专题27.6 图形的位似变换（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题27.6 图形的位似变换 · 典例分析 【典例1】如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【思路点拨】 本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【解题过程】 解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（   ）    A．6 B．3 C．4 D．8 2．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，与是位似图形，都与轴平行，点与位似中心点都在轴上，点在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 6．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （     ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为 ． 9．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为 ． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 11．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，中三个顶点的坐标分别为、、，为的一条中线，以O为位似中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为 ． 12．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，中，，三个顶点均在坐标轴上，的坐标为，将位似缩小到原来的，得到，当点的对应点的坐标为时，则点的对应点的坐标为 ． 13．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论：①；②；③和是以点为位似中心的位似图形；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 16．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出； （2）以O为位似中心，画出的位似图形图形，使放大后的位似比为； （3）点P是x轴上一动点，则的最小值是______． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为．并写出与的面积之比为 ； （3）在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点的对应点的坐标为 ． 18．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，如图建立平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别是 （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ； （2）在图中，以点O为位似中心画，使它与的位似比为； （3）若有一个格点三角形与相似，且它与有一条公共边和一个公共角，请直接写出满足上述条件的三角形未知顶点的坐标 ． 19．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 20．（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    （1）如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） （2）在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； （3）如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.6 图形的位似变换 · 典例分析 【典例1】如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【思路点拨】 本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【解题过程】 解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（   ）    A．6 B．3 C．4 D．8 【思路点拨】 本题考查的是位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作轴于，轴于，根据相似三角形的性质求出，的长，得到点的坐标． 【解题过程】 解：作轴于，轴于， ∵点的坐标是 点的坐标是， ∴， ， ∵的位似图形为， 的边长是的边长的倍 由题意得： 相似比为:， ∴， ∵轴于，轴于， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【解题过程】 解：延长交于点E，如图．    ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，与是位似图形，都与轴平行，点与位似中心点都在轴上，点在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了相似图形，位数图形的判定和性质，掌握位似比等于相似比是解题的关键．如图作轴，轴，根据点坐标可得，，根据相似三角形的判定可得，由此可得，由此即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵的横坐标为，平行于轴， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即相似比等于位似比， ∴点是的中点， ∵轴，轴， ∴，且， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，则， ∴， 故选：A ． 5．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【思路点拨】 本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，计算即可． 【解题过程】 解：∵等边的顶点，， ∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍， ∴与的位似比为， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 6．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点A作轴于点M，过点D作轴于点N．利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【解题过程】 解：过点A作轴于点M，过点D作轴于点N． ∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （     ） A． B． C．或 D．或 【思路点拨】 根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是和是对应顶点，和是对应顶点．本题考查位似变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【解题过程】 解：正方形和正方形中和点的坐标分别为，， 、、， （1）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ， 解得：， 此函数的解析式为， 当时，则， 与的交点坐标是； （2）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ， 解得， 故此一次函数的解析式为①， 同理，设所在直线的解析式为， ， 解得：， 故此直线的解析式为②， 联立①②得， 解得， 故与的交点坐标是． 综上所述：位似中心的坐标是：或． 故选：D． 8．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【解题过程】 解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出BG即可得到答案． 【解题过程】 解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为1∶2，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴点G的坐标为． 故答案为：． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 【思路点拨】 本题考查了位似的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案． 【解题过程】 解：连接， ∵四边形是平行四边形，面积为20， ∴， ∵和是以为位似中心的位似图形，且与原图形的位似比为， ∴点在同一条直线上，，， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴与的面积之和为． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，中三个顶点的坐标分别为、、，为的一条中线，以O为位似中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为 ． 【思路点拨】 根据勾股定理求出，然后根据三角形中线求出，进而分在第一象限和第三象限进行分类求解即可． 【解题过程】 解：∵中三个顶点的坐标分别为、、， ∴， ∴由勾股定理可得， ∵为中线， ∴， 当以O为位似中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分： ①当在第一象限时，如图所示： ∴， ∴； ②当在第三象限时，如图所示： ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为：或． 12．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，中，，三个顶点均在坐标轴上，的坐标为，将位似缩小到原来的，得到，当点的对应点的坐标为时，则点的对应点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了位似变换，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，由的坐标为，得到，结合题意，根据勾股定理得到，求得，过作轴于，则，可知是等腰直角三角形，得到，于是得到结论．正确地作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：∵的坐标为， ∴， ∵，， ∴，则 ∴， ∵将位似缩小到原来的， ∴，， 过作轴于，则， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可． ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【解题过程】 解：如图，位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的， ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴， 故答案为：． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【解题过程】 解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【思路点拨】 此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论是解题的关键； 当B与F是对应点时，利用待定系数法求出直线的解析式，再求得直线与y轴的交点，即可求出位似中心的坐标； 当C与E是对应点时，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【解题过程】 解：①若B和F是对应点，点A与点E是对应点，则位似中心在y轴上， 由题意可得，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 当时，， 即位似中心是：； ②若点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 则， 解得：， 即位似中心是：， 综上所述：所述位似中心为：或． 16．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出； （2）以O为位似中心，画出的位似图形图形，使放大后的位似比为； （3）点P是x轴上一动点，则的最小值是______． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形变化—平移和位似，勾股定理和轴对称最短路径问题： （1）根据平移方式得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）把三点的横纵坐标都乘以负2得到对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （3）作点B关于x轴对称的点G，连接交x轴于点P，则此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，作点B关于x轴对称的点G，连接交x轴于点P，则此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为．并写出与的面积之比为 ； （3）在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点的对应点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的定义和作图，位似图形的定义及作图，位似比的性质等知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义和性质作图即可； （2）根据位似图形的定义作图即可作图，再根据位似比的平方等于面积比即可求解； （3）根据位似比的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：关于轴的轴对称图形，作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为，作图如下， ∴即为所求图形， ∵与位似，且相似比为， ∴， ∵与关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意，与的相似比为， ∵内一点的坐标为在第二象限， ∴，， ∵在第一象限， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，如图建立平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别是 （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ； （2）在图中，以点O为位似中心画，使它与的位似比为； （3）若有一个格点三角形与相似，且它与有一条公共边和一个公共角，请直接写出满足上述条件的三角形未知顶点的坐标 ． 【思路点拨】 本题考查了图形与坐标、垂直平分线的性质，位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质即可作答． （2）根据位似图形的性质，分别画出点，再依次连接，即可作答． （3）进行分类讨论，当格点三角形与的一条公共边为时，通过两边成比例 相等证明相似；当格点三角形与的一条公共边为时，同理证明，即可作答． 【解题过程】 （1）解：分别作线段的垂直平分线，交于点M， 则点M为经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心， ∴点M的坐标为 故答案为： （2）解：如图，△A1B1C1和△A'1B'1C'1均满足题意． （3）解：当格点三角形与的一条公共边为时， 在线段上取格点D，使， 此时，， 则， ∴点为满足条件的三角形未知顶点； 当格点三角形与的一条公共边为时， 在线段的延长线上取格点E，使， 此时，， 则， ∴点为满足条件的三角形未知顶点． 综上所述，满足上述条件的三角形未知顶点的坐标为或． 故答案为：或 19．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 20．（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    （1）如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） （2）在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； （3）如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【思路点拨】 （1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似． （2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果． （3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【解题过程】 （1）解：如图1，    故答案为：①② （2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线， 是公共角，， ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 将代入得 ， 解得． （3）证明：如图4，    延长，交于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$