专题6.1 比例线段（四大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.1 比例线段（四大题型总结） 【题型一：比例的性质】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题过程】 解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【思路点拨】 本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【解题过程】 解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了比例的性质，代数式求值，由可得，，，再根据可得，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了比例的性质，由已知代数式可以用设比值为一个参数的方法求解． 设，可得，，，代入求解即可． 【解题过程】 解：设，则， ． 故答案为：6 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求的值． （1），； （2），． 【思路点拨】 此题考查了比例的性质．要把含有同一个字母所占的份数变成相同的，即可表示出来．用同一个字母表示，然后再进一步求得三个字母的比值． 【解题过程】 （1）解：因为，， ，； 所以 ； （2）解：，， ，， ． 【题型二：比例线段】 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【思路点拨】 根据成比例线段的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【解题过程】 解：∵，， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴，故C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）线段a、b、c、d成比例，其中，，，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【解题过程】 解：∵四条线段a、b、c、d成比例， 或或， ∴或或， ∵，，， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：1或4或9． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段，，． （1）求线段与线段的比和线段与线段的比； （2）如果线段、、、成比例，求线段的长． （3）在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【思路点拨】 本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键． （1）根据；，，即可求得的值，的值； （2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长； （3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项． 【解题过程】 （1）解：，， ； ，， ； （2）解：线段、、、是成比例线段， ， ， ； （3）解：，， ， 是和的比例中项． 9．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？    【思路点拨】 根据题意，得到，代入比例式计算即可． 【解题过程】 解：根据题意可知，，宽，， 由， 得 即 ∴ 开平方，得， （舍去）． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，． （1）求的长； （2）若的面积为70，求的面积． 【思路点拨】 （1）先求得，再根据求得；由求得； （2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得，则，再由，求得的面积． 【解题过程】 （1），，，， ， ， ； ， ， ，； （2）设点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， ， 的面积是28． 【题型三：黄金分割】 11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 【思路点拨】 本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，根据黄金分割点的定义，可能是较长线段，也可能是较短线段；则或，代入数据计算即可，理解黄金分割点的概念是解题的关键，特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段． 【解题过程】 解：根据题意得： 当是较长线段时，， ∵， ∴， 当是较短线段时，， ∵， ∴， 故选：D． 12．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【解题过程】 解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．    【思路点拨】 根据H是的黄金分割点求出，求出，，得到，再求出小正方形的边长，求出正方形的面积，再得出答案即可． 【解题过程】 解：∵H是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∵，点E是线段的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴与的和为 故填． 14．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【解题过程】 解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    【思路点拨】 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键： （1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论； （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【解题过程】 解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为， ∴帕特农神庙的高度； 故答案为：19； （2）存在，理由如下： 设，则：， 由折叠可知 ， ∵矩形就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （3）∵，则：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上：矩形的面积为或． 【题型四：平行线分线段成比例】 16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案． 【解题过程】 解：A、 ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 与的关系不确定， 不正确，不符合题意； B、 ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 不正确，不符合题意； C、 ， ， ， ， ， 正确，符合题意； D、 ， 由可得， 与的关系不确定， 不正确，不符合题意； 故选：C． 17．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 【思路点拨】 此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，延长、交于点P，连接，交于点，由得到，，则，由N为中点得到，则，即为中点，由已知M为中点，即可得到结论． 【解题过程】 解：三线延长线交于一点， 证明如下：延长、交于点P，连接，交于点， ∵， ∴，， ∴； ∵N为中点， ∴， ∴，即为中点， 又∵M为中点， ∴M与重合，即P、M、N三点共线， ∴、、延长线交于一点P． 18．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【思路点拨】 过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【解题过程】 证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将正方形沿着，将，翻折，使，两点恰好落在点，过点作，交于点．若，则 ．    【思路点拨】 设正方形的边长为2，则，，由折叠的性质可得，，，结合证明为等腰三角形，进而可得；设，则，，，在中，由勾股定理可得，代入数值解得，则有，，；由平行线分线段成比例定理可得，代入数值可解得，进而确定，的值，结合，由即可获得答案． 【解题过程】 解：设正方形的边长为2，则， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 20．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ． 【思路点拨】 设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可． 【解题过程】 解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P， ∵大正方形与小正方形的面积之比为5， ∴， ∴， 设，，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 比例线段（四大题型总结） 【题型一：比例的性质】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，若，则 ． 4．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求的值． （1），； （2），． 【题型二：比例线段】 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）线段a、b、c、d成比例，其中，，，则 ． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段，，． （1）求线段与线段的比和线段与线段的比； （2）如果线段、、、成比例，求线段的长． （3）在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 9．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？    10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，． （1）求的长； （2）若的面积为70，求的面积． 【题型三：黄金分割】 11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 12．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．    14．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．    【题型四：平行线分线段成比例】 16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明． 18．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将正方形沿着，将，翻折，使，两点恰好落在点，过点作，交于点．若，则 ．    20．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$