期末各名校真题-压轴必刷题（50题）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版2024）

期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 一、单选题 1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作20次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 4．实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的高度处连通(即管子底端离容器底)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入(    )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高． A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3 5．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 6．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 7．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 二、填空题 8．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ． 9．如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm． 10．用火柴按下图中的方式搭图形： 小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生 个正方形． 11．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款 元． 12．如图，在一条直线上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为2个单位长度，点C到点B的距离为7个单位长度，动点M在直线上从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点N在直线上从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点M，N同时出发，t秒后M，N两点间距离是1，则 ． 13．在如图所受的三阶幻方中，填写了一些数、式子、和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则诚实守信这四个字表示的数之和为 ． 诚 实 守 0 信 14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为 ． 15．如图所示，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个……按此规律，则第7个图形中面积为1的正方形的个数为 ． 16．甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，在整个过程中，两车恰好相距10km的次数是 次． 17．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 三、解答题 18．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 19．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 20．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 21．定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）． (1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值； (2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值． 22．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时　 　度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明你的理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ (4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　 　秒．（直接写出答案） 23．以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______； (2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示， ①若恰好平分，求此时的度数； ②若，求此时的度数； (3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由． 24．如图1，已知，的余角比它的补角的少20°． (1)求的度数； (2)如图1，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线始终在的内部，当时，求旋转时间． (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当这两条射线重合于射线处（在的内部）时，，求的值．（注：本题中所涉及的角都是小于的角） 25．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值． (3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________． 26．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若 ①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 27．已知O是直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，． (1)如图1，，，当平分时，求的度数； (2)若 ①如图2，射线平分，求与的数量关系； ②，射线在直线下方，，平分，当时，求的度数． 28．如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以3度/秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．设旋转时间为秒． (1)当秒时，判断射线是否是的角平分线，并请说明理由． (2)若射线与射线垂直，求的度数． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是的2倍？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 29．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°； (2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻； (3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻 30．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 31．在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，，线段以每秒的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段停止运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时， ___________，=___________； (2)当线段与线段重叠部分为时，求t的值； (3)当秒时，线段上是否存在点P，使得？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由． 32．已知直线和交于O，的度数为x，平分， (1)当时，则_____度，_____度． (2)当时，射线分别以的速度同时绕点O逆时针转动，求当射线与射线重合时至少需要几秒？ (3)时，射线以的速度绕点O顺时针转动，同时射线以的速度绕点O逆时针转动，当射线转动一周时射线停止转动．射线在转动一周的过程中，当时，求射线转动的时间． 33．问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线． 当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____； 当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°． 探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时． 若是直角，，求出的大小； 若是直角，，写出的度数； 数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 34．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 35．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图（1），求的度数； (3)如图（2）若三角板保持不动，将三角板的边与边重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，与有何数量关系？请说明理由． 36．如图①，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将图①中的三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转一周，经过t秒后，如图②，恰好平分，求t的值； (2)在（1）的基础上，如果三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周（如图③），那么t为多少时，平分？请说明理由； (3)在（2）的基础上，t为多少时，平分？请画出图形并说明理由． 37．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 38．如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？ (2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 39．钟面上的数学 【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动______°，分针每分钟转动______°； 【初步研究】 （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时，______； ②当时，______； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角______°； 【深入思考】 （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整），假设这一时刻是2点分，请用含有的代数式表示出此时刻钟面角（直接写出结论）． 40．线段AB上有一点M，在三条线段AB、AM和BM中，若有一条线段的长度是另一条线段长度的三分之一，则称点M是线段AB的“奇异点”． (1)如图1，线段厘米，若点是线段的“奇异点”，求AM的长． (2)如图2，线段厘米，一个动点从点出发，以每秒3厘米的速度沿射线匀速运动．当点运动几秒时，点恰好是线段的“奇异点”？请说明理由． 41．已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动，设旋转的时间为秒，当时，试求的值； (3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 42．如图1，将两个三角板的两顶点重叠放在直线上，其中点B落在另一个三角板的边上，已知，，，三角板绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角板绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角板旋转满一周后，两个三角板同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图2，当，时，求的度数． (2)当时， ①将图1中的两个三角板绕点A旋转至图3，若平分，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． (3)将图1中三角板沿边翻转后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角板的两条边，第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角板的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 43．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 44．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系 45．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 46．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果） (3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？ 47．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/m3） 不超过10m3的部分 2 超过10m3，但不超过20m3的部分 4 超过20m3的部分 8 (1)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？ (2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？ 48．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 49．2021年12月，某网店从甲厂家购进了、两种商品，商品每件进价元，商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求12月、两种商品各购进了多少件？ (2)12月初，该网店在出售、两种商品时，商品在进价的基础上加价出售，并以此价格售出了，商品以一定价格售出了．为了促销，余下的、两种商品．网店推出买一件商品送一件商品的优惠活动，但是单独购买商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的、两种商品全部售完，且剩余的商品都参加了促销活动，最终网店通过销售、两种商品共获利，求12月份每件商品的售价是多少元？ (3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产、两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过元 不打折 超过元，未超过元 全部打九折 超过元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买商品的总件数 购买商品的总件数 优惠 未超过件 未超过件 打九折 超过件，未超过件的部分 超过件，未超过件的部分 打八折 超过件的部分 超过件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进、两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进商品实际付款元，第二次全部购进商品实际付款元．已知从乙厂家购买商品每件进价元，购买商品每件进价元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的、两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 50．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500~1000 1000~1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同。 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1－80%）＋60＝260（元）。 （1）购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是 元． （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少?（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，如果这名顾客一次性购买这两件商品，他所花掉的费用与分开购买相比有无节省?若有，节省多少元? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 一、单选题 1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 2．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可. 【详解】① ∵H是的中点， ∵分别是的中点， .     ∴①正确. ② 由①知 ∴②错误. ③ ∴③正确. ④      ∴④正确. 综上，①③④正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键. 3．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作20次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 根据规律得到， ∴， 故选：C． 【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难． 4．实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的高度处连通(即管子底端离容器底)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入(    )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高． A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3 【答案】D 【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生 的高度差． 【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前， 由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为/分钟， 所以当乙中水位为时满足条件，所用时间为： (分钟)； 当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为，容器乙中的水位为时，满足题意， 设注水时间为x，则，解得 (分钟)， 要使乙中水位高出甲，则需注水的时间为：分钟． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水． 5．对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 6．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 7．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 8．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ． 【答案】37 【分析】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 图案①有：根小木棒； 图案②有：根小木棒； 图案③有：根小木棒； …； ∴第n个图案有：根小木棒． ∴当时，． ∴第⑨个图案有：37根小木棒． 故答案为：37． 9．如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm． 【答案】或 【分析】先根据三段长度的比求出各段的长度，从而可求出剪断处对应的刻度，设折痕对应的刻度是，从尺子的左端点到折痕处的长度为：，再根据另两段的长度建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，最长段那部分的长度为， 另两段的长度分别为和， 因为没完全盖住的部分最长， 所以剪断处对应的刻度为， 设折痕对应的刻度是， 则或， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确求出剪断处对应的刻度是解题关键． 10．用火柴按下图中的方式搭图形： 小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生 个正方形． 【答案】1211 【分析】先根据已有图形得到图形个数与火柴根数规律和图形个数与正方形个数的规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：图①中火柴棒的根数，正方形个数为 图②中火柴棒的根数，正方形个数为 图③中火柴棒的根数，正方形个数为 第n个图形需要的火柴根数为：，正方形个数为； 令，解得：， ∵图n中正方形的个数为， ∴第404个图形中，正方形的个数为（个）． 故答案为1211． 【点睛】本题主要考查了图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒以及正方形个数的规律是解题的关键． 11．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款 元． 【答案】324或356/356或324 【分析】要求小敏一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是85元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出小敏购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：第一次购物显然没有超过100元， 即在第一次消费85元的情况下，小敏的实质购物价值只能是85元． 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：小敏消费超过100元但不足350元，这时候小敏是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为元，那么依题意有， 解得：． 第二种情况：小敏消费不低于350元，这时候小敏是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为元，那么依题意有，解得：． 即在第二次消费288元的情况下，小敏的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元．因此均可以按照8折付款： （元）或（元）． ∴小敏需付款324元或者356元． 故答案为：324或356． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 12．如图，在一条直线上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为2个单位长度，点C到点B的距离为7个单位长度，动点M在直线上从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点N在直线上从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点M，N同时出发，t秒后M，N两点间距离是1，则 ． 【答案】1或3或6 【分析】分在左侧1个单位长度，和点超过点右侧1个单位长度，以及到达点后，点继续运动三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点的运动时间为：秒，点的运动时间为：秒， ①当在左侧1个单位长度时： ，即：，解得：； ②当点超过点右侧1个单位长度时： ，即：，解得：； ③到达点时，点运动：个单位长度，距离点还有个单位长度，因此点再运动个单位长度时，即再运动秒后，与相距1个单位长度，此时； 综上：M，N两点间距离是1时，1或3或6； 故答案为：1或3或6． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是利用数形结合，分类讨论的思想，列出方程进行求解． 13．在如图所受的三阶幻方中，填写了一些数、式子、和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则诚实守信这四个字表示的数之和为 ． 诚 实 守 0 信 【答案】11 【分析】设诚实守信四个字分别代表，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：设诚实守信四个字分别代表， 由题意可得：，解得， ，解得， ，， ∴， ∴，解得， ，解得， ，解得 故答案为：11 【点睛】本题考查了有理数的加减运算的实际应用；根据每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，建立方程求出x是解此题的关键． 14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，设置一下参数，使得幻方成立，利用具有公共的数来列等式，，问题随之得解． 【详解】如图，设置一下参数，使得幻方成立， 根据幻方可得等式：，， ∴，， 即：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键． 15．如图所示，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个……按此规律，则第7个图形中面积为1的正方形的个数为 ． 【答案】35 【分析】找出各个图形与小正方形个数之间的规律即可求解． 【详解】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个， 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个， 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， …， 按此规律， 第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个， 则第（7）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7+8=35个． 【点睛】本题考查图形规律，分析图形中小正方形个数规律是解决问题的关键． 16．甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，在整个过程中，两车恰好相距10km的次数是 次． 【答案】4 【分析】利用时间=路程÷速度，可求出快车未出发且两车相距10km的时间，设快车出发x小时时，两车相距10km，分快车未超过慢车时、快车超过慢车10km时及快车到达乙地后三种情况，根据路程=速度×时间结合两车之间相距10km，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵10÷40=h， ∴快车未出发，慢车出发小时时，两车相距10km； 设快车出发x小时时，两车相距10km． 快车未超过慢车时，40（x+）-10=60x， 解得：x=（h）； 快车超过慢车10km时，40（x+）+10=60x， 解得：x=（h）； 快车到达乙地后，40（x+）=180-10， 解得：x=（h）． ∴两车恰好相距10km的次数是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是把所有情况都考虑到，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 17．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解. 【详解】解：由题意可知，S1=，S2=，S3=，…，S2022=， 剩下部分的面积= S2022=， ∴S1+S2+S3+…+S2022=1－， 故答案为：1－. 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积是解题关键． 三、解答题 18．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ， ∴， ∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：， ∴， ∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4， 故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时， 由题意得：， 解得：； ②当时， 由题意得：， 解得：； ③当即时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ④当时， 由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 19．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 20．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由 ，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 21．定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）． (1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值； (2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)存在，4或8 (3)5或7 【分析】（1）根据半径是扇形的“弧中线”列方程求解即可； （2）分当时和当时两种情况求解； （3）分当，时和当时三种情况求解； 【详解】（1）当是扇形的“弧中线”时，． ∴． 解得． （2）存在，理由如下： ①如图，当时． ． ∵， ∴． ∴． 解得． ②如图，当时， ，． ∵， ∴． ∴． 解得． ∴当或8时，半径是扇形的“弧中线”． （3）如图，当时， 由题意得，，， ∴． ∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴（不合题意，舍去）． 如图，当时， 由题意得，，， ∴． ∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 如图，当时， 由题意得，，， ∴． ∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 综上可知，当时，t的值为5或7． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 22．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时　 　度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明你的理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ (4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　 　秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，再根据平角的定义即可得到； （2）先根据平角的定义求出，再由即可得到结论； （3）设三角板绕点O旋转的时间是t秒，先求出，然后分当在外部时，当在内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可； （4）设三角板绕点O旋转的时间是m秒，先求出，然后分当在外部时，当在内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是t秒， ∵， ∴， 当在外部时，如图1所示， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴此时的旋转角度为， ∴， 解得； 当在内部时，如图2所示， ∵恰好平分， ∴， ∴此时旋转的角度为， ∴， 解得； 综上所述，当直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是秒或秒； （4）解：运动时间为m秒时，直线恰好平分， ∴， 当在外部时，如图3所示， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴此时的旋转角度为， ∴， 解得； 当在内部时，如图4所示， ∵恰好平分， ∴， ∴此时旋转的角度为， ∴， 解得； 综上所述，当直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是秒或秒． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23．以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______； (2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示， ①若恰好平分，求此时的度数； ②若，求此时的度数； (3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由． 【答案】(1)40°； (2)①，②； (3) 【分析】（1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②如图，先求出，，然后代入计算即可． （3）根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40°； （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴； ②如图，当在的内部时， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：当在内部时，如图所示， ∵，， ∴． 当在外部时，如图所示， ∵，， ∴； 综合上述，则； 【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．． 24．如图1，已知，的余角比它的补角的少20°． (1)求的度数； (2)如图1，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线始终在的内部，当时，求旋转时间． (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当这两条射线重合于射线处（在的内部）时，，求的值．（注：本题中所涉及的角都是小于的角） 【答案】(1) (2)4秒或12秒 (3) 【分析】（1）根据余角和补角的定义列出关于的方程，解方程即可得出答案； （2）设旋转时间为秒，分到达前，到达后，分别列出关于t的方程解方程即可得出答案； （3）先根据角平分线的定义求出，得出，设相遇时，旋转的时间为秒，用t表示出，，根据，得出，根据，列出关于t的方程，求出t的值，再求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ， 解得：； （2）解：设旋转时间为秒，根据射线的运动可知，， 当到达前，， ∴， 解得； 当到达后，， ∴， 解得； 答：当时，旋转时间为4秒或12秒； （3）解：∵，平分， ∴， ∴， 设相遇时，旋转的时间为秒，根据射线的运动可知，， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 整理得， 解得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了余角、补角的有关计算，一元一次方程的应用，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，根据角度关系列出方程，解方程，并注意分类讨论． 25．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值． (3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________． 【答案】(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度 (2) (3)或 【分析】（1）先计算出，的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解； （2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ，， 当秒时，点M的运动路程：，点N的运动路程：， ∴经过4秒，点M在上，点N和点B重合， ∴点M表示的数为：，点N表示的数为：， ∴M、N两点距离为：． ∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度． （2）解：由（1）可得：，， ∴点M到点O需要时间：秒，点N到点B需要时间：秒， 当相遇时：， 解得：． （3）解：∵P与O，B两点相距的长度相等， ∴点P为的中点，表示的数为6， ∴， 点M从点A运动到点O，所需时间为(秒)， 点N从点C运动到点B，所需时间为(秒)， ∵M，N与点P相距的长度之和等于6， ∴点M和点N都在上， ①当点M在上，点N在上时，如图， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ②当点M在上，点N在上时，如图， ∵，， ∵， ∴， 解得：； 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键在正确理解题意，找出等量关系并列出方程求解． 26．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若 ①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①150；②，或， (2)不改变，其度数为 【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可； ②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可； （2）设，求出所有情况后判断即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1）， 设，则， ， 由得，， 解得， ∴， ∴；    (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，， 解得， ， ， ∴；    （2）不改变，其度数为． 设，由条件知， 分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），   ， ， ， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），   ， ， ∴； ⅲ)当在内部时（如图5），   ， ， ∴； ⅳ)当在外部时（如图6），    ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角． 27．已知O是直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，． (1)如图1，，，当平分时，求的度数； (2)若 ①如图2，射线平分，求与的数量关系； ②，射线在直线下方，，平分，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由角平分线的定义可知，又可求，即得出，从而由求解即可； （2）①由题意可求出．再根据角平分线的定义可知．根据，可求出．根据，可求出，即可列出等式，即得出；②分类讨论：ⅰ当在和之间时，明显，故此时不成立；ⅱ当在和之间时，设，则，又可求出，，即得出．结合，可求出．根据角平分线的性质可得．最后由，列出关于x的等式，解出x，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴，， ∴， ∴； （2）①∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②分类讨论：ⅰ当在和之间时，如图， 明显，故此时不成立； ⅱ当在和之间时，如图， 设，则， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， 解得：． ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，角的和与差，一元一次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 28．如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以3度/秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．设旋转时间为秒． (1)当秒时，判断射线是否是的角平分线，并请说明理由． (2)若射线与射线垂直，求的度数． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是的2倍？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)30°或90° (3)或24或40 【分析】（1）证明，即可证明是的角平分线； （2）分两种情况讨论，从而求出的度数； （3）分三种情况讨论使得是的2倍时，t的值． 【详解】（1）解：是的角平分线，理由如下： ∵当秒时 ∴，， ∴ ∴， ∴射线是的角平分线； （2）解：∵射线与射线垂直， ∴， ∴， 设旋转时间为秒时，度，度， 第一种情况：如图， 则， 解得：； ∴， 第二种情况：如图， 则， 解得：， ∴， 综上所述的度数为或； （3）解：第一种情况：当在左边时，如图， 设旋转时间为秒时，是的2倍， 则度，度， ∴， 解得：； 第二种情况：当在右边时，如图， 设旋转时间为秒时，是的2倍， 则度，度， ∴， 解得：； 第三种情况：当运动到，又返回时，如图， 设旋转时间为秒时，是的2倍， 则度，度 ∴， 解得：， 综上所述：或24或40. 【点睛】本题考查动点问题、一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论． 29．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°； (2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻； (3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻 【答案】(1) (2)在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直 (3)下一个美妙时刻是七点零五分；22 【分析】（1）按照题干步骤，先求从三点开始分针旋转的角度，再求时针旋转的角度，二者之差再减去初始角度即为所求； （2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，根据等量关系式分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值代入计算，但应注意时针和分针垂直包含2种情况，分别是最终的角度差值为和； （3）因为时针比分针走得慢，所以再次到达美妙时刻时，分针比时针多走一圈，用分针多走的角度除以分针和时针的速度差即为再次到达美妙时刻所需的时间；用一天的时间除以该时间也就是一天当中美妙时刻的数量． 【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为，从三点到三点三十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是 ， ∴三点三十分时，时针与分针所成角度是； 三点到三点四十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是， ∴三点四十分时，时针与分针所成角度是； 故答案为：； （2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，由题意，得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或； ①当最终差值为时：， 解得：，此时为一点二十二分； ②当最终差值为时：， 解得：，此时为一点五十五分． 综上：在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直． （3）解：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转， ∴到达下一个美妙时刻需要时间分钟，此时为七点零五分． 一天有分钟， ，即一天有22个美时刻． 故答案为：． 【点睛】本题考查钟面角的计算，一元一次方程的应用．理解并掌握题干中钟面角的计算方法，是解题的关键． 30．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 31．在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，，线段以每秒的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段停止运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时， ___________，=___________； (2)当线段与线段重叠部分为时，求t的值； (3)当秒时，线段上是否存在点P，使得？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为秒或7秒 (3)不存在，见解析 【分析】（1）根据题中条件，可得，进而可求得答案； （2）设运动后的点A为点，分点在点C的左侧和右侧两种情况进行讨论，分别列方程即可求解； （3）当 秒时，可判断此时的线段在C、D两点之间，假设存在符合条件的点P，则有，求出的长度，与点P在上不符，即可判断． 【详解】（1）解：∵ ， 故答案为：3，6； （2）解：①当时，如图 则 解得 ②当时， 解得 答：t的值为4.5秒或7秒． （3）解：当秒时， 所以，此时线段位于C，D两点之间， 若存在点P，使 又因为 ，点P不在线段AB上， 所以，当秒时，线段上不存在点P，使得． 【点睛】本题考查线段的和差倍分关系，准确画出图形，数形结合是解题的关键． 32．已知直线和交于O，的度数为x，平分， (1)当时，则_____度，_____度． (2)当时，射线分别以的速度同时绕点O逆时针转动，求当射线与射线重合时至少需要几秒？ (3)时，射线以的速度绕点O顺时针转动，同时射线以的速度绕点O逆时针转动，当射线转动一周时射线停止转动．射线在转动一周的过程中，当时，求射线转动的时间． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或或 【分析】（1）先根据垂线的定义得到，再根据几何中角度的关系求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （2）先根据，求，则射线第一次重合时，则运动的度数运动的度数，列式解出即可； （3）分与未相遇时， 当与相遇后，但在的下方时， 当与相遇后，在的上方时，三种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：，； （2）解：设当射线与射线重合时至少需要t秒， 当时，同（1）可得， ∴， ∴， 解得， ∴当射线与射线重合时至少需要秒； （3）解：设射线转动的时间为t秒， 分三种情况：①与未相遇时，得， 解得，； ②当与相遇后，但在的下方时，得， 解得，； ③当与相遇后，在的上方时，得：， 解得，． ∴射线转动的时间为或或． 【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 33．问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线． 当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____； 当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°． 探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时． 若是直角，，求出的大小； 若是直角，，写出的度数； 数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】问题情境： ； ；探索发现： ； ；数学思考： 【分析】问题情境：根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案； 探索发现：根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案； 数学思考：分两种情况讨论：当在内部时；当在外部时，计算得出答案即可． 【详解】解：问题情境： ，分别是和的角平分线， ， 故答案为：； ，分别是和的角平分线， ， 故答案为：； 探索发现： ，分别是和的角平分线， ， 为； ，，分别是和的角平分线， ， 为； 数学思考：分两种情况 当在内部时，如图所示， ， 的度数是，， ， 当在外部时，如图所示， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所求角的构成． 34．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当时， ；当时，；当时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； (2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案； (3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：由(2)知，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ，， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 35．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图（1），求的度数； (3)如图（2）若三角板保持不动，将三角板的边与边重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，与有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与互补，理由见解析 【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据的度数可得，再根据可得； （2）再根据直角三角板的性质可直接得出结论； （3）当分两种情况：与有重叠部分时和当与没有重叠部分时． 【详解】（1）若， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； （3）与互补． 当与有重叠部分时， ∵， ∴． ∵， ∴， 当与没有重叠部分时， ， 又∵， ∴． 【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角． 36．如图①，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将图①中的三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转一周，经过t秒后，如图②，恰好平分，求t的值； (2)在（1）的基础上，如果三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周（如图③），那么t为多少时，平分？请说明理由； (3)在（2）的基础上，t为多少时，平分？请画出图形并说明理由． 【答案】(1)秒 (2)5秒或115秒时，平分，理由见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）根据图形和题意得出，，得到，即可求解； （2）根据图形和题意得出，，再根据转动速度从而得出答案； （3）分别根据转动速度关系和平分画图即可． 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：秒； （2）5秒或115秒时，平分，理由如下： 当运动时， ∵，， ∵， ∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度，射线也绕O点以每秒的速度旋转， 设为，为， ∵， 可得：， 解得：秒； 停止运动，运动时，此时，也平分， （秒）； （3）平分 ∵，， ∵三角板绕点O以每秒的速度，射线也绕O点以每秒的速度旋转， 设为，为， ∵， ∴， 可得：， 解得：． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 37．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 【答案】(1)15 (2)16 【分析】（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，根据每名一级技工比二级技工一天多铺2瓷砖列方程求解即可； （2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为， 根据题意可知： ，解得：． 答：每个宿舍需要铺瓷砖为15． （2）解：设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为， 原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为 ， 原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10， ，解得：， ． 答：每名二级技工每天需要铺16瓷砖才能按时完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意、理清等量关系、列出方程是解题的关键． 38．如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？ (2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒或2秒； (2)秒； (3)存在，或5． 【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论； （2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】（1）设运动t秒时为2单位长度， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点B在点C的右边时， 由题意得： ， 解得：． 综合①②得：当运动1秒或2秒时； （2）∵， 点A在数轴上表示的数是， 点C在数轴上表示的数是4， ， 而（秒）， 线段与线段运动秒后相遇， 又， （秒）， 线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间； （3）存在， 设运动时间为t秒， ①当时， 点B和点C重合， ， 点P在线段AB上， ， ， 当时， ，即； 此时， ②当时，点C在点A和点B之间，， 当点P在线段BC上时， ，， ， ， 有， 故时，， ③当时，点A与点C重合，， ， ， ， ， 有， 故，此时， 综上，线段PD的长为或5． 【点睛】本题以线段和差为题考查了一次方程的应用；读懂题意，分类列方程解决问题是解题的关键． 39．钟面上的数学 【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动______°，分针每分钟转动______°； 【初步研究】 （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时，______； ②当时，______； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角______°； 【深入思考】 （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整），假设这一时刻是2点分，请用含有的代数式表示出此时刻钟面角（直接写出结论）． 【答案】（1）0.5；6； （2）①3：00；②6：00； （3） （4）当时，分针与时针夹角为：度； 当时，分针与时针夹角为：度； 当时，分针与时针夹角为：； 当时，分针与时针夹角为：度． 【分析】（1）根据1小时=60分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：0.5；6； （2）①某个时刻的钟面角为，可为3：00，②某个时刻的钟面角为，可为6：00， 故答案为：①3：00；②6：00； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）假设这一时刻是2点分， 由题意知：时针转动的角度是度， 分针转动的角度是度， 当时，即：， 此时分针与时针夹角为， 则：当时，分针与时针夹角为：度， 亦即：当时，分针与时针夹角为：度， 当时，分针与时针夹角为：度，； 当时，分针与时针夹角为：； 当时，分针与时针夹角为：度． 综上：当时，分针与时针夹角为：度； 当时，分针与时针夹角为：度； 当时，分针与时针夹角为：； 当时，分针与时针夹角为：度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 40．线段AB上有一点M，在三条线段AB、AM和BM中，若有一条线段的长度是另一条线段长度的三分之一，则称点M是线段AB的“奇异点”． (1)如图1，线段厘米，若点是线段的“奇异点”，求AM的长． (2)如图2，线段厘米，一个动点从点出发，以每秒3厘米的速度沿射线匀速运动．当点运动几秒时，点恰好是线段的“奇异点”？请说明理由． 【答案】(1)的长度为厘米或厘米或厘米或厘米 (2)当点运动秒或秒或秒或秒时，点恰好是线段的“奇异点” 【分析】（1）根据“奇异点”的定义，列出方程即可求解； （2）用分别表示出、，根据“奇异点”的定义，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：线段厘米，点是线段的“奇异点” ①当时，, （厘米）； ②当时，（厘米）； ③当时，（厘米）； ④当时， （厘米）； 综上所知，的长度为厘米或厘米或厘米或厘米； （2）解：点恰好是线段的“奇异点”，则点在的延长线上， ，， ， ①当时， ,（秒）； ②当时， ,（秒）； ③当时， ,（秒）； ④当时， ,（秒）； 综上所得，当点运动秒或秒或秒或秒时，点恰好是线段的“奇异点”． 【点睛】本题主要考查线段的运算，一元一次方程，根据定义列出方程是解题的关键． 41．已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动，设旋转的时间为秒，当时，试求的值； (3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 【答案】(1)； (2)当的值为5，10，12.5或13.75时， (3)的度数为或 【分析】（1）由题意可得，，可直接求解； （2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①逆时针运动时，，相遇前和相遇后；②顺时针旋转，，相遇前和相遇后，分别画图求解即可； （3）根据射线的运动，需要分四种情况，①当射线与重合前，②当射线与重合后，前，③前，④与重合前，画出图形，结合角平分线求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ①逆时针运动时，即时， 由，的运动可知，，， ，相遇前，如图2（1）所示： ，即，解得； ，相遇后，如图2（2）所示： ，即，解得； ②顺时针旋转时，，， ，相遇前，如图（3）所示： ，即，解得； ，相遇后，如图（4）所示： ，即，解得， 综上，当的值为5，10，12.5或13.75时，； （3）解：由（1）知，根据射线的运动，需要分四种情况： 的①当射线与重合前，如图3（1）所示： 平分，平分， ，， ； ②当射线与重合后，前，如图3（2）所示： 平分，平分， ，， ； ③前，如图3（3）所示： 平分，平分， ，， ； ④与重合前，如图3（4）所示： 平分，平分， ，， ； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题关键． 42．如图1，将两个三角板的两顶点重叠放在直线上，其中点B落在另一个三角板的边上，已知，，，三角板绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角板绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角板旋转满一周后，两个三角板同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图2，当，时，求的度数． (2)当时， ①将图1中的两个三角板绕点A旋转至图3，若平分，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． (3)将图1中三角板沿边翻转后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角板的两条边，第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角板的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2)①12；②当，16，28秒时，点C，A，E三点共线 (3)31 【分析】（1）由题可知，，当，时，代入求出和的角度，代入即可得出结论； （2）①由题意可知，，，由角平分线的定义建立方程，求解即可； ②由①可得，，，根据题意，三点共线，建立方程，求解即可； （3）由三等分线可知，，所以第一次分割，第二次分割，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， ， 当，时， ，， ∵，， ∴． （2）解：①由题意知，， 则， 同理，， ∵平分， ∴， 即， 解得：． ②由①可得，，， （i）如图Ⅰ，， ∴； （ii）如图Ⅱ，， ∴； （iii）如图Ⅲ，， ∴； 综上所述，当，16，28秒时，点C，A，E三点共线． （3）解：由题意可知，， 第一次分割 则第二次分割， 解方程，可得，， ∴n的值为31． 【点睛】本题考查了一元一次方程在角的旋转问题中的应用，理清题中的数量关系并数形结合是解题的关键． 43．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)；或； (3)或． 【分析】（1）B是中点，求得，，再根据，求得，即可求出； （2）表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为，8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动，则时，分钟在6时处，时针在8时过的地方，即； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）根据，进行分类解答即可． 【详解】（1）解：B是中点， ； ； ； ； ； ， 故答案为：； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为，， 故答案为：； ②当在内部时， ； 当在外部时， （3）解：设经过时间为分钟，时针与分针得速度差为， OM平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． 44．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数； (2)由角平分线的定义可得，进而可求解； (3)可分两种情况：①当时，，求出，得出答案；②当时，，得出，进而得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵OE平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵OE平分，OF平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）①当时，由题意可得 ∴， ∴， ， ∴； ②当时，如下图， ∴， ∴ ， ∴ 【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． 45．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人 (2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多于（2）班人数，所以51<x<100，则0<102−x<51， 利用单独购买门票，一共应付5500元列方程，解方程即可； （2）按照团体票的单价计算总费用，即可得到答案； 【详解】（1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x人，（2）班有人．根据题意，得 解得． 则（2）班人数为：（人）． 答：七年级（1）班有62人，（2）班有40人． （2）解：方案一：各自购买门票需（元）； 方案二：联合购买门票需（元）； 方案三：联合购买101张门票需（元）； 综上所述：因为． 答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方案选择问题，解题的关键是读懂题意，利用隐含条件找出等量关系列方程． 46．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果） (3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？ 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)10或40 (3)30° 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠BON＝30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解； （3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可． 【详解】（1）解：（1）直线ON平分∠AOC．理由： 设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB， 又∵OM⊥ON， ∴∠MOD＝∠MON＝90°， ∴∠COD＝∠BON， 又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等）， ∴∠COD＝∠AOD， ∴OD平分∠AOC， 即直线ON平分∠AOC； （2）解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分， 即旋转60°时，ON平分∠AOC， 再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC， 由题意得，6n＝60°或6n＝240°， ∴n＝10或40； 故答案为：10或40； （3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 47．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/m3） 不超过10m3的部分 2 超过10m3，但不超过20m3的部分 4 超过20m3的部分 8 (1)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？ (2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？ 【答案】(1)该户居民月用水16立方米 (2)该户居民月用水立方米 【分析】对于（1），先确定该收费属于第二阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可； 对于（2），先根据平均收费确定收费属于第三阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）∵， ∴该户居民月用水超过10立方米． 设该户居民月用水立方米， 解得立方米， 所以该市一户居民月用水16立方米． （2）∵． ∴该户居民月用水超过20立方米． 设该户居民月用水立方米， 解得立方米． 所以该市一户居民月用水立方米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，确定等量关系是列一元一次方程的关键． 48．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 【答案】(1)在甲超市更划算； (2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； (3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元； 【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可； （2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可； （3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可； 【详解】（1）解：甲超市购物所付的费用为：（元）， 乙超市购物所付的费用为：（元）， ∵， ∴在甲超市更划算； （2）解：甲超市购买的商品原价：（元）， 设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得： ，解得：， ∵280＞265， ∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； （3）解：∵， ∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元， ∵，， ∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元， 设第二次购买商品的原价为m元， ①当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元； ②当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元； 综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论． 49．2021年12月，某网店从甲厂家购进了、两种商品，商品每件进价元，商品每件进价元，两种商品共购进了件，所用资金为元． (1)求12月、两种商品各购进了多少件？ (2)12月初，该网店在出售、两种商品时，商品在进价的基础上加价出售，并以此价格售出了，商品以一定价格售出了．为了促销，余下的、两种商品．网店推出买一件商品送一件商品的优惠活动，但是单独购买商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的、两种商品全部售完，且剩余的商品都参加了促销活动，最终网店通过销售、两种商品共获利，求12月份每件商品的售价是多少元？ (3)2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产、两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过元 不打折 超过元，未超过元 全部打九折 超过元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买商品的总件数 购买商品的总件数 优惠 未超过件 未超过件 打九折 超过件，未超过件的部分 超过件，未超过件的部分 打八折 超过件的部分 超过件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进、两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进商品实际付款元，第二次全部购进商品实际付款元．已知从乙厂家购买商品每件进价元，购买商品每件进价元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的、两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 【答案】(1)A种商品购进了200件，B种商品购进了300件； (2)12月份每件商品的售价是15元； (3)该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元. 【分析】（1）设种商品购进了x件、则种商品购进了（500-x）件，根据费用之和为11000元，列出一元一次方程求解即可； （2）设12月份每件商品的售价是y元，根据销售额-成本=利润，得一元一次方程求解即可； （3）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可. 【详解】（1）解：设种商品购进了x件、则种商品购进了（500-x）件， 由题意，得， 解得， ， 答：种商品购进了200件，种商品购进了300件. （2）解：设12月份每件商品的售价是y元， 由题意，得：， 解得， 答：12月份每件商品的售价是15元. （3）解：在甲厂家购进A、B两种商品共需付：4320+3690=8010（元） 由（元），（元） 所以在甲厂家购进A商品数量为=120（件），或=135（件）， 由（元）， 所以在甲厂家购进B商品数量为=410（件）， 从乙厂家购买120件A商品需付款：（元）， 购买135件A商品需付款：（元）， 购买410件B商品需付款： （元）， 故从乙厂家购买120件A商品、410件B商品需付款：3434+4164=7598（元） 从乙厂家购买135件A商品、410件B商品需付款：3825+4164=7989（元） 故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省8010-7598=412（元）或8010-7989=21（元） 答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元. 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，掌握销售问题中的各个量之间的关系，是解答此题的关键. 50．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500~1000 1000~1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同。 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1－80%）＋60＝260（元）。 （1）购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是 元． （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少?（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，如果这名顾客一次性购买这两件商品，他所花掉的费用与分开购买相比有无节省?若有，节省多少元? 【答案】（1）120；（2）当时，优惠额为元，当 时优惠额为元；（3）当和时，分开购买和一次性购买优惠额相同，当 时，一次性购买更优惠，可节省50元． 【分析】（1）购买一件标价为600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为480元，小于500没有返还金额，所以总优惠额为120元； （2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额； （3）分别计算一次性购买和分别购买的优惠额再比较大小即可求解． 【详解】解：（1）标价为600元的商品按标价的80%出售消费额为元＜500元， 元，则顾客获得的优惠额为120元； （2）元， ∵x＞1250， ∴ ， ①当 即时， 优惠额元， ②当时，即 时， 优惠额元； （3）一次性购买： ∵x＞1250， ∴ ， ①当即时， 优惠额 （元）， ②当 即时， 优惠额（元）， 分开购买： （元）， 当 时，优惠额 （元）， 当 时，优惠额 （元）， 当 时，一次性购买优惠额＝，分开购买优惠额＝， （）－（）＝（元） 综上，当和时，分开购买和一次性购买优惠额相同，当 时，一次性购买更优惠，可节省50元． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件进行讨论即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$