第04讲 直角三角形（4大知识点+12大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第04讲 直角三角形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解直角三角形的两个锐角互余及其逆定理； 2．学会勾股定理及其逆定理； 3. 掌握互逆命题、互逆定理有关概念及应用； 4. 学会用HL判定直角三角形全等。 知识点1 从角的角度研究直角三角形的性质和判定 思考：(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么? (2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?为什么? 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理证明： (1)已知：如图1,在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°. (2)已知：如图2,在△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠A+∠B=90°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°. ∴△ABC是直角三角形. 知识点2 从边的角度研究直角三角形的性质和判定 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 有关证明过程参见教材本节“读一读”. 2.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论 已知：如图1- 12(1),在△ABC中，AB2+AC2=BC2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：如图1-12(2),作Rt△A′B′C′, ∠A'=90°,A′B′=AB,A′C′=AC, 则 A′B′2+A′C′²=B′C′2(勾股定理) . ∵AB²+AC²=BC², ∴BC²=B′C′². ∴BC=B'C ∴△ABC≌△A'B'C(SSS). ∴∠A=∠A'=90° (全等三角形的对应角相等) 因此，△ABC是直角三角形. 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 知识点3 互逆命题 思考与交流：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢?与同伴交流. 再观察下面三组命题： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流. 结论：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 例如，本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理（即勾股定理及其逆定理）.你还能举出一些互逆定理的例子吗? 知识点4 “HL” 已知：如图1-14,线段a,c(a<c),直角α. 求作：Rt△ABC, 使∠C=∠α,BC=a,AB=c. 小明的作法如下： 你作的直角三角形与小明作的全等吗? 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简述为“斜边、直角边”或 “HL” 定理证明： 已知：如图1-15,在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C'=90°,AB=A′B′,AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC中， ∵∠C=90°, ∴BC²=AB²-AC²(勾股定理). 同理，B′C′²=A′B′²-A′C′². ∵AB=A'B',AC=A'C', ∴BC=B'C′. ∴△ABC≌△A'B'C(SSS). 考点一：写出逆命题并判断真假 例1．命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是 ． 【变式1-1】．“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【变式1-2】．我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角”，则它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【变式1-3】．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 考点二：逆命题、逆定理的综合辨析及证明 例2．下列说法中正确的是（    ） A．任何一个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理都有逆定理 D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 【变式2-1】．下列说法正确的有（    ） ①所有定理都是真命题    ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题     ④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】．已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合．证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？ 【变式2-3】．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 逆命题：______． 已知：______． 求证：______． 考点三：直角三角形的两个锐角互余 例3．在中，，，则的度数为 ． 【变式3-1】．如图，在中，，是中线，若，则的度数为 ． 【变式3-2】．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 考点四：锐角互余的三角形是直角三角形 例4．在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【变式4-2】．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【变式4-3】．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 考点五：“HL”的解答证明 例5．如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【变式5-1】．如图，已知，交的延长线于点E，于点F，且．求证：． 【变式5-2】．如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】．如图，，是的高，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的高． 考点六：“HL”的概念辨析及应用 例6．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【变式6-1】．下列关于直角三角形全等的说法中，不正确的是（   ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．有两角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一边和两角对应相等的两个直角三角形全等 【变式6-2】．如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等，以下给出的条件适合的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】．题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 考点七：利用勾股定理求解直角三角形 例7．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【变式7-1】．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 【变式7-2】．如图，在中，于点，，则的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【变式7-3】．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 考点八：验证勾股定理及有关面积问题 例8．如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【变式8-1】．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（    ） A．68 B．89 C．119 D．130 【变式8-2】．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式8-3】．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点九：勾股定理的逆定理及应用 例9．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【变式9-1】．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（　　） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【变式9-2】．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 【变式9-3】．如图所示，已知，，，则的长为 ． 考点十：折叠问题 例10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（    ） A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm 【变式10-1】．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（     ） A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 【变式10-2】．如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 【变式10-3】．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ） A．2 B． C． D．4 考点十一：网格问题 例11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式11-1】．已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，． (1)在网格中画出． (2)求边上的高． 【变式11-2】．如图，每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点． (1) ； ． (2)试判断是什么三角形，并说明理由． 【变式11-3】．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点十二：勾股定理及其逆定理的解答证明问题 例12．如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 【变式12-1】．如图，四边形中，，为对角线，于E，，，，．    (1)求证：； (2)求线段的长． 【变式12-2】．如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． (1)求证：； (2)求的长． 【变式12-3】．如图，四边形中，，过点A作于点E，E恰好是的中点，若． (1)直接写出四边形的周长； (2)求四边形的面积． 一、单选题 1．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　） A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17 2．如图，在中，，，，求的长是（   ） A．5 B．8 C．4 D．7 3．下列定理中，有逆定理的是(  ) A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等底等高的两个三角形面积相等 D．对顶角相等 4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）    A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 5．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（    ） A．40° B．50° C．70° D．71° 7．如图，中，，延长到C，使分别过点C、E 作、的垂线，两线相交于点 D，连接．若，，则的长是（      ） A．5 B．7 C． D．无法确定 8．如图，在中，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 10．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    11．如图，，，，则 °． 12．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为 ． 13．如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 14．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 三、解答题 15．已知，如图， 中， 平分 ，，，垂足分别为E、F，且．求证： ． 16．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”． （1）写出此命题的逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明． 17．如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 18．问题背景： 在中，已知，求这个三角形的面积． 一名同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需，的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你直接写出的面积_________； 思维拓展： (2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 19．在中，，，． (1)如图1，求点到边的距离； (2)如图2，点是线段上一动点．过点作交于点，当时，求的长； (3)如图3，点是直线上一动点，连接，请直接写出当为何值时，为等腰三角形． 20．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 21．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直角三角形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解直角三角形的两个锐角互余及其逆定理； 2．学会勾股定理及其逆定理； 3. 掌握互逆命题、互逆定理有关概念及应用； 4. 学会用HL判定直角三角形全等。 知识点1 从角的角度研究直角三角形的性质和判定 思考：(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么? (2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?为什么? 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理证明： (1)已知：如图1,在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°. (2)已知：如图2,在△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠A+∠B=90°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°. ∴△ABC是直角三角形. 知识点2 从边的角度研究直角三角形的性质和判定 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 有关证明过程参见教材本节“读一读”. 2.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论 已知：如图1- 12(1),在△ABC中，AB2+AC2=BC2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：如图1-12(2),作Rt△A′B′C′, ∠A'=90°,A′B′=AB,A′C′=AC, 则 A′B′2+A′C′²=B′C′2(勾股定理) . ∵AB²+AC²=BC², ∴BC²=B′C′². ∴BC=B'C ∴△ABC≌△A'B'C(SSS). ∴∠A=∠A'=90° (全等三角形的对应角相等) 因此，△ABC是直角三角形. 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 知识点3 互逆命题 思考与交流：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢?与同伴交流. 再观察下面三组命题： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流. 结论：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 例如，本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理（即勾股定理及其逆定理）.你还能举出一些互逆定理的例子吗? 知识点4 “HL” 已知：如图1-14,线段a,c(a<c),直角α. 求作：Rt△ABC, 使∠C=∠α,BC=a,AB=c. 小明的作法如下： 你作的直角三角形与小明作的全等吗? 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简述为“斜边、直角边”或 “HL” 定理证明： 已知：如图1-15,在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C'=90°,AB=A′B′,AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC中， ∵∠C=90°, ∴BC²=AB²-AC²(勾股定理). 同理，B′C′²=A′B′²-A′C′². ∵AB=A'B',AC=A'C', ∴BC=B'C′. ∴△ABC≌△A'B'C(SSS). 考点一：写出逆命题并判断真假 例1．命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是 ． 【答案】面积相等的两个图形是全等形 【分析】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键． 根据逆命题的定义，即可解答． 【解析】解：命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个图形是全等形， 故答案为：面积相等的两个图形是全等形． 【变式1-1】．“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真 【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可． 【解析】解：“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题， 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真． 【变式1-2】．我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角”，则它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题及逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假，掌握互逆命题的定义是解题的关键． 【解析】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， ∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题， 故答案为：真． 【变式1-3】．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【解析】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 考点二：逆命题、逆定理的综合辨析及证明 例2．下列说法中正确的是（    ） A．任何一个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理都有逆定理 D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是掌握命题与逆命题，定理与逆定理的概念和它们的关系．根据命题与逆命题，定理与逆定理的概念逐项判断． 【解析】解：A、任何一个命题都有逆命题，故该选项正确； B、原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题，故该选项错误； C、不一定每个定理都有逆定理，故该选项错误； D、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故该选项错误； 故选：A． 【变式2-1】．下列说法正确的有（    ） ①所有定理都是真命题    ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题     ④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假、逆命题、定理及逆定理等相关命题知识．命题有真假之分，真命题的逆命题未必是真命题，假命题的逆命题也可以是真命题；根据这些知识去判断即可． 【解析】解：定理是真命题，故所有定理是真命题，故①说法正确； 真命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是真命题，但其逆命题是假命题，故②说法错误； 假命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是假命题，其逆命题为：若，则，此命题是假命题，故③说法错误； 并不是每个定理的逆命题都是正确的，即并不是每个定理都有逆定理，故④说法错误； 故正确的说法只有1个； 故选：A． 【变式2-2】．已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合．证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？ 【答案】证明见解析，逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形”，逆命题成立 【分析】根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可． 【解析】解：已知：如图，中，，是边上的中线， 求证：． 证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 当是的平分线时， ， 等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合， 它的逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形”，逆命题成立． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，判断命题的真假，关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式2-3】．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 逆命题：______． 已知：______． 求证：______． 【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，，是的角平分线；是等腰三角形；证明见解析． 【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可． 【解析】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题． 已知，如图所示： ，是的角平分线，求证是等腰三角形． 证明如下： ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，，是的角平分线；是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键． 考点三：直角三角形的两个锐角互余 例3．在中，，，则的度数为 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【解析】解：∵中，，， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】．如图，在中，，是中线，若，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质，熟练掌握性质是解题的关键．利用等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可． 【解析】∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【解析】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 【变式3-3】．如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形，由角的直角三角形的性质推出，再根据即可得解．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【解析】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 考点四：锐角互余的三角形是直角三角形 例4．在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和，直角三角形的定义，掌握这三个知识点是解题的关键．根据勾股定理，直角三角形定义进行判定即可． 【解析】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、最大角，故不是直角三角形，符合题意； D、由，，得，即，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】．如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【解析】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 考点五：“HL”的解答证明 例5．如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【解析】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 【变式5-1】．如图，已知，交的延长线于点E，于点F，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直接根据证明即可． 【解析】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【变式5-2】．如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得 【解析】（1）证明：∵，为延长线上一点， ∴ 在和中， ， ∴()． （2）∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 【变式5-3】．如图，，是的高，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的高． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由“”可证，可得，再根据等腰三角形的定义即可求解； （）由直角三角形的性质可求的长，最后由勾股定理可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 考点六：“HL”的概念辨析及应用 例6．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【解析】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 【变式6-1】．下列关于直角三角形全等的说法中，不正确的是（   ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．有两角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一边和两角对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了对全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【解析】A. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意； B. 有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意； C. 有两角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故该选项不正确，符合题意； D. 有一边和两角对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】．如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等，以下给出的条件适合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握是解题的关键． 根据直角三角形全等的判定方法即可确定答案． 【解析】解：添加， 理由如下：， 在和中， ， ， 故选D． 【变式6-3】．题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题要分两种情况求出，一种情况是，此时可得：；另一种情况是当在内部，在外部时，此时可得：， 【解析】解：如下图所示， 当时，； 如下图所示， 当在内部，在外部时， ，， ， ， ， 要把甲和丙的答案合在一起才完整． 故选：B． 考点七：利用勾股定理求解直角三角形 例7．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【解析】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 【变式7-1】．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 【答案】D 【分析】勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可． 【解析】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意； B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； C、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； D、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中．理解和掌握勾股定理是解题的关键． 【变式7-2】．如图，在中，于点，，则的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【解析】解：∵， ， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选：A． 【变式7-3】．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的值，再加上的值即可． 【解析】解：如图， 在Rt△ABC中， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，整体解答是解题的关键． 考点八：验证勾股定理及有关面积问题 例8．如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【解析】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 【变式8-1】．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（    ） A．68 B．89 C．119 D．130 【答案】B 【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案． 【解析】解：大正方形的面积为：， 小正方形的面积为：， 由得， ，即， ， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键． 【变式8-2】．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据边边边证得，故①正确；可得∠DCE=∠BAC，从而得到∠DCE+∠ACB=90°，进而得到∠ACE=90°，故②正确；再根据梯形的面积公式可得四边形ABDE的面积是，故③错误；然后根据直角三角形ABC和直角三角形CDE的面积等于梯形ABDE的面积减去△ACE的面积，可得，故④错误；进而得到，即该图可以验证勾股定理．故⑤正确，即可求解． 【解析】解：∵，，． ∴，故①正确； ∴∠DCE=∠BAC， ∵， ∴∠B=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠DCE+∠ACB=90°， ∴∠ACE=90°，故②正确； ∵，， ∴DE⊥BD， ∴四边形ABDE的面积是，故③错误； 根据题意得：直角三角形ABC和直角三角形CDE的面积等于梯形ABDE的面积减去△ACE的面积， ∴，故④错误； ∴， ∴， ∴，即该图可以验证勾股定理．故⑤正确； ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式8-3】．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】分别计算图形的面积进行证明即可． 【解析】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； 故选：A． 【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键． 考点九：勾股定理的逆定理及应用 例9．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【解析】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 【变式9-1】．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（　　） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题． 【解析】①中有92+122=152，可以构成直角三角形； ②中有72+242=252，可以构成直角三角形； ③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形； ④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形； ⑤中有(−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形； 所以可以构成4组直角三角形. 故选B. 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可． 【变式9-2】．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 【答案】需要投入资金为7200元 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解． 【解析】证明：连接BD ∵∠A=90°，∠CBD=90°， ∴△CBD，△ABD为直角三角形， 在Rt△CBD中， BC2 = CD2- BD2 ∴m 在△ABD中，AB2 =BD2-AD2 ∴AB=m ∴四边形ABCD面积 = S△BAD十S∆DBC=∙AD∙AB+∙DB∙ BC=m2， 36×200=7200（元） 所以需要投入资金为7200元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB的长是解题的关键． 【变式9-3】．如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【解析】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 考点十：折叠问题 例10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（    ） A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm 【答案】D 【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度． 【解析】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm， 在△ABC中，由勾股定理可知：=10， ∵将△ABC折叠，使点B与点A重合， 故E为AB的中点， ∴AE=BE=5， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键． 【变式10-1】．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（     ） A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可． 【解析】解：△ABC纸片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm， ∴BC=cm， ∵△DEC沿DE折叠得到△ADE， ∴AE=CE， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键． 【变式10-2】．如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式．设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【解析】解：设，由折叠的性质可知． ∵， ∴． ∵F是边的中点，， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴的长为5． 故答案为：． 【变式10-3】．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD． 【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， 由翻折得AE=AB=10，DE=BD， ∴CE=AE-AC=10-8=2， 在Rt△CED中，， ∴， 解得BD=， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键． 考点十一：网格问题 例11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式11-1】．已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，． (1)在网格中画出． (2)求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格中三角形面积的计算，熟练掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． （1）利用勾股定理得出格点A、B、C，再画出即可； （2）作出边上的高，先利用割补法求出，再根据，得，求解即可． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； ∵，，． ∴即为所求． （2）解：作边上的高，如图， ∵， 又∵， ∴， ∴，即边上的高为． 【变式11-2】．如图，每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点． (1) ； ． (2)试判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理， （1）根据勾股定理求出边的长度即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可； 掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【解析】（1）解：如图， ∵每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点， ∴， ， 故答案为：；； （2）是直角三角形． 理由：连接， ∵每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点， ∴，则， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 【变式11-3】．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图形和勾股定理可以求得a，b，c，d四条线段的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可得到构成直角三角形的个数． 【解析】解：由图可得， 线段a，b，c，d的长度分别为：，，，， ∴， ∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答． 考点十二：勾股定理及其逆定理的解答证明问题 例12．如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键． （1）根据勾股定理逆定理确定即可得出结果； （2）利用勾股定理得出，结合图形即可求解． 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【变式12-1】．如图，四边形中，，为对角线，于E，，，，．    (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，运用了等积法． （1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断； （2）利用等面积法即可求解． 【解析】（1）解：在直角中，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：∵， ∴． 【变式12-2】．如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理应用，正确得出是解题关键． （1）根据全等三角形的判定方法得出，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）利用全等三角形的性质结合勾股定理解答即可． 【解析】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ； （2）解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， ． 【变式12-3】．如图，四边形中，，过点A作于点E，E恰好是的中点，若． (1)直接写出四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据30度的角所对直角边是斜边的一半可得，结合E是的中点即可求解 （2）连接，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，根据即可求解． 【解析】（1）解： ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴四边形的周长： （2）解：连接，如图， ∵，， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，， ∴ 一、单选题 1．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　） A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17 【答案】B 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则即为不是． 【解析】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，可以构成直角三角形，故B选项符合题意； C． ，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意； D． ，不可以构成直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．如图，在中，，，，求的长是（   ） A．5 B．8 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得到，代入计算即可得的值． 【解析】解：在中，， ， ∵，， ， （负值舍去）， 故选：B． 3．下列定理中，有逆定理的是(  ) A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等底等高的两个三角形面积相等 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】要判断一个定理是否存在逆定理，需写出原定理的逆命题，并判断其真假； 【解析】A. 两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，真命题，故有逆定理； B.全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等两个三角形是全等三角形，假命题，故没有逆定理； C. 等底等高的两个三角形面积相等的逆命题是两个三角形面积相等则等底等高，假命题，没有逆定理； D. 对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故没有逆定理； 故选A. 【点睛】分析题意，回忆逆定理的概念是解答本题的关键. 4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）    A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 【答案】D 【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【解析】解：∵，， ∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 5．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【解析】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（    ） A．40° B．50° C．70° D．71° 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出 【解析】 根据题意： 在中 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中 ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用． 7．如图，中，，延长到C，使分别过点C、E 作、的垂线，两线相交于点 D，连接．若，，则的长是（      ） A．5 B．7 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形，通过证得, 则对应边.在直角中利用勾股定理求得的长度，然后再在直角中利用勾股定理来求的长度. 【解析】如图, ∵,， ∴. 在与中, ， ∴, ∴, , ∴在直角中，由勾股定理得 则. 在等腰直角中，， 故选: C. 8．如图，在中，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折性质，垂线段最短，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 根据翻折知，，当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【解析】解：如图： 由翻折知，， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 9．如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】 若两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等; 真 【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，再根据全等三角形的性质进行判断． 【解析】解：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题是如果两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;这个逆命题是真命题． 故答案为：若两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;真． 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的性质. 解题关键点：熟记全等三角形的性质． 10．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】或 【分析】根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【解析】解：∵，， ∴， 在和中， 或， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想． 11．如图，，，，则 °． 【答案】25 【分析】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可． 【解析】解：∵， ∴△ABC和△ADC是直角三角形， ∵AC＝AC，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）, ∴∠DAC＝∠BAC， ∵， ∴∠DAC＝∠BAD＝65°， ∴90°－∠DAC＝25°． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为 ． 【答案】8 【分析】作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解． 【解析】如图，作交的延长于点， 则即为BC边上的高， 在中，， 在中,， ， AB＝10，BC＝9， AC＝17， ， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键． 13．如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 根据图形得到，，根据勾股定理推出. 【解析】解：由题意，得，， 所以， 故答案为：. 14．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【答案】225° 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【解析】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 三、解答题 15．已知，如图， 中， 平分 ，，，垂足分别为E、F，且．求证： ． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线性质得，根据（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）证明，，求出，即可得出证明． 【解析】证明： 平分 ， ， ， 在 和 中 （ ） ， 在 和 中 （） 【点睛】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 16．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”． （1）写出此命题的逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明． 【答案】（1）两边上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）真命题，画图证明见解析 【分析】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题； （2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可． 【解析】解：（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形． （2）真命题． 已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等， 求证：这个三角形ABC是等腰三角形． 证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB，BD⊥AD， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠A=∠A， ∵BD=CE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC， ∴AB=AC， ∴三角形ABC是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 17．如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据AAS证明即可； （2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可． 【解析】（1）∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴ ∴ （2）解法一：连接 ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴， ∴， 即 解法二：连接 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、和；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等． 18．问题背景： 在中，已知，求这个三角形的面积． 一名同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需，的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你直接写出的面积_________； 思维拓展： (2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用边长为3的正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到答案； （2）由勾股定理得出即可画出图形，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得出所求三角形的面积． 【解析】（1）解：根据题意可得： ， 故的面积为：； （2）解：，，， 即为所求作三角形， 则 故的面积为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理，根据边长画出三角形是解决问题的关键． 19．在中，，，． (1)如图1，求点到边的距离； (2)如图2，点是线段上一动点．过点作交于点，当时，求的长； (3)如图3，点是直线上一动点，连接，请直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)的长为或或时，为等腰三角形 【分析】（1）过点作于点，先运用勾股定理求得长，再运用面积公式列出关于的方程即可求得点到边的距离 （2）连接，用证得，得到，最后由即求得的值，设，则,在中，，勾股定理即可求解； （3）分三种情况讨论：第一种情况，当时，为等腰三角形；第二种情况，当时为等腰三角形，第三种情况，当时，为等腰三角形，分别画出图形即可求解． 【解析】（1）解：如图， 过点作于点， 在中，由勾股定理得，， 即，解得． ，， ， 点到边的距离为； （2）连接，如下图2． ， ， ， 在与中， ∴， ， ， 的长为； 设，则, 在中，， ， 解得：， 即; （3）分三种情况计论： 第一种情况，当时，为等腰三角形； ， ． ， ，， ， ， ， ； 第二种情况，当时为等腰三角形， 第三种情况，当时，为等腰三角形， 如图，过点作于点， 由（1）可得， ∴， ， ∴， 综上所述，的长为或或时，为等腰三角形． 【点睛】此题考查用勾股定理计算长度和等腰三角形的性质判定，掌握相关基本技能是关键．最后一问要注意分情况讨论． 20．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30 【分析】（1）过点A作于点，只需要证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）过点作延长线于点，然后证明， ，然后计算求解即可得到答案. 【解析】解：（1）证明：过点A作于点， ， ， 在和中， （2）证明： ， ， 为中点， 在和中， （3）过点作延长线于点， ， ， ， ， 在和中， 在和中， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定. 21．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2AC2＝CD2+CE2，理由见解析 【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论； （2）先求出∠CDA＝∠ADE＝30°，进而求出∠BED＝90°，最后用勾股定理即可得出结论； （3）连接BE，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AC2＝CD2+CE2． 【解析】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD； 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE； （2）如图②，连接BE， ∵AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°， ∵CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD≌△ABE， ∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°， ∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE， ∴． （3）2AC2＝CD2+CE2， 理由如下：连接BE， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠D＝∠AED＝45°， 由（1）得△ACD≌△ABE， ∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°， ∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE， 在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2， ∴2AC2＝CD2+CE2． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！53 学科网（北京）股份有限公司 $$