专题02 不等式综合（8基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题02 不等式综合 不等式及其性质 1．（23-24高一上·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）若，下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北保定·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 待定系数法求范围 1．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 2．（23-24高一上·河北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，则 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列叙述中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．函数的值域为 D．已知，则“”是“”的充分不必要条件 基本不等式的直接应用 1．（23-24高一上·河北·期末）若，且，则的最小值为 ． 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，且. (1)求ab的最小值； (2)求的最小值. 基本不等式”1“的妙用 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（23-24高一上·河北·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）且，则的可能取值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（23-24高一上·河北·期末）设且，则最小值为 ； 6．（23-24高一上·河北·期末）已知函数 ，若正实数满足，则的最小值为 解不含参一元二次不等式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与轴交于，两点，求的最小值. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 讨论一元二次不等式解的问题 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C．R D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 一元二次不等式根与系数的关系 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·河北·期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合； (2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知不等式的解集是. (1)求常数的值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·河北·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数 (1)当时，对恒成立，求m的取值范围； (2)若函数在时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时a的值． 3．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数. (1)，，求a的取值范围； (2)若，，，求a的取值范围. 不等式的实际应用 1．（23-24高一上·河北·期末）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．        (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米? (2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少? 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系： . (1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求的取值范围； (2)当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量（精确到0.1）. 3．（23-24高一上·河北邯郸·期末）2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） (1)求函数的解析式； (2)当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 4．（23-24高一上·河北·期末）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 基本不等式构造法 1．（23-24高一上·河北·期末）若x>1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．20 D．27 3．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 4．（23-24高一上·河北保定·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 5．（23-24高一上·河北·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 基本不等式综合问题 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设．且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知，，，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河北石家庄·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知x，y均为正实数，则（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 8．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·河北张家口·期末）（多选）下列各式最小值为2的是（   ） A． B．（且） C． D．为第一象限角） 试卷第2页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式综合 不等式及其性质 1．（23-24高一上·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质一一判断各选项中的不等式是否成立，即得答案. 【详解】由于，故，，A错误，B正确； 由，不能确定与的大小关系，比如取， 则，C错误； 由，可得，D错误， 故选：B 2．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由可推导出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断出各选项的正误. 【详解】，则，，从而，，A选项正确； 在不等式两边同时乘以可得，从而，则、均为正数且不为， 由基本不等式可得，B选项正确； ，在不等式的两边同时乘以得，C选项错误； ，则，则，D选项错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，考查推理能力，属于基础题. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的基本性质推理可判断A,C,D项，对于B项，可以通过举反例判断其错误. 【详解】对于A项，，，，即，，故A项正确； 对于B项，不妨依次把取为：，则．故B项不正确； 对于C项，，，．故C项正确； 对于D项，，，，，．故D项正确． 故选：ACD． 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）若，下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质判断各选项． 【详解】A选项，，∴，不成立， B选项，，不成立， C选项，∵，∴，成立， D选项，由，∴，即，不成立， 故选：ABD. 5．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用作差比较逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项正确； B：因为，所以，因此本选项正确； C：因为，所以，因此本选项不正确； D：因为，所以，因此本选项不正确， 故选：AB 6．（23-24高一上·河北保定·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用不等式性质，即可判断出选项A和B的正误，再通过取特殊值，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以，所以，故选项B正确， 对于选项C，取时，满足， 此时，，，故选项C错误， 对于选项D，当时，，，此时，故选项D错误， 故选：AB. 7．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AB可利用不等式的性质得到；CD选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，因为，所以，故两边同除以得， ，A正确； B选项，因为，所以，故两边同除以得， ，B错误； C选项，因为，所以，故， 同理可得，C错误； D选项，因为，所以， 故，故， ，故，所以，D正确. 故选：AD 8．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质逐一分析判断ABC，再举反例排除D即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，，则，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又， 所以，故，故C正确； 对于D，取，则，故D错误， 故选：ABC. 待定系数法求范围 1．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一上·河北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然不成立，因此本选项说法不正确； B：，而，所以有，因此本选项说法不正确； C：当时，显然满足，，但是不成立，因此本选项说法不正确； D：由，而，所以，即，因此本选项说法正确， 故选：D 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）下列叙述中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．函数的值域为 D．已知，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质，以及二次函数的性质，逐个选项进行判断，即可得答案. 【详解】对于A，，，所以，，故A错误； 对于B，，得，解得，故B正确； 对于C，取，则，取，因为此时的对称轴为，故 函数在上为单调递增函数，，故函数的值域为，故C正确； 对于D，证明充分性， 取，此时，成立，但是不成立，故充分性不成立，故D错误； 故选：BC 基本不等式的直接应用 1．（23-24高一上·河北·期末）若，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则有， 解得（舍），或， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值为6， 故答案为:6. 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，且. (1)求ab的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为； （2）， 当且仅当即即时，等号成立， 所以的最小值为. 基本不等式”1“的妙用 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为. 故选：B． 2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即，时，等号成立， 所以的最小值为9， 故选：C． 3．（23-24高一上·河北·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）且，则的可能取值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】BCD 【分析】将展开，利用基本不等式求的最小值，再比较选项可得正确答案. 【详解】， 当且仅当即时等号成立，取得最小值， 所以的不可能为，可能取值为， 故选：BCD. 5．（23-24高一上·河北·期末）设且，则最小值为 ； 【答案】9 【分析】替换常数，再运用基本不等式即可 【详解】. 当且仅当,即取等 故答案为：9 6．（23-24高一上·河北·期末）已知函数 ，若正实数满足，则的最小值为 【答案】/ 【分析】本题先判断函数为奇函数，且R上单调递增，则由得，利用基本不等式解决. 【详解】因为函数为奇函数，且在定义域上单调递增， 又， 则 ， 所以 ，即，且， 所以 当且仅当 ，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 解不含参一元二次不等式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与轴交于，两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集； （2），由韦达定理得到两根之和，两根之积，进而得到，求出最小值. 【详解】（1）时，，解得或， 原不等式的解集为或； （2）令， 由得， 故， 故 ， 当时，取得最小值，最小值为. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解； (2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可. 【详解】（1）当时，， 或， 则的解集为； （2）由题意可知恒成立. ①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意； ②当，即时，对于任意恒成立， 只需， 解得，所以. 综合①②可得实数的取值范围是. 讨论一元二次不等式解的问题 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C．R D． 【答案】ACD 【分析】根据的大小分类讨论. 【详解】时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化为，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或， 故选：ACD． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，得，分类讨论的情况，从而可求解. （2）由，即，然后由，即有两个不相等的负根，再利用根的分布可得，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 一元二次不等式根与系数的关系 1．（23-24高一上·河北·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式对应一元二次方程及二次函数可知和都是方程的根，列出方程组即可解出的值； （2）先根据题干条件将 整理得，令，转化为，再根据题意令，则，求出的最小值即可. 【详解】（1）根据题意可得和都是方程的根且， 所以，解得或（舍去）， 所以的值为，的值为. （2）因为，所以， 所以即， 整理得， 令，则上式可化为，即， 又因为当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 令，则， 因为， 所以当，即时，，所以， 又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 2．（23-24高一上·河北·期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合； (2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得和是方程的两根，代入求得，化简所求不等式，求解即可； （2）将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则和是方程的两根， 所以，解得， 所以不等式为不等式， 解得，即集合. （2）因为是成立的必要条件，所以. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 3．（23-24高一上·河北·期末）已知不等式的解集是. (1)求常数的值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理，由一元二次不等式的解集求系数； （2）由二次函数单调性的特征，求实数的取值范围； （3）由一元二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）不等式的解集是， 和3是方程的解，且， ∴，解得. （2）若在上单调递减， 则，解得，则实数的取值范围为. （3）若关于的不等式的解集为， 则，解得，实数的取值范围为. 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·河北·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解. 【详解】当时，，不等式成立. 当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立. 当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）设函数 (1)当时，对恒成立，求m的取值范围； (2)若函数在时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时a的值． 【答案】(1) (2)最小值为， 【分析】（1）根据条件得到，再利用二次函数的性质即可求出结果； （2）根据条件得到且，从而得到，再利用，即可求出结果. 【详解】（1）当时，，对称轴为， 又因为，所以，当时，取到最小值为， 所以. （2）因为在时有两个零点，设两个零点为，且是方程的两根， 所以且， 整理得到，所以， 又， 所以，此时. 3．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数. (1)，，求a的取值范围； (2)若，，，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和进行讨论，然后列出满足条件的不等式求解即得； （2）由，，，得，分和进行讨论，然后设，，分别求出和的最值，结合恒成立条件即得. 【详解】（1）（1）由，即， 当时，得，不满足条件. 当时，需满足， 解得 . （2）（2）由，即. 因为，所以 即 当时，，显然成立. 当时，设， 的对称轴为，故， 又在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要使，成立，则需满足 即，解得 综上：满足条件的a的取值范围为 不等式的实际应用 1．（23-24高一上·河北·期末）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．        (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米? (2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少? 【答案】(1)20 (2)时，有最大值，最大值为 【分析】（1）根据已知列出方程，整理求解即可得出答案； （2）由已知可得，.根据二次函数的单调性，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，所以， 又，所以， 面积， 整理可得，，解得（舍）或， 所以的长应为20米； （2）由已知可得，，. 又， 根据二次函数的性质可知，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系： . (1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求的取值范围； (2)当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量（精确到0.1）. 【答案】(1) (2)平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时. 【分析】（1）根据题意列不等式解不等式即可； （2）先对化简，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）电动自行车流量不少于10千辆/小时， 即， 化简可得，解得， 又因为最高设计时速为25千米/小时，故， 所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，则. （2）, 由基本不等式可得. 当且仅当“”即“”时取到最小值. 此时电动车流量有最大值，最大值为, 故平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时. 3．（23-24高一上·河北邯郸·期末）2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） (1)求函数的解析式； (2)当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式； （2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得． 【详解】（1）由题意得， ∵， ∴当时，， 当时，， 综上所述，函数的解析式为． （2）由（1）得， 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当时， ， 当且仅当，即时，， ∵， ∴的最大值为207.5， 故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 4．（23-24高一上·河北·期末）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 【答案】(1)8小时 (2)1.6 【分析】（1）由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． （2）设从第一次喷洒起，经小时后， 其浓度， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为． 基本不等式构造法 1．（23-24高一上·河北·期末）若x>1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，化简可得，利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即取等号， 的最小值为， 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，解题时注意基本不等式的适用条件，属于基础题. 2．（23-24高一上·河北·期末）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．20 D．27 【答案】B 【分析】根据变形后，利用均值不等式求出的最小值即可求解. 【详解】,, , 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数k的最大值为18， 故选：B. 3．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 4．（23-24高一上·河北保定·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由a，b，c均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：8. 5．（23-24高一上·河北·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，利用基本不等式求最小值. 【详解】实数，满足，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 基本不等式综合问题 1．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设．且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合不等式的性质、基本不等式求得正确答案. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，设，则，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时满足，，所以，故D正确． 故选：ACD 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据基本不等式进行判断． 【详解】由得，A正确； 在时，，但不成立，B错；同理C也错误； 时，，，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：AD． 3．（23-24高一上·河北·期末）（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，，，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知，，，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C错误； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确． 故选：AD． 5．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB；利用函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，，且，所以，故A正确； 对于B，，又因为， 所以，又等号不成立，故B正确； 对于C，因为，所以，所以, 可得，，所以， 因为在是单调递增函数， 所以，故C正确； 对于D，，因为在是单调递增函数， 所以，故D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高三上·河北石家庄·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式，可对A、B判断；由，可得，利用基本不等式“1”的应用即可对C、D判断. 【详解】对A、B：因为，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误； 对C：若，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对D：若，则，所以， 由及，可知，则当，即时，，故D正确. 故选:ACD． 7．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知x，y均为正实数，则（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以A正确； B中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； C中，若，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高一上·河北·期末）（多选）已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，方程变形得到，利用基本不等式求出答案；B选项，由变形后，利用基本不等式求出最值；C选项，由由变形得到，构造，求导得到其单调性，进而求出最值情况；D选项，由证明出，进而证明出. 【详解】A选项，由可知，即， 故， 因为，所以，所以，故，A选项正确； B选项，由A选项可知，，又， 故， 当且仅当，时或，时取“=”，B选项正确； C选项，由A选项可知，，又，故， 令，有， 令，解得，令，解得， 可知的单调递减区间为，单调递增区间为， 故，故，C选项错误； D选项，等价于，即， 因为，又，故，当且仅当， 即时，等号成立，故D选项正确. 故选：ABD. 9．（23-24高一上·河北张家口·期末）（多选）下列各式最小值为2的是（   ） A． B．（且） C． D．为第一象限角） 【答案】AC 【分析】AC利用基本不等式可得；B项取特值可得；D项利用基本不等式得，但由等号取不到可知最小值不是. 【详解】对于A，， 当且仅当时取得最小值2，故A正确； 对于B，当，此时，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取得最小值2，故C正确； 对于D，由于为第一象限角，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，显然不等式等号取不到，即，故D错误. 故选：AC. 试卷第12页，共31页 试卷第13页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $$