专题15 锐角三角函数【五大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题15 锐角三角函数【五大题型】 同角三角函数的关系 1．（2023•朝阳区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA，那么tanA的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•石景山区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•顺义区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB＝　 　． 4．（2023•昌平区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA，则cos∠BCD的值为　 　． 互余两角三角函数的关系 5．（2023•通州区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB的值等于（　　） A． B． C． D． 6．（2023•大兴区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值是（　　） A． B． C． D． 7．（2023•昌平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB 8．（2023•房山区校级期末）如果α是锐角，且sinα，那么cos（90°﹣α）的值为（　　） A． B． C． D． 特殊角的三角函数值 9．（2023•海淀区校级期末）的值是（　　） A． B． C． D． 10．（2023•密云区校级期末）∠A为锐角，若cosA，则∠A的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 11．（2023•怀柔区校级期末）计算sin30°•tan45°的结果是（　　） A． B． C． D． 12．（2023•顺义区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+cosB的值为（　　） A． B． C． D． 13．（2023•石景山区校级期末）tan60°＝　 　． 14．（2023•海淀区校级期末）计算：sin30°+tan45°﹣2cos60°＝　 　． 15．（2023•海淀区校级期末）　 　． 16．（2023•东城区校级期末）在锐角△ABC中，若|sinA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是　 ． 解直角三角形 17．（2023•朝阳区校级期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　） A． B． C． D． 18．（2023•西城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，cosB，则AD的长为（　　） A．12 B．10 C．6 D．5 19．（2023•昌平区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，，则sin∠CBD的值（　　） A． B．2 C． D． 20．（2023•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 21．（2023•顺义区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB＝　 　． 22．（2023•顺义区校级期末）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2，AC＝6，则BC的长为　 ． 23．（2023•昌平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，sinB，∠C＝45°，则AC的长为　 ． 24．（2023•通州区校级期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA，则AD的长为　 　． 解直角三角形的应用 25．（2023•通州区校级期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离．（结果保留根号） 26．（2023•昌平区校级期末）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin53°，cos53°，tan53°．） 27．（2023•海淀区校级期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°，亭B在点M的北偏东30°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向． 根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A、B之间距离的示意图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭A、B之间距离． 28．（2023•海淀区校级期末）如图，一艘邮轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处． （1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里） （2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险． ①请判断邮轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由． ②如果邮轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：1.414，1.732） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 锐角三角函数【五大题型】 同角三角函数的关系 1．（2023•朝阳区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA，那么tanA的值是（　　） A． B． C． D． 解： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA， ∴设AC＝4x，AB＝5x， 根据勾股定理得：BC＝3x， tanA． 答案：C． 2．（2023•石景山区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 解：在△ABC中，∠C＝90°，， 设BC＝3a，则AC＝4a， ∴AB5a， ∴sinA， 答案：C． 3．（2023•顺义区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB＝　　． 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA 不妨设BC＝3x，则AB＝5x， 根据勾股定理可得：AC4x， ∴tanB． 答案：． 4．（2023•昌平区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA，则cos∠BCD的值为　　． 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinA， ∴设BC＝3x，AB＝5x， 由勾股定理得：AC＝4x， ∴cosA， ∵∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠A+∠B＝∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cos∠BCD＝cosA， 答案：． 互余两角三角函数的关系 5．（2023•通州区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB的值等于（　　） A． B． C． D． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°， 则cosB＝sinA． 答案：B． 6．（2023•大兴区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值是（　　） A． B． C． D． 解：由sinA，可设∠A的对边是k，斜边是4k． 根据勾股定理，求得∠A的邻边是k． 故tanB． 答案：C． 7．（2023•昌平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA＝sinB B．cosA＝cosB C．tanA＝tanB D．sinA＝cosB 解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴sinA＝cosB． 答案：D． 8．（2023•房山区校级期末）如果α是锐角，且sinα，那么cos（90°﹣α）的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵α为锐角，， ∴cos（90°﹣α）＝sinα． 答案：B． 特殊角的三角函数值 9．（2023•海淀区校级期末）的值是（　　） A． B． C． D． 解：cos30° ， 答案：A． 10．（2023•密云区校级期末）∠A为锐角，若cosA，则∠A的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 解：∵∠A为锐角，cosA， ∴∠A＝60°． 答案：B． 11．（2023•怀柔区校级期末）计算sin30°•tan45°的结果是（　　） A． B． C． D． 解：sin30°•tan45° 1 ， 答案：A． 12．（2023•顺义区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+cosB的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， 则sinA+cosB． 答案：B． 13．（2023•石景山区校级期末）tan60°＝　　． 解：tan60°的值为． 答案：． 14．（2023•海淀区校级期末）计算：sin30°+tan45°﹣2cos60°＝　　． 解：原式1﹣2 1﹣1 ． 答案：． 15．（2023•海淀区校级期末）　﹣1　． 解：原式 ＝2﹣3 ＝﹣1， 答案：﹣1． 16．（2023•东城区校级期末）在锐角△ABC中，若|sinA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 　75°　． 解：根据题意得：sinA0，1﹣tanB＝0， ∴sinA，tanB＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 答案：75°． 解直角三角形 17．（2023•朝阳区校级期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　） A． B． C． D． 解：如图，取格点E．连接BE，CE． 在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC5，EC＝3， ∴sinA， 答案：D． 18．（2023•西城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，cosB，则AD的长为（　　） A．12 B．10 C．6 D．5 解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴BDBC＝12． 在直角△ABD中，∵cosB， ∴AB＝13， ∴AD5． 答案：D． 19．（2023•昌平区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，，则sin∠CBD的值（　　） A． B．2 C． D． 解：∵， 设AD＝3x，AB＝5x， ∵AB＝AC， ∴CD＝2x， 在Rt△ABD中，BD4x， ∴在Rt△BCD中，BC2x， ∴sin∠CBD． 答案：D． 20．（2023•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ACD中， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°． ∵sinA，cosA， ∴CD＝sin60°×2， AD＝cos60°×2＝1． ∴BD＝AB﹣AD＝11． 在Rt△BCD中， ∵CD＝BD， ∴∠BCD＝45°． ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°． 答案：B． 21．（2023•顺义区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB＝　　． 解：∵∠ACD+∠BCD＝90°， ∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． 在Rt△ABC中， ∵cosA ． ∴cos∠BCD． 答案：． 22．（2023•顺义区校级期末）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2，AC＝6，则BC的长为　2　． 解：作CD⊥AB于D，如图所示： 则∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠A＝30°，AC＝6， ∴CDAC＝3， ∴AD3， ∵AB＝2， ∴BD＝AD﹣AB， ∴BC2， 答案：2． 23．（2023•昌平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，sinB，∠C＝45°，则AC的长为 　2　． 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB＝3，sinB， ∵AD＝AB•sinB＝32， 在Rt△ADC中，∠C＝45°， ∴AC2， 答案：2． 24．（2023•通州区校级期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA，则AD的长为　2　． 解：如图，作DE⊥AB于点E，则△AED为等腰直角三角形， ∴AE＝DE，ABAC， ∵tan∠DBA， ∴AE＝DEBE． ∴AB＝BE+AE＝6AEAC＝6，AE， ∴AD＝2，AE． 答案：2． 解直角三角形的应用 25．（2023•通州区校级期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离．（结果保留根号） 解：过A作AM⊥DE，交ED的延长线于M，过C作CF⊥AM于F，过C作CN⊥DE， 由题意知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝90°，∠CDE＝60°， 在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝8040（mm），∠DCN＝90°﹣60°＝30°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠BCN＝90°﹣30°＝60°， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴AM∥CN， ∴∠A＝∠BCN＝60°， ∴∠ACF＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△AFC中，AF＝AC•sin∠ACF＝8040（mm）， 由图知四边形MNCF为矩形， ∴FM＝CN＝40（mm）， ∴AM＝AF+FM＝（40+40）（mm）， ∴点A到底座DE的距离为（40+40）mm． 26．（2023•昌平区校级期末）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin53°，cos53°，tan53°） 解：由题意得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m， 在Rt△AGE中，∠AEG＝45°， ∴tan45°1， ∴AG＝GE， 设AG＝GE＝x m， ∵DE＝7m， ∴GD＝EG+DE＝（x+7）m， 在Rt△AGD中，∠ADG＝37°， ∴tan37°， ∴4AG≈3GD， 4x≈3（x+7）， 解得：x＝21， ∴AB＝AG+GB＝21+1.5＝22.5（m）， 答：塔高AB的长约为22.5m． 27．（2023•海淀区校级期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°，亭B在点M的北偏东30°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向． 根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A、B之间距离的示意图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭A、B之间距离． 解：如图：过点A作AH⊥BQ，垂足为H， 由题意得△AMN，△BMQ都是直角三角形，∠AMN＝30°，∠BMQ＝60°， 则AH＝NQ＝30米，AN＝HQ， ∴MQ＝MN+NQ＝30+60＝90米， 在Rt△AMN中，AN＝MNtan30°＝6020米， ∴AN＝HQ＝20米， 在Rt△BMQ中，BQ＝MQtan60°＝9090米， ∴BH＝BQ﹣HQ＝70米， 在Rt△AHB中，AB20米． 28．（2023•海淀区校级期末）如图，一艘邮轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处． （1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里） （2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险． ①请判断邮轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由． ②如果邮轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：1.414，1.732） 解：（1）过点P作PD⊥AB于点D． 依题意可知，PA＝100海里，∠APD＝90°﹣30°＝60°，∠BPD＝45°． ∴∠A＝90°﹣60°＝30°． ∴PDPA＝50（海里）， 在Rt△PBD中，∠BPD＝45°， ∴△PBD是等腰直角三角形， ∴PBPD＝50（海里）≈70.7（海里）． 答：B处距离灯塔P约70.7海里． （2）①邮轮到达B处没有触礁的危险，理由如下： 依题意知：OP＝150海里，PB＝50海里， ∴OB＝OP﹣PB＝（150﹣50）海里≈79.3海里＞60海里， ∴邮轮到达B处没有触礁的危险． ②过点O作OE⊥AB与E，交AB延长线于点E， 则∠OEB＝90°， ∵∠OBE＝∠PBD＝45°， ∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50）7550≈56.05＜60， ∴邮轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$