专题03 函数的概念及性质（13基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

· 专题03 函数的概念及性质 函数定义及同一函数的表示 1．（17-18高一·河北沧州·期末）图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量与收支差额（销售额-投入的费用）的图象，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为盈，实行了某种措施，图2为实行措施后的图象，则关于两个图象的说法正确的是 A．实行的措施可能是减少广告费用 B．实行的措施可能是提高商品售价 C．在点处累计亏损最多 D．点表明不出售商品则不亏损 2．（23-24高一上·河北·期末）下列函数中是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 函数定义域 1．（23-24高一上·河北·期末）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域是 A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 函数值域问题 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，则它的值域为 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为 ；函数的值域为 ． 3．（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 函数求解析式 1．（23-24高一上·河北·期末）若，则 ； ． 2．（21-22高二下·河北衡水·期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围． 分段函数求值 1．（23-24高一上·河北·期末）函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）设函数则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，则 ；不等式的解集是 . 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数则 . 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的值为 ． 判断函数的单调性、奇偶性 1．（23-24高一上·河北·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 证明函数单调性、奇偶性 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)判断函数的单调性并用定义加以证明； (2)求使成立的实数的取值范围． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有. （1）求证：是奇函数； （2）设，且时，， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集. 已知函数单调性求参数范围 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数在上单调递减，则不可能等于（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，对，有，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·河北·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是 ． 函数奇偶性的简单应用 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．2 2．（23-24高一上·河北·期末）函数在区间上有，则 . 已知函数奇偶性求参数 1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知定义在上的函数，是奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知定义在（－1，1）上的奇函数，且. (1)求函数的解析式; (2)判断的单调性（不用证明），解不等式. 根据奇偶性求函数解析式 1．（23-24高一上·河北·期末）已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A． B．12 C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）函数是定义在上的奇函数，下列命题： ①； ②若在上有最小值，则在上有最大值； ③若在上为增函数，则在上为减函数； ④若时，，则．其中正确的命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24高一上·河北保定·期末）已知奇函数满足当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 根据函数奇偶性、单调性解不等式 1．（23-24高一上·河北·期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（17-18高一·河北沧州·期末）定义在上的偶函数在时为增函数，若实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为 ． 一元二次函数及方程 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若对、有，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·河北·期末）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）已知二次函数且，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求k的取值范围． 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若与有相同的最小值，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数 (1)当时，对恒成立，求m的取值范围； (2)若函数在时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时a的值． 7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 8．（23-24高一上·河北·期末）已知 （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）当，求的最小值． 恒成立问题 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·河北·期末）设函数的定义域为，如果存在正实数，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”.已知是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“2022型增函数”，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数. (1)，，求a的取值范围； (2)若，，，求a的取值范围. 抽象函数的对称、周期性 1．（23-24高一上·河北·期末）函数的图象关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 2．（23-24高一上·河北·期末）已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北衡水·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．2 C．0 D．2023 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．在上为增函数 D．方程仅有6个实数根 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，恒成立．则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B． C． D．函数的图象关于点对称 7．（23-24高一上·河北张家口·期末）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．方程有5个不等的实数根 8．（22-23高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以4为周期的周期函数 B． C．函数有3个零点 D．当时， 9．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 10．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 11．（23-24高一上·河北·期末）已知函数对满足，且，若的图像关于对称，，则 . 12．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 双变量抽象函数 1．（23-24高一上·河北·期末）对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数满足以下几个条件 ①，；②当时，；③. (1)求证：为奇函数； (2)解不等式：. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，. (1)求的值； (2)求证：为奇函数； (3)求在上的最大值与最小值． 函数图像与解析式之间的关系 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）函数在上的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）函数在上的大致图象为（    ） A． B．   C．   D．   5．（23-24高一上·河北承德·期末）函数在区间上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24高一上·河北·期末）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北·期末）函数的部分图象大致为 A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北·期末）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 函数综合问题 1．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若为R上的增函数，则 C．若，则 D．函数为R上奇函数 3．（23-24高一上·河北保定·期末）（多选）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 4．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（    ） A． B．恰有三个零点 C．在上单调递增 D．存在最大值和最小值 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，给出下列三个结论： ①当时，函数的单调递减区间为； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且． 其中，所有正确结论的序号是 ． 函数新定义问题 1．（23-24高一上·河北保定·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，恒有成立 C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立 D．存在三个点，，，使得为等边三角形 4．（23-24高一上·河北·期末）对于任意实数，定义. 设函数 ，，则函数的最大值是 . 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围． 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 试卷第2页，共29页 试卷第1页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题03 函数的概念及性质 函数定义及同一函数的表示 1．（17-18高一·河北沧州·期末）图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量与收支差额（销售额-投入的费用）的图象，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为盈，实行了某种措施，图2为实行措施后的图象，则关于两个图象的说法正确的是 A．实行的措施可能是减少广告费用 B．实行的措施可能是提高商品售价 C．在点处累计亏损最多 D．点表明不出售商品则不亏损 【答案】B 【详解】起点不变，所以投入的费用不变，扭亏为盈变快了，所以可能是提高商品售价，选B. 点睛：有关函数图象识别问题，由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 2．（23-24高一上·河北·期末）下列函数中是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一函数，故A错误； 对于B，因为，显然与的对应法则不同，所以与不是同一函数，故B错误； 对于C，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误； 对于D，因为的定义域为，的定义域为，所以与的定义域与对应法则都相同，故它们是同一个函数，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得. 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果. 【详解】A选项中：与对应关系不同， 故不是同一函数，故A不正确； B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同， 故是同一函数，故B正确； C选项中：当时，，当时，，所以， 故与是同一函数，故C正确； D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同， 故不是同一函数，故D不正确. 故选：BC． 函数定义域 1．（23-24高一上·河北·期末）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接列不等式组，求出定义域. 【详解】要使函数有意义， 只需，解得：且. 故函数的定义域为. 故选：C 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 3．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数定义域的求法，求得函数的定义域. 【详解】依题意，解得，所以函数的定义域为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 4．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为零且真数大于零得到结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即， 解得且， 即函数的定义域为， 故选D． 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，所以函数的定义域为. 故选：D. 6．（23-24高一上·河北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，则定义域为，再利用，解出即可. 【详解】，则，的定义域为， 所以，解得，故其定义域为， 故选：C. 函数值域问题 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，则它的值域为 【答案】 【解析】利用分离常数法即可求解. 【详解】， ，，，， ，的值域为. 故答案为： 【点睛】本题考查了分离常数法求分式型函数的值域，属于基础题. 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为 ；函数的值域为 ． 【答案】 【分析】(1)由函数表达式列不等式组求解． (2)令，则，将问题转化成的值域求解即可． 【详解】(1)要使得有意义，则，解得：且， 所以函数的定义域为. (2)令，则，函数可化为， 由指数函数的单调性可得：， 所以函数的值域为 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及函数的值域，考查了换元思想及根式、指数函数的性质，考查计算能力，属于基础题． 3．（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可. （2）利用单调性法求解值域即可. 【详解】（1）由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 函数求解析式 1．（23-24高一上·河北·期末）若，则 ； ． 【答案】 24 【分析】利用换元法求函数的解析式即可求解 【详解】令，则 故，则24 故答案为 24 ； 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，注意换元时新元的范围，是中档题 2．（21-22高二下·河北衡水·期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2 (2)(－∞，－2) 【分析】（1）由f(0)＝2得c，由f(x＋2)－f(x)＝16x得4ax＋4a＋2b＝16x，再根据多项式相等可得答案； （2）转化为存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，求出g(x)max可得答案． 【详解】（1）由f(0)＝2，得c＝2， 所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)， 由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b， 又f(x＋2)－f(x)＝16x， 得4ax＋4a＋2b＝16x， 所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2． （2）因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立， 即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立， 令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2， 即m的取值范围为(－∞，－2)． 分段函数求值 1．（23-24高一上·河北·期末）函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数由内到外求解即可得解. 【详解】， 故选：B 2．（23-24高一上·河北·期末）设函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式进行迭代可得，然后可得答案. 【详解】由解析式可得， 所以． 故选：B． 3．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据条件，代入即可求出函数. 【详解】因为，所以， 故选：B. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，则 ；不等式的解集是 . 【答案】 15 【分析】根据函数的解析式求得的值，即可求得；判断的单调性，从而将转化为，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得，所以， 当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且， 故在R上单调递增， 故由可得，即， 解得，即的解集是， 故答案为：15， 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数则 . 【答案】5 【分析】先求出，再根据该值所处范围代入相应的解析式中计算结果. 【详解】由题意可得，则， 故答案为：5. 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可. 【详解】由题设，则. 故答案为：2 判断函数的单调性、奇偶性 1．（23-24高一上·河北·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用奇函数的定义，再结合三角函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以，且其定义域为， 故为偶函数，所以选项B错误， 对于选项C，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项C正确， 对于选项D，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：CD. 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据各选项给定函数的解析式直接判断即得. 【详解】函数，在上都为减函数，AC都是； 当时，，则函数在上为减函数，B是； 函数在上为增函数，D不是. 故选：ABC 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，，则为偶函数， 当时，在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，，则为奇函数， 在上单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为，，则为偶函数，令，则在上单调递增，且，而在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，，则为偶函数，又在上单调递减，故D错误. 故选：AC 证明函数单调性、奇偶性 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)判断函数的单调性并用定义加以证明； (2)求使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据奇函数利用求出，再验证即可，由函数单调性定义证明即可； （2）根据函数的单调性列出不等式组求解即可. 【详解】（1）定义在上的奇函数，所以，所以， 当时，，满足，故满足题意. 在上是增函数,证明如下： 设且， 则； 因为且，所以， 所以，所以，所以在上是增函数； （2）由，得 由（1）知在上是增函数， 所以，即，解得． 所以实数的取值范围是． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)函数在上是增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式； （2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，可得，则， 所以，，则，因此，. （2）证明：函数在上是增函数，证明如下： 任取、且，则 ， 因为，则，，故，即. 因此，函数在上是增函数. （3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得，解得. 因此，不等式的解集为. 4．（23-24高一上·河北·期末）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 【答案】(1) (2)..在上单调递减；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得的值，即可得答案； （2）根据题意，任取，，且，由作差法分析的符号，由函数单调性的定义分析可得答案； （3）由题意转化为与有两个交点问题，利用单调性及奇偶性作出图象，数形结合即可得解。 【详解】（1）函数为奇函数，则， 即，解可得； （2）由（1）知，在上单调递减； 证明：任取，，且， 则 ， 又由，，且，则，，，， 则有，即 所以函数在上单调递减． （3）因为有两个零点， 所以方程有两个不等实根，即有两个不等的实根， 任取，，且，由（2）知， 因为，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称， 又，，时，，作出图象如图， 所以当且时，与有两个不同交点，即有两个不等实根. 故k的范围为. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有. （1）求证：是奇函数； （2）设，且时，， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②. 【分析】（1）采用赋值法，利用奇偶性的定义求解. （2）①根据及，得是偶函数且，再利用单调性的定义证明.②由是偶函数且在上是减函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）取，得， 取，得， 取，，得， 所以是奇函数. （2）①由及， 可得是偶函数且， 设，则， 由时，得， 所以， 所以在上是减函数. ②由是偶函数且在上是减函数， 可得 或或， 所以不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了转化论证运算求解的能力，属于中档题. 已知函数单调性求参数范围 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【详解】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 2．（22-23高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数在上单调递减，则不可能等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】AD 【分析】分段函数单调递减，需满足在每一段上均单调递减，且分段处的左端点函数值大于等于右端点的函数值，得到不等式，求出的取值范围，得到答案. 【详解】的对称轴为， 故，解得. 故不可能等于和2. 故选：AD 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，对，有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到函数是上的单调递减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为对，，有， 可得函数是上的单调递减函数， 由，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·河北·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意得分段函数的两段都为增函数，再比较x=1处的函数值，即可得答案. 【详解】由题意得：当时，为增函数，所以 当时，为增函数，所以，解得， 且，解得 综上，的取值范围为， 故答案为： 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到函数在上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可. 【详解】由函数单调性定义可得函数在上单调递增， 则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得． 故答案为：. 函数奇偶性的简单应用 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】由求得正确答案. 【详解】， ， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：B 2．（23-24高一上·河北·期末）函数在区间上有，则 . 【答案】 【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得结果. 【详解】令， ， 为定义在上的奇函数， 又，，. 故答案为：. 已知函数奇偶性求参数 1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据条件得到恒成立，即可求出结果. 【详解】由题知，得到， 整理得到恒成立，所以，得到， 故答案为：. 2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知定义在上的函数，是奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 【答案】(1)实数a的值为，实数b的值为1 (2)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证. 【详解】（1）解：因为定义在上的函数是奇函数，可得，即， 又因为，所以， 联立方程组，可得，，所以， 又由，符合题意， 所以的值分别为和. （2）解：函数在上单调递减， 证明：在上任取， 则， 因为，所以，又，， 所以，即， 所以函数在上单调递减． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知定义在（－1，1）上的奇函数，且. (1)求函数的解析式; (2)判断的单调性（不用证明），解不等式. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值求得参数的值，得解析式； （2）由单调性的定义得函数的单调性，然后由奇偶性变形不等式，再由单调性得不等式的解． 【详解】（1）是奇函数，则，，， ，， 所以； （2）是增函数，证明如下： 设，则，，即，又，， ∴，即， 所以是增函数． 因为是奇函数， 则， 又是增函数，所以，解得． 根据奇偶性求函数解析式 1．（23-24高一上·河北·期末）已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解. 【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即， 且当时，， 又由. 故选：D. 2．（23-24高一上·河北·期末）函数是定义在上的奇函数，下列命题： ①； ②若在上有最小值，则在上有最大值； ③若在上为增函数，则在上为减函数； ④若时，，则．其中正确的命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】利用奇函数的性质逐项判断可得出结论. 【详解】对于①，若函数是定义在上的奇函数，则，即，①对； 对于②，若在上有最小值，则在上有最大值，②对； 对于③，若在上为增函数，则在上为增函数，③错； 对于④，若时，，则，则，④错. 故选：AB. 3．（23-24高一上·河北保定·期末）已知奇函数满足当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，利用奇函数的定义进一步计算即可； （2）考查函数的单调性，转化不等式，解出即可. 【详解】（1）当时，. 因为是奇函数，所以， 所以 （2）易得函数在上单调递增, 因为是奇函数，所以在上单调递增. 因为， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据函数的奇偶性列方程组，即可求出结果； （2）在上恒成立，即在上恒成立，再利用基本不等式求的最小值，即可求出结果. 【详解】（1）因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数，则有②， 由①②得到，所以. 因为不等式在上恒成立， （2）由（1）知，即在上恒成立， 即，因为，所以，故， 所以， 又，所以，故， 当且仅当，即时，即等号， 所以. 【点睛】方法点晴：不等式恒（能）成立问题，常通过分离常数，转化成求新函数的最值问题，再利用函数的单调性、基本不等式等方法求函数最值. 根据函数奇偶性、单调性解不等式 1．（23-24高一上·河北·期末）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简，由此求得不等式的解集. 【详解】依题意是定义在上的偶函数，且在区间单调递减， 所以， . 故选：A 2．（17-18高一·河北沧州·期末）定义在上的偶函数在时为增函数，若实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为定义在上的偶函数，所以 即 又在时为增函数，则，解得 故选 点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中与由对数式运算法则可知互为相反数，与偶函数的性质结合可将不等式化简，借助函数在上是增函数可确定在为减函数，利用偶函数的对称性可得到自变量的范围，从而求得关于的不等式，结合对数函数单调性可得到的取值范围． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】定义法证明为偶函数，结合对勾函数的性质可得在上单调递增，不等式等价于，即，求解即可. 【详解】因为的定义域为R，又，所以为偶函数． 设，当时，，则， 由对勾函数性质知，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则等价于， 所以，解得， 故实数a的取值范围为． 故答案为：． 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 一元二次函数及方程 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若对、有，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上为增函数，根据二次函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的、有， 不妨设，则，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数的对称轴为直线，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 2.（23-24高一上·河北·期末）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由题意知二次函数的对称轴为，则，所以函数的解析式为，.故选D. 考点：二次函数性质的应用. 【方法点晴】此题主要考查二次函数图象对称轴与单调区间等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.二次函数的对称轴是二次函数图象增与减的分界线，若，即开口向上，则图象在对轴的左侧为单调递减，右侧为单调递增；若，即开口向下，则图象在对称轴的左侧为单调递增，右侧为单调递减.由题意知，二次函数的对称轴为，从而问题可得解. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形不等式，整理为，且存在，使得，换元后讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. 【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 当，即时，，不符题意； 当，即时，由，解得. 综上，. 故选：D 4．（23-24高一上·河北·期末）已知二次函数且，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求k的取值范围． 【答案】(1)，单调减区间为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【详解】（1）由题意知，且， ∴，∴， 因为函数对称轴，开口向上， ∴单调减区间为，单调增区间为； （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为． 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若与有相同的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合二次函数最值，确定函数取最小值的x值，再借助函数能成立求解作答. 【详解】依题意，函数，显然， 当且仅当，即时取等号，，当且仅当时取等号， 因此当时，，因与有相同的最小值， 于是得成立，即成立， 而，当且仅当时取等号，因此，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数 (1)当时，对恒成立，求m的取值范围； (2)若函数在时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时a的值． 【答案】(1) (2)最小值为， 【分析】（1）根据条件得到，再利用二次函数的性质即可求出结果； （2）根据条件得到且，从而得到，再利用，即可求出结果. 【详解】（1）当时，，对称轴为， 又因为，所以，当时，取到最小值为， 所以. （2）因为在时有两个零点，设两个零点为，且是方程的两根， 所以且， 整理得到，所以， 又， 所以，此时. 7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，得，分类讨论的情况，从而可求解. （2）由，即，然后由，即有两个不相等的负根，再利用根的分布可得，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 8．（23-24高一上·河北·期末）已知 （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）当，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由二次函数的性质：区间单调性及对称轴，即可求参数的取值范围； （2）应用分类讨论的方法，讨论对称轴与区间的位置，求最值即可. 【详解】（1）由题意，在单调递减，且对称轴为， ∴，即，故. （2）由题意得：开口向上且对称轴为， ①时，， ②时，， ③时，， . 恒成立问题 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得. 【详解】易知是奇函数且单调递增， 故原不等式等价于 即 所以， 所以在任意的上恒成立，故. 故选：D 2.（23-24高一上·河北·期末）设函数的定义域为，如果存在正实数，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”.已知是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“2022型增函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分类讨论，去绝对值得函数解析式，做出函数在时的图象，再由对称性得到函数在定义域上的图象，根据图象之间的平移关系，数形结合求解. 【详解】若，则当时，，由函数为奇函数，故的图像如图所示, 此时的图像始终在图像的上方，故满足； 若时，当时，则， 当时，，当时，，由函数为奇函数，则的图像如图所示， 令，则或，解得：或， 若恒成立，由图象可知，解得：； 综上所述：. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数. (1)，，求a的取值范围； (2)若，，，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和进行讨论，然后列出满足条件的不等式求解即得； （2）由，，，得，分和进行讨论，然后设，，分别求出和的最值，结合恒成立条件即得. 【详解】（1）（1）由，即， 当时，得，不满足条件. 当时，需满足， 解得 . （2）（2）由，即. 因为，所以 即 当时，，显然成立. 当时，设， 的对称轴为，故， 又在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要使，成立，则需满足 即，解得 综上：满足条件的a的取值范围为 抽象函数的对称、周期性 1．（23-24高一上·河北·期末）函数的图象关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【分析】利用为奇函数可得答案． 【详解】， ， 为奇函数，其图象关于坐标原点对称， 故选：C 2．（23-24高一上·河北·期末）已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以是以6为周期的函数， 所以， 故选：D. 3．（23-24高一上·河北·期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可． 【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，所以， 即当时， 又对任意，都有，则关于对称，且， ，即函数的周期为， 又由函数且在上恰有个不同的零点， 得函数与的图像在上有个不同的交点，又， 当时，由图可得，解得； 当时，由图可得，解得． 综上可得. 故选：C． 4．（23-24高一上·河北衡水·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．2 C．0 D．2023 【答案】C 【分析】函数既关于原点对称又关于轴对称，则是周期为4的周期函数.将代入已知得到一个周期内的四个值，利用周期性求和. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以且. 因为，所以 所以 所以是周期为4的周期函数. 因为， 所以在中令可得， 在令可得， 在令可得 所以. 故选：C 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．在上为增函数 D．方程仅有6个实数根 【答案】BCD 【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D. 【详解】为奇函数，，即， 关于点对称， 为偶函数，，即， 关于对称， 由，得：， ，即是周期为的周期函数， 对于A，，A错误； 对于B，，即， 关于点成中心对称，B正确； 对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，    由图象可知：在上单调递增，C错误； 方程的解的个数，等价于与的交点个数， ，， 结合图象可知：与共有个交点， 即有个实数解，D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，恒成立．则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B． C． D．函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性以及单调性对选项逐一分析即可. 【详解】∵，可得， ∴函数为奇函数，故A正确； ∵，当时，，， 又函数为偶函数，，由A知， ∴，可得，则， 函数的周期为4，且， ∴，∴，故B正确； ∵时，恒成立，∴函数在上单调递增， 由，可得，矛盾，故C不正确； 因为，∴函数的图象关于点对称， ∵函数的周期为4，函数的图象关于点对称，故D正确， 故选：ABD． 7．（23-24高一上·河北张家口·期末）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．方程有5个不等的实数根 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用函数的对称性，结合图像逐项判断即可. 【详解】对于A，令，，则，可知函数满足当时，，即函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于BC，方法如下 利用函数图象既关于原点对称又关于直线对称，且当时，.可以将图象拓展如图所示 由图象规律可知B正确；，故C错误； 对于D，的解的个数问题可转化为曲线与图象的交点个数问题如图所示： 所以D正确； 故选：ABD. 8．（22-23高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以4为周期的周期函数 B． C．函数有3个零点 D．当时， 【答案】ACD 【分析】A选项，根据函数的奇偶性和推出，得到函数的周期；B选项，根据函数的周期和上的解析式得到；C选项，根据函数的对称性和周期性画出图象，结合的图象，数形结合得到交点个数，即零点个数；D选项，根据周期性和对称性得到函数在上的解析式. 【详解】A选项，为定义在R上的偶函数，故， 所以， 又，故， 所以， 用代替得， 所以，故是以4为周期的周期函数，A正确； B选项，由A选项可得， ， 因为时，，故， 中令得， 故，B错误； C选项，因为，， 所以关于中心对称， 又为偶函数，时，， 画出函数与的图象，如下： 由图象可得有3个交点，故有3个零点，C正确； D选项，是以4为周期的周期函数，时，， 当时，， 故， 由图象可知，为函数的对称轴， 故当时，， 故，D正确. 故选：ACD 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称. 9．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】1 【分析】依题意可得，从而得到是以为周期的周期函数，再根据所给函数解析式及函数的周期性、奇偶性计算可得. 【详解】，，是的一个周期， 又当时，， ． 故答案为： 10．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 【答案】 【分析】在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于轴对称，从而得，运用到算式即可得第二空答案． 【详解】在中，令，则有； 的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有， 又，则，得， 可得，， 所以，，， 所以 ． 故答案为：；． 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 11．（23-24高一上·河北·期末）已知函数对满足，且，若的图像关于对称，，则 . 【答案】2 【分析】根据条件可得，函数是周期为的偶函数，即可得到 ，从而得到结果. 【详解】因为的图像关于对称，所以的图像关于对称， 即是偶函数. 对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以. 所以，即是周期为4的周期函数. 所以. 故答案为: 12．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即， 又因为关于对称，所以，即， 可得函数的周期， 当时，可得其图象如下所示： 由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可， 根据图示可得，解得， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略 (1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解； (2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标； (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 双变量抽象函数 1．（23-24高一上·河北·期末）对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为 【答案】1 【分析】根据正实数a与b为函数的一对“类指数”，得到，再利用“1”的代换，由基本不等式求解. 【详解】因为正实数a与b为函数的一对“类指数”， 所以， 所以，即，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又的最小值为9， 所以k的值为1， 故答案为：1 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数满足以下几个条件 ①，；②当时，；③. (1)求证：为奇函数； (2)解不等式：. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法求得，再结合函数奇偶性的定义即可证明结论； （2）结合函数单调性定义判断函数的单调性，求出，利用函数的单调性可得，解不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为，， 令，可得，故， 令， 所以. 即，，所以为奇函数. （2）取，且 由①可得， 即， 因为，所以， 由②知， 故 所以在上单调递增； 由③可知，， 故，即为， 因为在上单调递增，所以且， 即，， 所以或，解得或， 故解集为. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，. (1)求的值； (2)求证：为奇函数； (3)求在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意令即可求解； （2）令，利用函数的奇偶性定理即可证明. （3）利用函数单调性定义可得在上为减函数，利用函数的单调性以及函数为奇函数即可求解. 【详解】（1）解：定义在上的函数对任意实数、，恒有， 令，可得，从而. （2）证明：定义在上的函数对任意实数、，恒有， 令，可得， 所以，故为奇函数. （3）解：对任意、，且，则，于是， 则，所以，， 所以在上为减函数，故函数的最大值为，最小值为， 因为，， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 函数图像与解析式之间的关系 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排除D，为偶函数排除A，在有零点排除C，检验可知B符合题意. 【详解】设题设函数为， 由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D； 由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A； 在有零点，若，则时，，矛盾，故排除C， 经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意. 故选：B. 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 3．（23-24高一上·河北·期末）函数在上的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案. 【详解】， 所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AB选项. ，所以，所以，排除C选项. 所以D选项正确. 故选：D 4．（23-24高一上·河北·期末）函数在上的大致图象为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，计算特殊点的函数值，排除法得正确选项. 【详解】函数，， ， 所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，A选项错误； ，， BD选项错误； 故选：C 5．（23-24高一上·河北承德·期末）函数在区间上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值，排除选项. 【详解】设，则，所以为奇函数，排除. 令，则，排除. 故选：. 6．（23-24高一上·河北·期末）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B. 【详解】因为，定义域为R，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD； 又，故排除B. 故选：C. 7．（23-24高一上·河北·期末）函数的部分图象大致为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C，D错误； 又当时，，所以选项B错. 本题选择A选项. 8．（23-24高一上·河北·期末）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图像判断函数是一个偶函数，再根据图像趋势知道区间一开始是单调递减的，由此判断选项中哪个符合即可. 【详解】由图可知，该函数是一个偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，是偶函数，根据，可知BD错误；在区间先是单调递减的，在区间是单调递减的，因此符合图形先单调递减. 故选:C 函数综合问题 1．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若为R上的增函数，则 C．若，则 D．函数为R上奇函数 【答案】AB 【详解】对于选项A，因为，所以，所以选项A正确；对于选项B，欲使得该函数为增函数，则满足，解得，所以选项B正确；对于选项C，使得，此时且，与条件不符，所以选项C错误；对于选项D，该函数为非奇非偶函数，所以选项D错误，综上只有选项AB符合题意，故选AB． 3．（23-24高一上·河北保定·期末）（多选）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果. 【详解】当时，的值域为，当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，则的取值范围为D错误. 故选：AC 4．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（    ） A． B．恰有三个零点 C．在上单调递增 D．存在最大值和最小值 【答案】ABC 【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误. 【详解】对于选项A，因为，取，得到， 即，所以选项A正确， 对于选项C，任取，且，则，且， 则， 又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增， 所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确， 对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根， 结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确， 对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知函数，给出下列三个结论： ①当时，函数的单调递减区间为； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解. 【详解】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误； 对于②，函数可转化为， 画出函数的图象，如图：      由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确； 对于③，令即，结合函数图象不妨设， 则， 所以，，，所以， 令即， 当时，，存在三个零点，且，符合题意； 当时，，存在三个零点，且，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题. 函数新定义问题 1．（23-24高一上·河北保定·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得函数的零点，结合题意，得出不等式或，即可求解. 【详解】令，即，解得，即的零点为， 再令，即，解得或，即的零点为和， 因为与互为“零点相邻函数”，所以或， 则或，解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一上·河北·期末）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，解之即可． 【详解】在上单调递增，则 所以是方程在上的两个不等实根， 令，则， 所以在上有两个不等实根， 令，对称轴， 则，即，解得． 故选：B． 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，恒有成立 C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立 D．存在三个点，，，使得为等边三角形 【答案】BD 【分析】分别讨论为有理数与为无理数时的情况逐一分析判断ABC；取，得，判断D作答. 【详解】依题意，当为有理数时，，当为无理数时，，因此恒成立，A错误； 当是有理数时，，当是无理数时， 所以对任意，恒有成立，B正确； 若是无理数，当是有理数时，则是无理数，有，而，此时，C错误； 取，得，， 此时，即为等边三角形，D正确. 故选：BD 4．（23-24高一上·河北·期末）对于任意实数，定义. 设函数 ，，则函数的最大值是 . 【答案】 【分析】画出和的图象，得到的图象，根据图象得到最大值. 【详解】在同一坐标系中，作出函数的图象，    依题意，的图象为如图所示的实线部分，令, 则点为图象的最高点，因此的最大值为， 故答案为： 5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围． 【答案】(1) (2)值域为；实数的取值范围 【分析】（1）由题意得，可得，从而可求解. （2）先求出在上的值域，从而得，即得的值域为，然后再根据得，从而可求解. 【详解】（1）由表示不小于的最小整数，，得， 所以实数的取值范围是. （2）函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为， 因此，即有，所以函数的值域为； 显然，，由，得， 则有，而时，不等式不成立，则，必有，即， 因此，，解得，所以实数的取值范围. 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定于判断即可证明； （2）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明，是方程的两个同号且不等的实数根，转化求解的最大值. 【详解】（1）因为在区间上单调递增， 又，， 所以的值域为， 所以区间是的一个“优美区间”. （2）设是已知函数定义域的子集， 因为的定义域为，则或， 而函数在上单调递增， 若是已知函数的“优美区间”，则， 所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根， 因为， 所以，同号，只需， 解得或， 因为， 所以当时，取得最大值. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将转化为方程的两个同号且不等的实数根，再结合，代入计算即可. 试卷第2页，共64页 试卷第1页，共64页 学科网（北京）股份有限公司 $$