专题6.4 相似三角形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.4 相似三角形中的动点问题 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． （1）__________； （2）当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； （3）设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：在中，由勾股定理，得, ∴， 故答案为：10． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 5．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 9．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题： （1）当t为何值时平行于； （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，与相似？ 10．（23-24九年级上·河北邢台·期中）图，在中，，，D为边上的动点（点D不与点B、C重合），以D为顶点作，射线交边于点E．        （1）当时，求的长． （2）当时，求的长． （3）点D在边上运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 11．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． （1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ （2）当为何值时，的面积为？ （3）当为何值时，与相似？ 12．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分，求t的值； （2）当时，求点E的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象． （1）_______，________； （2）当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？ 15．（2024·山东青岛·一模）在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当为何值时，点，，在一条直线上； （3）是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． （1）若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 17．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．                       （1）为何值时，？ （2）当时，求值； （3）如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 18．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    （1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ （2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； （3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 19．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知矩形，边长，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿线段方向向终点C运动，动点Q同时以每秒3个单位的速度从A点出发，沿矩形的边方向运动，当点Q回到A点时P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）当P、Q相遇时，_______． （2）当时，求t的值； （3）当或与垂直时，求t的值； （4）当中点到矩形相邻两边距离相等时，直接写出t的值． 20．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且． （1）F点的运动速度为每秒________个单位； （2）当时，求的面积； （3）如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.4 相似三角形中的动点问题 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． （1）__________； （2）当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； （3）设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：在中，由勾股定理，得, ∴， 故答案为：10． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解题过程】 解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【思路点拨】 设，则，分和两种情况讨论，结合相似三角形的性质列式求解，即可获得答案． 【解题过程】 解：根据题意，， 设，则， 分两种情况讨论： ①若， 则有，即， 整理可得， 解得， ∴的长为3或12； ②若， 则有，即， 解得， ∴的长为． 综上所述，的长为3或12或． 故选：D． 3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定理计算出，再讨论：当时，则可证明，当时，则可证明，然后分别利用相似比求出对应的的长． 【解题过程】 解：如图， ，，， ， 当时， ，， ， ，即， 解得， 当时， ，， ， ，即， 解得， 综上所述，的长为4或． 故选：D． 4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【解题过程】 解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 5．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【解题过程】 解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又 ， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【解题过程】 解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查相似三角形的判定与性质．一元二次方程的解法，根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【解题过程】 解：若， ∴， 设， ∵，，， ， 解得；经检验符合题意， 若， ∴， 设， ∵，，， ， 解得；经检验，符合题意， 综上所述，的长度为或2或10， 故答案为：或2或10． 8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可计算出的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点在上时；当点在上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【解题过程】 解：根据题意，作图如下，连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， 在中，，，则， ①如图所示，当点在上时，当时， ∴，则， ∴； ②如图所示，当点在上时，当时，    连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形， ∴根据上述证明可得，点是的中点，且， ∴当时，点关于点对称， ∴， ∴点为的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 9．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题： （1）当t为何值时平行于； （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，与相似？ 【思路点拨】 本题考查相似三角形的应用、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解； （2）先利用勾股定理求得，进而求得的周长和，进而可得结论； （3）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 答：当时，平行于； （2）解：不存在， ∵已知中，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的周长平分； （3）解：当时，由（1）知，； 当时，，则， 解得， 综上，当t为或时，与相似． 10．（23-24九年级上·河北邢台·期中）图，在中，，，D为边上的动点（点D不与点B、C重合），以D为顶点作，射线交边于点E．        （1）当时，求的长． （2）当时，求的长． （3）点D在边上运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，求得，再由即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设， 则，可得，再由，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（2）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 11．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． （1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ （2）当为何值时，的面积为？ （3）当为何值时，与相似？ 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定； （1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴． 由题意，，， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得． （2）过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：． 综上所述或时，与相似． 12．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （2）分和分别讨论即可； （3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【解题过程】 （1）解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时，； （2）∵，，， ∴当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 13．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分，求t的值； （2）当时，求点E的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【解题过程】 （1）解：当平分时，， ∴是等腰直角三角形， （2）∵， 又 ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； （3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下： 当点在点上方时，如图1， 若时， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：(不合题意舍去)， ∴； ∴点； 当点在点下方时，如图2， ①若时， 又∵， 则， 解得：(不合题意舍去)， ②若，则， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或． 14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象． （1）_______，________； （2）当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？ 【思路点拨】 本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质；会从函数图象中获取信息；会根据勾股定理和相似比进行几何计算；提高运用分类讨论的思想解决数学问题的能力． （1）根据函数图象得到当点运动到点时，的面积为18，利用三角形面积公式可计算出，则，当 时，，点在点，作于，在中根据勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，然后根据三角形面积公式得到，即； （2）分类讨论：当，点在点，，若得到，利用相似比得值；当，，当时，，利用相似比得值；当时，，利用相似比得值； 【解题过程】 （1）解：当点运动到点时，的面积为18， ∴， 解得， ， 当时，，点在点，点在上，如图1，作于， 在中，， ， ∵， ， ∴，即， 解得， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：点在边上， 当，点在点，， 若， ∴，即， 解得； 当，则， 当时，，如图2， ∵， ∴，即，解得，不合题意舍去； 当时，，如图3， ∵， ∴，即， 解得， 综上所述，当为或时，与为相似． 15．（2024·山东青岛·一模）在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当为何值时，点，，在一条直线上； （3）是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，方程的应用； （1）证明根据求解即可； （2）可证，列比例线段，得到，，再证，列比例线段，列方程求解即可； （3）由可得，由可得，即可得到，，再证明，列比例线段，得到，由得到，由，列比例线段，代入列方程即可． 【解题过程】 （1）由题意得，， ∵矩形中，，． ∴，，， ，． ∵当点与点重合时，，， ∴， ∵ ∴， ∴， 即， 解得； （2）如图，若，，在一条直线上， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； ∵，， ∴， ∴， 即， 解得，（舍）； （3）若，则，， 由（2）可知，， ∵， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； ∴， ∵ ， 解得． 16．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． （1）若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论． 【解题过程】 （1）在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，，或当时， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，， ，即， ， 同理：， ∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵以为直角边 ∴当时， ∴ ∴ 解得： 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边. 17．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．                       （1）为何值时，？ （2）当时，求值； （3）如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用勾股定理求得，用的代数式表示出线段，，的长度，利用平行线的判定与性质得出比例式解答即可； （2）过点作于点，得到 利用相似三角形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式得到关于的方程，解方程即可得出结论； （3）过点作于点，过点作于点，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于的比例式，解方程即可得出结论； 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，添加三角形的高线构造相似三角形是解题的关键． 【解题过程】 （1）由题意得，，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，，， 当，， ∴， 解得：， ∴为时，； （2）由题意得：，， ∴， 当时， 则 ， 过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴当或时，； （3）沿折叠，得到，存在某一时刻，使四边形为菱形，值为理由： 过点作于点，过点作于点，如图， 由题意得：，， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， 若四边形为菱形，只需， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴沿折叠得到，四边形为菱形时的值． 18．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    （1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ （2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； （3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 【思路点拨】 （1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系； （2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题． （3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到． 【解题过程】 （1）解：如图1中，    在中，，， ． 、分别是、的中点． ∴，，且， ①时， ，， ∴， ∴， 由题意得：，， 即， 解得； ②如图2中，当时，，    ， ， ， 当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （2）解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，． 如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得． 如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G， ∴，， ∴，即， 解得． 如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M， ∴，， ∴，即， 解得． 综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形． （3）解：假设存在时刻，使， 则此时，如图，作于．    ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ， 即， 解得，（舍去）． 当时， ，， ，， ． ， ． 此时的值为，． 19．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知矩形，边长，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿线段方向向终点C运动，动点Q同时以每秒3个单位的速度从A点出发，沿矩形的边方向运动，当点Q回到A点时P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）当P、Q相遇时，_______． （2）当时，求t的值； （3）当或与垂直时，求t的值； （4）当中点到矩形相邻两边距离相等时，直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）先判断出点P、Q相遇时，必在矩形的边上，利用运动路程之和为矩形的三边长建立方程即可； （2）先判断出四边形是平行四边形，得出，进而表示出，，建立方程求解即可； （3）分点在正方形的边点Q在上，点Q在上，点Q在上，建立方程求解即可得出结论； （4）分点在正方形的边点Q在上，点Q在上，点Q在上分类讨论解题即可； 【解题过程】 （1）解：当P、Q相遇时，， 解得：， 故答案为：； （2）如图，当时， 又∵是矩形， ∴， ∴为平行四边形， ∴，即， 解得：， （3）解：∵是矩形， ∴， 当时，点Q在上时，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 当时，点Q在上时，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，不符合，舍去； 当时，点Q在上时，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，当或与垂直时，t的值为或； （4）当时，点Q在上， 则中点到的距离为，根据梯形的中位线得到：， 解得：； 当时，点Q在上时， 若中点到和的距离相等，则， 即， 解得，不符合题意，舍去； 当若中点到和的距离相等时，如图， 过点O作于点E，交于点G，作于点F， 则， ∴， 即，， ∴，， ∴，解得：， 当时，点Q在上时， 当点Q在点P的右侧时，不存在中点到相邻两边距离相等， 当点P在点Q的右侧时，，， ∴， ∴， ∴， 当中点到和的距离相等时，则，解得； 当中点到和的距离相等时，则，解得； 综上所述，当中点到矩形相邻两边距离相等时，t的值为：，或． 20．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且． （1）F点的运动速度为每秒________个单位； （2）当时，求的面积； （3）如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据E、F两点同时出发同时到达终点，即可求解； （2）①过点M作直线交与点G、H，证，有相似三角形性质求 ，进而可解答；②当E在上时，证，，由相似三角形性质转换求解即可求面积； （3）①当E在上时，证，结合勾股定理得，证，由相似性质得，，结合勾股定理可解答；②当E在上时，作，证，，，，由相似三角形性质转换求解即可； 【解题过程】 （1）解：∵E、F两点同时出发同时到达终点， ∴F点的运动速度为(单位/秒）． 故答案为：2． （2）①当E在上时，过点M作直线交与点G、H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②当E在上时，，则，， 延长交于点T，过M作， ∵， ∴，， ∴，即， ∴ ，即， ∴ ∴， ∴． （3）①当E在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ②当E在上时，如图，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 同理，， ∵， ∴， 或（舍去）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$