专题14 相似三角形【三大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题14 相似三角形【三大题型】 平行线分线段成比例 1．（2023•房山区校级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 解：∵DE∥BC， ∴，即， 解得，EC＝4， ∴AC＝AE+EC＝2+4＝6， 答案：B． 2．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB为（　　） A．9 B．6 C．3 D． 解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC， ∴，即， 解得AB＝6， 答案：B． 3．（2023•顺义区期末统考）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 　　． 解：∵CD∥EF， ∴， 又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4， ∴OC＝OA+AC＝1+2＝3， ∴． 答案：． 4．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝　6　． 解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G， ∴BD＝CD，AE＝CE， ∵EF∥CD， ∴1，即AF＝FD， ∴EF为△ADC的中位线， ∴EFCD， ∴EFBD， ∵EF∥BD， ∴， ∴DG＝2FG＝2， ∴FD＝2+1＝3， ∴AD＝2FG＝6． 答案：6． 相似三角形的判定与性质 5．（2023•通州区校级期末）如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 解：∵△ACB∽△A′CB′， ∴∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB， ∴∠ACA′＝∠BCB′， ∵∠BCB′＝30°， ∴∠ACA′＝30°， 答案：B． 6．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD＝2，A'D'＝3， ∴， ∴△ABC与△A'B'C'的面积的比＝（）2， 答案：A． 7．（2023•顺义区校级期末）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB＝3，则AF的长为（　　） A．1 B． C． D．2 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥CB，AB＝BC＝AD， ∵， ∴， ∴， ∵AD∥CB， ∴△FAE∽△FBC， ∴， ∴， ∴AF， 答案：C． 8．（2023•昌平区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①△ABD≌△CAE； ②∠BFE＝60°； ③△AFB∽△ADF； ④若，则． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），故①正确； ∴∠DAF＝∠ABD，BD＝AE， ∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故②正确； ∵∠DAF＝∠ABD，∠ADF＝∠ADB， ∴△ADF∽△BDA，故③错误； ∴， ∵， ∴设AD＝x＝CE，则AC＝AB＝3x＝BC，CD＝2x＝BE， ∴AF•BD＝3x2， ∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°， ∴△BFE∽△BCD， ∴， ∴BF•BD＝6x2， ∴，故④正确； 答案：B． 9．（2023•平谷区期末统考）如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 　∠ADC＝∠ACB　，可使△ABC∽△ACD． 解：由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可， 所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD， 答案：∠ADC＝∠ACB． 10．（2023•海淀区校级期末）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝∠ADB，CE⊥AD于E，AE＝5，AC﹣AB＝4，则AC和AB分别为　7和3　． 解：过点B作AD的垂线，垂足为H，延长交AC与G，连接DG， 则AD为BG的垂直平分线， ∴HG∥CE，AG＝AB＝AD，HG＝BH，HB∥CE， ∴AG：AC＝AH：AE＝HG：EC＝BH：CE＝HD：DE， ∴AG：AC＝AH：AE＝HD：DE＝（AH+HD）：（AE+DE）＝AD：（AE+DE） 而AD＝AG， 则AC＝（AE+DE）， AC＝4+AB，AE＝5，DE＝AE﹣AD＝AE﹣AB＝5﹣AB， ∴4+AB＝5+5﹣AB ∴AB＝3， ∴AC＝3+4＝7． 答案：7和3． 11．（2023•西城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝4，且，则EF的长为 　　． 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠BAD＝90°， ∵AE∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∴AEBC4＝1， 在Rt△ABE中，BE， ∵， ∴， ∴EFBE． 答案：． 12．（2023•海淀区校级期末）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为　　． 解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示， ∵D为BC边的中点，BC＝8， ∴BD＝4， ∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4， ∴AD8， ∵BE⊥AD于点E，交AC于F， ∴BE2， ∵AB＝4，BE＝2，∠AEB＝90°， ∴AE6， 设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣2， ∵EF∥DG， ∴△AEF∽△ADG， ∴， 即， 解得，x， ∴EF＝2x﹣222， 答案：． 13．（2023•平谷区校级期末）如图，在▱ABCD中，延长BA到E，使，连接EC交AD于点F，BC＝4，AB＝2，求AF的长． 解：∵AB＝2， ∴1， ∴BE＝AB+AE＝2+1＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△AEF∽△BEC， ∴， 即， 解得：AF， 即AF的长为． 14．（2023•石景山区校级期末）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E． （1）求证：△ADB∽△CEA； （2）若，AD＝AE＝2，求CE的长． （1）证明：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD， ∴△ADB∽△CEA． （2）解：∵∠ADB＝90°，AB，AD＝AE＝2， ∴BD1， ∵△ADB∽△CEA， ∴， ∴CE4， ∴CE的长是4． 15．（2023•房山区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E． （1）求证：AE＝DE； （2）如果AC＝5，CD，求DE的长． （1）证明：∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠ADE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD． ∴∠EAD＝∠ADE． ∴AE＝DE； （2）解：过点D作DF⊥AB于F． ∵∠C＝90°，CD，AD平分∠BAC， ∴DF＝DC． 又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°， ∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）． ∴AF＝AC＝5， ∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2． 设AE＝x，则DE＝x，EF＝5﹣x， ∴x， ∴x＝3． ∴DE＝AE＝3． 16．（2023•门头沟区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E． （1）求证：AB•AF＝CB•CD； （2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是线段DE上的动点．设DP＝x cm，梯形BCDP的面积为ycm2． ①求y关于x的函数关系式． ②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由． 证明：（1）∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴DE垂直平分AC， ∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF． ∵∠DAB＝∠DAF+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠DAF＝∠B． 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B， ∴△DCF∽△ABC． ∴，即， ∴AB•AF＝CB•CD； （2）解：连接PB， ①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， ∴AC12， ∴CF＝AF＝6． ∴y（x+9）×6＝3x+27； ②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC． AE＝BEAB，EF． 由∠EAD＝∠AFE＝90°，∠AEF＝∠DEA，得△AEF∽△DEA． Rt△ADF中，AD＝CD10，AF＝6， ∴DF＝8． ∴DE＝DF+FE＝8． ∵y＝3x+27（0≤x），函数值y随着x的增大而增大， ∴当x时，y有最大值，此时y． 相似三角形的应用 17．（2023•顺义区期末统考）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为 　　cm． 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∵AB的高为15cm，BE为32cm，DE为8cm， ∴， ∴CD（cm）， 答案：． 18．（2023•平谷区校级期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　3cm　． 解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N， ∵CD∥AB， ∴△CDO∽ABO，即相似比为， ∴， ∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm）， ∴， ∴AB＝3cm， 答案：3cm． 19．（2023•通州区校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ 　5.5　m． 解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D ∴△DEF∽△DCB ∴ ∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m， ∴ ∴BC＝4米， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）， 答案：5.5． 20．（2023•海淀区校级期末）为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为　10.6　米． 解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形， ∴∠DEF＝∠ACD， ∵∠ADC＝∠FDE， ∴△ACD∽△FED， ∴， ∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米， ∴， ∴AC＝9米， ∵DG＝1.6米， ∴BC＝1.6米， ∴AB＝10.6米， 答案：10.6． 21．（2023•大兴区校级期末）如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝10m，EC＝5m，CD＝8m，则河的宽度AB长为　16　m． 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABE＝∠DCE＝90°， 又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等）， ∴△ABE∽△DCE， ∴， 即， 解得AB＝16m． 答案：16． 22．（2023•门头沟区校级期末）如图，是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一个平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么城墙高度CD＝　8　米． 解：根据题意得∠APB＝∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴Rt△ABP∽Rt△CDP， ∴，即， ∴CD＝8m． 答案：8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 相似三角形【三大题型】 平行线分线段成比例 1．（2023•房山区校级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB为（　　） A．9 B．6 C．3 D． 3．（2023•顺义区期末统考）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 　 　． 4．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝　 　． 相似三角形的判定与性质 5．（2023•通州区校级期末）如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 6．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 7．（2023•顺义区校级期末）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB＝3，则AF的长为（　　） A．1 B． C． D．2 8．（2023•昌平区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①△ABD≌△CAE； ②∠BFE＝60°； ③△AFB∽△ADF； ④若，则． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 9．（2023•平谷区期末统考）如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 　 　，可使△ABC∽△ACD． 10．（2023•海淀区校级期末）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝∠ADB，CE⊥AD于E，AE＝5，AC﹣AB＝4，则AC和AB分别为　 　． 11．（2023•西城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝4，且，则EF的长为　 ． 12．（2023•海淀区校级期末）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为　 　． 13．（2023•平谷区校级期末）如图，在▱ABCD中，延长BA到E，使，连接EC交AD于点F，BC＝4，AB＝2，求AF的长． 14．（2023•石景山区校级期末）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E． （1）求证：△ADB∽△CEA； （2）若，AD＝AE＝2，求CE的长． 15．（2023•房山区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E． （1）求证：AE＝DE； （2）如果AC＝5，CD，求DE的长． 16．（2023•门头沟区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E． （1）求证：AB•AF＝CB•CD； （2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是线段DE上的动点．设DP＝x cm，梯形BCDP的面积为ycm2． ①求y关于x的函数关系式． ②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由． 相似三角形的应用 17．（2023•顺义区期末统考）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为 　 　cm． 18．（2023•平谷区校级期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　 　． 19．（2023•通州区校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ 　 　m． 20．（2023•海淀区校级期末）为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为　 　米． 21．（2023•大兴区校级期末）如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝10m，EC＝5m，CD＝8m，则河的宽度AB长为　 　m． 22．（2023•门头沟区校级期末）如图，是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一个平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么城墙高度CD＝　 　米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$