期末各名校真题-压轴必刷题（60题）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

期末各名校真题-压轴必刷题（60题） 范围：第1章～第6章 一、单选题 1．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 2．对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，，给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 4．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．若教室中有99盏灯，编号从；有99个学员，编号从号．八点半上课，学员八点开始进教室，每个学员进来时要求把自己编号的倍数的灯开关按一下（例如：编号为3的学员要把编号为3，6，9，…的灯开关按一下），，所有灯的初始状态为“不亮”．当八点半所有学员都到时有（   ）盏灯是亮的． A．4 B．9 C．14 D．19 6．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 7．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 8．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 9．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 10．下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 11．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 12．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 13．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 14．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．观察下面三行数： ，，， ① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．如图，长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接，．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 17．如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      18．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 19．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 20．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ． 21．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 22．有一个正方体的六个面上分别标有数字，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 23． 一条山路，从地到地是下坡路，从地到地是上坡路．小张从地出发经地到地所用的时间，比从地出发经地回到地的时间多分钟，已知小张上坡的速度是下坡的，两地的路程与两地的路程的比是．那么，小张在这条山路上往返一次 要 小时． 24．从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为． （1）第4行第8列的数字是 ． （2）数字在图中的第 行，第 列． 25．探索规律：现有一列数，，其中，且满足任意相邻三个数的和为同一常数，则 ． 26．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”． 如第行的个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算： ． 27．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 三、解答题 28．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 29．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 30．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 31．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)两点之间的距离为______； (2)当时，P、Q两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 32．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 33．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 34．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 35．【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 36．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 37．数轴上点与点之间的距离记为：．如图，在数轴上，，三点对应的数分别为，，，已知，，且点，点到点的距离相等，即． (1)填空：点对应的数为 ； (2)若点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度向右移动，在点，移动的同时点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为秒． ①若点到的距离是点到的距离的两倍，我们就称点是的“幸福点”．当点是的“幸福点”时，求此时点对应的数； ②在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由． 38．随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 出行 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时．如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：元）；出行的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，某乘客选择了出行和出租车这两种打车方式，哪种方式更省钱？ (2)出行和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠．若乘车路程千米，请分别列出滴滴快车和出行的费用，并求出当时，哪种出行方式更省钱？ 39．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 40．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且点与点的距离为24． (1)写出数轴上点表示的数______； (2)表示6与2之差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： ①若，则______； ②的最小值为______； (3)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当____，点，两点之间的距离为2． 41．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：表示a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知图①，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出的最小值为______；当______时，的最小值为______． (2)应用二：在图①中，若点A以3个单位长度/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．点A表示的数为______：（用含t的式子表示）； 将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，且M，N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是______；点N表示的数是______；点C表示的数是______． (3)应用三：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段长度为______；应用这个原理，请计算：． 42．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍数点”．例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“倍数点”． (1)若点表示数，点表示数4，点是点、的“倍数点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为___________； (2)若点表示数，点表示数2，下列各数；0，6，8所对应的点分别为，，，，其中是点，的“倍数点”的是___________； (3)点表示数，点表示数26，为数轴上一点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“倍数点”，此时点表示的数是___________； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍数点”，直接写出此时点表示的数___________． 43．数轴上所对应的点分别为点，若点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，有，．    (1)点在数轴上分别对应的数为，且，直接写出的值； (2)在（）的条件下，两只电子蚂蚁甲乙分别从两点出发向右运动，甲的速度为个单位每秒，乙的速度为个单位每秒，求经过几秒，点与两只蚂蚁的距离和等于； (3)在（）（）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至点后也以原速返回，到达自己的额出发点后又折返向点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，求运动的时间为多少时，两只蚂蚁相遇． 44．观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 45．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 46．如图，数轴上两点所对应的数分别是和，且．    (1)则________，________，两点之间的距离________； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？请求出此时点的位置，并直接写出是第几次运动． 47．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 48．已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点右侧的一点，且、两点间的距离为8个单位长度，点为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)写出点所表示的数为 ； (2)①若点到点，点的距离相等，则点所表示的数为 ； ②数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和为10，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左作匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左作匀速运动，，同时运动： ①当点运动多少秒时，点和点重合？ ②当点运动多少秒时，，之间的距离为3个单位长度？ 49．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 50．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ； (2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 51．如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 52．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是__________．此时表示数a的点与表示数__________的点重合． (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒， ①在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； ②若点在点的右侧且线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最小值是__________； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是__________． 53．阅读材料： 如下图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为：      步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤中的值和校验码的值； (2)如图，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则______（请直接写结果）； (3)如图，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是，这两个数字从左到右分别是______（请直接写结果）· 54．甲、乙两站相距千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行千米，货车每小时行千米，客车到达乙站后停留小时，又以原速度返回甲站．求两车迎面相遇的地点离乙站有多少千米? 55．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 56．射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为． 例如，如图1， ， ，则，即，反之，则． (1)如图2，射线在的内部． ①若射线是的平分线，则______． ②若， ，则______． (2)如图3， ， ，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动．设旋转的时间为t秒． ①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值； ②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数． 57．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则 ； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求 度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 58．在数轴上，O为原点，点A、B、C分别表示数a，b，c，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为________； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度和3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，……，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段的中点，设运动的时间为t秒，在运动过程中，是否存在常数k，使得不论t为何值；的值不变，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 59．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 60．如图，数轴上A，B，O两点表示的数分别为，13，0． 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为．同理，数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之差记为． (1)若，则______．的最小值为______．的最小值为______． (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t，当动点P到点O与点B的距离之差等于点P到点A与点O距离之和的最小值时，求出t的值及此时点P表示的数． (3)点C，D表示的数分别为，3，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当到达点B后立即速度减半返回A点；动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当到达点A后停留，然后速度变为原来的两倍返回B点．当点A、B中某一点返回到达出发点时，两个点均停止运动，点M、N同时开始运动，经过多少秒时，点N到点C的距离等于点M到点D距离的两倍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（60题） 范围：第1章～第6章 一、单选题 1．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 2．对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，，给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减，令，，，，“双减操作”结果是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“−”号和两个“＋”号，用计算出的结果，逐一判断可得到结果，解题的关键是理解新定义，并准确列出所有可能结果的算式，并计算． 【详解】令，，，， “双减操作”结果是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“−”号和两个“＋”号， ∴有以下几种计算结果： （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， ∴x为任意整数时，其结果均为能被2整除；故①说法正确； 不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误； 所有的“双减操作”共有6种不同的结果；故③说法正确； ∴正确的有2个， 故选：C． 3．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合；表示出图中阴影部分的周长，根据题意进行整理即可解答． 【详解】解：图中阴影部分的周长 ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， 故选：C． 4．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 5．若教室中有99盏灯，编号从；有99个学员，编号从号．八点半上课，学员八点开始进教室，每个学员进来时要求把自己编号的倍数的灯开关按一下（例如：编号为3的学员要把编号为3，6，9，…的灯开关按一下），，所有灯的初始状态为“不亮”．当八点半所有学员都到时有（   ）盏灯是亮的． A．4 B．9 C．14 D．19 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探索，根据题意可知当开关被按奇数次和偶数次时，灯所对应的状态分别是“亮”和“不亮”，再结合每个编号的因数个数即可解决问题． 【详解】解：∵所有的灯原来都是“不亮”的， ∴当开关被按奇数次时，灯是“亮”的， 当开关被按偶数次时，灯是“不亮”的． ∵当灯的编号有几个因数时，灯的开关就被按几次， ∴灯的编号的因数个数为奇数个的，其开关被按了奇数次，最终状态为“亮”， ∵只有平方数的因数才是奇数个， 且1到99中平方数有：1，4，9，16，25，36，49，64，81． ∴最终状态为“亮”的灯有9盏． 故选B． 6．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 7．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 9．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，设出正方形的边长，根据甲的速度是乙的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答，根据题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵乙的速度是甲的速度的倍，时间相同， ∴甲乙所行的路程比为， 把正方形的每一条边平均分成份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ∴四次一个循环， ∵， ∴它们第次相遇在边上， 故选：． 10．下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是观察图形，探究变化规律． 根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求解． 【详解】解：观察图形，可知： 第①个图形有4个，即， 第②个图形有9个，即， 第③个图形有14个，即， 第④个图形有19个，即， … 第n个图形有个， 当时，． 第⑧个图形中的个数为39． 故选：B． 11．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 12．如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 13．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 14．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①不符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①错误； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为： ， 当时，，说法④正确， 故选：B． 15．观察下面三行数： ，，， ① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，根据每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为，即可得即，，，再代入代数式计算即可求解，根据每行所给数找出规律是解题的关键． 【详解】解：由每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为， ∴第①②③行的第个数分别为，，， 即，，， ∴ ， 故选：． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 16．如图，长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接，．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线以及折叠求角度，分两种情形：当点在点的右侧；当点在点的左侧，根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：∵将对折，将对折， ∴平分，平分， ，， 当点在点的右侧， ∴， ，， ∴， ∴； 当点在点的左侧， ， ，， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 17．如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，熟练掌握图形变化规律，是解题的关键， 观察图形，后一个图形比前一个图形多4个白色正六边形，第几个图形有几个黑色正六边形，即可得出结果． 【详解】解：观察图形， 第1个图形中有6块白色正六边形，， 第2个图形中有10块白色正六边形，， 第3个图形中有14块白色正六边形，， ……， ∴第n个图形中白色正六边形的块数为；． 第1个图形中有1块黑色正六边形， 第2个图形中有2块黑色正六边形， 第3个图形中有3块黑色正六边形， ……， ∴第n个图形中有n块黑色正六边形． ∴． ∴第n（n为正整数）个图案形中白色正六边形比黑色正六边形多个． 故答案为：． 18．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 【答案】20或25 【分析】本题考查了探索数字规律，找到规律是解题的关键；依次计算出前几次跳动后表示的数，归纳出规律即可求解． 【详解】解：第1次跳动后表示的数为，； 第2次跳动后表示的数为，； 第3次跳动后表示的数为，； 第4次跳动后表示的数为，； 第5次跳动后表示的数为，； 第6次跳动后表示的数为，； 第7次跳动后表示的数为，； …… 一般地：第次跳动后表示的数为，第次跳动后表示的数为， 当时， 解得， 即第次跳动后的数为，距离原点23个单位长度； 当时， 解得， 即第次跳动后的数为，距离原点23个单位长度； 综上，当电子跳蚤第20次或第25次跳动后到原点的距离为23个单位长度； 即n的值为20或25； 故答案为：20或25． 19．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，所以，第行，第列的数是． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是， ∴第行，第列的数是第一个数是， 下一个数出现在第行，第列为 ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 20．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ． 【答案】37 【分析】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 图案①有：根小木棒； 图案②有：根小木棒； 图案③有：根小木棒； …； ∴第n个图案有：根小木棒． ∴当时，． ∴第⑨个图案有：37根小木棒． 故答案为：37． 21．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由机器人的运动速度不超过，可得，再分别以点为终点，分别列出方程求出的值进行判断即可求解，运用分类讨论思想并正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：因为机器人的运动速度不超过， 所以，即， 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得， 或， 解得，舍去； 综上所述，记录点恰好为终点时，的值为或或． 22．有一个正方体的六个面上分别标有数字，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字问题，代数式求值，根据与相邻的面的数字有判断出的对面数字是，与相邻的面的数字有判断出的对面数字是，从而确定出的对面数字是，然后确定出的值，相加即可求解，根据正方体上的数字确定出的值是解题的关键． 【详解】解：由图可知，与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， 与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∴的对面数字是， ∵标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为， ∴，， ∴， 故答案为：． 23．一条山路，从地到地是下坡路，从地到地是上坡路．小张从地出发经地到地所用的时间，比从地出发经地回到地的时间多分钟，已知小张上坡的速度是下坡的，两地的路程与两地的路程的比是．那么，小张在这条山路上往返一次要 小时． 【答案】 【分析】本题考查了路程问题，有理数的混合运算的应用，解题的关键是找出上坡时间与下坡时间差，根据速度和时间的反比关系求出上坡时间．把全程看作份，往返共走了份上坡路和份下坡路，根据题意可知返回时比去时多行了份上坡路，少行了份下坡路，则每份上坡路比每份下坡路多用（分钟），再结合速度和时间的反比关系，即可求解． 【详解】解：上坡用时： （分钟） 下坡用时： （分钟） 往返一次用时：（分钟）， 分钟小时， 故答案为：． 24．从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为． （1）第4行第8列的数字是 ． （2）数字在图中的第 行，第 列． 【答案】 0 45 25 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． （1）观察数据发现第偶数行第偶数列的数字是都0，可得答案； （2）观察数据发现第行第1个数字为，进而根据，即可求解． 【详解】解：（1）观察数据发现第偶数行第偶数列的数字是都0，可得第4行第8列的数字是0； 故答案为：0． （2）第1行第1个数字为， 第3行第1个数字为， 第5行第1个数字为， 第行的第1个数字为， ， 第45行第1个数字为， ， 数字2023在图中的第45行，第25列． 故答案为：45，25． 25．探索规律：现有一列数，，其中，且满足任意相邻三个数的和为同一常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律变化．解答本题的关键是熟练掌握数字的变化规律． 根据任意相邻三个数的和为同一常数可得：，，任意相邻三个数的和为，根据，得到，得到 ． 【详解】∵任意相邻三个数的和为同一常数， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 26．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”． 如第行的个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据杨辉三角系数的特点进行计算，根据杨辉三角得到第行的项系数是，将变形为，即可得到，计算即可求解，理解杨辉三角中各项系数的特点，并将原式进行正确变形是解题关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 27．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 三、解答题 28．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1) (2)①当秒或25秒时，的度数是．②当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据伴随线定义求解即可； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线， ， ， ∴同理，若的度数是，射线是射线的伴随线， ， ∵射线是的平分线， ， ． 故答案为：． （2）解：射线与重合时， （秒） ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则，解得：； 若在相遇之后，则，解得：． 综上所述，当秒或25秒时，的度数是． ②相遇之前： a．如图1， 当是的伴随线时，则，即，解得：； b．如图2， 当是的伴随线时，则，即，解得：； 相遇之后： c．如图3， 当是的伴随线时，则，即，解得：； d．如图4， 当是的伴随线时，则，即，解得：． 综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 29．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4或8.8或10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． （1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）解：由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）解：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 30．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键． 31．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)两点之间的距离为______； (2)当时，P、Q两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)9 (3)是；当或3或或4或6时，线段、、中存在两条线段相等 【分析】（1）直接由数轴上两点间距离计算方法即可完成； （2）分别求出此时两点表示的数，由数轴上两点间距离计算方法即可完成； （3）分5种情况考虑，利用距离相等建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点B对应的数是10， ∴A、B两点之间的距离为：； （2）解：当时，点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∴P、Q两点之间的距离为：； （3）解：在运动过程中，线段、、中存在两条线段相等，理由如下： 依题意得：，， 有以下几种情况： ①当且P与Q不重合时，如图所示 则有：， 解得：； ②当P与B重合时，即，如图所示． 则有：， 解得：； ③当时，如图所示． 则有：， 解得：； ④当P与Q重合时，即， 则有：， 解得：； ⑤当时，如图所示： 则有：， 解得：； 综上所述，当或3或或4或6时，线段、、中存在两条线段相等． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离，动点问题，有理数的运算，一元一次方程等知识，解题的关键是利用分类讨论思想． 32．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是； (2)0或； (3)2；2； (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（）的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件的值； （3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“n是正整数”求出n、t即可； （4）设点Q表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用m、n、表示的代数式，再由“点Q运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数m、n满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为6，， ，， ， 原点是“关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为6，， ， 若点是“关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，设运动秒， 则A表示的数，B表示的数， 原点O恰好是“关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为4的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“关联点”，此时的值为2， 故答案为：2；2； （4）点在A、之间运动，且不与A、两点重合，作“整2关联点”，记为，作“整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 33．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 34．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，理由见解析 【分析】（1）根据两点之间的距离公式即可计算出的长； （2）设点表示的数是，根据，点表示的数为，结合题意即可列出关于的一元一次方程，解方程即可求出点表示的数； （3）分别求出与的长，再计算它们的差，然后根据结果进行判断即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度是； （2）解：设点表示的数是， 点表示的数为，， 或， 解得：或， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意可得： ， ， ， 结果是一个定值，与的取值无关， 的值不会随着的变化而变化， 答：的值不会随着t的变化而变化． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数， 数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，弄清题意，运用数形结合思想并正确列式计算是解题的关键． 35．【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 【答案】（1）；（2）6或；（3）5；（4） 【分析】本题考查了数轴和绝对值的应用，一元一次方程的应用，能理解题意是解此题的关键． （1）根据题意可得在数轴上8和对应的两个点之间的距离是，计算即可求解； （2）根据题意可得表示到的距离为，即，，求解即可； （3）根据题意可表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，最小为到的距离，计算即可． （4）根据题意可表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之差，当或时，距离之差最大，最大为数轴上表示和的点之间的距离，计算即可． 【详解】解：（1）∵5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为， ∴在数轴上8和对应的两个点之间的距离是， 故答案为：． （2）∵表示与的差的绝对值，即数轴上m，n对应的两个点之间的距离， ∴表示到的距离为， 即 ∴， 故答案为：6或． （3）∵表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， ∴在和之间时，距离之和最小， 即最小值为， 故答案为：． （4）∵表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之差， ∴当或时，距离之差最大， 即最大值为数轴上表示和的点之间的距离， 故答案为：． 36．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ， ∴， ∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：， ∴， ∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4， 故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时， 由题意得：， 解得：； ②当时， 由题意得：， 解得：； ③当即时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ④当时， 由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 37．数轴上点与点之间的距离记为：．如图，在数轴上，，三点对应的数分别为，，，已知，，且点，点到点的距离相等，即． (1)填空：点对应的数为 ； (2)若点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度向右移动，在点，移动的同时点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为秒． ①若点到的距离是点到的距离的两倍，我们就称点是的“幸福点”．当点是的“幸福点”时，求此时点对应的数； ②在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由． 【答案】(1) (2)①对应是数为；②当时，为定值，当时，为定值；理由见解析 【分析】（1）由已知可知是线段的中点，根据中点公式列方程求解； （2）①根据“幸福点”的定义可得关于的等式，求出，即可得出结论； ②根据“数轴上两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值”，用含的式子表示和，再分类讨论：当、时，分别将和的式子化简，即可得出结论． 【详解】（1） ∵， ∴是的中点， ∴， 解得：， 故答案为：； （2） 移动时间为秒时，点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：， ①由题意得：， ∵，， ∴， 解得：， 此时：对应的数为； ②当时，为定值，当时，为定值； 理由如下： 当、相遇时，，解得：． 当时：，它是定值； ，它不是定值； 当时：，它不是定值； ，它是定值． 综上所述，当时，为定值，当时，为定值． 【点睛】 本题考查了数轴上数的表示、中点公式、一元一次方程的应用，理解新定义、熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 38．随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 出行 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时．如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：元）；出行的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，某乘客选择了出行和出租车这两种打车方式，哪种方式更省钱？ (2)出行和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠．若乘车路程千米，请分别列出滴滴快车和出行的费用，并求出当时，哪种出行方式更省钱？ 【答案】(1)出行更省钱 (2)，，滴滴快车更省钱 【分析】本题考查了分段计费，熟练掌握总价与单价和数量的关系，列代数式，列一元一次方程，是解题关键． （1）先求出运行时间，出行的打车费包括里程费和分钟费，出租车出行的打车费包括3千米前后两段费用，直接列式计算比较即得； （2）根据滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠，列出各自的费用表达式，再把分别代入计算比较即得． 【详解】（1）由题意得：（分钟）， 则出行的打车费为：（元）； 则出租车出行的打车费为：（元）； ， 出行更省钱． （2）设打车的路程为千米， 依题意得： 出行的收费为：元， 滴滴快车的收费为：元， 当时， （元）， （元）， ， 滴滴快车更省钱． 39．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 40．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且点与点的距离为24． (1)写出数轴上点表示的数______； (2)表示6与2之差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： ①若，则______； ②的最小值为______； (3)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当____，点，两点之间的距离为2． 【答案】(1) (2)①10或2；②16 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等知识点， （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解； 关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解． 【详解】（1）解：根据两点间的距离公式可得：数轴上点B表示的数， 故答案为：； （2）解：①∵的几何意义是数轴上表示x的点与6两点之间的距离为4， ∴， ∴或2， 故答案为：10或2； ②的几何意义是数轴上表示x的点到与6两点之间的距离之和， ∴当x在与6之间时最小， ∴最小值为， 故答案为：16； （3）解：设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是， ∴， 解得，， 故当t为2或时，A，P两点之间的距离为2， 故答案为：2或． 41．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：表示a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知图①，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出的最小值为______；当______时，的最小值为______． (2)应用二：在图①中，若点A以3个单位长度/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．点A表示的数为______：（用含t的式子表示）； 将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，且M，N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是______；点N表示的数是______；点C表示的数是______． (3)应用三：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段长度为______；应用这个原理，请计算：． 【答案】(1)，3，，8． (2)，，4，或． (3)；． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、绝对值的性质、整式的加减混合运算、折叠的性质等知识点，找出题目的规律是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可求得两点的距离；根据绝对值的几何意义可知：当x在表示数与1的两点及两点之间时的值最小，据此求解即可求得最小值；根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （2）先根据题意列代数式表示点A表示的数；设点M表示的数m，C表示的数为c，则N表示的数为：，根据折叠的性质可列式求得m，进而确定点M、N表示的数，再列绝对值方程求得点C表示的数； （3）第一次剪掉的长度是，剩下的长度是；第二次剪掉的长度是，剩下的长度是；第三次剪掉的长度是，以此类推，第n次剪掉的长度是，按此可求得剪掉5次后剩下线段的长度，并利用该原理求得的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：两点的距离可以表示为； 由题意，当时，|取最小值， 其最小值为：； 由题意，表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8． 故答案为：，3，，8． （2）解：由题意可知：点A表示的数为； 设点M表示的数m，C表示的数为c，则N表示的数为：， ∵A在数轴上表示为，M，N两点沿着A点折叠后重合， ∴，解得：，则， ∴点M表示的数是，点N表示的数是4， ∵M，C两点之间距离为4， ∴，解得∶或． 故答案为：，，4，或． （3）解：第一次剪掉的长度是，剩下的长度是； 第二次剪掉的长度是，剩下的长度是； 第三次剪掉的长度是，剩下的长度是 以此类推，第n次剪掉的长度是，剩下的长度是； ∴当时，剩下的长度为， ∴ ． 故答案为：；． 42．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍数点”．例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“倍数点”． (1)若点表示数，点表示数4，点是点、的“倍数点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为___________； (2)若点表示数，点表示数2，下列各数；0，6，8所对应的点分别为，，，，其中是点，的“倍数点”的是___________； (3)点表示数，点表示数26，为数轴上一点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“倍数点”，此时点表示的数是___________； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍数点”，直接写出此时点表示的数___________． 【答案】(1) (2)，； (3)①14或或2；，②44或98或62． 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄清定义，分类讨论是解题的关键． （1）设点表示的数是，由题意可得或， 求出符合题意的的值即可； （2）设的“倍数点”表示的数是，由题意可得或， 求出的值，再结合题意求解即可； （3）①设点表示的数是，由题意可得或，求出符合条件的的值即可； ②设点表示的数是，分三种情况讨论：当点是点，的“倍数点”，由①得知点表示的数是； 当点是的“倍数点”， 由或，求出点表示的数是； 当点是的“倍数点”， 由或，求出点表示的数是或． 【详解】（1）解：∵点是点， 的“倍数点”， ∴或，设点表示的数是， ∴或， 解得或或或， ∵点在之间，且表示一个负数， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：设的“倍数点”表示的数是， 由题意可得或， 解得或或或， ∴是点的“倍数点”， 故答案为：； （3）解：①设点表示的数是， ∵点是点的“倍数点”， ∴或， ∴或， 解得或或或， ∵点在点的左侧， ∴， 或或， 故答案为： 或或； ②设点表示的数是， 当点是点的“倍数点”， 由①得点表示的数是； 当点是的“倍数点”， ∴或， ∴或， 解得或或或， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数是； 当点是的“倍数点”， ∴或， ∴或， 解得或或或， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数是或； 综上所述：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 43．数轴上所对应的点分别为点，若点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，有，．    (1)点在数轴上分别对应的数为，且，直接写出的值； (2)在（）的条件下，两只电子蚂蚁甲乙分别从两点出发向右运动，甲的速度为个单位每秒，乙的速度为个单位每秒，求经过几秒，点与两只蚂蚁的距离和等于； (3)在（）（）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至点后也以原速返回，到达自己的额出发点后又折返向点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，求运动的时间为多少时，两只蚂蚁相遇． 【答案】(1) (2)经过秒或秒时，点与两只蚂蚁的距离和等于 (3)当运动时间为秒或秒或秒或秒时，两只蚂蚁相遇 【分析】（）根据建立方程求出其解； （）根据点与两只蚂蚁的距离和等于建立方程，分情况进行讨论当电子蚂蚁甲在点左边时：当电子蚂蚁甲运动到点右边时即可 （）设运动秒时，两只蚂蚁相遇，然后分当电子蚂蚁甲没到达点时，两只蚂蚁相遇；当电子蚂蚁甲从点返回时，两只蚂蚁相遇，当电子蚂蚁甲从点返回时，电子蚂蚁乙从点返回时，两只蚂蚁相遇；当电子蚂蚁第二次从点返回，两只蚂蚁相遇四种情况分析即可； 本题考查了数轴两点距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）解：设经过秒，点与两只蚂蚁的距离和等于， 当电子蚂蚁甲在点左边时： ； 当电子蚂蚁甲运动到点右边时， ， ； ∴经过秒或秒时，点与两只蚂蚁的距离和等于； （3）设运动秒时，两只蚂蚁相遇， 当电子蚂蚁甲没到达点时，两只蚂蚁相遇， ， ； 当电子蚂蚁甲从点返回时，两只蚂蚁相遇， ， ； 当电子蚂蚁甲从点返回时，电子蚂蚁乙从点返回时，两只蚂蚁相遇， ， ； 当电子蚂蚁第二次从点返回，两只蚂蚁相遇， ， ； 则当运动时间为秒或秒或秒或秒时，两只蚂蚁相遇． 44．观察下列式子： ；；；；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)利用规律计算：． (4)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据式子规律即可求解； （2）按照（1）中规律拆成两个分数的差的形式，再相加即可； （3）与（2）同理； （4）每项拆成的形式，即可相加． 【详解】（1）解：由式子规律得：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解： ． 45．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 【答案】跑道长为400米 【分析】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及类问题过程，此题有一定的难度．设一开始时甲的速度是，于是乙的速度便是．再设跑道长是，根据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，即可求出椭圆的跑道长． 【详解】解：设一开始时甲的速度是，于是乙的速度便是．再设跑道长是， 则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为． 甲跑完第一圈，乙跑了，乙再跑余下的，甲已折返，且以的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了， 这时，乙折返并以的速度跑着． 从这时起，甲、乙速度之比是，即． 所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点． 可见两次相遇点间的距离是（米，即（米，（米 答：跑道长为400米． 46．如图，数轴上两点所对应的数分别是和，且．    (1)则________，________，两点之间的距离________； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？请求出此时点的位置，并直接写出是第几次运动． 【答案】(1) (2) (3)点P所对应的有理数分别是和且是P点分别运动到第23次和第8次的位置． 【分析】本题考查绝对值的非负性，数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用．读懂题意，正确的列出算式和方程，是解题的关键． （1）根据非负性，求出的值，两点间的距离公式求出两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点对应的数为x，分点在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴两点之间的距离为； 故答案为：； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数， 依题意得： ， 所以点P所对应的数； （3）设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 依题意得：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 依题意得：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时： 依题意得：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和且是P点分别运动到第23次和第8次的位置． 47．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 48．已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点右侧的一点，且、两点间的距离为8个单位长度，点为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)写出点所表示的数为 ； (2)①若点到点，点的距离相等，则点所表示的数为 ； ②数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和为10，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左作匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左作匀速运动，，同时运动： ①当点运动多少秒时，点和点重合？ ②当点运动多少秒时，，之间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)3 (2)①；②或4 (3)①4秒；②2.5秒或5.5秒 【分析】（1）由，得点所表示的数为3； （2）①根据点到点，点的距离相等，有，即可解得答案； ②当时，，当时，，此时不存在；当时，，可解得答案； （3）①设运动时间为秒，知表示的数为，表示的数为，故，得；②由，之间的距离为3个单位长度，得，可解得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点所表示的数为3． 故答案为：3； （2）①∵点到点，点的距离相等， ∴， 解得； 故答案为：； ②数轴上存在点，使点到点，点的距离之和为10，理由如下： 当时，可有， 解得， 当时，，此时不存在； 当时，， 解得， ∴的值为或4； （3）①设运动时间为秒，则表示的数为，表示的数为， 当点和点重合时，， 解得， ∴当点运动4秒时，点和点重合； ②∵，之间的距离为3个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， ∴当点运动2.5秒或5.5秒时，，之间的距离为3个单位长度． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用、绝对值方程等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 49．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 50．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ； (2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)5 (2)或3；5；5 (3)便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，绝对值的意义，化简绝对值．熟练掌握数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）分当时，当时，当时，求解，可得的值；由绝对值的意义求的最小值和最小值即可； （3）记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，，设便民服务点在数轴上表示的点处，由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：，由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值，然后计算求解即可． 【详解】（1）由题意知，， 故答案为：5； （2）由题意知，当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 无解； 或3； 由绝对值的意义可知，当时，取最小值5， 当时，取最小值是5， 故答案为：或3；5；5； （3）便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14千米，理由如下： 记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，， 设便民服务点在数轴上表示的点处， 由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：， 由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值， 此时， 答：便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14． 51．如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 52．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是__________．此时表示数a的点与表示数__________的点重合． (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒， ①在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； ②若点在点的右侧且线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最小值是__________； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是__________． 【答案】(1)， (2)①秒或秒  ② (3)或或或 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想. （1）根据对称性找到折痕的点为，根据两点间的距离可得答案； （2）①分两种情况：点在点左边； 点在点右边； 分别根据行程问题列出方程解答便可； ②根据覆盖部分整点个数可得当距离为2时，点P和Q都在整点上，这时线段上恰好有3个整点，即可求出最小值； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为列式求解即可. 【详解】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数10的点与它重合的点重表示的数为：， 表示数a的点与它重合的点重表示的数为：， 故答案为: ，； （2）①当点在点左边时, 则，解得, 当点在点的右边时, 则,解得, 综上, 当秒或秒时, 点与点之间的距离为； ②解：由题可得：当距离为2时，点P表示的数为，Q点表示的数为，都在整点上，这时线段上恰好有3个整点， 在向右移动先有3个整点，然后整点个数增加， ∴由①计算可得时间t的最小值是， 故答案为：； （3）解：设表示的点是, 表示的是, ∴. ， 当三条线段的比值为时,,, 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 当三条线段的比值为时,, , 则； 当三条线段的比值为时, , , 则； 故答案为: 或或或． 53．阅读材料： 如下图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为：      步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤中的值和校验码的值； (2)如图，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则______（请直接写结果）； (3)如图，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是，这两个数字从左到右分别是______（请直接写结果）· 【答案】(1)，； (2)； (3)，或，． 【分析】（）根据特定的算法代入计算即可求解； （）根据特定的算法依次求出，，，，再根据为的整数倍即可求解； （）根据校验码为结合两个数字的和是即可求解； 本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律，利用规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤”中的的值为，校验码的值为， 故答案为： ，； （2）解：根据题意得：，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设两个数字从左到右分别是， 由题意得：，， ∴， ∵检验码为， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字为， ∵， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或（舍去） 故答案为：，或，． 54．甲、乙两站相距千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行千米，货车每小时行千米，客车到达乙站后停留小时，又以原速度返回甲站．求两车迎面相遇的地点离乙站有多少千米? 【答案】两车迎面相遇的地点离乙站有千米 【分析】本题主要考查解决相遇问题的一般思路，即相遇时间相遇路程速度和，同时也考查了学生反复运用速度，时间以及路程之间的等量关系解决问题的能力．解题的关键是求出客车以原速返回时，货车行驶的距离．先根据时间路程速度，求出客车到达乙站需要的时间； 再根据路程速度时间，求出货车相同的时间加上客车到达乙站后停留小时，这段时间内货车行驶的路程； 然后求出此时货车距离乙站的距离；再根据时间路程两车的速度和，求出相遇的时间；最后根据路程时间速度即可解答． 【详解】解： （千米）； 答：两车迎面相遇的地点离乙站有千米． 55．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)存在，11或32 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的定义，根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线分别平分和， ， ， ， 故答案为：90． （2）解：∵射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故当时，射线平分． （3）解：存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：； ③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，， ． 综上所述：当或32时，． 56．射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为． 例如，如图1， ， ，则，即，反之，则． (1)如图2，射线在的内部． ①若射线是的平分线，则______． ②若， ，则______． (2)如图3， ， ，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动．设旋转的时间为t秒． ①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值； ②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)①；②； (2)①t的值为或，②． 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的数量关系和一元一次方程的应用： （1）①根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可． ②根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可 （2）①分两种情况，根据列示计算即可得出答案． ②设若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，根据题意即可得，进一步得到，有，则射线旋转的角度为，即可求得． 【详解】（1）解：①∵是的平分线， ∴，即 ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①当由向运动时： ∵ ∴ 解得： ． 当由向运动时， ∵， ∴ 解得： ， 综上所述， t的值为或． ②设若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒， ∵当到达时，也恰好回到， ∴， ∵， ∴，则， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴． 57．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则 ； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求 度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 58．在数轴上，O为原点，点A、B、C分别表示数a，b，c，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为________； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度和3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，……，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段的中点，设运动的时间为t秒，在运动过程中，是否存在常数k，使得不论t为何值；的值不变，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)①52.5个单位长度；②存在， 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负数的性质求出b与c的值，根据多项式为五次四项式求出a的值，即可求得代数式的值； （2）①由题意求出点P遇到点M的时间，也就是点N的运动时间，首先求出的距离，设相遇时间为t，分别表示出两点行驶的距离，建立方程解决问题即可； ②设运动的时间为t秒，则，用含t的式子分别表示出点N和点P，进而表示出点Q，则进一步得到，结合题意列出关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∵是五次四项式， ∴，解得； 则， 故答案为：16； （2）解：①点P，M相遇时间秒， ∴N点所走路程：（单位长度）； ②存在K，使得的值不发生变化；理由如下： 设运动的时间为t秒，则， ∵动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，B、C在数轴上表示的数分别为，24， ∴运动t秒时点N、P分别位于数轴上的位置， ∴中点Q位于： ∴ ∴， ∵不论t为何值；的值不变， ∴，解得， 即当时，不论t为何值；的值不变， 【点睛】本题主要考查了方程、多项式、动点在数轴上的表示的数、解一元一次方程及线段长之间的关系等问题，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，行程问题的数量关系是解题的关键． 59．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 【答案】综合运用一：（1）5；（2）①或3；②当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二：（1），13，7；（2）①，；②或6；（3）秒或2秒 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】解：综合运用一： （1）∵点E表示为，点F表示为2， ∴； 故答案为：5 （2）①∵点E表示为，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； 故答案为：或3 ②∵是指表示x的点到点E的距离与到点F的距离之和， 由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段的长，此时它们的距离之和最小， ∴当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7 （2）①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：， ②当时，， ∴， 解得或6 （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 60．如图，数轴上A，B，O两点表示的数分别为，13，0． 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为．同理，数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之差记为． (1)若，则______．的最小值为______．的最小值为______． (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t，当动点P到点O与点B的距离之差等于点P到点A与点O距离之和的最小值时，求出t的值及此时点P表示的数． (3)点C，D表示的数分别为，3，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当到达点B后立即速度减半返回A点；动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当到达点A后停留，然后速度变为原来的两倍返回B点．当点A、B中某一点返回到达出发点时，两个点均停止运动，点M、N同时开始运动，经过多少秒时，点N到点C的距离等于点M到点D距离的两倍． 【答案】(1)；3； (2)，P点所表示的数为 (3)t的值为或或18 【分析】（1）由，或，再解方程可得答案，由绝对值的意义可得：的最小值，再分三种情况：当时，当时，当时，再化简，从而可得答案； （2）由题意可得：对应的数为，当的值最小时，结合（1）可得：在之间，可得最小值， 利用，再分情况解方程即可； （3）由题意可得：对应的数为，对应的数为：，判断，分情况讨论：当时，当时，当，当时，再分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 当时，方程无解； 当时， ∴， 解得：； ∵表示在数轴上对应的点与数，对应的点之间的距离之和， ∴最小时，对应的点在与之间，（包括端点） ∴的最小值为； 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴的最小值为； （2）解：由题意可得：对应的数为， ∴，， 当的值最小时，结合（1）可得：在之间， ∴， ∴，， ∴， 当时，，方程无解， 当时，， 解得：， P点所表示的数为； 当时，，此时方程无解， 综上：，P点所表示的数为； （3）解：由题意可得：对应的数为，对应的数为：， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时， 对应的数为：， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）， 当， 此时重合，， ∴， 解得：或， 当时， 对应的数为：， 对应的数为：， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去） 综上：的值为：或或18． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，整式的加减运算，一元一次方程的应用，本题的难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$