专题6.3 相似三角形的判定与性质综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.3 相似三角形的判定与性质综合 · 典例分析 【典例1】如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【思路点拨】 （1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，为上一点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点D是上一点，，，，则 ． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，于点D，延长至点E，使，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 ．（结果用含的代数式表示）． 12．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接并延长交与点F，则 ．    13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，于D，E为上一点，过点E作于F，且，连接交于G，若，，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： （1）； （2）． 15．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当时， ________；②当时，________； （2）拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长． 16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕，其中，， （1）求证：． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由． （3）如图（3），沿折叠，使点E落在上为点H，连结交于F，求． 17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． （1）如图1，若平分，，，，求的面积； （2）如图2，若，取中点为，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）发现：如图所示，在正方形中，点B，F分别是，上的两点，连接，，，求的值． （2）探究：如图，在矩形中，E为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则的长为 ． （3）拓展：如图，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H且，直线交直线于点P，求的长． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出： （1）如图①，和均为等腰直角三角形，且，连接、．求证：； 问题探究 （2）如图②， 四边形是边长为4的正方形，点P是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．当最小时，_____； 问题解决： （3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活． 某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形 ，其中，，，．为了能够让广大游客更近距离观光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在之间修一条观光小路，为了方便市民观赏，想让最大．根据设计要求，求出当最大时 的面积． 20．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$6学科网 学种网原制，让学贝更容易【 JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题63相似三角形的判定与性质综合 ◆典例分析 【典例1】如图， 图1 图2 图3 CE_CD (1)如图1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点H,交AD于点E.求证： BD BC (2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=4,BC=9,CD=7.E是边AB上的一动点，过 点C作CG⊥ED,交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F.试探 DE是否为定值？若是，请求 C h DE的值：若不是，请说明理由： (3)如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD,点E,F分别在边 AB,AD上，连接CRDE.若乙AED=LAFC,且DE则A0 AB 的值为一 【思路点拨】 (I)证明△CED一△BDC,利用相似三角形的性质即可证明CE=CD, BD BC (2)过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H,首先证明四边形ABCH为矩形，易得AB=CH,BC=AH, 再证明△DEA一△CFH,由相似三角形的性质可得CE=CH DE AD' 然好由勾股定理解得CH=2V6,即可 证明CF-CH_6 即可获得答案； DE AD 2 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (3)过点C作CG⊥AD于点G,交BD于点H,作HM⊥CD于点M,证明CG‖AB,易得 ∠ABD=∠GHD,再证明△AED一△GFC,由相似三角形的性质可得CE=CG=3, 由折叠的性质 DE ADS' 可得AD=CD,∠ADB=∠CDB,设GC=3x,则AD=CD=5X,由勾股定理可得 DG=CD2-CC=4X然后由角平分线的性质定理可得HG=HM:结合SADe+SAo0=SAo ’可 求得HG=43,证明△DGH一△DAB,列出比例式求解即 【解题过程】 (1)解：.四边形ABCD为矩形， ∴.∠ADC=∠DCB=90°， ,CE⊥BD, .∠DBC+∠BCH=∠BCH+∠ECD=90°， .∠DBC=∠ECD, .△CED~△BDC, 品品 (2) C DE是定值， 如下图，过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H, A H B .∠A=∠B=∠H=90, ∴.四边形ABCH为矩形， ∴.AB=CH,BC=AH, '∠GFD=∠HFC,∠GDF=∠ADE, 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 又：∠GFD+∠GDF=∠HFC+∠HCF, .∠ADE=∠HCF, ,∠A=∠H, ·△DEA~△CFH, 邢册 ,BC=9,CD=7,AD=4, ∴.DH=AH-AD=BC-AD=5, ∴.CH=CD2-DH=2V6 :CF=CH=26_6 'DE-AD-4-2 C 6 D为定值2： (3)如下图，过点C作CG⊥AD于点G,交BD于点H,作HM⊥CD于点M, H M ∴.∠CGF=∠A=90, .CG‖AB, .∠ABD=∠GHD, ,∠AED=∠AFC,LCGF=∠A, ∴·△AED~△GFC, 器%是 将△ABD沿BD翻折得到△CBD, ∴.AD=CD,∠ADB=∠CDB, 设GC=3X,则AD=CD=5x, 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 DG=VCD2-CG2=4x ,'HG⊥AD,HM⊥CD,∠ADB=∠CDB, ∴.HG=HM, SAHDG+SACHD=SACDG' 1 号×4x×HG+×5xxHM=×3x× .HG=4x .CG‖AB ·△DGH~△DAB, DG-HG AD AB AD_DG_4x=3 ..AB HG 4 3+ ◆ 学霸必刷 1. (24-25九年级上·陕西西安·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=6,BC=5,点D,B分别在BC、 AC上，CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE的面积的最大值是() D A.2 B.3 C.4 D.5 【思路点拨】 连接DE,得到DE‖lAB,推出△CDE一△CBA,△些一△ABF,得到S△ABr 3SADB' 5 SAAFE-3 SAABF·当S△ADB最大时，S△AFE最大，过点D作DG⊥AB于G,当DG最大时，S△AFE最大，由 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 BD≥DG,得到当AB⊥BC时，DG最大=BD,根据三角形面积公式求出△AFE面积的最大值. 【解题过程】 解：连接DE, F B D ,·CD=2BD,CE=2AE, ..CE=CD_2 AC CB3' 又.∠C=∠C, ∴.△CDE一△CBA, .∠CDE=∠CBA, CE_CD_DE_2 AC CB AB3' ∴.DE‖AB, ∴.△些一△ABF, AF=BF=AB_3 DF EF DE 2 SAAFB:SABDF=3:2,SAAFB:SAAFE=3:2. 2 ≥2S△ADB'DAAFE飞 当SAADB最大时，SAAFE最大， 过点D作DG⊥AB于G, ∴.当DG最大时，SAAFE最大， .BD≥DG 当ALBC时，DGe=B0-C-号时5e号号分6=2 3 故选：A. ,Q024广东深圳模拟预测D如图，R△ABC中，LACB=90°，C=,D为AB上一点，H形 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原制，让学贝更容易【 JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 AC上一点，若∠ABC=∠HDC,CB=CD,则DA的值为() B 3 A. B. 7 c.3 D. 6 20 3 【思路点拨】 本题考查了相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点C作CE⊥CD交DH的延长线 于点E,过点C作CF⊥AB于点F,证明△ABC≌△EDC ASA推出∠A=∠E,CE=AC,得到 △ADH一△ECH和△ABC一△CBF,据此求解即可. 【解题过程】 解：如图，过点C作CE⊥CD交DH的延长线于点E,过点C作CF⊥AB于点F, ∴.∠DCE=∠BCA=90°. ,∠ABC=∠HDC,CB=CD ..△ABC≌△EDC ASA: .∠A=∠E,CE=AC .∠AHD=∠EHC, .△ADH一△ECH, .DH=AD_AH HC EC EH 设AC=CE=4x, 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原制，让学贝更容易【 JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 :8C-号∠ACB=90 ∴.BC=3X,AB=5x. ,'△ABC△CBF, .BC_BF3 AB BC 5 3 9 ∴.BF=二BC= X. '.CB=CD, :DF=BF=9x. 5 :.AD=5x 9.97 5X- 5X= 7 .DH_AD -X 7. HC EC4x 20 故选：B。 3.(2024安徽六安·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点E,F分别在线段BC和线段 DC的延长线上.若BE=2,∠EAF=45°，则CF的长为（ ) D BE A B. 2-5 c D. 房 【思路点拨】 本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键.如图， 在AB上截取BG=BE=, 在AD上截取HD=DF,且∠B=∠D=90°，可得∠BGE=∠BEG=45°， 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 =∠DFH=45,AG=AB-BG号，6=2BE=)2,HF=2HD △AGE~△FHA,可得AC=& HF AH ,可求HD的长，再求解即可. 【解题过程】 解：如图，在AB上截取BG=BE=号在AD上截取HD=DF,且∠B=∠D=90°， D B E .ZBGE=4 BEG=45,4DHF=4 DFH=45.AG=AB-BG=2BEY 2 HF=2 HD, .∠EAF=45°，∠BAD=90°， ,∴.∠BAE+∠DAF=45°，且∠BAE+∠AEG=∠BGE=45°，∠DAF+∠AFH=∠DHF=45°， ∴.∠BAE=∠AFH,∠DAF=∠AEG, ∴.△AGE△FHA, 3 2 .2 2HD 4-HD HD=1 , ·DF=12 ∴.CF=DE-CD=22 5 故选：B 4.(2024安徽六安·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=6,E为AD边上一动点，将 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学贝更密易1 JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 △ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF,CF,则DF+号CF的最小值为 A.2 9V13 B. C.4 D.313 2 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键.在 BC上取点G,使BG=,连接FG,DG,证明△FBG-△CBF,可得出FG=CF,则 DF+FC=DF+GF≥DG,当D、F、G三点共线时，DF+号FC最小，在Rt△CDG中，利用勾股定 理求出DG即可. 【解题过程】 解：如图，在BC上取点G,使BG=3,连接FG,DG. G ,'△ABE沿BE边翻折到△FBE, ∴.BF=AB=3, 又BC=6, ,BG-1 BF 1 ·BF=2'BC-2' e郎 BF BC 又∠FBG=∠CBF, 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网原创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ∴.△FBG~△CBF, GF=BF_1 CF BC2 .FG=CF, 2 ∴DF+FC=DF+GF≥DG, 当D、F、G三点共线时，DF+2FC最小， 在Rt△CDG中，CD=AB=3, CG=BC-BG=4.5,∠BCD=90°， DG=VCD+CG3V 2 即DF+rC的最小值为3 21 故选：D 5. (2024:浙江·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为边向三角形外作正方形 ABDE,作EF⊥BC于点F,交对角线AD于点G,连接BG.要求△BFG的周长，只需知道 G A.AC的长 B.BC的长 C.BF的长 D.FG的长 【思路点拨】 设EF与AB相交于H,设AB=C,AC=b,BC=a,利用正方形的轴对称形得出BG=EG,则可得出 △BFG的周长为EF+BF,证明△AEH~△CBA,求出EH=S,AH= a BH=AB-AH=aC二bc,证明△BH一△BAC,求出HF=b-b,BF=a-b,然后f代入EF+BF 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 0