第05讲 线段的垂直平分线（4大知识点+11大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第05讲 线段的垂直平分线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解线段垂直平分线的性质； 2．学会线段垂直平分线的判定； 3. 掌握三角形三边的垂直平分线的交点的性质； 4. 掌握线段的垂直平分线有关的尺规作图. 知识点1 线段垂直平分线的性质 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图1-17,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 注：如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考：你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请你加以证明. 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 下面证明过程供参考. 已知：如图，线段AB,PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作直线MN⊥AB,垂足为C,则PC是△PAB的高. ∵PA=PB, ∴△PAB是等腰三角形. ∴PC是△PAB的中线(三线合一). ∴AC=BC. ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 证明这一判定定理有多种思路，除了上面的方法，还可以取AB的中点C,证明PC⊥AB;或作∠APB的平分线PC,证明PC⊥AB,且AC=BC 总结：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点的集合；线段是一个轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴. 知识点3 三角形三边的垂直平分线的交点 例1 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图1-19,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC. 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC.∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上), 即 边AC的垂直平分线经过点P. 知识点4 尺规作图 例2 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形 已知：如图1-20(1),线段a,h.求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 作法： (1)作线段BC=a(如图1-20(2)). (2)作线段BC的垂直平分线1,交BC于点D. (3)在1上作线段DA,使DA=h. (4)连接AB,AC. △ABC为所求的等腰三角形. 议一议 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗?如果能，能画出几个?所画出的三角形都全等吗? 答：这样的三角形可以画无数个，由于高的位置可以不同，因此所画的三角形不都全等 (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗? 答：满足条件的三角形可以作出两个，但因为它们全等，故只有一解. 线段垂直平分线的做法: 求作线段AB的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 考点一：根据线段垂直平分线的性质求长度 例1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-2】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】．如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 考点二：根据线段垂直平分线的性质求角度 例2．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A．41° B．42° C．43° D．44° 【变式2-3】．如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度为 °． 考点三：三角形三边的垂直平分线的交点 例3．到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【变式3-1】．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【变式3-2】．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 【变式3-3】．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为 （度）． 考点四：根据线段垂直平分线的性质求周长、面积 例4．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 【变式4-2】．如图，在中，于点D，，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式4-3】．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 考点五：尺规作图（选填题） 例5．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【变式5-3】．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 考点六：线段垂直平分线的判定 例6．如图，在 中，，，， ． 【变式6-1】．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【变式6-2】．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【变式6-3】．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ． 考点七：线段垂直平分线的判定与性质综合辨析 例7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【变式7-1】．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 【变式7-2】．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是(　　)    A． B． C． D．四边形的面积为 【变式7-3】．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 考点八：线段垂直平分线的判定与性质综合应用 例8．，，若， ． 【变式8-1】．如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【变式8-2】．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】．在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 考点九：尺规作图（解答题） 例9．如图，在中，．    (1)作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式9-1】．在中，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【变式9-2】．小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D； ②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E； ③连接，，则，，即为所求的等腰三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：由作图可知，① ∴________． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（__________）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（__________）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 【变式9-3】．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)，，点P是直线上动点，则的最小值为_______． 考点十：最值问题 例10．如图，是等边三角形，是边上的高，点M是边的中点，点N是上的一个动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【变式10-2】．如图，在等腰中，，于点，、两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【变式10-3】．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 考点十一：线段垂直平分线的综合解答题 例11．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长是7cm，求的长； (2)若，，求的度数． 【变式11-1】．如图，在中，，为上一点，，在上截取，连接并延长交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)当时，请直接写出的长． 【变式11-2】．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式11-3】．如图，在等边三角形中，是延长线上一点，连接，且，点关于的对称点为，连接，分别交于点，， (1)依题意补全图形． (2)改变的大小，在变化过程中， 的大小是否发生变化？若有变化，请写出的变化范围；若不变，请求出的大小； (3)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（    ） A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB 4．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接，交于点，交于点，连接．若的周长等于，的周长为，那么线段的长等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（   ） A．30° B．50° C．70° D．80° 7．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为（     ） A．118° B．128° C．126° D．136° 8．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 二、填空题 9．如图，在中，垂直平分．若，，则的长为 ． 10．如图，在中，直平分，，，则的周长为 ． 11．如图，中，，于点H，若，，则 ． 12．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    13．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ．    14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ． 三、解答题 15．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上． 16．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    17．如图，已知，，是上一点. 求证：. 18．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的周长． 19．如图，，，，． (1)求证：； (2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 21．如图，在中，，于点D，，分别交、于E、F．    (1)如图1，，，求的长度； (2)如图2，取中点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作于点N，并延长交延长线于点M，请直接写出的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 线段的垂直平分线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解线段垂直平分线的性质； 2．学会线段垂直平分线的判定； 3. 掌握三角形三边的垂直平分线的交点的性质； 4. 掌握线段的垂直平分线有关的尺规作图. 知识点1 线段垂直平分线的性质 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图1-17,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 注：如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考：你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请你加以证明. 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 下面证明过程供参考. 已知：如图，线段AB,PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作直线MN⊥AB,垂足为C,则PC是△PAB的高. ∵PA=PB, ∴△PAB是等腰三角形. ∴PC是△PAB的中线(三线合一). ∴AC=BC. ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 证明这一判定定理有多种思路，除了上面的方法，还可以取AB的中点C,证明PC⊥AB;或作∠APB的平分线PC,证明PC⊥AB,且AC=BC 总结：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点的集合；线段是一个轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴. 知识点3 三角形三边的垂直平分线的交点 例1 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图1-19,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC. 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC.∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上), 即 边AC的垂直平分线经过点P. 知识点4 尺规作图 例2 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形 已知：如图1-20(1),线段a,h.求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 作法： (1)作线段BC=a(如图1-20(2)). (2)作线段BC的垂直平分线1,交BC于点D. (3)在1上作线段DA,使DA=h. (4)连接AB,AC. △ABC为所求的等腰三角形. 议一议 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗?如果能，能画出几个?所画出的三角形都全等吗? 答：这样的三角形可以画无数个，由于高的位置可以不同，因此所画的三角形不都全等 (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗? 答：满足条件的三角形可以作出两个，但因为它们全等，故只有一解. 线段垂直平分线的做法: 求作线段AB的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 考点一：根据线段垂直平分线的性质求长度 例1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故选：B． 【变式1-1】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【解析】解：是的垂直平分线，， ， ． 故选：A． 【变式1-2】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据此性质得，即可求解． 【解析】解：∵直线为线段的垂直平分线，且，， ∴； 故选：B． 【变式1-3】．如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及直角三角形的斜边大于直角边是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，根据垂线的性质得到，然后根据直角三角形的斜边大于直角边判断即可． 【解析】解：直线l是边的垂直平分线， ，， ， ， ， 故答案为：． 考点二：根据线段垂直平分线的性质求角度 例2．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分，得出，求出，根据，利用等边对等角，最后求出结果即可． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-1】．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【解析】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 【变式2-2】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A．41° B．42° C．43° D．44° 【答案】B 【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解． 【解析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝7x°， ∵∠B＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∴7x+7x+x＝90， 解得：x＝6， ∴∠C＝7×6°＝42°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键． 【变式2-3】．如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【解析】解：连接、， ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三：三角形三边的垂直平分线的交点 例3．到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，掌握线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等是解决问题的关键． 【解析】解：    ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即是到三角形三个顶点的距离相等的点， 故选：B． 【变式3-1】．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得． 【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式3-2】．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【解析】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 【变式3-3】．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为 （度）． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【解析】解：∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 考点四：根据线段垂直平分线的性质求周长、面积 例4．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键． 【变式4-1】．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】B 【分析】利用线垂直平分线的性质得,再等量代换即可求得三角形的周长． 【解析】∵是中边的垂直平分线，∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 【变式4-2】．如图，在中，于点D，，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴直线垂直平分线段， ∴， ∴直线是等腰三角形的对称轴， ∴阴影面积等于等腰三角形的面积的一半， ∵，， ∴等腰三角形的面积为， ∴阴影面积为10． 故答案为：10． 【变式4-3】．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质得，，等量代换即可求解． 【解析】解：∵、分别是线段、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故选C． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 考点五：尺规作图（选填题） 例5．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择． 【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F， 【变式1-1】．过EF作直线即为AB的垂直平分线． 故选C． 【点睛】本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键． 【变式5-1】．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可. 【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可， 故选：B． 【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 【变式5-2】．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据作图信息，一一判断即可． 【解析】解：由作图可知， 垂直平分线段，故D选项是正确的 ∴，故B选项是正确的； ∴，故C选项是正确的； 则不一定正确的是 故选：A 【变式5-3】．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【解析】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 考点六：线段垂直平分线的判定 例6．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【解析】证明：，， ， 点D在AC边的垂直平分线上． 【变式6-2】．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证． 【解析】∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴，两点都在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， 即是线段的垂直平分线． 【变式6-3】．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长到M，使，连接，利用证明，得到，再根据三线合一的逆定理得出，最后根据三角形三边关系即可得解． 【解析】解：延长到M，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明是解题的关键． 考点七：线段垂直平分线的判定与性质综合辨析 例7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【答案】A 【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线． 【解析】∵AC＝AD，BC＝BD， ∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上， ∴AB是CD的垂直平分线． 即AB垂直平分CD． 故选A 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【变式7-1】．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①/1 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【解析】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 【变式7-2】．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是(　　)    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】根据作图方法可得，进而可得是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，，利用面积公式可计算四边形的面积． 【解析】解：根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故A结论正确； ，则 ，则 ，故C结论正确； ， ，故B结论正确； ，则四边形的面积， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一． 【变式7-3】．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，从而可判断A、B选项正确；通过证明可得，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误． 【解析】解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴筝形是轴对称图形，故A、B选项正确； ∵， ∴， ∴， 即平分一组对角，故C选项正确； ∵直线不是筝形的对称轴， ∴不平分一组对角，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，解本题的关键是熟练掌握相关判定定理和性质定理． 考点八：线段垂直平分线的判定与性质综合应用 例8．，，若， ． 【答案】 【分析】根据，则垂直平分，又，则为等边三角形，即可求得 【解析】， 为等边三角形 ， 点在的垂直平分线上 则垂直平分 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，证明是的垂直平分线是解题的关键． 【变式8-1】．如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，根据题意可得垂直平分，，进而得到，再由的周长为20，推出，据此可得答案． 【解析】解；∵E为边的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ∵的周长为20 ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选；C． 【变式8-2】．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【解析】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 【变式8-3】．在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出是的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 分两种情况：①在内，②在外，先根据线段垂直平分线求出是线段的垂直平分线，即可得出，，即可得到结论． 【解析】解：如图所示， ，， 、都在线段的垂直平分线上， ， 点到的距离为6，点到的距离为4， ，， ①在内， ， ②在外， ． 故选：C． 考点九：尺规作图（解答题） 例9．如图，在中，．    (1)作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余； （1）作线段的垂直平分线交斜边于点； （2）根据垂直平分线的性质可得，，进而根据，得出，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，    （2）解：如图所示，连接，    ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【变式9-1】．在中，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交，于点D、E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，． 【解析】（1）解：如图：即为所求． （2）解垂直平分， ∴， ， ∵， ∴． 【变式9-2】．小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D； ②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E； ③连接，，则，，即为所求的等腰三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：由作图可知，① ∴________． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（__________）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（__________）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 【答案】(1)图见详解 (2)；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）按照作图步骤作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质填空即可． 【解析】（1）解：如图所示． （2）证明：由作图可知，① ∴． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（等角对等边）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 故答案为：；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边． 【变式9-3】．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)，，点P是直线上动点，则的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查作图—基本作图、轴对称最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意知，当点与点重合时，取得最小值，为的长，进而可得答案． 【解析】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ，， ∴， 当点与点重合时，，为最小值． ，， ， 的最小值为9． 故答案为：9． 考点十：最值问题 例10．如图，是等边三角形，是边上的高，点M是边的中点，点N是上的一个动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当A、N、M三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数，然后根据等边对等角求解即可． 【解析】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当A、N、M三点共线时，有最小值， 点M是边的中点， ， ∵等边中，， ∴， ， ， 故选：B． 【变式10-1】．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，交于点，依据等腰三角形三线合一的性质可证明，依据的面积为12可求得．然后由线段垂直平分线的性质可知，则当点M与点重合时，有最小值，最小值为6． 【解析】解：如图，连接，，交于点， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵腰的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴当点M与点重合时，有最小值，最小值为6， ∴的周长的最小值为． 故答案为：8 【变式10-2】．如图，在等腰中，，于点，、两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】连接，根据等腰三角形的性质，得到垂直平分，进而得出当、、三点共线，且时，有最小值，即取得最小值，过点作于点，交于点，连接，根据等边对等角的性质，得出，进而得到，从而求出，即可得到答案． 【解析】解：如图，连接， ，， ， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值，即取得最小值， 过点作于点，交于点，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 即当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，将的最值转化为的最值是解题关键． 【变式10-3】．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称-最短路线问题，连接，，根据折叠得出C和E关于对称，，当F和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出长，代入求出即可． 【解析】解：连接，， ∵沿折叠C和E重合， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴C和E关于对称， ∴，， ∴的周长， ∴当F和D重合时，的值最小，此时的周长最小，最小值是． 故答案为：6． 考点十一：线段垂直平分线的综合解答题 例11．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长是7cm，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解析】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式11-1】．如图，在中，，为上一点，，在上截取，连接并延长交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质． 利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，又因为，所以可以判断是等腰直角三角形； 利用判断； 根据全等三角形对应角相等可证，从而可证是边上的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得． 【解析】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ，， ，， ∴， ， 是等腰直角三角形； （2）证明：如下图所示， 在和中，， ； （3）解: 当时，是边上的垂直平分线， 【变式11-2】．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点G， 由（1）得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即垂直平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式11-3】．如图，在等边三角形中，是延长线上一点，连接，且，点关于的对称点为，连接，分别交于点，， (1)依题意补全图形． (2)改变的大小，在变化过程中， 的大小是否发生变化？若有变化，请写出的变化范围；若不变，请求出的大小； (3)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)补全图形见解析； (2) 的大小不会发生变化，； (3)，理由见解析． 【分析】（）依题意补全图形即可； （）连接，，在上截取，由点关于的对称点为，则垂直平分，所以，，，，由，则垂直平分，则，故，设，则，， 由内角和定理得，从而有； （）由（）得：，则，，证明，根据全等三角形的性质得，最后由和差即可求解． 【解析】（1）如图， （2） 的大小不会发生变化，，理由， 如图，连接，，在上截取， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴，，，， 由，则垂直平分， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，由内角和定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由， 如（）图， 由（）得：， ∴，， ∴， ∴， 由（）得：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 一、单选题 1．如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．由是的垂直平分线，，，即可得到答案． 【解析】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：C 2．如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质． 根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【解析】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 3．下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（    ） A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥AB C．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的概念逐个判断即可． 【解析】解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意； B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意； C、CA=DA，CB=DB，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，符合题意； D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂直平分线的概念，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念． 4．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AD，BC＝BD，再对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：∵垂直平分， ∴，故A正确，该选项不符合题意； 在和中， ∴，故C正确，该选项不符合题意，； ∴，故B正确，该选项不符合题意；； 不一定等于，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接，交于点，交于点，连接．若的周长等于，的周长为，那么线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，进而可得，，再由的周长等于，的周长为，可得，，两式相减可得答案． 【解析】解：根据题意可得是的垂直平分线， 的周长为， ， 的周长等于， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了作线段的垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质． 6．如图，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（   ） A．30° B．50° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再由平角的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：∵线段的垂直平分线交线段于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为（     ） A．118° B．128° C．126° D．136° 【答案】B 【分析】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA=CB，CE=CD，判定，可得∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=α，则∠BDE=72°−α，∠CEB=92°−α，∠BED=∠DEC−∠CEB=72°−(92°−α)=α−20°，即可得到△BDE中，∠EBD=180°−(72°−α)−(α−20°)=128°． 【解析】如图，连接CE， ∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C， ∴CA=CB，CE=CD， ∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC， ∴∠ACB=∠ECD=36°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE，即∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中， CA=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴∠AEC=∠BDC， 设∠AEC=∠BDC=α，则∠BDE=72°−α，∠CEB=92°−α， ∴∠BED=∠DEC−∠CEB=72°−(92°−α)=α−20°， ∴在△BDE中，∠EBD=180°−(72°−α)−(α−20°)=128°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 8．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【解析】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有2个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有6个； 这样的顶点有8个． 故选：C． 二、填空题 9．如图，在中，垂直平分．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 10．如图，在中，直平分，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】先根据垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式和等量代换可得的周长等于即可解答．本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长等于． 故答案为：． 11．如图，中，，于点H，若，，则 ． 【答案】8 【分析】先作辅助线，然后根据线段垂直平分线的判定和性质，可以得到的长，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质和判定，可以得到的长，从而可以求得的长． 【解析】解：如图，在线段上截取， 则， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，作出辅助线是解答本题的关键． 12．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    【答案】5 【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出． 【解析】解：∵周长为16cm，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：5． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 13．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ．    【答案】 【分析】连接交于点O，作，可得垂直平分，进而得出，再求出，即可得出四边形的面积，然后求出，根据勾股定理求出，再根据，，求出，即可得出答案． 【解析】连接交于点O，过点D作于点M．        ∵，， ∴点A，C在的垂直平分线上，即垂直平分． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． ∵， ∴， ∴． ∵线段平分四边形的面积， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，求三角形的面积，构造辅助线是解题的关键． 14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ． 【答案】9． 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解析】连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键. 三、解答题 15．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论． 【解析】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB， ∴∠BCE=∠EBC， ∴BE=CE， ∴点E在BC的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 16．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【答案】见解析 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【解析】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 17．如图，已知，，是上一点. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】连接BC，根据线段垂直平分线性质得出AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC，再利用SSS证明△ABP与△ACP全等，进而得出． 【解析】证明：连接 点在的垂直平分线上， 同理，点也在的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， 直线是线段的垂直平分线， 是上一点， 又，， . 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 18．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧交于两点，过两交点作直线交与点，即可获得答案； （2）由垂直平分线的性质可得，然后结合三角形周长公式求解即可． 【解析】（1）解：如下图，点即为所求作的点； （2）由题意可知， ∴的周长． 19．如图，，，，． (1)求证：； (2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证； （2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证． 【解析】（1）证明：在和中， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明∶如图， 由（1）可知，，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 又∵， ∴点也在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案； （2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案． 【解析】（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．如图，在中，，于点D，，分别交、于E、F．    (1)如图1，，，求的长度； (2)如图2，取中点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作于点N，并延长交延长线于点M，请直接写出的值 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论； （2）连接，由题意可知是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由是的中点，可知，可得是的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用即可证明，即可证得结论； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，利用等腰三角形的性质可得，易知，，由，得，结合（2）中结论，可设，由勾股定理可得，，，，，由可得，进而求得，的长即可求解． 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：连接，    ∵，， ∴，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ， 中，， ∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，    ∵，， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， 则， 设，则， ∴，则， ，则， 则， ∵，即： ∴， 又∵， ∴，则， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第三问有难度，正确作出辅助线,根据等面积法求比值是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$