专题03 一元一次方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版2024）

专题03 一元一次方程 【考点01 一元一次方程的定义】 【考点02 等式的性质】 【考点03 一元一次方程的解】 【考点04 解一元一次方程】 【考点05 同解方程】 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【考点07 一元一次方程之工程问题 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 【考点01 一元一次方程的定义】 1．下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【考点02 等式的性质】 4．运用等式基本性质进行变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．已知等式，则下列等式成立的是（  ） A．B． C． D． 6．下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【考点03 一元一次方程的解】 8.下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 9．若是一元一次方程的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【考点04 解一元一次方程】 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解下列方程 (1) (2) 、 (3) 14．小明在解关于的方程时，由于粗心大意，误将抄成，由此求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出该方程正确的解． 【考点05 同解方程】 15．如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 16．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 17．已知关于的方程和的解相同，求的值． 18．方程与方程的解相同，求代数式的值． 【考点06 一元一次方程之利润问题】 19．（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 20．某车间有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在20名工人中派下x名工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)用含x的式子来表示该车间每天所获得的利润； (2)若派7名工人加工乙种零件，你认为这样安排能完成每天获利1800元的利润计划吗？说明理由； (3)若要使该车间每天获得1680元的利润，应安排多少名工入加工甲种零件？ 21．某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 22．某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【考点07 一元一次方程之工程问题 23．某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 24．某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 25．哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 26．一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 27．甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【考点08 一元一次方程之行程问题】 28．(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． (1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 29．甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 30．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了，已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度为多少？ 31．玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 32．甲乙两地相距千米，一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，相向而行．已知客车的速度为千米/小时，出租车的速度是千米/小时． (1)多长时间后两车相遇？ (2)若甲乙两地之间有相距千米的A、B两个加油站，当客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离． 33．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 34．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 35．某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 36．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 37．七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 38．某景点门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元； (1)两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答） (2)（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？ 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 39．两点在数轴上对应的数分别为，如图，且点在点的右侧，，，． (1)请填写结果：________，________； (2)现有一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃，同时另一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃． ①设两只电子跳在数轴上的点处相遇，求点对应的数； ②电子跳蚤出发多长时间后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度？ 40．已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 41．已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 1．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是（   ） A． B．6 C．1 D． 3．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 4．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 5．某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币？设这件衣服值枚银币，依据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 6．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 8．开学在即，某校初二年级要进行分班．如果平均每班44人，还余10人；如果平均每班45人，还差2人．设这个学校初二年级有x个班，依据题意可列方程为 ． 9．已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 10．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 11．解方程： (1)； (2)． 12．某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 13．已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 14．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 15．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次方程 【考点01 一元一次方程的定义】 【考点02 等式的性质】 【考点03 一元一次方程的解】 【考点04 解一元一次方程】 【考点05 同解方程】 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【考点07 一元一次方程之工程问题 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 【考点01 一元一次方程的定义】 1．下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为次的整式方程．根据一元一次方程的定义进行解答，即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意； B、是一元一次方程，本选项符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，先根据一元一次方程的定义求出，然后代入方程，再解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 原方程为， 解得． 故选A． 3．若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程是解题关键．根据一元一次方程的定义得出，，求解即可． 【详解】解：因为关于的方程是一元一次方程， 所以，， 所以． 故答案为：． 【考点02 等式的性质】 4．运用等式基本性质进行变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．根据等式的基本性质判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A.根据等式性质1，，两边都加，即可得到，故本选项正确，不符合题意； B.根据等式性质2，如果，两边都乘以，那么，原式成立，故本选项正确，不符合题意； C. 根据等式性质2，，两边都除以，即可得到，故本选项正确，不符合题意； D. 如果，那么或，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 5．已知等式，则下列等式成立的是（  ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质“等式的两边同时加、减一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以一个不为0 的数或式子，等式仍然成立”，结合已知等式，即可判断求解． 【详解】因为，所以，即，故选项A错误； 因为，所以，即，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C错误； 因为，所以，即，故选项D错误； 故选：B． 6．下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； B、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； C、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； D、如果，那么，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 7．下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题主要考查了等式的性质和应用，熟练掌握等式的性质是解题的关键； 根据等式的性质：（1）等式两边加同一个数或式子，结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，即可求解． 【详解】解：A、等式两边都加，所得结果仍是等式，即，原变形正确，故该选项不符合题意； B、等式两边都乘6，所得结果仍是等式，即，原变形正确，故该选项不符合题意； C、等式两边都除以，必须规定，所得结果才是，原变形错误，故该选项符合题意； D、等式两边都除以，所得结果仍是等式，即，原变形正确，故该选项不符合题意； 故选：C 【考点03 一元一次方程的解】 8.下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 【详解】解：A．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； B．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； C．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以是方程的解，故本选项符合题意； D．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．若是一元一次方程的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴a的值是3． 故选：C． 10．关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】把解代入方程，求得a值即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故答案为：． 【考点04 解一元一次方程】 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，灵活掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． （1）方程根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数x的值即可； （2）方程根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数x的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，合并得， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得 ， 解得． 13．解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （3）先整理，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：； （3）解： 整理，可得， 去分母，得， 去括号，得 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．小明在解关于的方程时，由于粗心大意，误将抄成，由此求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出该方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）先根据小明去分母的方法求出相应的方程，再将代入可求出a的值， （2）首先将代入原方程，得，然后按照解一元一次方程的步骤解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意，得方程的解为． 把代入得， 解得； （2）解：将代入原方程，得 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 【考点05 同解方程】 15．如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 16．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【详解】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 17．已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 18．方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 【考点06 一元一次方程之利润问题】 19．（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）20；（2）亏损；（3）150件 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价即可得出答案． （2））设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元，根据题意分别求出两件衣服的进价，再根据利润售价进价把两件衣服的利润相加即可得出答案． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）服装成本为100元，售价为120元，则利润为（元） （2）设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元， 根据题意得：， 解得：，， ∴ 答：商店卖出这两件衬衫亏损了． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 20．某车间有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在20名工人中派下x名工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)用含x的式子来表示该车间每天所获得的利润； (2)若派7名工人加工乙种零件，你认为这样安排能完成每天获利1800元的利润计划吗？说明理由； (3)若要使该车间每天获得1680元的利润，应安排多少名工入加工甲种零件？ 【答案】(1)元 (2)不能，理由缉拿解析 (3)应安排15名工入加工甲种零件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的实际应用，代数式求值： （1）分别求出甲种零件和乙种零件的利润，二者求和即可得到答案； （2）求出x的值，再代入（1）所求代数式中计算出对应的利润即可得到结论； （3）令（1）中代数式的值等于1680，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：元， ∴该车间每天所获得的利润为元； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∴这样安排不能完成每天获利1800元的利润计划； （3）解：当时，解得， 答：应安排15名工入加工甲种零件． 21．某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 【答案】(1)商品的原价是940元； (2)将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设商品的原价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设商品的原价是x元， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：商品的原价是940元； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元， ∵（元），（元），， ∴． 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算； 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算． 答：将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元． 22．某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【答案】(1)批发甲商品40千克，乙商品60千克 (2)打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总进货价为520元列出方程，解之即可； （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果． 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， 依题意，得， 解得， ∴（千克）， ∴批发甲商品40千克，乙商品60千克； （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： ， 解得， ∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）； ∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克． 【考点07 一元一次方程之工程问题 23．某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 【答案】(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，利用公式：生产总量生产时间生产效率，列出方程，求解即可； （2）分别计算乙工厂单独生产，甲、乙两个工厂共同生产的费用，再将2个计算结果作差即可解答． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天， 根据题意得：， 解得：， ． 答：这批礼品共有3600件． （2）乙工厂单独生产的费用：（元）， 甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元）， 两种方案的费用差为（元）． 答：两种方案的费用差为6000元． 24．某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 【答案】甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用．关键是得到符合题意的相等关系．用到的知识点为：工作效率工作时间工作总量．根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据甲、乙合作的工作效率工作时间列出方程求解后即可得到甲、乙合作的工作时间；甲、乙每天耗资之和乘以天数即为所求的费用． 【详解】解：设甲、乙两工程队合作施工，需要周完成． 根据题意，得：． 解这个方程得：． （万元）． 答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元． 25．哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设还需要x天才能完成，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据总费用=每天的施工费×施工天数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要30天． （2）解：设还需要x天完成，依题意，得：， 解得：，所以还需要9天才能完成． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 26．一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 27．甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）解：设两人合作a天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 【考点08 一元一次方程之行程问题】 28．(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． (1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 【答案】(1)两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； (2)两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，可得，即可解得答案； （2）设客车开出小时后两车相距，根据题意得：或，即可解得答案． 【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇， 根据题意得：， 解得；， ∴两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； （2）设客车开出小时后两车相距， 根据题意得：或， 解得或， ∴两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距． 29．甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】动车组列车的平均速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设高铁的平均速度为，建立方程解答即可，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 【详解】设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 30．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了，已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度为多少？ 【答案】船在静水中的速度为． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．设船在静水中的速度为，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为 根据题意得： 解得 答：船在静水中的速度为． 31．玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 【答案】玉宇家离歌剧院2430米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设玉宇家离歌剧院x米，分别表示出步行所花的时间和骑自行车花费的时间，再求出总时间进而建立方程求解即可． 【详解】解：设玉宇家离歌剧院x米， 由题意得，， 解得， 答：玉宇家离歌剧院2430米． 32．甲乙两地相距千米，一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，相向而行．已知客车的速度为千米/小时，出租车的速度是千米/小时． (1)多长时间后两车相遇？ (2)若甲乙两地之间有相距千米的A、B两个加油站，当客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离． 【答案】(1)小时 (2)千米或千米 【分析】本题考查一元一次方程的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）设x小时后两车相遇．根据路程之和为，构建方程即可解决问题； （2）设A加油站到甲地的距离为y千米．构建方程即可解决问题，注意有两种情形． 【详解】（1）解：设x小时后两车相遇． 由题意：， 解得， 答：设小时后两车相遇； （2）解：设A加油站到甲地的距离为y千米，则B加油站到甲地的距离为千米或千米， ∴或 解得：或187.5， 答：A加油站到甲地的距离为千米或千米． 33．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 34．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ， 解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算； 35．某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 【答案】第二种方案获利较多，多获利元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：根据制成奶片，每天可加工 ，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， （元）， 所以第二种方案获利较多，多获利元． 36．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】(1)1班购票需要704元 (2)2班有46人 (3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【详解】（1）解：（元， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 37．七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． (2)按方案二购买更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 38．某景点门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元； (1)两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答） (2)（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？ 【答案】(1)1班有49人，2班有53人． (2)1班按51人购票能省元 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x名学生，八年级（2）班有y名学生，根据八年级（1）班学生人数加八年级（2）班学生人数等于102人；八年级（1）班总门票价加八年级（2）班总门票价等于1118元，列二元一次方程即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设1班有x人，2班有y人， 依题意得 ， 解得 ， ∴1班有49人，2班有53人． （2）解∶ 1班按49人购票应付款：（元）， 1班按51人购票应付款：（元）， ∴1班按51人购票能省：（元）， ∴1班按51人购票能省78元． 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 39．两点在数轴上对应的数分别为，如图，且点在点的右侧，，，． (1)请填写结果：________，________； (2)现有一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃，同时另一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃． ①设两只电子跳在数轴上的点处相遇，求点对应的数； ②电子跳蚤出发多长时间后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①；②秒或秒 【分析】（）由绝对值的意义可得或，进而由，可得，即可得到； （）①由（）可得两点相距，设秒后两电子跳蚤相遇，可得，解方程求出进而即可求解；②设电子跳蚤出发秒后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度，分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列出方程解答即可； 本题考查了有理数与数轴，绝对值的意义，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ， ∴异号， ∵， ∴为正数， ， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：①两点相距， 设秒后两电子跳蚤相遇， ， 解得， ∴点对应的数为； ②设电子跳蚤出发秒后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度， 若相遇前相距个单位长度，则， 解得； 若相遇后相距个单位长度，则， 解得； ∴电子跳蚤出发秒或秒后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度． 40．已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【答案】(1)； (2)或 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）根据“路程速度时间”可得，若点从到运动，则点表示的数为；若点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①当时，分点在点的左边和点在点的右边；②当t时，分点在点的左边和点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：设数轴上点表示的数为， ∵， ∴，即， 若点在点的左边，则，不符合题意， ∴点在线段上和线段的延长线上， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段的延长线上时， 得：， 解得：； 综上所述，点对应的数为或； （3）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止， ∴点从点到点的运动时间为秒、从点到点的运动时间为秒，点从点到点的运动时间为秒， ∴点从到运动，则点表示的数为；点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为， ①当时，即点从到运动， 若点在点左侧，则， 解得：； 若点在点右侧，则， 解得：； ②当t时，即点从到运动， 若点在点右侧，则， 解得：； 若点在点左侧，则， 解得：； 综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，点与点之间的距离为个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 41．已知a是最大的负整数， ，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点 D到点A 的距离刚好是3，则点 D 叫做点A 的“幸福点”．则点 A 的幸福点D 所表示的数应该是 ； (3)若动点 P 从点B 出发沿数轴向正方向运动，动点Q同时从点A 出发也沿数轴向正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？ 【答案】(1)，，，见解析 (2)或2 (3)运动2秒后，点P 可以追上点Q 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 故答案为：或2． （3）解：根据点P和点Q分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，秒过后，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 又A起始数为，B起始数为， 根据题意，得， 解得． 【点睛】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用之追及问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 1．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，即为一元一次方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、中的的次数是1，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、属于一元一次方程，故该选项符合题意； D、不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．方程的解是（   ） A． B．6 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先移项，再合并同类项，然后系数化为1，可得解． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：C． 3．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质．根据“等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式的两边仍然相等；等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为零），等式的两边仍然相等”逐一分析即可求解． 【详解】解：由，得，故选项A符合题意； 由，得，故选项B不符合题意； 由，得，故选项C不符合题意； 当时，由，得，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，进行化简即可． 【详解】解：， 方程的两边同时乘以，得：； ∴； 故选B． 5．某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币？设这件衣服值枚银币，依据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键，本题考查了一元一次方程的应用，根据一年的报酬个月报酬的倍列方程即可得解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 6．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 7．一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，设这件衣服的成本价为，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设这件衣服的成本价为元， ∴， 解得：． 故答案为：元． 8．开学在即，某校初二年级要进行分班．如果平均每班44人，还余10人；如果平均每班45人，还差2人．设这个学校初二年级有x个班，依据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据实际问题列一元一次方程，依据题意列出方程即可． 【详解】解：依据题意，得 故答案为：． 9．已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程得：, 解得：． 故答案为：． 10．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】设这支球队共胜x场，则可得平了场，从而根据得分为18分可列出方程，解出即可；此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出得分，利用方程解答． 【详解】设这支球队共胜x场，则可得平了场， 由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 12．某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 【答案】安排8人生产A部件，8人生产B部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件，依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件， 依题意得， 解得， ∴． 答：应安排8人生产A部件，8人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套． 13．已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【答案】(1)；3 (2)点在数轴上对应的数为5或； (3)点的速度为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用绝对值的非负性质得到，，解得，； （2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据分情况讨论，列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 【详解】（1）解：且． ，， 解得，． 故答案为：；3； （2）解：设点在数轴上所对应的数为， 当在点右边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为5； 当在点左边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为； 综上，点在数轴上对应的数为5或； （3）解：设速度为，则的速度为， 3秒后点，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当还在原点的左边时，由可得， 解得； 当在原点的右边时，由可得，解得． 即点的速度为或． 14．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 15．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 (3)45人 【分析】本题考查有理数的乘法运算，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系建立方程并求解． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解，即可解题； （3）根据“无论选择哪种方案要付的钱是一样”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有人， 由题意，得， 解得． 答：2班有44人． （3）解：因为3班有人， 由题意，得， 解得． 答：3班有45人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$