶函数，且当时，. （1）求的值；并求出函数的表达式，并直接写出其单调区间((不需要证明)； （2）若，求实数a的取值范围. 2．（22-23高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； (2)解关于x的不等式. 4．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 指对型函数及其应用（不含参数） 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称 C．的值域为 D．，且 2．（22-23高一上·河北保定·期末）（多选）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在定义域上是单调减函数 C． D．函数所有零点之和大于零 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递增 D．若实数，满足，则 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．函数与是同一个函数 5．（23-24高一上·河北·期末）已知定义在上的奇函数的图象经过点，且当时，． （1）求a的值； （2）求函数的解析式． 6．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，. (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求函数的值域. 7．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·河北·期末）已知函数为奇函数． (1)求常数的值； (2)判断函数在上的单调性． 指对幂函数比较大小 1．（23-24高一上·河北·期末）设,则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·河北张家口·期末），，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北·期末）已知，则 A． B． C． D． 11．（23-24高一上·河北·期末）（多选）若，，，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为 ．（用“”连接） 指对函数奇偶性相关应用 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，根据函数单调性的定义证明在上单调递减； (2)由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数的图象关于点中心对称的充要条件是. 据此证明：当时，函数的图象关于点中心对称. 2．（23-24高一上·河北·期末）已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式 ①函数是偶函数；②函数是奇函数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数（且），在上的最大值为1. （1）求的值； （2）当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求出的值域. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知，函数，. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，问：是否为定值（与a无关）?并说明理由. 利用对数函数的性质求参数 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数，下列四个命题正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若，其中，则 C．若的值域为R，则 D．若，则 幂函数及其简单性质 1．（23-24高一上·河北·期末）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）已知幂函数的图象经过点，，则 . 3．（23-24高一上·河北·期末）若幂函数在上单调递增，则实数 . 4．（23-24高一上·河北衡水·期末）幂函数在上为减函数，则的值为 ． 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则实数 ． 6．（23-24高一上·河北承德·期末）已知幂函数的图象过点，则 . 根据函数最值求参数问题 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为(　　) A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，函数，其中，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数,． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值是，求实数的值． 利用换元求指数、对数函数最值问题 1．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数. (1)求函数在上的最小值； (2)设函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，求函数的值域． 4．（23-24高一上·河北·期末）若函数在区间上有最大值4和最小值1，设． (1)求a、b的值； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围； 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 恒成立与存在性问题综合 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数． （1）当时，求的定义域； （2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增． (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数且. (1)若，函数，求的定义域； (2)若，求的取值范围. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)若关于x的方程在上有解，求m的取值范围； (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）． (1)求不等式的解集； (2)若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)若，使得，求实数m的取值范围． 8．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并判断函数的单调性（给出判断即可，不需要证明）； (2)若对于任意，，且，都有恒成立，求实数的取值范围． 9．（（23-24高一上·河北·期末）已知函数的定义域是，且. (1)求函数的定义域和值域； (2)若函数对定义域内任意的实数，，，，都有恒成立，求实数的取值范围. 指对函数零点问题 1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的单调性，并说明理由； (3)若关于的方程有解，求的取值范围. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 3．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若关于的方程有解，求的取值范围. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数（k为常数，），且是偶函数. （1）求k的值； （2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围. 6．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在R的奇函数，其中a是常数. （1）求常数a的值； （2）设关于x的函数有两个不等的零点，求实数b的取值范围； （3）求函数在上的值域. 7．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围. 8．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 指数、对数与新定义函数 1．（23-24高一上·河北·期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. (1)证明：在上是有界函数； (2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 2．（23-24高一上·河北·期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点. (1)求函数的次不动点； (2)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·河北·期末）对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 4．（23-24高一上·河北·期末）若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”． (1)试判断函数与是否为“速增函数”； (2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围． 试卷第28页，共28页 试卷第27页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数、对数、幂函数 指数、对数运算 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B．（其中，） C．（其中） D． 【答案】ACD 【分析】利用指数幂、对数的运算性质计算即可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由对数性质可知，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，,所以，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】32 【分析】由，得，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由 ， 所以，可得 ， ，又因为 所以. 以上不等式等号的取得条件都是. 故答案为：32 3．（23-24高一上·河北·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与指对数互化求得，从而得到，进而得解. 【详解】因为，则，所以， 则，所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）求解下列问题： (1)计算：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算求解;（2）指对互化求解 【详解】（1） （2）∵，， ∴，， ∴． 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算下列各式 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用对数的性质计算即可. （2）运用指数的性质运算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 对数函数定义域及过定点问题 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】要使函数有意义，则有，解出即可. 【详解】要使函数有意义，则有，即，解得 故答案为： 3．（23-24高一上·河北·期末）函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质即可得解. 【详解】因为（，且）的图象过定点A， 令，则，， 所以点A的坐标为. 故答案为：. 指数与对数函数图像 1．（23-24高一上·河北·期末）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案. 【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B 2．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性以及，可得且，令，则，然后用表示，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果. 【详解】因为函数在上递减，在上递增， 又，所以，且， 令，则， 所以，， 所以， 设函数，， ∵在上单调递增， ∴，即， ∴， 故选：B． 3．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选）已知且，函数与的图象的交点坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由指数、对数运算可知，从而可解. 【详解】由指数、对数运算可知：， 所以函数的图象不可能经过点， 函数的图象不可能经过点， 函数与的图象交于点. 故选：BCD 指对复合函数的单调性 1．（23-24高一上·河北·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解. 【详解】由，解得， 故函数的定义域为， 令，其在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数为减函数， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可． 【详解】函数的定义域为：， 函数在定义域内是增函数， 函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故选：C． 3．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调递增时a的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案. 【详解】在上单调递增等价于函数满足： ①在上单调递增，②， 即，解得， 结合选项可知是的充分不必要条件， 故选：D. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间. 【详解】函数，由，解得， 所以函数的定义域为， 设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在定义域内单调递减， 由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）． 故答案为： 5．（23-24高一上·河北·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可. 【详解】 的定义域为，解得， 或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 故答案为:. 6．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【详解】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 指对函数模型应用 1．（（23-24高一上·河北·期末）今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得:，解得， 所以， 当时，得，即， 两边取对数得， 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年. 故选：B. 2．（23-24高一上·河北·期末）我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，由此可知的近似值为（   ） A．1.519 B．1.726 C．1.609 D．1.316 【答案】C 【分析】运用对数的运算性质，以及，化简整理即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：C 3．（23-24高一上·河北承德·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（    ） A．100 B．900 C．1200 D．8100 【答案】D 【分析】首先根据条件求，再代入求的值. 【详解】由题意可得，解得，所以.令，解得8100. 故选：D 4．（23-24高一上·河北·期末）国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（    ）（参考数据：，） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解. 【详解】设该品牌设置的质保期至多为年， 由题意可得，，则， 两边取对数，即，则， 即，则， 因为，所以，则，又因为，所以， 故选：C. 5．（23-24高一上·河北·期末）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（    ） A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x） C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 【答案】C 【分析】根据函数递增的性质，运用代入法进行求解即可. 【详解】因为三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷， 所以可以看出来不是线性增加，故选项A不符合题意； 对于选项B：把分别代入解析式中，得，不符合题意； 对于选项C：把分别代入解析式中，得，符合题意， 对于选项D：把代入解析式中，得， 把代入解析式中，得， 把代入解析式中，得，跟选项C来比，选项C更近似， 故选：C 6．（23-24高一上·河北·期末）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（   ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【答案】C 【分析】依题运用特殊值求得函数模型中t的值，然后运用函数模型得到关于n的不等式，通过指、对运算求得n的取值范围，即可得解． 【详解】依题意，，，当时，，即，可得， 于是，由，得，即， 则，又，因此， 所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次， 故选：C. 7．（23-24高一上·河北·期末）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（    ） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】C 【解析】根据指数函数的性质列出函数解析式，然后解相应的不等式即可得． 【详解】设为天后感染的总人数，则， 由已知得，两边取对数化简得， 所以. 因为取正整数，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数､对数函数的运算，考查数学运算核心素养. 8．（23-24高一上·河北唐山·期末）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.已知气体在半径为的管道中，流量为，则气体在半径为的管道中，流量为 . 【答案】25 【分析】先计算出比例系数，在根据比例系数算出流量. 【详解】设比例系数为k，根据题意得：，把代入得. 当时，. 故答案为：25 9．（23-24高一上·河北·期末）茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是. (1)求的值； (2)经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到） （附：参考值） 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据题意列出等量关系式，求解即可； （2）代入得 然后结合，求解时间； 【详解】（1）根据题意，当 代入函数模型，整理得：， 解得：. （2）假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感， 则有：，代入， 得：， 所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感. 10．（23-24高一上·河北·期末）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间． (1)求h的值； (2)求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数） 参考数据： 【答案】(1)10； (2)14. 【分析】（1）把给定的数据代入，解指数方程作答. （2）由（1）求出函数关系，再由函数值求出自变量值作答. 【详解】（1）在中，， 则有，整理得，即，解得， 所以h的值为10. （2）由（1）知，，当时，，即有， 取常用对数得：，解得，而，则， 所以服装价格降到60元每件时需要14天. 利用指对函数单调性解不等式 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是R上的偶函数，且当时，. （1）求的值；并求出函数的表达式，并直接写出其单调区间((不需要证明)； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；；单调增区间是,单调减区间是；（2）. 【分析】（1）根据已知解析式，利用偶函数的定义即可计算的值；当时, 根据已知解析式，利用偶函数的定义即可求得此时的函数解析式，进而得到整个定义域内的函数解析式；利用对数函数的性质和复合函数的单调性，即可判定函数的单调增区间是，结合偶函数的性质，可得单调减区间； （2）利用（1）的结论，结合偶函数的性质，将所求不等式等价转化为，进而利用对数函数的性质求得实数的取值范围 【详解】（1）； 当时,g， ∴， 函数的单调增区间是,单调减区间是; （2）由（1）的结论可得等价于， ∴,即实数的取值范围是. 2．（22-23高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数，利用换元法求出当时解析式，即可得到函数在R上的解析式； （2）分别对，，三种情况解不等式. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 当时，有，从而， 所以. （2）由（1）知，当时，因为，，所以， 当，，所以当时，， 而当时，，所以不等式在上无解； 当时，不等式为，所以. 记函数，， 因为，所以函数，均为R上的单调增函数， 所以函数为R上的单调增函数. 又， 所以当时，不等式的解集为． 从而关于x的不等式的解集为. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【详解】（1）因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得或. （2）因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 4．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式分离变量得，由，利用对数函数的单调性放大可得，构造函数，由及的单调性可得. 【详解】设，易知在上单调递增. 原式可整理为，由， 则， 即. 因为在上单调递增，所以. 所以，则， 所以当时，；当时，. 故ABC都错误，仅D正确. 故选：D. 指对型函数及其应用（不含参数） 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称 C．的值域为 D．，且 【答案】ACD 【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项. 【详解】的定义域为关于原点对称, ，所以是奇函数，图象关于原点对称， 故选项A正确，选项B不正确； ，因为，所以，所以， ，所以，可得的值域为，故选项C正确； 设任意的， 则， 因为，，，所以， 即，所以，故选项D正确； 故选：ACD 【点睛】利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设是该区间内的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论. 2．（22-23高一上·河北保定·期末）（多选）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在定义域上是单调减函数 C． D．函数所有零点之和大于零 【答案】AC 【分析】根据求解可判断A；取特值验证可判断B；通过观察法求值域可判断C；根据奇函数的对称性即可判断D. 【详解】对A，由得的定义域为， 因为为奇函数，所以，解得，A正确； 对B，由上知，， 因为， 所以，显然不满足减函数定义，B错误； 对C，因为，所以， 所以，所以， 所以，C正确； 对D，因为函数和均为奇函数， 所以是定义在上的奇函数， 由对称性可知，若是的一个零点，则也是的一个零点， 所以，的所有零点之和等于0，D错误. 故选：AC 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递增 D．若实数，满足，则 【答案】ABD 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，故A正确； 对于B选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数， 当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，故函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则， 因为在定义域上单调递减，可得，即，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．函数与是同一个函数 【答案】BD 【分析】①求函数的定义域,可令,解出此不等式的解集即可得到所求函数的定义域； ②判断函数的奇偶性,要用定义法,由函数解析式研究与的关系,即可证明出函数的性质； ③此函数是一个减函数,由定义法证明要先任取且,再两函数值作差,判断差的符号,再由定义得出结论. ④判断函数事都是同一函数,首先看定义域,定义域相同,然后看解析式,解析式也相同,即为同一函数. 【详解】①由题意令,解得,所以数的定义域是,A错误； ②由A知函数的定义域关于原点对称,且函数是奇函数,B正确； ③此函数在定义域上是减函数,证明如下：任取属于且, , 由于属于且, ,, 可得 所以, 即有,即, 故函数在定义域是减函数,C错误； ④函数定义域：,即, , 故函数与是同一个函数,D正确. 故选BD 【点睛】本题考查函数的基本性质：定义域、奇偶性、单调性,只需按照定义判断即可. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知定义在上的奇函数的图象经过点，且当时，． （1）求a的值； （2）求函数的解析式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）将代入函数解析式可构造方程求得； （2）当时，可知，由奇偶性可知，得到时的解析式；由奇函数性质知，从而得到函数的解析式. 【详解】（1）过点    ，解得： （2）由（1）知，当时， 当时，     为上的奇函数     当时，由奇函数性质知： 综上所述： 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式的问题，关键是能够利用得到对称区间的解析式；易错点是忽略的情况. 6．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，. (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，由奇偶性得到； （2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案； （3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域. 【详解】（1）， 因为为上的偶函数，所以； （2）当时，， 故， 又为上的偶函数，故， 所以， 所以； （3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为， 故， 由函数为偶函数可知，当时，单调递增，， 则， 综上，的值域为 7．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）求出函数定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性； （2）将变形为，根据复合函数的单调性的判断方法，即可判断出答案； （3）根据函数的单调性，可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得函数定义域为，关于原点对称， 则， 故函数为奇函数； （2）由于， 由于函数在上单调递减，而在上单调递减， 故在上单调递增； （3）因为在上单调递增， 故成立，需满足， 解得. 8．（23-24高一上·河北·期末）已知函数为奇函数． (1)求常数的值； (2)判断函数在上的单调性． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 【分析】（1）由奇函数的定义可知对于定义域内任意有恒成立，由此即可求出答案； （2）设，由函数单调性的定义易知在单调递减，利用复合函数的单调性判断“同增异减”，则说明函数在上单调递增. 【详解】（1）∵函数为奇函数， ∴恒成立，即， ∴， 则，则恒成立，解得． 当时，，舍去； 当时，，满足题意． 故． （2）由（1）知， 设， 任取，，且， ． ∵，∴， 又∵,，， ∴ ∴函数在上单调递减． 又函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增． 指对幂函数比较大小 1．（23-24高一上·河北·期末）设,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“1”、“2”分析判断. 【详解】由题意可知：在内单调递减，可得，即； 在内单调递增，可得，即； 在内单调递减，可得，即； 综上所述：. 故选：D. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，得到，即，所以， 故选：A. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的关系、三角函数值域、指数幂运算，结合函数的单调性及不等式的放缩比较大小. 【详解】，. 故选：D． 4．（23-24高一上·河北·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系. 【详解】解：，， ∴． 故选：D 5．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对、化简后可得具体的值，对有. 【详解】，故． 故选：D. 6．（23-24高一上·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差比较的大小，结合与2的大小关系即可判断. 【详解】因为 ， 所以. 因为，所以. 故选：D. 7．（23-24高一上·河北·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得； 【详解】解：，因为在定义域上单调递增，所以，所以，又，所以 故选：C 8．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性和中间值比较大小. 【详解】因为在上单调递增，故， 因为在R上单调递减，所以， 因为在R上单调递增，所以， 综上，. 故选：D 9．（23-24高一上·河北张家口·期末），，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与中间量的比较得最小，再比较可得大小. 【详解】，，，故最小. 由，，故，即. 故选：B. 10．（23-24高一上·河北·期末）已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 11．（23-24高一上·河北·期末）（多选）若，，，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由对数函数的单调性可得出，从而，则关系可判断；由，则关系可判断；取特殊数字可得的大小不定. 【详解】由，则，即， ，即，则，所以,故选项A正确. ，所以,故选项C正确. 取 满足，，，此时， 取 满足，，，此时， 所以的大小不定. 故选：AC 12．（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】. 【分析】先根据条件得出的对称轴，利用指数函数、对数函数的性质结合的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知的图象关于轴对称， 则在上单调递减， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 即， 所以，而， 故，则. 故答案为： 指对函数奇偶性相关应用 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，根据函数单调性的定义证明在上单调递减； (2)由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数的图象关于点中心对称的充要条件是. 据此证明：当时，函数的图象关于点中心对称. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）化简得到，定义法证明函数单调性的步骤，取点，作差，判号，下结论； （2）得到，计算出，得到答案. 【详解】（1）时，， 任取，则， 因为在上单调递增， 所以，又， 所以，故， 所以在上单调递减； （2）时，， ， 故函数的图象关于点中心对称. 2．（23-24高一上·河北·期末）已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式 ①函数是偶函数；②函数是奇函数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【分析】先利用赋值法求，化简的解析式之后应用对数函数的单调性解不等式 【详解】根据题意, 易得函数的定义域为. 选择①: 为偶函数, 因此, 故, 解得.经检验符合题设 ,, 即即或 不等式的解集为； 选择②:函数为奇函数,有, 即, 解得.经检验符合题设， ,, 即即 不等式的解集为. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数（且），在上的最大值为1. （1）求的值； （2）当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求出的值域. 【答案】（1）或.（2）的值域为. 【分析】（1）对a进行分类讨论，计算不同的a对应的的最值，计算参数，即可．（2）得到方程，然后结合对数函数性质，计算定义域，结合与的关系，判定奇偶性，化简，计算真数的范围，进而得到的范围，即可． 【详解】（1）当时，是增函数，，； 当时，是减函数，，； 所以或. （2）当函数在定义域内是增函数时，. ， 由，得函数的定义域为， 因为，所以是偶函数， 因为，当时，， 所以的值域为. 【点睛】本道题考查了函数解析式求法、奇偶性判定和函数值域计算方法，结合与的关系，判定奇偶性，结合二次函数性质和对数函数性质，计算值域，即可． 4．（23-24高一上·河北·期末）已知，函数，. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，问：是否为定值（与a无关）?并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值3，理由见解析 【分析】（1）当时，由可得，即3，代入即可求得； （2）由，可得；由，可得，故，再借助于指数幂的运算即可求得； （3）法1：由，化简可得，又，结合函数是单调递增函数即可求得． 法2：由，化简可得，又，再结合函数为单调增函数即可求得． 【详解】（1）当时，，. 由得，，故，即. 此时. （2）由得，. 由得，，故. 注意到， 所以，解得. （3）法1： 因为，所以（﹡）， 变形得，，所以. 又因为，函数为单调增函数，所以. 代入（﹡），得，即，所以为定值（与无关）. 法2： 因为，所以（#）， 变形得，，所以. 又因为，函数为单调增函数，所以. 代入（#），得，即，所以为定值（与无关）. 利用对数函数的性质求参数 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 【答案】CD 【解析】A选项中，时，真数不恒大于，错误；B选项中，若，真数无最小，则函数没有最小值，错误；C选项中，由于函数为偶函数，通过平移可得对称轴为直线；D选项中，时，判别式大于等于，可得函数的值域为R． 【详解】A选项中，，判别式， 则方程有两个不等根， 故函数 的定义域应该在两根之外，定义域不为R，错误； B选项中，若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，错误； C选项中，由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数 的图象， 此时对称轴为，正确； D选项中，时，判别式， 函数能够取遍上的每一个实数， 故函数的值域为R，正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查复合型对数函数的性质，考查函数的对称性，考查定义域为全体实数以及值域为全体实数问题，解决本题的关键点是值域为转化为真数大于零，即真数取遍全体正数，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数，下列四个命题正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若，其中，则 C．若的值域为R，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于B，判断的符号，去掉绝对值，代入化简即得；对于C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为R，须使真数能取遍一切正数，列出不等式组求解即得；对于D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合的范围，利用对数函数单调性即可比较大小. 【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数， 而在区间上递增，在区间上递减， 根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确； 对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确； 对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数. ① 当时，可以取遍一切正数，符合题意； ②当时，依题意，须使，解得：. 综上可知，故C项正确； 对于D项，当时，，，则，， 故，， 由可得：，则，即得：，故D项正确. 故选：ABD. 幂函数及其简单性质 1．（23-24高一上·河北·期末）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义和幂函数的性质逐个分析判断即可 【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误， 对于B，的定义域为，因为，所以函数为偶函数， 因为在上递增，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为，所以函数为偶函数， 因为在上单调递减，所以C正确， 对于D，的定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误， 故选：C 2．（23-24高一上·河北·期末）已知幂函数的图象经过点，，则 . 【答案】16 【分析】设幂函数为，则，解得，代入计算得到答案. 【详解】设幂函数为，则，解得，故， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北·期末）若幂函数在上单调递增，则实数 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求得. 【详解】是幂函数，所以， 解得或， 当时，在上单调递减，不符合题意. 当时，在上单调递增，符合题意. 所以的值为. 故答案为： 4．（23-24高一上·河北衡水·期末）幂函数在上为减函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义求出的值，再利用单调性进行检验即得. 【详解】因是幂函数，则，解得：或. 当时，，此时函数在上为增函数，舍去； 当时，，此时函数在上为减函数，符合题意. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再由幂函数图象性质，判断的值. 【详解】根据幂函数的定义可得，解得或， 当时，不经过原点，符合题意； 当时，过原点，不符合题意， 故． 故答案为： 6．（23-24高一上·河北承德·期末）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】16 【分析】由题意可求出幂函数的解析式，再代入求值，即可求得答案 【详解】设，因为幂函数的图象过点，故， 所以， 故答案为：16 根据函数最值求参数问题 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   根据 及的单调性， 知且. 又在区间上的最大值为， 由图象知，．故，易得. 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，函数，其中，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由函数单调性可得在区间上的最大值，最小值，则可得对任意恒成立，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为在区间内单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 则， 得，整理得对任意恒成立． 令，则的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上是增函数，等价于， 即，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为对任意恒成立，根据二次函数性质求解. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数,． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值是，求实数的值． 【答案】（1）的定义域为;（2） 【详解】试题分析：（1）利用对函数的性质，真数都大于零可列关于 的不等式组，解不等式组即可确定函数的定义域；（2）先化简 ，利用复合函数的单调性之间的关系，结合二次函数配方法求最小值，列方程求解即可. 试题解析：（1）由题意得，解得 所以的定义域为 （2） 若则，由及得； 若，则，无最小值 综上得： 利用换元求指数、对数函数最值问题 1．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的定义域，结合对数函数、二次函数的性质，采用换元法求解即可. 【详解】解：因为， 由，可得， 所以的定义域为， 所以， 又， 设， 将原问题转化为求的值域， 由二次函数性质可知在上单调递增， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数. (1)求函数在上的最小值； (2)设函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用换元法，并由利用对勾函数性质得，然后利用二次函数性质从而可求解. （2）由（1）得令，从而得，要使，只需，从而即可求解. 【详解】（1）令，因为函数在上是增函数，所以. 令，则. 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为当时，，当时，，所以. 故. 令，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为0. 故在上的最小值为0. （2）结合（1）可知，当时，. 令，则. 令函数. 原问题转化为对于任意的实数，总存在，使得成立. 只需要求出即可，先求. 因为在上单调递增，所以. 由，得. 当时，；当时，. 可看成关于的函数 在上单调递减，在上单调递增，， 即，所以.故的取值范围是. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用换元法令，结合二次不等式即可求解； （2）应用换元法令，结合二次函数的值域即可求解 【详解】（1）令，则，， 由，得，即，解得， 即，解得，所以的取值范围是． （2）当时，，即，， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 4．（23-24高一上·河北·期末）若函数在区间上有最大值4和最小值1，设． (1)求a、b的值； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数在上的单调性最大值和最小值，从而求得； （2）用分离参数法化简不等式为，然后令换元，转化为求二次函数的最值，从而得参数范围． 【详解】（1），对称轴， 在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知化为， 即， 令，则，因为，所以， 问题化为， 记，对称轴是，因为，所以， 所以． 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值域； （2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）若则，令， 令，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时， 所以的值域为； （2）因为，所以在上单调递增， 所以当的定义域为时，的值域为， 即， 即在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 令，所以在上有两个不同的实数解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 恒成立与存在性问题综合 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数． （1）当时，求的定义域； （2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）减函数；证明见解析；（3）. 【分析】（1）由于只要，所以要函数有意义，只要，即，从而可求出函数的定义域； （2）利用单调性的定义进行判断即可； （3）要在区间上恒取正值，只要的最小值大于零即可，而由（2）可知在上单调递减，所以只要，从而可求出的取值范围 【详解】（1）当时，， ，即， ，即， ∴函数的定义域为； （2）函数在区间上是减函数. 证明：任取，且， ， 令， ， ， ， ，即， ， ， ∴， ∴在上是减函数； （3）由（2）可知，在上是减函数， ∴在上是单调递减函数， ∴在上的最小值为， ∵在上恒取正值，即在上恒成立， ， ，即， ， ， ， 故的取值范围为. 【点睛】此题考查求对数型函数的定义域，判断函数的单调性，考查恒成立问题，考查计算能力，属于中档题. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增． (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为 (2) 【分析】（1）运用整体换元法对已知函数进行变形，再根据“对勾函数”的性质得出结果； （2）根据条件可得出值域是值域的子集，由此解决问题. 【详解】（1）解：设，， 则． 由函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增． ，，即， 的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （2）当时，今，则， 则函数， 由于，故当时，的值域为， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 故，解得， 即实数a的取值范围为． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合其图象所过的点求出解析式. （2）利用（1）的结论，分离参数构造函数，再求出函数的最小值即得. 【详解】（1）设函数，由的图象过点，得，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，，则，由，得， 即，令，依题意，任意，， 而函数在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数且. (1)若，函数，求的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可； （2）分和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案. 【详解】（1），代入可得： ， 有意义可得，所以， 的定义域为. （2）. 因为且，所以恒成立. 若，则函数是增函数. 因为，所以，即. 设，要使时，恒成立， 只需或 解得. 故符合题意. 若，则函数是减函数. 因为，所以，即. 结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立. 故不符合题意. 综上，的取值范围为. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)若关于x的方程在上有解，求m的取值范围； (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由换元法求解， （2）参变分离后转化为求值域问题， （3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，再由换元法与参变分离求解， 【详解】（1）设，则不等式可化为，解得， 则，故原不等式的解集为 （2）即在上有解， 而，，故， 即m的取值范围是 （3）由题意得，， 解得，， 故原不等式即对恒成立， 令，不等式可化为对恒成立， ，而，由对勾函数性质得当时取最大值， 则，实数a的取值范围是 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）． (1)求不等式的解集； (2)若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，求出解集; （2）由函数恒成立问题和存在性问题，得到，利用换元转化进行分类讨论求解的范围. 【详解】（1）不等式的解集为， 即是的两个根，故，， ∴，即为，解得或， ∴不等式的解集为或． （2）由题意可知， ，， 令，则，，对称轴方程为， ①若，即时，当时，，即， 此时在上单调递减，， 由，得； ②若，即时，当时，，即， 此时在上单调递增，， 由，得； ③若，即时，当时，，即， 此时在上单调递增，， 由，得， 综合①②③可知， 即实数的取值范围是． 7．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)若，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由对数函数的性质可得，然后通过换元法及指数函数的性质即得； （2）由题可得，然后根据指数函数，对数函数的性质及二次函数的性质求函数最值即得. 【详解】（1）由， 可知的定义域为， 由，得, 令，则， 解得， 由，得， 所以不等式的解集为； （2）由题意，，有， 所以， 因为，有， 所以， 又，使得，只要即可， 因为函数，的图象开口向上，且它的对称轴方程为， ①当时，，即 所以； ②当时，，解得， 所以； 综上所述，m的取值范围为． 8．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并判断函数的单调性（给出判断即可，不需要证明）； (2)若对于任意，，且，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在上单调递增 (2) 【分析】（1）定义在上的奇函数，有，可求的值，利用函数解析式判断函数的单调性； （2）由函数单调性解不等式，利用不等式恒成立和已知条件，转化为求新函数最值问题. 【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 经检验，是定义在上的奇函数，所以． ，由函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增． （2）由（1）可知，由，得，即恒成立， 所以恒成立，所以， 由于，当且仅当时，等号成立， 则有，所以实数的取值范围为． 9．（（23-24高一上·河北·期末）已知函数的定义域是，且. (1)求函数的定义域和值域； (2)若函数对定义域内任意的实数，，，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)或 【分析】（1）由题意可知函数的定义域为，所以且，再令，可得，再根据二次函数的性质，即可求出结果； （2）由题意， 将问题转换为，再分，和三种情况，根据（1），即可求出结果. 【详解】（1）解：由，解得， 所以函数的定义域为     又 令， 则函数在上单调递减，上单调递增，所以 而 故当时，即时， 当时，即或1时， 所以函数的值域为 （2）解：由任意实数，，，，都有恒成立， 问题转换为 ①当时，恒成立 ②当时，由得： 即，即，解得：或 ③当时，由得：解得： 综述①②③实数的取值范围为：或 指对函数零点问题 1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的单调性，并说明理由； (3)若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，理由见解析 (3) 【分析】（1）由函数特征得到不等式，求出定义域； （2）函数可化简为利用复合函数的单调性作出判断； （3）方程有解可转化为在上有解，进而可得利用基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）由解得，所以的定义域为. （2）. 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减. （3）关于的方程有解，即有解，且， 则在上有解. . 因为，所以，当且仅当时，等号成立. 故的取值范围是. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质计算即可得； （2）结合函数单调性及图象性质计算即可得. 【详解】（1）当时，，当时，，， 是奇函数．．， 又，； （2）当时，单调递增，则， 又是定义在R上的奇函数，时，也单调递增，且， 有两个不同的解，等价于与的图象有两个不同的交点， 实数a的取值范围为． 3．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式解法得，再由指数函数单调性求解； （2）分离参数，得，利用基本不等式求最值，即可. 【详解】（1）当时，，即， 则， ， ， . 故不等式的解集为. （2）即. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的取值范围是. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； （2）因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 （3）因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数（k为常数，），且是偶函数. （1）求k的值； （2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出； （2）令，题目等价于只有一解，讨论，两种情况讨论求解. 【详解】（1）因为，是偶函数， 因为， 即， ∴； （2）若方程只有一个解， 即只有一个解， 整理得：， 令得， 令， 因为，所以与同号， ①当时，，则， 方程在区间上只有一个解， 因为图像是开口向上的， 且，，， 所以当时方程在区间上只有一个解； ②当时，，则， 方程在区间上只有一个解， 因为方程对应的二次函数图像是开口向下的， 且，， 则解得， 所以当时，方程在区间上只有一个解； 综上：当或时，方程只有一个实根. 6．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在R的奇函数，其中a是常数. （1）求常数a的值； （2）设关于x的函数有两个不等的零点，求实数b的取值范围； （3）求函数在上的值域. 【答案】（1）；（2）或；（3）当时的值域是，当时的值域是. 【分析】（1）利用R上的奇函数的性质求出参数； （2）首先把函数的零点问题转化为方程根的问题，利用函数的性质求出等式关系求解即可； （3）利用变量代换把函数转化为二次函数求值域问题，然后根据参数分类讨论即可求出函数值域. 【详解】（1）已知函数是定义在R的奇函数， ，解得， ，， 符合题意，故； （2）由， 因为是奇函数，所以有， 又因为，故在R上单调递增， 由，得， 即， 令，得方程有两解， 有，求得或； （3），， 令，则， 当时，时，有最小值，的值域是， 当时，时，有最小值2，的值域是. 【点睛】本题考查较为全面，综合考查了函数的奇偶性，单调性，函数零点与方程根的关系，含参数的二次函数值域问题，属于中档题. 7．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接把代入函数，可得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）把两函数图象有且只有一个交点问题，转化为方程只有一个实数根问题，令换元，然后构造一个二次函数，分类讨论即可得解. 【详解】（1）依题意，，即， 解得或， 因为， 所以. （2）由（1）知，所以， 因为的图象与直线有且只有一个交点， 等价于方程有且只有一个实数根， 即时，，所以， 所以当时，有且只有一个根，令， 当时，得，则 令， 则函数的对称轴为，又在只有一个根， 可得或，解得， 当时，得，则， 令， 则函数的对称轴为，又在只有一个根， 可得，解得， 综上所述，或. 8．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3)是定值，1 【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案； （2）将在上有实数解，转化为在上有实数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案； （3）利用在区间上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 得，， 所以不等式的解集为； （2）在上有实数解， 在上有实数解， 因为在上是单调递增函数， 故， 则，即， 解得或； （3）由知，在区间上是增函数， 对任意划分， 均有， ++ ， 所以此和式为定值1. 【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对值符号，进而求解. 指数、对数与新定义函数 1．（23-24高一上·河北·期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. (1)证明：在上是有界函数； (2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用求解单调性求解； （2）根据在上是以3为上界的有界函数，令，则，转化，在时恒成立求解. 【详解】（1）解：， 则在上是严格增函数， 故，即 ， 故，故是有界函数； （2）因为在上是以3为上界的有界函数， 所以在上恒成立， 令，则， 所以在时恒成立， 所以，在时恒成立， 函数在上严格递减，所以； 函数在上严格递增，所以. 所以实数a的取值范围是. 2．（23-24高一上·河北·期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点. (1)求函数的次不动点； (2)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据函数的次不动点定义建立方程，求解即得； （2）因函数各有一个不动点和一个次不动点，故相当于对应的两个方程各有一个解，将两个方程利用参变分离法转化成求解对应函数的值域问题，最后求交即得. 【详解】（1）设函数的次不动点为，则，即，将等式两边平方整理得：或，均符合题意， 故函数的次不动点为和. （2）设函数在上的不动点和次不动点分别为和.则由可得：， 即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即； 再由可得：，即：，化简得：，， 因在时为增函数，故，即.综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是函数新定义问题. 解题关键在于设出不动点（或次不动点）后，对于方程有解的问题最便捷的方法就是运用参变分离法，把求参数取值范围的问题转化为求对应函数在给定区间上的值域问题. 3．（23-24高一上·河北·期末）对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)0和1； (2)； (3). 【分析】（1）直接根据定义解方程即可； （2）将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可； （3）不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可. 【详解】（1）当时，方程可化为，解得或； 所以，函数的不动点为0和1． （2）方程，即，可化为． 令，则当时，关于单调递增，且． 由题意，关于的方程在上有两个不等实根． 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以，． 综上，实数的取值范围为． （3）不等式可化为． 易知，函数在上最大值为，最小值为； 由题意，，，即． 上述不等式可化为． 令，则当时，． 由题意，，不等式恒成立． 函数在上单调递增，最大值为； 函数在上单调递减，最小值为． 所以，，即． 综上，实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问将对数方程化为指数方程，利用分离参数及换元法转化为对勾函数定区间内有零点，结合对勾函数的单调性计算即可；第三问含有双变量的恒成立问题，先将原不等式化为在定区间恒成立，利用的最值得出的范围，同第二问分离参数及换元，利用函数的单调性计算即可. 4．（23-24高一上·河北·期末）若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”． (1)试判断函数与是否为“速增函数”； (2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围． 【答案】(1)是“速增函数”，不是“速增函数” (2) 【分析】（1）根据“速增函数”的定义，利用作差法可判断函数；根据“速增函数”的定义，通过举反例可判断函数. （2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）对于函数， 当时，有； 因为， 所以， 故根据“速增函数”的定义可得：是“速增函数”. 对于函数， 当时，有， 故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”. （2）因为是“速增函数”， 根据“速增函数”的定义可得： 当时，恒成立； 当时， 恒成立. 由当时，恒成立可 得：对一切正数n恒成立. 又因为当时，， 所以对一切正数n恒成立， 所以，即. 由当时， 恒成立，可得：， 即对一切正数恒成立. 因为 ， 所以， 又因为当时，， 所以， 由对一切正数恒成立，可得，即． 综上可知，a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体考查恒成立问题、指数运算法则和指数函数的单调性.第（1）问解题关键在于理解函数新定义；第（2）问利用转化的思想将所求问题转化为不等式恒成立问题，再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解. 试卷第2页，共70页 试卷第1页，共70页 学科网（北京）股份有限公司 $$