期末各名校真题-压轴必刷题（50题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 一、单选题 1．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分；（4） ，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，为等腰直角三角形；⑤连接，，其中正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 5．如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 8．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在平面直角坐标系中，点，…和点，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，…都是等腰直角三角形，如果点那么点的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 11．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 12．如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为 ． 13．如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ； ；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 14．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为 ． 15．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    16．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 17．如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 18．已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线也经过点，位置如图所示，且与直线所夹锐角为，则直线的函数表达式为 ． 19．如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第50秒时运动到点 ． 20．问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 21．如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 22．如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 23．如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 24．若关于的一元一次不等式组无解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 25．问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 26．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 27．“从一般到特殊”是数学思想方法中的一种，在解决一般问题后，用得到的规律解决同类事物的新问题，这种认识事物的过程和方法就体现“从一般到特殊”的思想． 【一般问题】 （1）如图1，和是以点A为直角顶点的两个等腰直角三角形，绕点A旋转，直线，相交于点M． 求证：①；②． 【特例应用】 （2）在（1）的条件下，点E恰好旋转到射线上．在图2中把图形补充完整，若，求的长度． 【综合拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，线段绕点A顺时针旋转，点P的对应点为F．在点P的运动过程中，求的最小值． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 29．已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 30．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 31．如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； (3)直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 32．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 33．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点为直线上一点，点为轴上一点，若三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 34．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 35．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．    36．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 37．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 38．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点M，使得与新直线的夹角为，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由． 40．矩形的顶点，分别在轴，轴上，点的坐标为，点在线段上． (1)如图1，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处，求长． (2)在（1）问基础上，求直线的解析式． (3)如图2，以为腰向右作等腰，，点在轴正半轴上运动， ①探究点是否在某定直线上运动？若是，求该定直线的解析式；若不是，说明理由． ②连接，当取最小时值时，求点的坐标． 41．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 42．如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 43．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 44．综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    (1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________． (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标． (3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长． 45．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 47．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形． (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间． 48．如图，在四边形中，． (1)在图（1）中连接，并证明平分； (2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长； (3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由． 49．为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； (2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 50．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 一、单选题 1．如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分；（4） ，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，证明即可判断①，进而根据全等三角三角形的性质以及三角形内角和定理可得即可判断②，作于N，于F，进而证明，得出，根据角平分线的判定即可判断③，在上截取，连接．证明得出为等边三角形，则，进而判断④，即可求解． 【详解】证明：①∵等边和等边， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， 则，故②正确； ③作于N，于F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ④在上截取，连接． 由②知， ∴， 由③知：平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， 故，故④正确； 正确的有①②③④，共4个． 故答案为：D． 2．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． ①根据等边对等角，可得、、则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此即可求解；③证明且，即可证得是等边三角形；④先证明，则． 【详解】解：①如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ∴，故①正确； ②由①知：， ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴；故④正确； ∴正确的结论有：①③④． 故选：B． 3．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，为等腰直角三角形；⑤连接，，其中正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的判定与性质，角平分线与三角形内角和有关的计算，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理，三角形面积，逐条分析判断即可． 【详解】解：， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， 又，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ， 又， ．故③正确． 连接，如图， ， ∴， ， ， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形，故④正确； 连接，如图： ，， ，，， ， ， ， ， ，故⑤不正确． 正确的有①②③④，共4个； 故选：B． 4．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得 ，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到． 【详解】解：设与的延长线交于点，   ， ∴， ∴，故①正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ，故④正确； 平分， ∴点到的距离相等，都设为， ，故③正确． 故选：B． 5．如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用． 由，可得，故结论①正确；证明，可得，故结论②正确；证明，可得平分，故结论③正确；由，结合是的余角的5倍，可得，进一步可得结论④正确；证明，，进一步可得结论⑤错误； 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵是的余角的5倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：C． 6．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，则． 其中，一定正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得；由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断②的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断③的正误；由，则，，可得，即，进而可判断④的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断⑤的正误； 【详解】解：由折叠的性质可得；①正确，故符合要求； 由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，④正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，⑤正确，故符合要求； 综上：①②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 7．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 8．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，…和点，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，…都是等腰直角三角形，如果点那么点的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律再按照规律求出的纵坐标即可，根据题意得出规律是解题的关键． 【详解】解：解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 如图，作轴，轴，轴， ， ；的纵坐标为1， ，都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得：，解得， ，的纵坐标为， 设，则，代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为：， 的纵坐标为：． 故选：C． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 10．在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ，， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 11．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由作图作法得出是的平分线，再根据垂线段最短，作于F，交于E，此时，值最小，最小值为，再根据勾股定理与三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：过点B作于F，交于E，连接，如图， 根据垂线段最短，此时，值最小，最小值为， 理由：由作图可知，是的平分线， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直平分， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∵ ∴ ∴ 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作已知角的平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．由垂线段最短得出于F，交于E，此时值最小是解题的关键． 13．如图，在中，和的角平分线，相交于点，于点 ，连接． 下列结论： 平分 ； ；若，则 ；若 的周长为， ， 则 其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，于，根据角平分线的判定与性质可以判断；由角平分线的定义和三角形的内角和可以判断；在上截取，连接，证明和，根据全等三角形的性质和线段和差可以判断；由角平分线性质和面积即可求解，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键. 【详解】解：过点作于，于，如图所示： ∵和的角平分线，相交于点，， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分，故结论正确； ∵在中, ， ∴， ∵和的角平分线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故结论不正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∵和的角平分线，相交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论正确； 如图所示： 由（）可知：， ∵，，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴，故结论不正确； 综上所述：正确的结论是， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，得第个点的横坐标为（为正整数），由可得第个点的横坐标为，又由图可得当点的横坐标为，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于，据此即可求解，根据图形找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为， ∴第个点的横坐标为（为正整数）， ∵， ∴第个点的横坐标为， 又当点的横坐标为，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于， ∵， ∴第个点的纵坐标为， ∴第个点的坐标为， 故答案为：． 15．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 16．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，由此即可判断②正确；根据，结合，得到，推出是等腰三角形，再根据，即可得到，即可判断③正确；由，即可判断④错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ， ，， ， 在和中， ， ，结论②正确； 平分， ， 是等腰三角形， ， ，结论③正确； ， ，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 17．如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，而，可得，取关于的对称点，连接，则，证明是等边三角形，可得，而，可得. 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，，而， ∴， ∴， ∴，而， ∴， 取关于的对称点，连接，则， ∵，是的垂直平分线， ∴由轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，而， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键. 18．已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线也经过点，位置如图所示，且与直线所夹锐角为，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．过点作，交于，过作轴于点，由可推出，结合，从而证明，得到，，然后利用直线与轴交于点，与轴交于点，求出、的坐标，得到、的长度，从而得到点坐标，最后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． 【详解】解：如图，过点作，交于，过作轴于点 ， 是等腰直角三角形 ， 直线：与轴交于点，与轴交于点 ， ， 点的坐标为 设直线的解析式为 直线经过， 解得： 的解析式为． 故答案为：． 19．如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第50秒时运动到点 ． 【答案】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，观察图形可知，每6秒运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用50除以6，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可，，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 【详解】解：点的运动规律是每运动四次向右平移四个单位， ， ∴ 动点P第48秒时运动到向右平移个单位， 则 此时点P的坐标为 接下来点P在轴的上方运动， 再过两秒后点坐标为， 故动点P第50秒时运动到点， 故答案为：． 20．问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】过点P作于M，于N，通过证明即可判断①；根据，含30度角的直角三角形特征可得出②的结论正确；判定出为等边三角形，即可求出的度数；通过，结合勾股定理，全等三角形性质可以求出结论④． 【详解】解：过点P作于M，于N， 平分， ， 在四边形中， ， 且， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， 在中，， ， ， ，故②正确； ，， 为等边三角形， ，故③错误； ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和，角平分线性质，含30度角的直角三角形特征，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21．如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，如图，过作于，过作于，则，，，，可知当三点共线，且时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，， ∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 22．如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，垂线段最短，关键是由三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：过作于，连接，延长交于， 、分别是、的中点， 的面积面积的一半，的面积面积的一半， 的面积的面积， 的面积四边形的面积， 、分别是、的中点， 的面积的面积，的面积的面积． 的面积的面积的面积的面积四边形的面积， 的面积， 的面积， ， ， ， 线段的最小值是6． 故答案为：6． 23．如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形三线合一可得为的垂直平分线，即得，进而得，即可得的最小值即为垂线段的长，利用三角形面积求出即可求解，得出的最小值为垂线段的长是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值即为垂线段的长， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 24．若关于的一元一次不等式组无解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，分式方程的整数解，先由一元一次不等式组无解求出得取值范围，再求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数求出满足条件的整数值，即可求解，由一元一次不等式组无解求出得取值范围以及根据分式方程的解的情况求出的值是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵一元一次不等式组无解， ∴， ∴， 由方程得，， ∵分式方程的解为整数，且为整数， ∴或或或或或或， ∴或或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 三、解答题 25．问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 【答案】（1）60，100，15；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5，由此即可得出、、的值． （2）根据表格猜想：．延长到E， 使，连接，则可得，进而可得， ，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可得出y于x之间的关系式． （3）延长到E， 使，连接．由（2）得，则，进而可得．由，可得，．则可得，，进而可得，可得的值，即可得的值． 【详解】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5， ， ， ． 故答案为：60，100，15， （2）根据表格猜想：． 证明：如图2， 延长到E， 使，连接， 则， 又， ， 又， ， ，， ， ． 在中，， ， ． （3）如图， 延长到E， 使，连接． 由（2）得， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键． 26．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑 (2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台 (3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值； （2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论； （3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 的最大值为12，的最大值为5． 答：最多可以购买5台型电脑； （2）解：共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下： （元，， 可能有两种情况． ①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买3台型电脑，33台型电脑； ②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买7台型电脑，29台型电脑． 共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑； （3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于100000元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 27．“从一般到特殊”是数学思想方法中的一种，在解决一般问题后，用得到的规律解决同类事物的新问题，这种认识事物的过程和方法就体现“从一般到特殊”的思想． 【一般问题】 （1）如图1，和是以点A为直角顶点的两个等腰直角三角形，绕点A旋转，直线，相交于点M． 求证：①；②． 【特例应用】 （2）在（1）的条件下，点E恰好旋转到射线上．在图2中把图形补充完整，若，求的长度． 【综合拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，线段绕点A顺时针旋转，点P的对应点为F．在点P的运动过程中，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）图形见解析，；（3）OF的最小值． 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，添加辅助线是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形的性质，证明，即可解答；②根据全等三角形的性质及三角形内角和定理，即可解答； （2）根据勾股定理求出，，，进而求出，即可解答； （3）、绕点顺时针旋转，对应点分别为、，过点、作轴与的垂线段，垂足分别为、，证明，根据勾股定理求出的坐标，进而求出直线的解析式，得到直线与轴的交点，求得，即可解答． 【详解】（1）证明：①∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ②由①，， ， ， （2）画图见下， 在中，由勾股定理得， 同理可得，， 在和中，分别由勾股定理得， ， 解得，， ， （3）解：如图，、绕点顺时针旋转，对应点分别为、，过点、作轴与的垂线段，垂足分别为、， ，， ∴ ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，带入其中， ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为， ，为点到直线的最小距离， 点为直线上的动点， 的最小值． 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)A，B，C， (2) (3)或 【分析】本题属于坐标与图形综合题，主要考查非负数的性质；算术平方根，偶次方根．坐标与平行线的性质，三角形的面积， （1）由已知条件．就可以得到：和，和．就能很容易的写出、两点的坐标．又因为，所以可得与平行． （2）过点做轴的平行线，所以得到一组平行线轴，通过平行线内错角相等，最后得到． （3）四边形是一个梯形，并且四边形的面积是定值，由的面积和梯形的面积相等可知，的位置应该在线段外，设点坐标为，，，所以，得．即得到点坐标为或． 【详解】（1）解：（1）． ，， ，； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． 平行于坐标轴， ； （2）．理由如下： 如图，过点作，交于点， ，． ，． ， ． （3）点的坐标为或． 理由如下： ， ； ， 得． 即得到点坐标为或． 29．已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或或． 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点进行求点的坐标，再计算三角形面积即可. （2）过点P作于点H，设点，然后根据三角形的面积公式，进一步即可得出t的取值 （３）设，，然后分当以M为直角顶点时和当以N为直角顶点时，二种情况讨论 .分别画图图形，结合等腰三角形的性质得出全等三角形，有全等三角形的性质得出对应边相等，列出关于m,n的二元一次方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：∵直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴，，， 三角形的面积； （2）过点P作于点H，如图1， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， ∵， ∴， ∵点P在线段DF上，且不包括端点， ∴． （3）设，，且，， ①当以M为直角顶点时，如图2，过点M作轴交y轴于点G，过点N作于点H， 则，，，，， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ②当以N为直角顶点时，如图3，过点N作轴交y轴于点G，交BC于点H， 则，，，， ， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或， 解得：或， ∴或； 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的特征，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积以及二元一次方程组的应用等，添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想是解题关键. 30．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 31．如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； (3)直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的表达式； （2）结合图形，当直线平移到过、时与矩形有一个公共点，则可求得的取值范围； （3）由题意可知直线过，结合图象可知当直线过点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ，， 设直线表达式为， ，解得， 直线表达式为； （2）解：直线可以看到是由直线平移得到， 当直线过、时，直线与矩形有一个公共点，如图1，    当过点时，代入可得，解得， 当过点时，可得， 直线与矩形有公共点时，的取值范围为； （3）解：， 直线过，且， 如图2，直线绕点旋转，当直线过点时，与矩形有一个公共点，逆时针旋转到与轴重合时与矩形有公共点，    当过点时，代入可得，解得， 直线与矩形没有公共点时的取值范围为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 32．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 33．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点为直线上一点，点为轴上一点，若三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质； （1）待定系数法求直线的解析式； （2）利用割补思想， 问题转化为的面积，分两种情况讨论，点Q在延长线上和点Q在延长线上； （3）利用分类讨论的思想，然后将等腰直角三角形转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，，， ∴．     ， ， ． ， ， ．     设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设 ， ∵， ∴，而 ①点在延长线上时，则， ，在轴上方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ；    ②点在延长线上时，则， ，在轴下方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设点， ①当时，如图，作于点，作于点． ． ，， ， 又 ， ． ， 解得或， 或．    ②当时，如图过点作，作于点，作于点． 同理可证：， ，． 设 ， 解得：或0或（舍） 或． 综上所述，点的坐标为或或或． 34．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 35．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）SAS；；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【详解】（1）由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）延长到M，使，连接，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）等量关系为：．         理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． 36．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析 （2）（答案不唯一），证明见解析 （3）①；②的最小值是 【分析】（1）利用三角形内角和等于180度得，再根据平角定义得到，又由于，即可得出结论； （2）若添加条件：，利用可证明； （3）①方法一：在上截取，连接．证明．得到，从而得到，且，即可求解； 方法二：过点作，交于点，交于点．证明．同理可证明，得到，从而得到．即可得出．再根据又，则，从而得到，．然后根据，求得，即可求解； ②可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点，所以，当点、点、点三点共线且时，取最小值，即转化为求等边的高．因为的面积是，根据三角形面积公式可求得，即可求解． 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）若添加条件： 证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 方法一： 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中，， ． ， ，且， 方法二： 过点作，交于点，交于点．则， ． 在和中， ． 同理可得 ， ． 又， ， 即． 又， ， ， ． 又， ， ． ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键． 37．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 38．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点M，使得与新直线的夹角为，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为， (3)M的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）证明，求出点M、H的坐标分别为：，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点， 理由：为最小， 点B与点关于直线的对称， ， 设， ，则， 解得：或（舍去，不符合题意） ， ， ， ， 的最小值为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ； （3）存在，理由： 解：将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了2个单位， 则，设该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M和y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则， 设点， ∵， ∴， ∴， ∴， 则且， 解得：且， 则点M、H的坐标分别为：， 由题意得，点M、关于点H对称， 由中点坐标公式得，点； 综上，点M的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键． 40．矩形的顶点，分别在轴，轴上，点的坐标为，点在线段上． (1)如图1，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处，求长． (2)在（1）问基础上，求直线的解析式． (3)如图2，以为腰向右作等腰，，点在轴正半轴上运动， ①探究点是否在某定直线上运动？若是，求该定直线的解析式；若不是，说明理由． ②连接，当取最小时值时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)①点在直线上；②点． 【分析】（1）将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处，则，则； （2）在中，，即，解得：，即点，即可求解； （3）①证明，得到点的坐标，即可求解； ②由点、的坐标得，，即可求解． 【详解】（1）解：由点的坐标得，点、的坐标分别为：、， 则， 将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上点处， 则，则； （2）解：由图形的翻折得，，设，则， 在中，，即， 解得：，即点， ∵点C的坐标为， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）解：①点是否在直线上运动，理由： 过点作轴于点，设， 为等腰，则，， ，， ， ， ， 则，， 则点， 则点在直线上； ②由点、的坐标得，， 当时，上式取等号， 即点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用，证明三角形全等是解题的关键． 41．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 42．如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 43．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 【答案】(1)3，4 (2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个 (3)12 (4)27 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可； （4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可． 【详解】（1）由题意可得， 1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：根据题意，得． 解得． 为非负整数， 的最大值为12； （4）设可以制作横式纸盒个． 个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型， 需要张型和张型， ，解得， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个． 故答案为：27． 44．综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    (1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________． (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标． (3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)2，1 (2) (3)或 【分析】（1）作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证，，，因此，再进一步可得答案； （2）一次函数，分别令，，即可得点A，点B的坐标；过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解决问题； （3）过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图1，作轴于点E，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．而， ∴点A到x轴的距离是，点B到x轴的距离是． （2）令，则 ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴，， 过点C作轴于M，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， ∴； （3）如图3，过点B作轴于N，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在轴上，设， ∴， ∵的面积等于6， ∴， 解得：或， ∴或； ∵， ∴或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． 45．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的度数不变化， (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形的面积计算、非负数的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键 （1）根据非负数的性质分别求出a、b、c，得到点A、B、C的坐标； （2）过点G作，根据平行线的性质得到，，根据直角三角形的性质，结合角平分线的定义计算，得到答案； （3）分两种情况①当点E在x轴下方时；②当点E在线段OP上时，分别设出点E的坐标，表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ∴，，， 解得：，，． ∴，，； （2）的度数不变化，理由如下： 如图：过点G作， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， 同理， 又∵分别是，的平分线， ∴， 的度数不变化，； （3）存在． ①当点E在x轴下方时：如图，过点E作轴，过点P作轴，过点A作轴， 设点，因为，，， 所以，． ， ∴，即，得：，则． 因为点E在x轴下方， ∴． ②当点E在线段OP上时：如图，过点P经过C，作轴，过点A作轴， 设点， ， ， ∴，即，得：，则． ∴． 若点E在点P上方的y轴上时，不存在这样的点． 综上所述，点E的坐标为：或． 46．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 47．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形． (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发时间为秒时，是等腰三角形 (3)当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时（图，则，易求得； ②当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出． 【详解】（1）， ， ， ； （2）根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 48．如图，在四边形中，． (1)在图（1）中连接，并证明平分； (2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长； (3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）过点作交延长线与点，证明，，根据，得，可得，由题意知，可得平分； （2）过点作，连接，证明，得， ，根据的面积为3，可得，根据，，整理可得，解得（舍去），从而可得，，； （3）取中点，连接，连接，证明，得，，根据，可得，从而可得是等腰直角三角形，故， 设，则可得，，可得，即． 【详解】（1）解：过点作交延长线与点，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,， 平分； （2）解：过点作，连接如图： ，， ， ,， ， ， ， 的面积为3， ,即， ， ， 整理可得：， 解得:（舍去）， ， ， ； （3）解：取中点，连接，连接，如图 ，， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 为中点， 故，， 设，则， 可得， ， 可得， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，是四边形综合题，利用数形结合思想是解题关键． 49．为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； (2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 【答案】(1)购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元 (2)三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列方程组求解； （2）根据题意列不等式组．再求其整数解，再根据题意列一次函数，求其最值． 【详解】（1）设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元， 依题意，得：   ，解得： 答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元． （2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆， 依题意，得：， 解得：，因为m为整数，所有， 所以，该公司有三种购车方案， 方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车； 方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车； 方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车． 该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则 ， 因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330， 答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元． 50．如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)不会变化，． 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论； （3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于， 点的横坐标为， 在和中， ， 故答案为：； （2）， 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）与的面积比不会变化， 理由∶如图③，作轴于， ， 在和中， ， 在和中， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$