专题6.2 平行线分线段成比例（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.2 平行线分线段成比例 · 典例分析 【典例1】如图，是的中线． （1）若为的中点，射线交于点，求； （2）若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【思路点拨】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作，交于点． ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． · 学霸必刷 1．（2024·四川内江·二模）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 2．（2023·浙江宁波·二模）如图，过的对称中心的线段交于点，交于点为边上的一点，作交于，连结，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积（    ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 3．（23-24九年级下·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，正方形的边长为，为边中点，为边上一点，连接，相交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，F为上一点，与交于点H，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 8．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，点、分别为、的中点，点为中点，连接并延长交于点，则 ． 9．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 10．（23-24九年级上·山东青岛·课后作业）如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    11．（2023·浙江绍兴·一模）如图．在中，，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，F是边上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且，则x的值是 ． 12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点D在上，点E在的延长线上，，延长交于点F，，则与的面积比为 ．    13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 14．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 15．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 16．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． （1）求证：； （2）当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 17．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． （1）求证：． （2）求证：四边形为平行四边形． （3）求的长度． 18．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 平行线分线段成比例 · 典例分析 【典例1】如图，是的中线． （1）若为的中点，射线交于点，求； （2）若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【思路点拨】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作，交于点． ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． · 学霸必刷 1．（2024·四川内江·二模）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 【思路点拨】 由三角形中位线定理可得，，可得，由矩形的性质可得，再利用勾股定理可得答案． 【解题过程】 解：如图， ∵M为的中点，，， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2023·浙江宁波·二模）如图，过的对称中心的线段交于点，交于点为边上的一点，作交于，连结，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积（    ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【思路点拨】 过点P作于点N，过点A作于点M，则，得到，由过的对称中心，则，由，得到进一步得到，，则可得到，即可得到答案． 【解题过程】 解：过点P作于点N，过点A作于点M， ∴， ∴， ∵过的对称中心， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴， 即只需要知道的面积，就能知道的面积． 故选：B 3．（23-24九年级下·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的是平行线，全等三角形．熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，是解决问题的关键． 先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【解题过程】 解：如图，设与的交点为G， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，正方形的边长为，为边中点，为边上一点，连接，相交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理，推出，再利用勾股定理，求得，，再利用平行线分线段成比例定理，即可求出的长度． 【解题过程】 解：如图，过点作交于点， 则，即， 四边形是正方形，边长为6， ，，， 为边中点， ， ，， ， ， ， ， 故选：D 5．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，F为上一点，与交于点H，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是关键；延长交的延长线于点G，由平行四边形的性质及中点条件可证明，得；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【解题过程】 解：延长交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B．  6．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【解题过程】 解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 【思路点拨】 此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作交的延长线于点，证明出，然后由得到，然后等量代换得到，然后代数求解即可． 【解题过程】 解：如图，过点作交的延长线于点， 则， 平分， ． 故答案为：． 8．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，点、分别为、的中点，点为中点，连接并延长交于点，则 ． 【思路点拨】 本题考查了中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 根据中位线的判定和性质可得，，结合题意可得；根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解题过程】 解：∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴点为中点， ∴； 又∵， ∴， ∴， 则； ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 如图，记的 交点为，证明四边形为矩形，则，由，可得，即，求出的值，根据，作答即可． 【解题过程】 解：如图，记的 交点为， ∵四边形是的内接正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：4． 10．（23-24九年级上·山东青岛·课后作业）如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    【思路点拨】 首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解． 【解题过程】 解：过点M作，交分别于K，N，    ∵M是的中点， ∴， ∵、为的三等分点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2023·浙江绍兴·一模）如图．在中，，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，F是边上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且，则x的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质，运用平行线分线段成比例定理分类计算即可得到答案； 【解题过程】 解：当平分时，符合题意，如图所示，此时四边形是正方形， ∵， ∴， ∴，解得； 如图，当时，恰好有四个位置满足， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ∴时，就满足了3个F， 故答案为：或． 12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点D在上，点E在的延长线上，，延长交于点F，，则与的面积比为 ．    【思路点拨】 过点A作于点G，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M，证明，可得，根据平行线分线段定理可得，设，则，，，，再根据平行线分线段定理可得，，设，，设，，则，从而求得，．根据平行线的性质和对顶角的性质及等腰三角形的性质可证，从而可得 【解题过程】 解：过点A作于点G，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴设，，则， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 14．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【思路点拨】 本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【解题过程】 解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 15．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 【思路点拨】 本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例．正确作出辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长、，设交点为，则四边形为平行四边形．结合题意得出．根据平行线分线段成比例，得出，，即得出．再证明即可． 【解题过程】 证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形． 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ，即． 又 ， ， ． ∵． ，即， ， 即． 16．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． （1）求证：； （2）当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 【思路点拨】 本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质， （1）根据平行四边形的性质和中点得到是平行四边形，有，则有和，即可得到结论． （2）由正方形的性质得到，，结合中点，则有 ，进一步可得． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，即， 同理，即， ． （2）如图， 由（1）知， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则 ， 即． 17．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． （1）求证：． （2）求证：四边形为平行四边形． （3）求的长度． 【思路点拨】 （1）由正方形的性质得出，结合即可得证； （2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证； （3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：． 18．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 【思路点拨】 （1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【解题过程】 （1）证明： ， ，，， 平分， ， ， ， ， 即． （2）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （3）①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得 ， 不符合题意，舍去， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$