专项10 等腰三角形的综合应用-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级上册数学期末试卷精选（沪科版）安徽专版

期末复习第2步·攻专项 专项10 等腰三角形的综合应用 锁定期未高频考点，快速掌握 满分：50分得分： 1.〔安庆市)(12分)如图，在△ABC中，AB=BC,CDLAB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC交 AC于点E,交CD于点F.H是BC边的中点，连接DH,交BE于点G,连接CG 1)求证：C6=s: (2)判断△ECG的形状，并证明你的结论. 2.设题新角度过程性学习了(12分)某数学兴趣小组学习了尺规作图和等腰三角形以后，研 究下面问题.如图等边三角形ABC,E是CA的延长线上一点，并进行如下操作： 第一步：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N; 第二步：以点E为圆心，AM的长为半径画弧，交EA于点P,再以点P为圆心，MN的长为半 径画弧，两弧交于点Q: 第三步：作射线EQ,交CB的延长线于点F. (1)图1中∠PEQ与∠CAB的大小关系是 依据是 (2)判断△EFC的形状，并说明理由： 期末复习第2步·攻专项 (3)如图2，延长AB到点D,连接FD,CD,使FD=CD,判断AD,EF,BC之间的数量关系，并 证明 B B D 图1 图2 安缎专版数学八年级上册沪科 31 3.(12分)在△ABC中，点D,E是边BC上的两点 (1)如图1，若BA=CA,AD=AE,求证：BD=CE. (2)如图2，若∠BAC=90°，BA=BD,设∠B=x°，∠CAD=y° ①猜想y与x的数量关系，并说明理由： ②若CA=CE,请直接写出∠DAE的度数. B B D B< E E D 图1 图2 备用图 4.〔合肥市包河区改编〕(14分)【问题背景】数学活动课上，李老师提出了一个问题：已知 △ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于点E,DF交直线 BC于点F 【简单运用】(1)如图1，求证：DE=DF 【实践探究】在【问题背景】条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题， 期末复习第2步 请你解答 (2)如图2，若BE=34B,求证：CF=BC: BC. 攻专项 （3)如图3，若BE=4E,则CF= 图 图2 图3 32 安微专版数学八年级上册沪科·ABD= BAC + ACB, ACE= ACB+$ /DCE, . BAC= DCE,即a=B$$ 综上所述,当点D在线段BC上时,g+B= 180{; B DC 当点D在线段BC的延长线上或在线段BC的 图① 反向延长线上时,a=B /BAC三/DAE. .乙BAC- CAD= DAE- CAD 专项10 等腰三角形的综合应用 即/BAD=乙CAE. 1.解:(1)证明:AB=BC.BE平分乙ABC. :AB=AC,AD=AE BE1AC,AE=CE $ABE +A=90$$ .△BAD=△CAE.:. ABC=ACE CD1AB.: ADC=90* 乙ABC+ACB+ BAC=180{*. '.乙ABE+乙BFD=90{。 .乙ACE+ACB+ BAC=180* .乙A=乙BFD. (2分) 即 DCE+ BAC=180^{}'.a+$=18 0 CD=BD. ADC= BDC. II.当点D在线段BC的延长线上时,由①得, .△ADC=△FDB.:.AC=BF a=B. (5分) III.当点D在线段BC的反向延长线上时,分 (2)△ECG是等腰直角三角形. 两种情况 (6分) a.AE在AB右侧,如图②. 证明:BE1AC,./BEC=90*. ·CDIAB.CD=BD. :△BCD是等腰直角三角形 ./DBC=45*. -BE平分/ABC 2<DBC=22.5°. .乙CBE= (9分) :H是BC边的中点. 图② .DH垂直平分BC:BG=CG BAC= DAE. BAC- BAE= DAE $. BCG= CBE=22.5^*} - BAE,即 CAE= BAD . CGE= BCG+ CBE=45^*$$$$ :AB=AC,AD=AE.'.△BAD△CAE . ECG=90*- CGE=45^* .乙ABD=乙ACE. .△ECG是等腰直角三角形 (12分) ABD= BAC+ ACB. ACE= ACB+ 2.解:(1)/PEO=乙CAB 全等三角形的对应角 DCE.:. BAC= DCE.即a=B$$$ 相等 (2分) b.AE在AB左侧,如图③ (2)△EFC是等边三角形 (3分) 理由如下::△ABC是等边三角形. .乙C= CAB=60{。 根据作图步骤知/PEO=乙CAB .2PEO=60{. EFC=180*-C-PE0=6 0 :△EFC是等边三角形 (7分) (3)EF=BC+AD (8分) 图③ 证明:连接ED. DAE = BAC.: DAE + BAE= BA$C ·△EFC是等边三角形,:EF=EC +乙BAE,即/BAD= CAE .点E在线段FC的垂直平分线上. :AB=AC,AD=AE.:.△BAD△CAE .FD=CD. :.乙ABD=乙ACE. .点D在线段FC的垂直平分线上. 安徽专版 数学 八年级 上册 泸科 10 .ED垂直平分FC.:.乙FED=乙CED ·BE=3AE.:设AE=.则BE=3$ CEF= BAC :AD//FF $ FED= ADE.$CED= ADE '.AE=AD. (10分) △ABC是等边三角形,:AC=BC. ·EC=AC+AE.:EC=BC+AD B 图② C 'EF=BC+AD (12分) △ABC是等边三角形, 3.解;(1)证明::BA=CA./B= C (2分) $ = AB$C= C= $$AB=AC=B$C= :AD=AE.:. ADE= AED 4a.D为AC的中点.:.AD=CD=2a . 180^*}- ADE=180^{*}- AED,即 ADB= LAEC. DK/CB.AKD= B=6 0*$$$ .△ADK是等边三角形. (7分) .△ADB=△AEC.:BD=CE (4分) '$AK=DK=AD=CD=2a$ (2)①猜想:y-2* (5分) '.AE=EK=a.:.DELAK. 理由:BA=BD,乙B=x*, ..乙BED=90 BED+ BFD= 180*-( DBA+ BDE$) .乙BAD= BDA= +180*-( DBC+ BDF)=360{*- AB$C$ ). (7分) -乙EDF=180{*. BAC= BAD+CAD=90* CAD=y。 . DFB=90*$:. CDF=30{*}$ 。(180-)→y*=90”,即y.(10分) .CF= (11分) (3)## ②/DAE=45*. (12分) (14分) 【解析】乙CAD=y,y= 1:_CAD= 1 【解析】如图③,作DK//BC交AB于点K .*..CA=CE,. LAED=LCAE= C)=45^{}+ 图③ CAD=45*. 与(2)同理,得入ADK是等边三角形。 4.解:(1)证明:如图①,连接BD.作DM1AB于 AK=DK=AD=CD 点M.DN1BC于点N. '. ADK=60{../ KDC=120{*}。 设BE=m.则AE=3m. $.AB=AC=BC=4m. .$AK=AD=2m.EK=m. · EDF=120{ . EDF= KDC 图① ./KDE=乙CDF. . DMB= DMA= DNB= DNC=9 $0$$$ AKD= KDE+ KED. △ABC是等边三角形,D为AC的中点, ACB=乙F+ CDF. . KED=LF...△EDK=△FDC . ABC=6 0{*. DBA= DBC=30 $ $.DM=DV. BDM= BDN=6 0{* $$$ '.EK=CF=m..'CF= :.MDN= BDM+ BDN=12 0^*}$$ . MDN= EDF.: MDE= NDF 期末复习第3步·练真题 (5分) .△DMEE△DNF :.DE=DF 试卷1 合肥市庐阳区 (2)证明:如图②,连接BD,作DK/BC交 一、选择题 AB于点K. 1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. C 安徽专版 数学 八年级 上册 泸科