期末复习（易错题60题28个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

期末复习（易错题60题28个考点） 范围：九年级上册第21章-第25章 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 二．一元二次方程的解（共1小题） 2．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 三．解一元二次方程-配方法（共2小题） 3．将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（　　） A． B． C． D． 4．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　． 四．换元法解一元二次方程（共1小题） 5．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 五．根的判别式（共1小题） 6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 六．根与系数的关系（共2小题） 7．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　） A． B．1 C． D． 8．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　 　． 七．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 9．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 八．一元二次方程的应用（共1小题） 10．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 　 　千克、销售利润为 　 　元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 　 　千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 九．配方法的应用（共2小题） 11．先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值． 解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4 ∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4． 【解答问题】 （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　 　； （2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围； （3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值． 12．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0 ∴（x+2）2+1≥1 当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为　 　． （2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值； （3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值． 一十．二次函数的性质（共4小题） 13．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 14．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　 　s； 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）． （1）用含a的式子表示b； （2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）； （3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上． （1）若m＝n，求t的值； （2）若n＜m＜c，求t的取值范围． 一十一．二次函数图象与系数的关系（共5小题） 17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论： ①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0； 其中所有正确的结论是（　　） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 18．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1 19．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≤ C．a≤或a＞0 D．[，0） 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号） 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）． （1）当a＝1时， ①抛物线G的对称轴为直线x＝　 　； ②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是　 　； （2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围． 一十二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 22．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 一十三．二次函数的最值（共1小题） 23．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A． ﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 一十四．抛物线与x轴的交点（共5小题） 24．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 25．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（　　） A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2 26．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+6的顶点为A，并与x轴交于点B，在y轴上存在点C，使∠ACB＝30°，则点C的坐标是　 　． 28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　 　． 一十五．二次函数与不等式（组）（共1小题） 29．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　 　． 一十六．二次函数的应用（共4小题） 30．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 31．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 32．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 33．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx+b，部分数据如表： 销售单价x（元/kg） 1 2 … 10 每日销售量（kg） 4900 4800 … 4000 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）． （1）y与x的函数关系式是 　 　，x的范围是 　 　；w与x的函数关系式是 　 　； （2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？ （3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值． 一十七．二次函数综合题（共8小题） 34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 35．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 36．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 38．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 39．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标； （3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值． 40．如图，抛物线y＝ax2﹣11ax+24a交x轴于C，D两点，交y轴于点B（0，），过抛物线的顶点A作x轴的垂线AE，垂足为点E，作直线BE． （1）求直线BE的解析式； （2）点H为第一象限内直线AE上的一点，连接CH，取CH的中点K，作射线DK交抛物线于点P，设线段EH的长为m，点P的横坐标为n，求n与m之间的函数关系式．（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在线段BE上有一点Q，连接QH，QC，线段QH交线段PD于点F，若∠HFD＝2∠FDO，∠HQC＝90°+∠FDO，求n的值． 41．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣2的顶点为A，直线y＝﹣x﹣2与y轴相交于点B，点C是抛物线对称轴上的一点． （1）求A，B的坐标； （2）点D在抛物线上，若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，求点D的坐标； （3）点D在平面上，是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出它的坐标；若不存在，说明理由． 一十八．圆周角定理（共2小题） 42．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 43．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（　　） A．20° B．40° C．70° D．80° 一十九．点与圆的位置关系（共2小题） 44．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 45．如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转得到AE，使得∠PAE＝∠BAD，连接PE、EF，则在点P的运动过程中，线段EF的最小值为（　　） A．4 B．6 C． D．12 二十．三角形的外接圆与外心（共1小题） 46．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 二十一．切线的性质（共1小题） 47．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　 　． 二十二．正多边形和圆（共1小题） 48．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　 　度． 二十三．扇形面积的计算（共1小题） 49．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 二十四．圆锥的计算（共1小题） 50．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是（　　） A．360πcm2 B．720πcm2 C．1800πcm2 D．3600πcm2 二十五．旋转的性质（共6小题） 51．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 52．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 53．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 54．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O绕点O转动，则两个正方形重叠部分的面积为（　　） A．16 B．4 C．1 D．2 55．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　． 56．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 二十六．中心对称（共1小题） 57．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣6 二十七．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 58．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（　　） A．（1，） B．（﹣1，） C．（0，2） D．（2，0） 59．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（1，0），将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为　 　． 二十八．利用频率估计概率（共1小题） 60．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题28个考点） 范围：九年级上册第21章-第25章 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 二．一元二次方程的解（共1小题） 2．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． 三．解一元二次方程-配方法（共2小题） 3．将方程3x2﹣9x+2＝0配方成（x+m）2＝n的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：3x2﹣9x+2＝0， x2﹣3x+＝0， x2﹣3x＝﹣， x2﹣3x+（）2＝﹣+（）2， （x﹣）2＝， 故选：A． 4．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　14　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0， 移项，得x2﹣4x＝8， 配方，得x2﹣4x+4＝8+4， ∴（x﹣2）2＝12， ∴m＝2，n＝12， ∴m+n＝2+12＝14， 故答案为：14． 四．换元法解一元二次方程（共1小题） 5．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 五．根的判别式（共1小题） 6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 【答案】D 【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0， 解得k≥且k≠1． 故选：D． 六．根与系数的关系（共2小题） 7．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1， 所以+＝＝＝1． 故选：B． 8．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　﹣或2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x≠y时， ∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0， ∴x、y是z2﹣2z﹣6＝0的两根， ∴x+y＝2，xy＝﹣6， ∴＝＝＝﹣． 当x，y的值相等时，原式＝2． 故答案为：﹣或2． 七．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 9．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 八．一元二次方程的应用（共1小题） 10．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 　260　千克、销售利润为 　312　元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 　（100+200x）　千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）销售量：100+20×＝100+160＝260， 利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312， 则每天的销售量为260千克、销售利润为312元； 故答案为：260，312； （2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（千克）； 故答案为：（100+200x）； （3）设这种水果每千克降价x元， 根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300， 2x2﹣3x+1＝0， 解得：x＝0.5或x＝1， 当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240； 当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240． ∵每天至少售出240千克， ∴x＝1． 6﹣1＝5， 答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元． 九．配方法的应用（共2小题） 11．先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值． 解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4 ∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4． 【解答问题】 （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　完全平方公式　； （2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围； （3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； （2）a2+b2＝10a+8b﹣41， a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0， （a﹣5）2+（b﹣4）2＝0． ∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣4＝0， ∴a＝5，b＝4， ∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9； （3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16 ＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16， ∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0， ∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值是16． 12．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0 ∴（x+2）2+1≥1 当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为　﹣2　． （2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值； （3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值． 【答案】（1）﹣2； （2）8； （3）﹣21． 【解答】解：（1）当x＝1时，（x﹣1）2﹣2有最小值，是﹣2， 故答案为：﹣2； （2）x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8， 则代数式x2﹣10x+33的最小值是8； （3）∵﹣x2+7x+y+12＝0， ∴y＝x2﹣7x﹣12， ∴x+y＝x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21， ∴x+y的最小值是﹣21． 一十．二次函数的性质（共4小题） 13．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限 【答案】D 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1， 又a＝3＞0， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A错误，不合题意． ∵抛物线开口向上， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣1，故B错误，不合题意． 由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵抛物线的对称轴是直线x＝2， 又|3﹣2|＝|1﹣2|， ∴y1＝y2，故C错误，不合题意． ∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11， ∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，故D正确，符合题意． 故选：D． 14．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　4　s； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间， 则t＝﹣20×＝4s， 故答案为4s． 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）． （1）用含a的式子表示b； （2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）； （3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得 9a+3b＝3． ∴b＝﹣3a+1． （2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a． ∴B（﹣4a，4）． （3）∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 抛物线与线段AB恰有一个公共点， ∵A（1，4），B（﹣4a，4） ∴点A、B所在的直线为y＝4， 由（1）得b＝1﹣3a， 则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x， 分两种情况讨论： ①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时， 且抛物线的顶点在点A、B之间， 则1≤≤﹣4a 或﹣4a≤≤1， 方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：Δ＝0， 即（1﹣3a）2+16a＝0， 解得a1＝﹣，a2＝﹣1， 当a1＝﹣时，＝6（不符合题意）， 当a2＝﹣1时，＝2， 则1≤≤﹣4a成立． ②当抛物线经过点A时， 即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4， 解得a＝﹣； ∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点． 综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上． （1）若m＝n，求t的值； （2）若n＜m＜c，求t的取值范围． 【答案】（1）t＝4． （2）＜t＜2或t＞4． 【解答】解：（1）∵m＝n， ∴点（3，m）与（t+1，n）关于对称轴x＝t对称， ∴＝t， ∴t＝4． （2）①如图1，当t＜0时，当x＝3时，m＞c，不符合题意． ②当t＝0时，c是最小值，不符合题意． ③如图2，当t＞0时， ∵m＜c， ∴3＜2t， ∴t＞， ∵m＞n， ∴点（3，m）到对称轴x＝t的距离要大于点（t+1，n）到对称轴x＝t的距离， ∴|3﹣t|＞1， 当t＞3时，t﹣3＞1， ∴t＞4， 当t＜3时，3﹣t＞1， ∴t＜2， 综上得，t的取值范围为：＜t＜2或t＞4． 一十一．二次函数图象与系数的关系（共5小题） 17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论： ①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0； 其中所有正确的结论是（　　） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①正确； ②当x＝时，y＝0， 即a+b+c＝0， ∴a+2b+4c＝0， ∴a+4c＝﹣2b， ∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0， 所以②正确； ③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0）， 所以与x轴的另一个交点为（﹣，0）， 当x＝﹣时，a﹣b+c＝0， ∴25a﹣10b+4c＝0． 所以③正确； ④当x＝时，a+2b+4c＝0， 又对称轴：﹣＝﹣1， ∴b＝2a，a＝b， b+2b+4c＝0， ∴b＝﹣c． ∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0， ∴3b+2c＜0． 所以④错误． 或者∵当x＝1时，a+b+c＜0， ∴c＜﹣a﹣b， 又∵b＝2a， ∴a＝b， ∴c＜﹣b， ∴2c＜﹣3b， ∴2c+3b＜0， ∴结论④错误 故选：C． 18．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限， ∴开口方向向上， 其对称轴为x＝﹣1， 则＜0，2m﹣1≥0， 解得≤m＜1． 如图： 故选：D． 19．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≤ C．a≤或a＞0 D．[，0） 【答案】C 【解答】解：当a＝0时，若k＝0，直线y＝2与直线y＝0没有交点，不合题意． 当a＝1时，二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3． 由kx﹣2k+2＝x2﹣2x﹣3得：x2﹣（k+2）x+2k﹣5． Δ＝（k+2）2﹣4（2k﹣5）＝k2﹣4k+24 ＝（k﹣2）2+20． 无论k为何值，（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0． 直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点， ∴a＝1符合题意． 故排除B，D． 当a＝﹣1时，二次函数为：y＝﹣x2+2x+3． 由kx﹣2k＝2＝﹣x2+2x+3得：x2+（k﹣2）x﹣1＝0， Δ＝（k﹣2）2+4＞0． ∴直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点． ∴a＝﹣1符合题意． 故排除A． 故选：C． 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　①③⑤　．（填写正确结论的序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确； 直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a， a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 当x＝﹣时，y＝0，即， 整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确； ∵b＝2a， ∴25a﹣20a+4c＝0， ∴5a+4c＝0，即c＝﹣a； ∵b＝2a，a+b+c＜0， ∴， 即3b+2c＜0，故④错误； 由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值， ∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c， 整理得，a﹣b≥m（am﹣b）； 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）． （1）当a＝1时， ①抛物线G的对称轴为直线x＝　1　； ②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是　m＞2或m＜0　； （2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①抛物线G的对称轴为直线x＝1， 故答案为1； ②抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2）， 且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0； 故答案为：m＞2或m＜0； （2）∵抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的对称轴为直线x＝1，且对称轴与x轴交于点M， ∴点M的坐标为（1，0）． ∵点M与点A关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣1，0）． ∵点M右移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为（4，0）． 依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点， 把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣； 把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣； 把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4． 根据所画图象可知抛物线G与线段AB恰有一个 公共点时可得： ﹣＜a≤﹣或a＝4． 一十二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 22．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＜0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）， ∴对称轴． 设点A的对称点为（x0，y1）， 所以． 解得x0＝4， ∴点A的对称点为（4，y1）． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． ∴对称轴的右侧y随x的增大而增减小． ∵4＞3＞1， 所以y1＜y3＜y2． 故选：B． 一十三．二次函数的最值（共1小题） 23．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 一十四．抛物线与x轴的交点（共5小题） 24．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， Δ＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣； 故选：A． 25．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（　　） A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0， 解得：x1＝0，x2＝3， ∴点A1的坐标为（3，0）． 由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）． ∵2020＝336×6+4， ∴当x＝4时，y＝m． 由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数， ∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2． 故选：C． 26．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＝0或m＞4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根， 即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根； 从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个， 当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根． |x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根， 综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根． 故答案为m＝0或m＞4． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+6的顶点为A，并与x轴交于点B，在y轴上存在点C，使∠ACB＝30°，则点C的坐标是　（0，4）或（0，﹣4）　． 【答案】（0，4）或（0，﹣4）． 【解答】解：因为抛物线y＝﹣x2+x+6＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）+6＝﹣（x2﹣4）2+8， 所以顶点A坐标为（4，8）， 令y＝0，则﹣x2+x+6＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣4， 所以B（12，0），D（﹣4，0）， 因为点C在y轴上，且∠ACB＝30°， 以点D为圆心，DA长为半径作圆，交y轴于两点C′和C″， 若∠AC′B＝∠AC″B＝30°， 则点C′和点C″即为所求； 理由如下：如图，过点A作AH⊥BD于点H， ∵A（4，8），B（12，0），D（﹣4，0）， ∴AD＝＝＝16，AB＝＝＝16，BD＝OD+OB＝4+12＝16， ∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∴∠AC′B＝∠AC″B＝30°， 故点C′和点C″即为所求； 在Rt△DOC′中，根据勾股定理，得 OC′＝＝＝4． ∴C′（0，4）， 根据对称性可知： C″（0，﹣4）， 故C点坐标为：（0，4）或（0，﹣4）． 故答案为：（0，4）或（0，﹣4）． 28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　x＝﹣2　． 【答案】x＝﹣2． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，即b＝﹣2a， 根据根与系数的关系得4+x＝﹣＝﹣＝2， 解得x＝﹣2， 即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 一十五．二次函数与不等式（组）（共1小题） 29．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　x＜1或x＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3． 一十六．二次函数的应用（共4小题） 30．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（30，150）；（80，100）分别代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）设利润为w元， 由题意得： w＝（x﹣30）（﹣x+180） ＝﹣x2+210x﹣5400， ∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）； 令﹣x2+210x﹣5400＝3600， 解得x＝60或x＝150（舍）， ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元； （3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625， ∵﹣1＜0， ∴当x≤105时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤80， ∴当x＝80时，w最大，最大为5000元． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 31．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得： AE•AD＝2BE•BC ∵AD＝BC ∴BE＝a，AB＝ 由题意可得：2x+3a+2×a＝160 ∴a＝40﹣x ∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x ∴y＝﹣x2+60x （0＜x＜80） 令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500 化简得：x2﹣80x+2000＝0 ∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0 ∴方程无解 答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2 （2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200 ∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2． 32．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得， ， 解得，， ∴y＝﹣50x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得， ， 解得，30≤x≤120， 设利润为w元，根据题意得， w＝（x﹣30）y ＝（x﹣30）（﹣50x+12000） ＝﹣50x2+13500x﹣360000 ＝﹣50（x﹣135）2+551250， ∵﹣50＜0， ∴当x＜135时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤120，且x为正整数， ∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元； （3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000） ＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m， ∴对称轴为直线x＝135+0.5m， ∵﹣50＜0， ∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． 对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数， 实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大， 只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了， ∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29， ∵29＜m≤60， ∴29＜m≤60． 33．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx+b，部分数据如表： 销售单价x（元/kg） 1 2 … 10 每日销售量（kg） 4900 4800 … 4000 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）． （1）y与x的函数关系式是 　y＝﹣100x+5000　，x的范围是 　6≤x≤30　；w与x的函数关系式是 　w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）　； （2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？ （3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值． 【答案】（1）y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． （2）销售单价定为28元时，获利最大，为46400元； （3）a＝2． 【解答】解：（1）由表中数据可得，当x＝1时，y＝4900，当x＝2时，y＝4800，代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴y与x的函数关系式是y＝﹣100x+5000，且x＞1； 由于销售单价不低于成本价格（6元＞且不高于30元/kg， 则w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000 ＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． 故答案为：y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． （2）由（1）知，w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． ∵a＝﹣100＜0， ∴函数图象开口向下，有最大值， 函数图象的对称轴为x＝﹣＝28， ∵6≤x≤30， ∴当x＝28时，函数w有最大值，为46400， ∴销售单价定为28元时，获利最大，为46400元； （3）收取α元后，利润为w＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a， ∵a＝﹣100＜0， ∴函数图象开口向下，有最大值， 又函数图象的对称轴为x＝﹣＝28+a， ∵a＜4， ∴当x＝28+a时，获利最大值为42100元， 将x＝28+a代入得，（28+a﹣6﹣a）[﹣100（28+a）+5000]﹣2000＝42100， 解得a＝2或a＝86（舍）， ∴a＝2． 一十七．二次函数综合题（共8小题） 34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝， （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y＝， 过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图 设D（m，），则点F（m，）， ∴DF＝﹣（）＝， ∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH ＝×DF×（AG+EH） ＝×4×DF ＝2×（） ＝， ∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为． （3）y＝的对称轴为x＝﹣1， 设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20， 当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2， 解得，n＝1，此时P（﹣1，1）； 当PA2＝AE2时，9+n2＝20， 解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20， 解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述， P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 35．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解法一：作点B关于y轴的对称点B'，作射线B'C交抛物线于点D， ∵B的坐标为（4，0）， ∴B'（﹣4，0）， ∴直线B'C的解析式为：y＝x+3， 则﹣x2+x+3＝x+3， 解得：x1＝0（舍），x2＝2， ∴D（2，）； 如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC， 过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°， ∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC， ∴∠DCH＝∠ABC， ∵∠DHC＝∠COB＝90°， ∴△DCH∽△CBO， ∴， 设点D的横坐标为t，则， ∵C（0，3）， ∴， ∵点B是y＝﹣+x+3与x轴的交点， ∴， 解得x1＝4，x2＝﹣1， ∴B的坐标为（4，0）， ∴OB＝4， ∴， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴点D的纵坐标为：， 则点D坐标为； （3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 设N（m，﹣m+3）， 分两种情况： ①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形， ∵D（2，），F（0，）， ∴M（m+2，﹣m+4）， 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4， 解得：m＝， ∴N（，3﹣）或（﹣，3+）； ②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形， 同理得：M（m﹣2，﹣m+2）， 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2， 解得：m＝4， ∴N（4+，﹣）或（4﹣，）； ③以DF为对角线时，设中点P的坐标为（1，4）， 设M（t，﹣t2+t+3），N（n，﹣n+3）， ∴， 此方程组无解，所以此种情况不成立； 综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）． 36．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图： ①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b， 得k＝﹣1，b＝3， 所以直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD ＝OB•PD＝﹣m2+m ＝﹣（m﹣）2+． ∴当m＝时，S有最大值． 当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣． ∴P（，﹣）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1），抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点， ∴EN＝CN＝2， ∴EC＝2， 根据菱形的四条边相等， ∴M′E＝EC＝2， ∴M′（2，1﹣2）或（2，1+2）， 当EM＝EN＝2时，CMEN是正方形， ∴M（2，3）， 答：点M的坐标为（2，3）或（2，1﹣2）或（2，1+2）． 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）m＝； （3）C（2，3）． 【解答】解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G， ∴DG∥OB， ∴△ADG∽△ABO， ∴， ∵AD＝3BD， ∴AG＝3OG， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴OG＝1，DG＝， ∵D（1，）， 由平移得：点C的横坐标为1， 当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3， ∴m＝3﹣＝； （3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限， ∴点C在AB的上方， 如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E， ∴BE∥OA， ∴∠BAO＝∠ABE， ∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF， ∴∠FBE＝∠ABE， ∵∠BEF＝∠AEB＝90°， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB＝BF， ∴AE＝EF＝OB＝2， ∴F（4，4）， 设BF的解析式为：y＝kx+n， 则， 解得：， ∴BF的解析式为：y＝x+2， ∴， 解得或， ∴C（2，3）． 38．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4； （2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）﹣8＜n＜﹣4． 【解答】解：（1）∵D（0，4）， ∴OD＝4， ∵OA＝OD，点A在x的负半轴上， ∴A（﹣4，0）， 把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4， 把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0， 解得：b＝﹣4； （2）存在． 在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， 如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G， 则G（0，﹣4）， ∴OG＝4， ∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∴OA＝OG， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H， ∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°， ∴∠ABP＝45°＝∠BAP， ∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形， ∵PH⊥AB， ∴AH＝BH，即H是AB的中点， ∴H（﹣，0）， ∴点P的横坐标为﹣， 当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣， ∴P1（﹣，﹣）； 当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°， ∴BP＝AB＝5， ∴P2（1，﹣5）； 综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+， ∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣， 把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0， 解得：n＝﹣4， 联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n， 整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0， 当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8， ∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4． 39．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标； （3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）P（2，﹣6）； （3）． 【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝4OA， ∴OB＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 将A，B坐标代入抛物线解析式得，， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）过点P作y轴的平行线，交BC于点Q， 设点P的横坐标为t，则P（t，t2﹣3t﹣4）， 由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4， 令x＝0，则y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4， ∴S△BOC＝×4×4＝8． 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则，解得， ∴直线MN的解析式为y＝x﹣4， ∴Q（t，t﹣4）， ∴QP＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t， ∴S△BCP＝S△BPQ+S△QCP＝PQ•（xB﹣xQ）+PQ•（xQ﹣xC）＝PQ•（xB﹣xC）＝•（﹣t2+4t）×（4﹣0）＝﹣2t2+8t， ∵S△BCP＝S△BOC， ∴﹣2t2+8t＝8， 解得t＝2； 此时y＝22﹣3×2﹣4＝﹣6， ∴P（2，﹣6）； （3）如图，过点N作NM⊥BC于点M， ∴∠CMN＝90°， 由（2）知，OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴△CNM是等腰直角三角形， ∴NM＝CN， ∴AN+CN＝AN+NM， 则当A，N，M三点共线时，即AM⊥BC时，取到最小值，如图，过点A作AM′⊥BC于点M′， 则△AM′B是等腰直角三角形， ∴AM′＝AB＝． ∴AN+CN的最小值为：． 40．如图，抛物线y＝ax2﹣11ax+24a交x轴于C，D两点，交y轴于点B（0，），过抛物线的顶点A作x轴的垂线AE，垂足为点E，作直线BE． （1）求直线BE的解析式； （2）点H为第一象限内直线AE上的一点，连接CH，取CH的中点K，作射线DK交抛物线于点P，设线段EH的长为m，点P的横坐标为n，求n与m之间的函数关系式．（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在线段BE上有一点Q，连接QH，QC，线段QH交线段PD于点F，若∠HFD＝2∠FDO，∠HQC＝90°+∠FDO，求n的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣11ax+24a， ∴对称轴是：x＝﹣＝， ∴E（，0）， ∵B（0，）， 设直线BE的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线BE的解析式为：y＝﹣x+； （2）如图1，过K作KN⊥x轴于N，过P作PM⊥x轴于M， ∵抛物线y＝ax2﹣11ax+24a交y轴于点B（0，）， ∴24a＝， ∴a＝， ∴y＝x2﹣x+＝（x﹣3）（x﹣8）， ∴当y＝0时，（x﹣3）（x﹣8）＝0， 解得：x＝3或8， ∴C（3，0），D（8，0）， ∴OC＝3，OD＝8， ∴CD＝5，CE＝DE＝， ∴P点在抛物线上， ∴P[n，（n﹣3）（n﹣8）]， ∴PM＝（n﹣3）（n﹣8），DM＝8﹣n， ∴tan∠PDM＝＝＝， ∵AE⊥x轴， ∴∠KNC＝∠HEC＝90°， ∴KN∥EH， ∴＝1， ∴CN＝EN＝CE＝， ∴KN＝＝m，ND＝， 在△KDN中，tan∠KDN中，tan∠KDN＝＝＝， ∴， n＝﹣m+3； （3）如图2，延长HF交x轴于T， ∵∠HFD＝2∠FDO，∠HFD＝∠FDO+∠FTO， ∴∠FDO＝∠FTO， ∴tan∠FDO＝tan∠FTO， 在Rt△HTE中，tan∠FTO＝， ∴， ∴ET＝， ∴CT＝5， 令∠FDO＝∠FTO＝2α， ∴∠HQC＝90°+， ∴∠TQC＝180°﹣∠HQC＝90°﹣α，∠TCQ＝180°﹣∠HTC﹣∠TQC＝90°﹣α， ∴∠TCQ＝∠TQC， ∴TQ＝CT＝5， ∵点Q在直线y＝﹣x+上， ∴可设Q的坐标为（t，﹣t+）， 过Q作QS⊥x轴于S，则QS＝﹣t+，TS＝2+t， 在Rt△TQS中，TS2+QS2＝TQ2， ∴（2+t）2+（﹣）2＝52， 解得t1＝，t2＝1； ①当t＝时，QS＝，TS＝， 在Rt△QTH中，tan∠QTS＝＝， ∴，m＝， ∴n＝﹣+3＝﹣， ②当t＝1时，QS＝4，TS＝3， 在Rt△QTH中，tan∠QTS＝＝， ∴， m＝10， ∴n＝﹣+3＝﹣． 41．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣2的顶点为A，直线y＝﹣x﹣2与y轴相交于点B，点C是抛物线对称轴上的一点． （1）求A，B的坐标； （2）点D在抛物线上，若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，求点D的坐标； （3）点D在平面上，是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出它的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）B（0，﹣2），A（﹣2，0）； （2）D（0，﹣2）或D（﹣4，﹣2）； （3）点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（0，0）或（0，2﹣2）或（0，﹣2﹣2）． 【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x﹣2＝0， ∴x＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣2＝﹣（x+2）2， ∴A（﹣2，0）； （2）∵A（﹣2，0），B（0，﹣2）， ∴OA＝OB＝2， ∴△AOB是等腰直角三角形， 若△CDA与△AOB全等， ∵∠DAC≠90°， ∴必有∠DAC＝45°，且AD＝AB， 如图1，∠ACD＝90°，AD＝AB＝2， 则D（0，﹣2）或D（﹣4，﹣2）； （3）存在， ①如图2，AC为对角线，四边形ABCD是菱形， ∵A（﹣2，0），B（0，﹣2），且点C的横坐标为﹣2， ∴点D的横坐标为﹣4， ∴D（﹣4，﹣2）； ②如图3，AB为对角线，四边形ACBD是菱形，此时点D与O重合， ∴D（0，0）； ③如图4，AC为边，四边形ABDC是菱形， ∴BD＝AB＝2， ∴OD＝BD﹣OB＝2﹣2， ∴D（0，2﹣2）； ④如图5，AC为边，四边形ABDC是菱形，同理得：D（0，﹣2﹣2）， 综上，点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（0，0）或（0，2﹣2）或（0，﹣2﹣2）． 一十八．圆周角定理（共2小题） 42．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 【答案】C 【解答】解：连接OA，OB， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠AOB＝90°， 若点P在优弧ADB上，则∠APB＝∠AOB＝45°； 若点P在劣弧AB上， 则∠APB＝180°﹣45°＝135°． ∴∠APB＝45°或135°． 故选：C． 43．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（　　） A．20° B．40° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解： 连接OC， ①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E， 设∠OCE＝x， ∵OC＝OD， ∴∠OCE＝∠D＝x， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°， ∵DE＝OD， ∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x ∴2（60°+x）+x＝180° 解得x＝20°． ∴∠OCE的大小为20°； ②如图2， 设∠OEC＝x， ∵DE＝OD， ∴∠EOD＝∠E＝x， ∵DO＝CO， ∴∠ODC＝∠OCD＝2x， ∠EOC＝2∠A＝60° ∴在△OCE中， x+60°+2x＝180°， 解得x＝40°， ∴∠OCE＝2x＝80°； ③如图3， 设∠ACE＝x， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x， ∵OD＝DE ∴∠E＝ODC＝15°+x， ∴15°+x+x＝30° 解得x＝10°， ∴∠OCE＝30°+x＝40°． 综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°． 故选：C． 一十九．点与圆的位置关系（共2小题） 44．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 45．如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转得到AE，使得∠PAE＝∠BAD，连接PE、EF，则在点P的运动过程中，线段EF的最小值为（　　） A．4 B．6 C． D．12 【答案】B 【解答】解：连接DE， ∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝8， ∴AF＝AC＝4，DF＝BD＝4， ∵AC⊥BD，BA＝DA， ∴AD＝， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°， 将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD， ∴AP＝AE，∠BAD＝∠PAE ∴∠BAP＝∠DAE 在△BAP和△DAE中， ， ∴△BAP≌△DAE（SAS）， ∴∠ADE＝∠ABP＝30°， ∴∠ABD+∠ADE＝60°，∠ADB+∠ADE＝60°，即∠FDE＝60°， ∴当EF⊥DE时EF最小， 此时∠EFD＝30°， ∴EF＝DF×cos∠EFD＝4×＝6． 故选：B． 二十．三角形的外接圆与外心（共1小题） 46．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【答案】D 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC＝， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 ＝﹣OA•OC﹣AB•1 ＝﹣××﹣×2×1 ＝﹣﹣1 ＝﹣， 故选：D． 二十一．切线的性质（共1小题） 47．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1， 解得：x＝2±， ∴P（2+，1）或（2﹣，1）， 当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1， 解得：x1＝x2＝2， ∴P（2，﹣1）， 则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）． 二十二．正多边形和圆（共1小题） 48．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　72　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OA、OB、OC， ∠AOB＝＝72°， ∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBC， 在△AOM和△BON中， ∴△AOM≌△BON， ∴∠BON＝∠AOM， ∴∠MON＝∠AOB＝72°， 故答案为：72． 二十三．扇形面积的计算（共1小题） 49．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD，OD，BD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB， ∴△ACD∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴CD＝，又OC＝1， ∴∠COD＝60°， ∴S扇形OAD＝＝π， S△CDO＝×CO×CD＝， ∴S扇形OAD﹣S△CDO＝π﹣，S扇形CDE＝＝π， ∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+． 故选：A． 二十四．圆锥的计算（共1小题） 50．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是（　　） A．360πcm2 B．720πcm2 C．1800πcm2 D．3600πcm2 【答案】D 【解答】解：圆锥的侧面积＝×80π×90＝3600πcm2， 故选：D． 二十五．旋转的性质（共6小题） 51．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠BCQ＝120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD＝2， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ＝30°， ∴CQ＝CD＝1， ∴DQ＝＝， ∴DQ的最小值是， 故选：B． 52．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得： EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝1， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3， ∴DG的最小值为3， 故选：C． 53．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′， ∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°， 故选：B． 54．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O绕点O转动，则两个正方形重叠部分的面积为（　　） A．16 B．4 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OAB＝∠OBF＝45°，OA＝OB BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB＝90°， 又∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴∠A1OC1＝90°，即∠BOF+∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∵S两个正方形重叠部分＝S△BOE+S△BOF， 又S△AOE＝S△BOF， ∴S两个正方形重叠部分＝S△ABO＝＝1． 故选：C． 55．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 56．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 二十六．中心对称（共1小题） 57．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣6 【答案】A 【解答】解：∵点B的坐标为（8，4）， ∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2）， 设直线DE的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线DE的解析式为y＝x﹣2． 故选：A． 二十七．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 58．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（　　） A．（1，） B．（﹣1，） C．（0，2） D．（2，0） 【答案】B 【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，BE⊥x轴于E， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOE+∠AOC＝90°， ∵∠A+∠AOC＝90°， ∴∠A＝∠BOE， 在△OCA和△BEO中， ， △OCA≌△BEO， ∴OE＝AC＝1，BE＝OC＝， ∴点B坐标为（﹣1，）． 故选：B． 59．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（1，0），将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为　（2，3）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′， ∵点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，0）， ∴AC＝2，BC＝2+1＝3， ∵∠ABA′＝90°， ∴ABC+∠A′BC′＝90°， ∵∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠A′BC′， ∵BA＝BA′，∠ACB＝∠BC′A′， ∴△ABC≌△BA′C′， ∴OC′＝OB+BC′＝1+1＝2，A′C′＝BC＝3， ∴点A′的坐标为（2，3）． 故答案为（2，3）． 二十八．利用频率估计概率（共1小题） 60．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$