专题10 几何压轴（四大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题10 几何压轴（四大类型） 重难点题型归纳 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【题型3：角的折叠综合问题】 【题型4：钟表问题】 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【典例1】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【变式1-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-3】已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-4】在直线m上顺次取A，B，C三点，使，如果O是线段的中点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-5】如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°． (1)如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOC的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为 　 ； (2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数． 【变式2-1】已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【变式2-3】点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE； (2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数； (3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由. 【变式2-4】已知点O在直线上，． (1)如图1，若射线是的平分线，，求的度数； (2)如图2，延长线段得到射线，求比大多少度； (3)在（2）的条件下，如图3，若，，过点O作射线，使，求的度数． 【变式2-5】以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处． (1)如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则________； (2)如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【题型3：角的折叠综合问题】 【典例3】利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； (2)如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【变式3-1】如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点分别落在的位置，且， 则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式3-4】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【题型4：钟表问题】 【典例4】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【变式4-1】知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【变式4-2】刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 【变式4-3】【问题初探】 （1）①如图1，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，即． ②如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； 【深度探究】 （2）将直角三角板绕点O顺时针转动的过程中，恰好，当与重合时停止运动，求此时的度数． 【知识迁移】 （3）若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，问经过几分钟后，的度数第一次等于115°．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 几何压轴（四大类型） 重难点题型归纳 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【题型3：角的折叠综合问题】 【题型4：钟表问题】 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【典例1】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 【变式1-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 【变式1-2】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 【变式1-3】已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段和差，根据题意分点在线段上时，点在线段延长线上时两种情况分析即可，画出图形，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴ 点在线段延长线上时，如图所示， 同理可求出，， 又∵， ∴， 综上所述：的长度为或， 故选：． 【变式1-4】在直线m上顺次取A，B，C三点，使，如果O是线段的中点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，再由线段中点的定义得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-5】如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点计算公式，先求出点C表示的数， 再根据数轴上两点距离计算公式求出点E表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵、表示的数分别是，，且点为线段的中点， ∴点C表示的数为， ∵点表示的数为1，， ∴点E表示的数为或， ∵点为线段的中点， ∴点F表示的书为或， ∴或 故选：D． 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°． (1)如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOC的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为 　 ； (2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数． 【答案】(1)40° (2)135° (3)55°或35° 【分析】（1）由角平分线定义可得，根据平角定义可得结论； （2）由已知得出∠AOC+∠BOD=90°，由角平分线定义得出∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠BOD，即可得出答案； （3）分OF在OE的左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵OE为∠AOC的角平分线， ∴ 又∠COD＝90° ∴ 故答案为：40° （2）∵∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵OE为∠AOC的角平分线，OF平分∠BOD， ∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠BOD， ∴∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF=90°+（∠AOC+∠BOD）=90°+×90°=135°， （3）①如图 ∵OF是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵OC是的平分线 ∴， ∴ ②如图 同理可得∴， ∴ 综上，的度数为55°或35° 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线定义（把一个分成两个相等的角的射线）；弄清各个角之间的关系是解题的关键． 【变式2-1】已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键． 分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之． 【详解】解：①如图，当在外部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴； ②如图，当在内部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴， 综上所述：为或． 故选C． 【变式2-2】已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【答案】60°或10° 【分析】需要分类讨论：射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部两种情况．由角平分线的定义以及角的关系求解即可． 【详解】∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线， ∴∠BOD=∠AOB=35°，∠EOB=∠BOC=25°， ①当OC在∠AOB内部时，如图， ∴∠DOE=∠BOD-∠EOB=35°-25°=10°； ②当OC在∠AOB外部时，如图， ∠DOE=∠BOD +∠EOB=35°+25°=60°． 综上所述，∠DOE的度数为60°或10°． 故答案是：60°或10°． 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的运用．解题时注意结合图形求得角与角间的和差关系：∠DOE=∠BOD-∠EOB或∠DOE=∠BOD+∠EOB． 【变式2-3】点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE； (2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数； (3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可． 【详解】（1）解：，与射线重合， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：由（1）得，， 是的角平分线， ， ， ； （3）解：能， ①当是内时，有： ，， 则， 解得：； ②当在外时，有： ，， 则， 解得：． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【变式2-4】已知点O在直线上，． (1)如图1，若射线是的平分线，，求的度数； (2)如图2，延长线段得到射线，求比大多少度； (3)在（2）的条件下，如图3，若，，过点O作射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)比大 (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中的角的计算，解题的关键是数形结合，熟记角平分线的定义． （1）先求出，根据射线是的平分线，求出结果即可； （2）根据，，求出即可； （3）先根据已知条件求出，得出，，进一步求出，，得出，分两种情况进行讨论：当在的下方时，当在的上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线是的平分线， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即比大． （3）解：根据解析（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 当在的下方时，如图所示： ； 当在的上方时，如图所示： ； 综上分析可知：或． 【变式2-5】以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处． (1)如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则________； (2)如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据即可作答； （2）由，得，根据恰好平分，有，即可得，即可得，问题得解； （3）由，设，则，分两种情况：第一种在内，第二种在内，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：； （2）平分，理由如下： 直线上一点， ， ， ， 恰好平分， ， ， ， ， ， 平分； （3）， 设，则． 分两种情况： ①如图，在内， ， ， ， ， ， ； ②如图，在内， ， ， ， 解得， ； 综上或． 【题型3：角的折叠综合问题】 【典例3】利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； (2)如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】解： （1）由折叠的性质，可知．因为点落在上，所以，所以，所以．因为，所以； （2）由折叠的性质，可知，所以，即的度数为． 【变式3-1】如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点分别落在的位置，且， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可知，结合以及可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在长方形中，纸片沿着折叠， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的运算、图形折叠等知识，掌握折叠后的图形性质是解题的关键． 【变式3-2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以设∠EAD′=α，∠FAB′=β，根据折叠可得∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，进而可求解． 【详解】解：设∠EAD′=α，∠FAB′=β， 根据折叠性质可知： ∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE， ∵∠B′AD′=8°， ∴∠DAF=8°+β， ∠BAE=8°+α， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠DAB=90°， ∴8°+β+β+8°+8°+α+α=90°， ∴α+β=33°， ∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′ =8°+α+β =8°+33° =41°． 则∠EAF的度数为41°． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何中角的计算，解决本题的关键在于能够根据题意找到角之间的关系． 【变式3-3】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 【变式3-4】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 【题型4：钟表问题】 【典例4】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【答案】(1)12 (2)① 75；②或 (3)t的值为或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用： （1）根据线段的中点，求出的长，比例关系，求出的长，再根据，计算即可； （2）①求出分针每分钟走，时针每分钟走，根据角的和差关系进行求解即可； ②分在的内部和在的外部，两种情况进行求解即可； （3）设经过t分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：因为B是的中点．所以． 所以． 因为， 所以． 所以． （2）①分针每分钟走，时针每分钟走． 30分钟时针走过， 即时针从8点到走过，所以． ②当在的内部时，， 所以 ． 当在的外部时，． 综上，的度数为或． （3）解：设经过t分钟，的度数是． 因为时针与分针每分钟走的度数差为， 所以． 因为平分，所以． 当时，； 当时，． 综上，t的值为或． 【变式4-1】知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 【变式4-2】刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)；或； (3)或． 【分析】（1）B是中点，求得，，再根据，求得，即可求出； （2）表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为，8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动，则时，分钟在6时处，时针在8时过的地方，即； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）根据，进行分类解答即可． 【详解】（1）解：B是中点， ； ； ； ； ； ， 故答案为：； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为，， 故答案为：； ②当在内部时， ； 当在外部时， （3）解：设经过时间为分钟，时针与分针得速度差为， OM平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． 【变式4-3】【问题初探】 （1）①如图1，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，即． ②如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； 【深度探究】 （2）将直角三角板绕点O顺时针转动的过程中，恰好，当与重合时停止运动，求此时的度数． 【知识迁移】 （3）若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，问经过几分钟后，的度数第一次等于115°．（直接写出答案） 【答案】（1）（2）的度数为或（3）经过10或分钟后，的度数第一次等于115° 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，以及钟面角． （1）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解； （2）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． （3）分分针在时针的前面和分针在时针的后面，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，理清角度之间的和差关系，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1），， ， 平分， ， ， ； （2）①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又 ， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． （3）钟面分针每分钟转过，时针每分钟转过， 当分针在时针的前面时，分钟； 当分针在时针的后面时，分钟； 答：经过10或分钟后，的度数第一次等于115°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$