期末综合测试卷-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 九年级上学期期末综合测试卷 （试卷满分:150分 考试时间:100分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．如图，已知，，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．已知一坡面的坡度，则坡角为（   ） A． B． C． D． 3．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 4．如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A． B． C． D． 5．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 6．如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，且与关于直线对称，点G在边上，分别与，交于P，Q两点．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分，只要求写出最后结果 8．如图，中，为的中点，，，，则的长为 ． 9．化简： ． 10．为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的中位数为 ． 11．学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 12．新冠肺炎在我国得到有效控制后，各校相继开学．为了检测学生在家学习情况，在开学初，我校进行了一次数学测试，如图是某班数学成绩的频数分布直方图，则由图可知，得分在分以上(包括分)的人数占总人数的百分比为 ． 13．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么 ． 14．已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了米，则小明上升的距离是 米． 15．“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 16．矩形，，分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围是 ． 17．如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ． 18．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）． 三、解答题：本题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 19．计算：． 20．如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 21．如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点 过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 22．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度． (1)求防洪大坝的下底的长（结果保留根号）； (2)为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）． 23．综合与实践 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 24．如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 25．在平面直角坐标系中，我们定义：直线为抛物线（，，为常数，）的“相依直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在轴上的三角形为抛物线的“相依三角形”．已知抛物线与其“相依直线”交于，两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点A． (1)填空：该抛物线的“相依直线”的函数表达式为______________，点A的坐标为_____________，点的坐标为______________； (2)抛物线的“相依直线”与轴交于点，反比例函数的图像上是否存在一点，使的面积最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，为线段上一动点，将沿翻折得，点A的对应点为点，若为该抛物线的“相依三角形”，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科网（北京）股份有限公司 九年级上学期期末综合测试卷 （试卷满分:150分 考试时间:100分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．如图，已知，，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：C． 2．已知一坡面的坡度，则坡角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵斜坡的坡比为，坡角为， ∴， ∴. 故选：B． 3．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【详解】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 4．如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，顶点坐标，开口向下，对称轴， ①当，时，时，y取最大值， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 时，y取最小值， 即， 解得（不合题意，舍去）或， ， ②当，时， ，（舍去）， 综上所述，， 故选：B． 6．如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，且与关于直线对称，点G在边上，分别与，交于P，Q两点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，涉及的知识点较多，有一定的综合性，连接，证明四边形是菱形是解题的关键． 7．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分，只要求写出最后结果 8．如图，中，为的中点，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】证明：∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 9．化简： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 10．为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的中位数为 ． 【答案】小时 【详解】解：这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数分别为7小时、8小时， 所以所调查学生睡眠时间的中位数为（小时）， 故答案为：小时． 11．学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 【答案】或 【详解】解：根据题意可得： ， 整理，得： ， 分解因式，得：， 解得：或， 故答案为：或． 12．新冠肺炎在我国得到有效控制后，各校相继开学．为了检测学生在家学习情况，在开学初，我校进行了一次数学测试，如图是某班数学成绩的频数分布直方图，则由图可知，得分在分以上(包括分)的人数占总人数的百分比为 ． 【答案】 【详解】解：∵总人数=4+12+14+8+2=40， 成绩在70分以上（含70）的学生人数=14+8+2=24， ∴成绩在70分以上（含70）的学生人数占全班总人数的百分比为 ． 故答案是：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力及对信息进行处理的能力． 13．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， 点是边的中点，， ，， ． 故答案为：． 14．已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了米，则小明上升的距离是 米． 【答案】 【详解】解：如下图所示， 斜坡的坡度， ， 设，则， ， ， 当小明沿斜坡的坡面走了米，则， ， (米)． 故答案为： ． 15．“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 16．矩形，，分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵在矩形中，， ， ∵点在内，点在外， 设的半径是， ∴的半径的取值范围为：， 当和外切时，圆心距等于两圆半径之和是5，即， 又， 则的取值范围是． 当和内切时，圆心距等于两圆半径之差是5， 即， 又， 则的取值范围是． 所以半径的取值范围是或． 故答案为：或． 17．如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ． 【答案】30 【详解】解：连接，， 是正六边形的内切圆，分别切于点， ， 是正六边形， ， ， ， 故答案为：30． 18．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线， 则， 抛物线与y轴交点位于x轴下方， 则， ∴，所以①正确； ②∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴． ∵， ∴， ∴，所以②正确； ③当时，图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，所以③错误； ④∵关于的一元二次方程没有实数根， 又∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴，所以④正确； ⑤对于任意实数， 总有 ，所以⑤正确． 综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题：本题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 19．计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 20．如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2)图见解析，是在方向上的分向量，是在方向上的分向量 【详解】（1）解：，且， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：如图，，即为所求： 图中表示结论的分向量： 是在方向上的分向量， 是在方向上的分向量． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，实数与向量相乘，向量的线性运算，相似三角形的判定与性质，过直线外一点作已知直线的平行线等知识点，熟练掌握向量的相关知识和运算法则并运用数形结合思想是解题的关键． 21．如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点 过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵ ∴    ∵是⊙的直径     ∴，即 ∵ ∴   ∴    ∴ ∵是⊙的半径    ∴直线与⊙相切； （2）∵ ∴    ∵ ∴ ∵ ∴      在中，， ∴    解得      ∴的长为． 22．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度． (1)求防洪大坝的下底的长（结果保留根号）； (2)为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图：过点D作于F，则四边形为矩形， ∴米，米， ∵背水坡的坡度， ∴米， 在中，，则米， ∴， ∴米． （2）解：如图：过点G作于Q，则则四边形为矩形， ∴米，米， ∵加固后背水坡的坡度改为， ∴米， ∴米， ∴则加固后堤坝的横截面积为：． 答：加固后的堤坝的横截面积． 23．综合与实践 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)坐标见解析， (2)游船能够通过，见解析 (3)米 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：游船能够通过． 理由：由（1）得：抛物线解析式为：； 当时，， ， ∴游船能够通过； （3）解：如图： 设此时彩灯右边与抛物线交于点， ， ∵彩灯两端的最低点到水面的距离为米，秋季水位会下降约米， ∴彩灯的最低点Q在直线上， ∴点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，． 答：这串彩灯的最大长度为米． 24．如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，我们定义：直线为抛物线（，，为常数，）的“相依直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在轴上的三角形为抛物线的“相依三角形”．已知抛物线与其“相依直线”交于，两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点A． (1)填空：该抛物线的“相依直线”的函数表达式为______________，点A的坐标为_____________，点的坐标为______________； (2)抛物线的“相依直线”与轴交于点，反比例函数的图像上是否存在一点，使的面积最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，为线段上一动点，将沿翻折得，点A的对应点为点，若为该抛物线的“相依三角形”，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在，，理由见详解 (3)或 【详解】（1）解：由题意可得， ∵， ∴抛物线的“相依直线”的函数表达式为：， 联立直线与抛物线得：， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， 当时，， 解得：，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，，理由如下， 设点且， 当时，， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴，当时取等号， ∴，当时取等号， 即：时最小，最小值为：， ∴存在点G使的面积最小，； （3）解：过作轴交轴于点，设， ∵， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， ∵为该抛物线的“相依三角形”， ∴点或点Q在y轴上， 当点M在y轴上时， ∴是直角三角形， 在中， ， ∵轴， ∴，， ∴， 在中， ，， 解得：， ∴； 当点Q在y轴时， ∵点Q为线段上一点， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$