专题08 三角函数图像与性质及其应用（6基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题08 三角函数图像与性质及其应用 三角函数基本性质（不含参） 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数的图象关于直线对称 D．函数与为同一个函数 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期是 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．在区间上单调递增 3．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知函数，则（　　） A．函数的最大值为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调递增 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，求函数f（x）在区间 上的单增区间为 . 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）知函数，且的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）求的单调递减区间． 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）在给定的坐标系中，画出在一个周期内的图像（必须写出作图过程）. 伸缩平移变换 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）要得到的图象，可以（    ） A．将曲线上所有的点向右平移个单位长度 B．将曲线上所有的点向右平移个单位长度 C．将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在上有2个零点 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（    ） A．函数在区间上为增函数 B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C．点是函数图象的一个对称中心 D．函数在上的最大值为1 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知曲线， ，则下面结论正确的是（    ） A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线 B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 根据三角函数的性质求解析式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最小正周期是，那么正数（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于中心对称 C．函数在上单调递增 D．若，则的最小值为 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在上单调递减，且满足. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位后得到的图象，求的解析式. 5．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数的最小正周期为，且. (1)求及的值； (2)求函数的单调递增区间. 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数（）的最小正周期为． (1)求； (2)已知，，求． 7．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为5． （1）求的值和的最小正周期； （2）求的单调递增区间． 三角函数奇偶性及其应用 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的一个可能取值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数是偶函数，其中，则下列关于函数的正确描述是（    ） A．在区间上的最小值为 B．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．点是的图象的一个对称中心； D．是的一个单调递增区间. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，设其定义域为I，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．， D．， 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是奇函数. （1）求函数最大值与最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量的集合 ； （2）求函数，的单调递增区间. 求简谐函数图像 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．是函数图象的一条对称轴 D．若，则的最小值为 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则 . 4．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数的部分图象如图所示，则 . 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为等边三角形．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象 (1)求函数的解析式及函数的对称中心． (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 解三角不等式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．在上单调递减 C．的解集为 D．方程在上有且只有两个相异实根 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求不等式的解集. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 三角函数值域及最值问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）若，且，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最小值及单调减区间. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）设函数． (1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的图象关于点对称． (1)求，m的值； (2)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图像如图所示： （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x值． 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值及函数的单调递减区间； (2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域． 7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值． (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 求三角函数参数取值范围 1．（（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象．若在上的最大值为，则的取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时，为偶函数 B．是函数的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．若函数的一个对称中心为，则的一个可能值为 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调，且满足 ；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，若在上有两个零点，求的取值范围. 8．（17-18高一上·重庆·期末）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x-． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，求实数k的取值范围． 三角函数绝对值问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．存在，使得对任意的都成立 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 三角函数的实际应用 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为 ．      2．（22-23高一下·贵州毕节·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为. ①； ②点第一次到达最高点需要的时间为； ③在转动的一个周期内，点在水中的时间是； ④若在上的值域为，则的取值范围是； 其中所有正确结论的序号是 . 3．（23-24高一上·河北邯郸·期末）某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为 km．    4．（23-24高一上·河北沧州·期末）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)求的值； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ 5．（23-24高一上·河北唐山·期末）如图，已知直线，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为，，.设. (1)用表示边，的长度； (2)若为等腰三角形，求的面积； (3)设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 三角函数的综合题型 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）对于函数，下列四个结论正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．当且仅当时，取得最小值-1 C．图象的对称轴为直线 D．当且仅当时， 试卷第20页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角函数图像与性质及其应用 三角函数基本性质（不含参） 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数的图象关于直线对称 D．函数与为同一个函数 【答案】ACD 【分析】由函数解析式，求函数的周期判断选项A，代入检验法判断BC选项中的对称轴和对称中心，诱导公式验证选项D. 【详解】函数，故函数的最小正周期为， 所以也是函数的一个周期，故A选项正确； 当时，，故B选项不正确； 当时，，是的最小值，故C选项正确； ，故D选项正确． 故选：ACD． 2．（23-24高一上·河北·期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期是 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的最小正周期，可判断A；根据正切函数没有对称轴可判断B；采用代入验证的方法可判断C；根据正切函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，由于正切函数的最小正周期是， 故函数最小正周期是，A正确； 对于B，由于正切函数没有对称轴，故的图象也没有对称轴，B错误； 对于C，由于，故的图象关于点对称，C正确； 对于D，由于正切函数在上单调递增， 故对于函数，令， 则， 故在区间上单调递增，D正确， 故选：ACD 3．（23-24高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知函数，则（　　） A．函数的最大值为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】先利用辅助角公式化简的解析式；再由三角函数的有界性判断选项A，由三角函数的对称性判断选项B、C，利用整体代入法及余弦函数的单调性判断选项D. 【详解】. 对于选项A，的最大值为，故选项A正确； 对于选项B，令，解得， 所以函数的图象关于直线对称， 则函数的图象不关于直线对称，故选项B错误； 对于选项C，因为， 所以函数的图象关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，令 ， 解得， 所以的单调递增区间为. 因为当时，， 则函数在区间上单调递增，故选项D正确． 故选：ACD． 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，求函数f（x）在区间 上的单增区间为 . 【答案】 【分析】利用两角差的正弦公式以及正余弦的二倍角公式恒等变换，再利用正弦函数的单调性求出上的单调递增区间. 【详解】 ， 令，Z，求得 ，Z， 可得函数的增区间为，Z， 再根据，可得函数f（x）在区间 上的单增区间为 ； 故答案为： . 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）知函数，且的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式可得，，再根据周期公式可得，即得到的表达式； （2）根据整体代换法，由即可解出减区间． 【详解】（1） 又函数的最小正周期为，所以，故，所以． （2）由题意，得， 解得：，， 所以的单调递减区间是． 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）在给定的坐标系中，画出在一个周期内的图像（必须写出作图过程）. 【答案】（1）；（2）见解析； 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为，由此可得函数的周期以； （2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数在一个周期内的简图． 【详解】解：（1）， 的最小正周期为． （2）列表： 0 0 0 0 函数在一个周期内的图象如图： 【点睛】利用三角恒等变换对解式进行变形化成单个三角函数；五点法作图，要注意利用整体思想进行取值. 伸缩平移变换 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）要得到的图象，可以（    ） A．将曲线上所有的点向右平移个单位长度 B．将曲线上所有的点向右平移个单位长度 C．将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】BD 【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，即可得出结论． 【详解】要得到的图象，可以将曲线上所有的点向右平移个单位长度，故选项A错误，选项B正确， 又的图象也可将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：BD. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在上有2个零点 【答案】ACD 【分析】根据图象平移写出解析式，由余弦型函数性质、代入法、零点定义判断各项正误. 【详解】由图象平移得，故最小正周期为，A对； ，B错； ，故一个对称中心为，C对； 由，则，显然或时， 所以在上有2个零点，D对. 故选：ACD 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（    ） A．函数在区间上为增函数 B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C．点是函数图象的一个对称中心 D．函数在上的最大值为1 【答案】AC 【分析】A选项，根据图象变换得到，然后根据复合函数单调性的判断方法判断；B选项，根据图象变换得到，然后根据奇偶性判断；C选项，利用代入检验法判断；D选项，利用换元法求最值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象． 当时，，此时是不单调，故A错误； 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，此函数是偶函数，满足图象关于轴对称，故B正确； 将代入函数的解析式中，得到，故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误； 当，，所以当，即时，的最大值为1，故D正确． 故选：AC. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知曲线， ，则下面结论正确的是（    ） A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线 B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【答案】AD 【分析】利用三角函数图象的伸缩变换、相位变换进行计算求解. 【详解】对于A，曲线向左平移个单位长度，得到， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 得到，故A正确； 对于B，把曲线向左平移个单位长度，得到， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 得到，故B错误； 对于C，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到，故C错误； 对于D，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到， 故D正确． 故选：AD. 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】根据图象的平移与伸缩变换即可得解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象， 所以. 故答案为： 根据三角函数的性质求解析式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最小正周期是，那么正数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式化简成正弦型或余弦型函数， 即或形式，即可求解. 【详解】由题： ， 其最小正周期所以正数. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换和函数周期求法，考查对恒等变形的常见处理方式，熟练掌握公式对解题能够起到事半功倍的作用. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于中心对称 C．函数在上单调递增 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】根据题意，求得正弦型函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的图象关于直线对称， 可得，所以， 所以函数，故有，故A错误； 令，求得，可得函数的图象关于中心对称，故B正确； 当，，函数没有单调性，故C错误； 若，则和中，一个最大，另一个最小， 可得的最小值，故D正确. 故选：BD. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得； （2）根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题可知，，又，所以， 所以， 所以. （2）令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在上单调递减，且满足. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位后得到的图象，求的解析式. 【答案】(1)；(2). 【详解】试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为，再利用对称轴为得到或，最后根据在上为减函数舎去.（2）利用左加右减求解的解析式. 解析：（1）. ，则图象关于对称，在时，，，而，或， 在时，在上单减，符合题意. 可取. 在时，在上单增，不合题意，舍去. 因此，. （2）由（1）可知，将向左平移个单位得到，. 5．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数的最小正周期为，且. (1)求及的值； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据求出最小正周期，进而根据求出； （2）整体法求解函数的单调递增区间. 【详解】（1）由题意得，由得， 故，即 因为，所以； （2）， 令，，解得，， 故的单调递增区间为. 6．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数（）的最小正周期为． (1)求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，进而得到，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 因为，函数的最小正周期，可得， 所以． （2）由，可得， 因为，所以，所以， 所以， 所以 ． 7．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为5． （1）求的值和的最小正周期； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1），．（2） 【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解； （2）由正弦函数的单调区间可得． 【详解】（1），由题意，， ． （2），解得， ∴增区间为． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键． 三角函数奇偶性及其应用 1．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的一个可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出变换后的函数解析式，利用正弦型函数函数的对称性得出的表达式再判断各选项． 【详解】函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象， 由题知，为奇函数，，，B选项满足条件， 故选：B 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）（多选）下面四个函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用奇函数的定义，再结合三角函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以，且其定义域为， 故为偶函数，所以选项B错误， 对于选项C，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项C正确， 对于选项D，因为，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：CD. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数是偶函数，其中，则下列关于函数的正确描述是（    ） A．在区间上的最小值为 B．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．点是的图象的一个对称中心； D．是的一个单调递增区间. 【答案】AB 【分析】根据为偶函数，求得的值，由此求得的解析式，根据三角函数最值、图像变换、对称中心、单调区间的知识，判断四个选项的正确性. 【详解】由得 ， 所以恒成立， 得是曲线的对称轴， 所以， 由得， ， 对于A：， 在区间上的最小值为，故A正确； 对于B：， 函数的图象向左平移个单位长度， 得到，故B正确； 对于C：， 所以点不是的图象的一个对称中心，故C错误； 对于D：， 所以不是的一个单调递增区间，故D错误 故选：AB 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，设其定义域为I，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．， D．， 【答案】ACD 【分析】求出给定函数的定义域I，再逐项判断即可判断作答. 【详解】依题意，，解得，即， ，有，，为奇函数，A正确，B不正确； ，，C正确； 取，则，D正确. 故选：ACD 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是奇函数. （1）求函数最大值与最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量的集合 ； （2）求函数，的单调递增区间. 【答案】（1）；（2）增区间. 【分析】（1）由奇函数知：，结合已知求，并写出的解析式，确定其最值和对应自变量的集合即可. （2）由（1）得，根据正弦函数的性质，确定上的增区间. 【详解】由是奇函数，有， ∴，即， ∵， ∴，即. （1）当时，，即对应自变量集合为， 当时，，即对应自变量集合为. （2），由，有，而在上递增，在上递减， ∴在上递减，在上递增， 即在上递减，在上递增， ∴在上递增. 【点睛】关键点点睛：由是奇函数，即化简后为的形式，进而求参数值并写出函数解析式，结合正弦函数的性质，求最值及对应自变量，根据复合函数的单调性确定闭区间的递增区间. 求简谐函数图像 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．是函数图象的一条对称轴 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可. 【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得， 所以，又函数过点，即，所以， 所以，又，所以，所以，故A正确； 由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误； 因为，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确； 对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值， 所以，故D正确； 故选：ACD 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则 . 【答案】 【分析】由函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式. 【详解】解：由图可得，，所以， 又，所以，所以， 又函数过点，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数的部分图象如图所示，则 . 【答案】/ 【分析】先由对称中心与对称轴的距离得到周期关系，再代入最值点求解. 【详解】由图可得，，则.因为，所以. 又，所以，解得. 又，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为等边三角形．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象 (1)求函数的解析式及函数的对称中心． (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再结合图象求得，进而利用三角函数的平移伸缩变换求得，再利用整体代入法即可得解； （2）利用参变分离法将问题转化为恒成立，再利用换元法与函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为 ， 结合图象，可知点的纵坐标为，为等边三角形，所以三角形边长为2， 所以，解得，， 所以， 令，得， 所以的对称中心为. （2）因为， 所以不等式可化为， 因为，则，故， 则，令，，则， 则在上是增函数， 故当时，，. 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最小值；最大值 【分析】（1）根据函数图象的最大最小值得出，由图象得出周期，即可根据周期得出，即可得出答案； （2）由的取值范围得出的范围，即可根据三角函数在区间上的最值求法得出答案. 【详解】（1）由函数图象观察可知： 函数的周期，由周期公式可得： 函数的解析式为：. （2）， ， ， 则当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 解三角不等式 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．在上单调递减 C．的解集为 D．方程在上有且只有两个相异实根 【答案】AC 【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数的解析式，再利用三角函数的性质即可求解. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得， 因为的最小正周期为， 所以，解得，即， 因为为偶函数， 所以，解得， 又因为， 当时，可得， 所以， . 对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确； 对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误； 对于C，由，得，即，解得， 所以的解集为，故C正确； 对于D，由，得，即， 所以即 所以，解得， 又因为， 所以， 所以方程在上有3个相异实根，故D错误. 故选：AC. 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2) 【分析】先利用三角恒等变化化简，再利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期为， 令，得， 所以的单调减区间为. （2）因为，即， 所以，则， 所以的解集为. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象，可得，，得到，再由，求得，即可求解； （2）由不等式，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，， 可得，所以，即， 又由，即， 可得，即， 因为，可得，所以. （2）由不等式，可得，可得， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 三角函数值域及最值问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）若，且，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出下，的范围，即的范围，从而求出m的取值范围 【详解】如图，∵，∴结合三角函数图象知，即，解得． 故选：C 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最小值及单调减区间. 【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为. 【解析】(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期； (2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果. 【详解】(1) . 所以的最小正周期为. (2)因为，所以， 所以当，即时，函数取得最小值. 由，得，所以函数的单调递减区间为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）设函数． (1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将函数化为形式，求函数的最小正周期及其图象的对称轴即可； （2）利用三角函数图象变换的规则，得到函数的解析式，再求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题可得： ， 所以的最小正周期为：． 由得：， 所以该函数图象的对称轴方程为： （2）由题可得 ． 因为，所以， 得：， 所以的值域为. 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的图象关于点对称． (1)求，m的值； (2)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得值； （2）由图象变换得出的表达式，再由余弦函数值域得结论． 【详解】（1）， 依题意可得，，， 则，． （2）由（1）知，则． 当时，， 则， 故在上的值域为． 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的部分图像如图所示： （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x值． 【答案】（1）；（2）时，函数在区间上的最大值为2． 【分析】（1）根据函数的最值求出的值，根据函数的最小正周期求出的值，根据函数的最值点求出的值即得解； （2）首先求出，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x值． 【详解】解：（1）如图可知，， ∴． ∵， ∴， 即函数解析式为； （2）根据图象变换原则得， ∵， ∴， ∴， 当，即时，函数在区间上的最大值为2． 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值及函数的单调递减区间； (2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1)实数a的值为，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式,由最大值求实数a的值，整体代入法求函数的单调递减区间； （2）由函数图象的变换，求函数解析式，由定义区间结合函数解析式求值域. 【详解】（1）函数． 因为的最大值为1，所以当时，，则， 故实数a的值为． 所以． 令，．解得，． 即函数的单调递减区间为，． （2）将图象上所有的点向上平移1个单位长度得到的图象， 再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象， 然后向右平移个单位长度得到的图象． 因为，所以，则， 所以，即函数的值域为． 7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值． (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为，单调递增区间为 (2)最小值为；最大值为2 (3) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案； （3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，得函数， 令，解得， 所以函数的对称中心为； 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）当时，，所以， 当即时，函数取得最小值为； 当即时，函数取得最大值为2； （3）由题意得时，有解， 而此时，即有解，只需要即可， ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以. 【点睛】方法点睛：（1）本题第三问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题. 求三角函数参数取值范围 1．（（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果. 【详解】函数的最小正周期， 所以，即． 当时，， 依题意知，， 解得，又 ∴当时成立，． 故选：A． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象．若在上的最大值为，则的取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由三角函数的图象变换得出，再根据正弦型三角函数的性质判定即可. 【详解】由题意可得：，在时，则，由正弦型函数的单调性可知， 若，即时，此时，如图所示，作出在上的图象，可知只有一个交点，即有一个解； 若，即，此时 ，则，有一个解. 故满足题意的有两个解. 故选：A 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时，为偶函数 B．是函数的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．若函数的一个对称中心为，则的一个可能值为 【答案】ABD 【解析】对A，化简得出，即可判断；对B，求出时，的函数值即可判断；对C，化简得出即可判断；对D，可得，解出即可判断. 【详解】解：∵将的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 故当时，，为偶函数，故A正确； 当时，求得，为最大值，可得是函数的一条对称轴，故B正确； ∵， 当，，故没有单调性，故C错误； 若函数的一个对称中心为， 则，，即，令，可得，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换和性质解题的关键是正确得出变换前后的解析式，然后利用三角函数性质判断求解. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调，且满足 ；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 0 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有5个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题综合考查了三角函数单调性、周期以及对称性的应用，解答的关键在于第二空的求解时，要根据零点的个数，结合正弦函数的性质，列出关于参数的不等式，从而求解答案. 5．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用降幂公式化简函数，根据图象平移可得函数，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】 ， 由题意，， 当时，由，则， 由在上单调， 则，可得不等式组，解得； 或，可得不等式组，解得， 由，解得，由，则，则. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·河北沧州·期末）函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 求出函数的零点，根据范围列不等式组即可． 【详解】 令，则函数的零点为，， 所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，， 函数在上有且仅有个零点， 所以，解得． 故答案为：． 7．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，若在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简，从而求得的最小正周期； （2）利用三角函数平移的性质求得，令，从而将问题转化为与的图象有两个交点，由此得解. 【详解】（1）， 所以的最小正周期为. （2）将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 且， 若在上有两个零点， 则关于的方程在上有两个不相等的实数根， 即与的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 8．（17-18高一上·重庆·期末）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x-． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，求实数k的取值范围． 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1] 【分析】（Ⅰ）先化简f（x），根据三角形的函数的最小正周期的定义和函数的图象和性质即可求出， （Ⅱ）根据图象的变换可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范围． 【详解】（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+）， ∴函数f（x）的最小正周期为T==π， 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， ∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 故函数f（x）的单调递增区间为+kπ，+kπ]，k∈Z， （Ⅱ）将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到g（x）=sin（x+）， ∵0≤x≤,∴≤x≤， ∴≤sin（x+）≤1， ∴≤g（x）≤1 ∴关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解， 即图象g（x）与y=k，有交点， ∴≤k≤1， 故k的取值范围为[，1]． 【点睛】本题考查了三角函数图象及性质的运用能力和化简能力，平移变换的规律，数形结合法的应用．综合性强，属于中档题． 三角函数绝对值问题 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．存在，使得对任意的都成立 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质、三角恒等变换、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，且，A正确； B选项： ， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； C选项：当时，， ， 在区间上单调递增，C正确； D选项：若存在，使得对任意的都成立， 取得，即， 取得，即，所以， 由，得，所以，由B选项知， 得，不符合题意，所以不存在， 使得对任意的都成立，D错误． 故选：ABC 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 【答案】6 【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 显然，即是函数的周期， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6. 故答案为：6 三角函数的实际应用 1．（23-24高一上·河北沧州·期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可． 【详解】如图，连接. 由题意知，线段的长度都等于半径， 所以，为正三角形，则， 故的面积为， 扇形的面积为， 由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等， 所以阴影部分的面积. 故答案为：.    2．（22-23高一下·贵州毕节·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为. ①； ②点第一次到达最高点需要的时间为； ③在转动的一个周期内，点在水中的时间是； ④若在上的值域为，则的取值范围是； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断①；根据旋转角度即可判断②和③；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断④. 【详解】对于①，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 所以点距离水面的高度的最值为，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 因为，所以， 又因为，所以，故①正确； 对于②，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故②错误； 对于③，在转动的一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故③错误； 对于④，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 所以，则，故④正确. 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 3．（23-24高一上·河北邯郸·期末）某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为 km．    【答案】 【分析】过点O作CD的垂线，连接OC，设，分别求得，，且，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，过点O作CD的垂线，垂足为F，连接OC， 设（），则，， 又， 所以， 因为，所以，当，即时，CD取到最大值． 故答案为：.    4．（23-24高一上·河北沧州·期末）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)求的值； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据最大值与最小值求出求的值，根据周期求出得值，根据特殊点求出的值； （2）由（1）得，解三角不等式，即可求得5分钟内，盛水筒在水面下的时间. 【详解】（1）由图可知，的最大值为的最小值为， 则， . 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，所以， 所以. 当时，，所以，则， 因为，所以. （2）由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 5．（23-24高一上·河北唐山·期末）如图，已知直线，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为，，.设. (1)用表示边，的长度； (2)若为等腰三角形，求的面积； (3)设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2) (3)不存在使得 【分析】 （1）根据三角函数得到，的长度； （2）在（1）的基础上，得到方程，得到，结合同角三角函数关系求出，求出三角形面积； （3）得到，由基本不等式和三角函数有界性得到，故不存在使得. 【详解】（1）由题意得， 因为，， 所以， 故，； （2）由（1）得，，， 故，即， 又，所以，即， 所以； （3）由（1）得，，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 显然与不会同时成立， 故，不存在使得. 【点睛】三角函数的思想方法常常用来解决一些与角度有关的实际问题，原因是三角函数的有界性，且三角函数的公式众多，比如和差公式，倍角公式，半角公式等，可以很好的表达相关量的关系，利用相关工具，解决问题 三角函数的综合题型 1．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）对于函数，下列四个结论正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．当且仅当时，取得最小值-1 C．图象的对称轴为直线 D．当且仅当时， 【答案】CD 【分析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案． 【详解】解：函数的最小正周期为， 画出在一个周期内的图象， 可得当，时， ， 当，时， ， 可得的对称轴方程为，， 当或，时，取得最小值； 当且仅当时，， 的最大值为，可得， 综上可得，正确的有． 故选：． 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题． 试卷第4页，共48页 试卷第1页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$