专题03 导数在研究函数中的应用-2025年高二寒假数学学与练（人教A版2019）

03导数在研究函数中的应用 一、阅读教材，归纳知识： 1．函数的单调性与导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个 函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么在这个范围内函数值变化得 ，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么在这个范围内函数值变化得 ，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示： 2．利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点， ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 . 3．利用导数研究函数的最值 （1）在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值 ； （2）在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的 进行比较，其中最大的就是 ，最小的就是 ． 自检自纠： 1．（1）f′(x)>0，f′(x)<0，常数（2）较大，快，较小，慢 2．（1）不大于，极大值，极大值点，不小于，极小值点 （2），，极大值，，，极小值 3． 一定存在，函数值，函数值，最大值，最小值 二、概念辨析，判断正误 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ） A． B． C． D． 2．判断（在括号内填“正确”或“错误”） （1）如果函数在某个区间内恒有，则在此区间内单调递增.( ) （2）在内且的根有有限个，则在内是减函数.( ) （3）如果函数在某个区间内恒有，则在此区间内不具有单调性.( ) （4）若函数在定义域上都有，则函数在定义域上单调递增.( ) （5）若函数在某区间内单调递增，则一定有.( ) 3．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）函数的极大值一定大于其极小值.( ) （2）导数为0的点一定是极值点.( ) （3）函数一定有极大值和极小值.( ) （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( ) （5）函数的最大值不一定是函数的极大值．( ) （6）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ) （7）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ) （8）函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值．( ) 三、考点剖析，学以致用 考点1：利用导数求函数单调区间 利用导数求函数f(x)单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数； (4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数. 例1.（1）设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． （2）函数的单调递减区间为 ． （3）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． （4）已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 跟综训练： 1. 函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递减区间是（    ） A．, B．, C．, D．, 4．若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 考点2： 利用导数求函数极值、最值 1.求函数的极值的方法： （1）确定函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去； （2）是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点. 2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的方法： (1)求f(x)在(a,b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 例2.（1）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1 C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值 （2）（多选）设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 （3）函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 （4）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． （5）函数在区间上的最大值与最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 跟综训练： 1.函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．函数有（    ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 3.已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 4．函数的极大值为 . 5.函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.函数，的最大值是（ ） A． B． C． D． 考点3：利用函数单调性求参数 1.类型与方法： （1）已知函数在区间上单调求参数方法： ①已知在区间上单调递增，恒成立; ②已知在区间上单调递减，恒成立. （2）已知函数在区间上存在单调区间求参数方法： ①已知在区间上存在单调增区间使得有解; ②已知在区间上存在单调减区间使得有解. （3）已知函数在区间上不单调求参数方法：，使得有变号零点. 2.“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别： （1）恒成立问题： ①恒成立；恒成立． ②恒成立；恒成立． ③恒成立；恒成立． ④． （2）有解问题： ①有解；有解． ②有解；有解． ③有解；有解． ④，使得． 例3. （1）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 （4）已知函数上，单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为______. （5）若函数的单调减区间为，则______． （6）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （7）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . （8）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟综训练： 1．已知函数在上是减函数，则实数的取值区间是 . 2．若函数 在内单调递减,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 4．已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5.若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若函数的单调递减区间恰为，则实数的值为 . 7．已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 8.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9.若函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点4：利用导数由函数极值，最值求参数 例4.（1）函数在处有极值10，则a，b的值为（    ） A．，，或， B．，，或， C．， D．， （2）若在处有极值，则（     ） A．0 B． C．1 D． （3）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟综训练： 1．已知函数在处有极值2，则的极小值点为（    ） A． B． C． D． 2．函数的极值点为，则的值为 . 3．已知函数的最小值为， 则（    ） A． B． C．e D． 4．函数的值域为 ． 四、课后练习，巩固提升 1.已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 4.若是函数的极值点．则的极小值为（    ） A．-3 B． C． D．0 5.已知函数，若不等式的解集为且，则函数的极小值是（    ） A． B．0 C． D． 6．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 8.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11.若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.若为函数的极值点，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 13.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 14.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 15．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的极小值点为 C．函数无极大值 D．函数在上的最大值为 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03导数在研究函数中的应用 一、阅读教材，归纳知识： 1．函数的单调性与导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果 ，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个 函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么在这个范围内函数值变化得 ，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么在这个范围内函数值变化得 ，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示： 2．利用导数研究函数的极值 （1）极大值与极小值：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得 ，点称为函数的 ；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都 ，则称在处取得极小值，点称为函数的 ； （2）定理：设是函数的驻点， ①若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 ； ②若在点的左侧附近有 ，而在的右侧附近有 ，则函数在处取得 . 3．利用导数研究函数的最值 （1）在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值 ； （2）在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的 进行比较，其中最大的就是 ，最小的就是 ． 自检自纠： 1．（1）f′(x)>0，f′(x)<0，常数（2）较大，快，较小，慢 2．（1）不大于，极大值，极大值点，不小于，极小值点 （2），，极大值，，，极小值 3． 一定存在，函数值，函数值，最大值，最小值 二、概念辨析，判断正误 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选：C． 2．判断（在括号内填“正确”或“错误”） （1）如果函数在某个区间内恒有，则在此区间内单调递增.( ) （2）在内且的根有有限个，则在内是减函数.( ) （3）如果函数在某个区间内恒有，则在此区间内不具有单调性.( ) （4）若函数在定义域上都有，则函数在定义域上单调递增.( ) （5）若函数在某区间内单调递增，则一定有.( ) 【答案】（1）错误 （2）正确 （3）正确 （4）错误 （5）错误 【详解】（1）若有恒成立，则在此区间内为常数，不具有单调性，故答案为：错误； （2）由函数单调性与导函数的关系可知，结论正确，故答案为：正确. （3）恒成立，则在此区间内为常数，不具有单调性，结论正确，故答案为：正确. （4）如，，但函数在定义域上不单调递增，故错误； （5）若函数在某区间内单调递增，则一定有，故错误. 3．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）函数的极大值一定大于其极小值.( ) （2）导数为0的点一定是极值点.( ) （3）函数一定有极大值和极小值.( ) （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( ) （5）函数的最大值不一定是函数的极大值．( ) （6）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ) （7）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ) （8）函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值．( ) 【答案】（1）错误（2）错误（3）错误（4）正确（5）正确 （6）错误（7）错误（8）正确 【详解】函数的极大值不一定大于其极小值，故（1）错误；导数为0的点不一定是极值点，比如，，但是不是极值点，故（2）错误；函数可能有极大值或极小值，也可能没有极值，故（3）错误；函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.故（4）正确；函数的最大值可能在端点处取到，故函数的最大值不一定是函数的极大值，（5）正确；函数在区间上的最大值与最小值可能在区间端点处取得，也可能在极大值点和极小值点处取得，（6）错误；有极值的函数不一定有最值，比如，，，当时，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，恒成立，当时，，故在处取得极小值，但函数没有最小值，故（7）错误；若函数在区间上连续，若在单调，则在区间上一定有最值，但没有极值，即函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值,（8）正确.故答案是：（1）错误（2）错误（3）错误（4）正确（5）正确 （6）错误（7）错误（8）正确 三、考点剖析，学以致用 考点1：利用导数求函数单调区间 利用导数求函数f(x)单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数； (4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数. 例1.（1）设a为实数，函数，且是偶函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为是偶函数，所以，即，故，即，所以，令，解得，所以的单调递减区间为.故选C． （2）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】，由，即，解得，所以的单调递减区间为．故答案为： （3）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ，所以 的单调增区间为 .故选：B. （4）已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 【答案】A 【详解】因为在定义域上，，所以在上是增函数，所以有，故选A. 跟综训练： 1. 函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，由得，解得，因此函数的单调增区间是.故选：C. 2.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意函数的定义域为 ，，当时， ，故函数的单调递减区间是，故选：D. 3.函数的单调递减区间是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】A 【详解】 ,由得，即得，即函数的单调递减区间为,，故选：A. 4．若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C. 5.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，则，所以在区间上单调递减．故选A 考点2： 利用导数求函数极值、最值 1.求函数的极值的方法： （1）确定函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去； （2）是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点. 2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的方法： (1)求f(x)在(a,b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 例2.（1）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1 C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值 【答案】B 【详解】由题意得，令，解得或， 当x变化时，、变化如下 x -1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，当时，取得极小值，故A错误， 故选：B. （2）（多选）设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据题意，可得，于是 x 1 0 0 0 极小值 极大值 极小值 因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点．故选：BC （3）函数在[－3，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A．6，0 B．32，0 C．25，6 D．32，16 【答案】B 【详解】函数y求导得：，∴在上，，函数y单调递增； 在上，，函数y单调递减；在上，，函数y单调递增．又时，时，时，时，∴函数y在[－3，3]上的最大值为32，最小值为0．故选：B． （4）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，当时， ，∴函数在区间上单调递增，∴当时，函数取得最小值，，∴函数在上的最小值为.故选：A. （5）函数在区间上的最大值与最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．又因为，，，所以的最大值与最小值分别为与．故选：A． 跟综训练： 1.函数的极小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以.令得，当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C. 2．函数有（    ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 【答案】A 【详解】,由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A 3.已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】因为，，所以.当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，.故选：D. 4．函数的极大值为 . 【答案】 【详解】令，则.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值为.故答案为：. 5.函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增，所以的极小值，也为最小值为，故选：C. 6.函数，的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，故选A． 考点3：利用函数单调性求参数 1.类型与方法： （1）已知函数在区间上单调求参数方法： ①已知在区间上单调递增，恒成立; ②已知在区间上单调递减，恒成立. （2）已知函数在区间上存在单调区间求参数方法： ①已知在区间上存在单调增区间使得有解; ②已知在区间上存在单调减区间使得有解. （3）已知函数在区间上不单调求参数方法：，使得有变号零点. 2.“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别： （1）恒成立问题： ①恒成立；恒成立． ②恒成立；恒成立． ③恒成立；恒成立． ④． （2）有解问题： ①有解；有解． ②有解；有解． ③有解；有解． ④，使得． 例3. （1）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A. （2）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B. （3）（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【详解】由题意，， 令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：CD. （4）已知函数上，单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为， 又因为在，上单调递增，在上单调递减，所以方程两个根分别位于区间和上，所以，即解得.故答案为 （5）若函数的单调减区间为，则______． 【答案】 【详解】，由题意的解集是，则， 解得，所以．故答案为：9． （6）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以，的取值范围.故选：A. （7）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，，所以在区间内，所以，解得，即m的取值范围是.故答案为：. （8）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，若在区间内存在单调递增区间，则在有解，故有解，而在递增，，故.故选：A. 跟综训练： 1．已知函数在上是减函数，则实数的取值区间是 . 【答案】 【解析】函数在上是减函数，在上恒成立，，即，解得，实数的取值范围是，故答案为. 2．若函数 在内单调递减,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6在（0，1）内单调递减，∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣1≤0，在（0，1）内恒成立，即：a≥•=（3x﹣）在（0，1）内恒成立，令h（x）=3x﹣，则它在区间（0，1）上为增函数，∴h（x）＜2，∴a≥1，故答案为：A 3.已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】函数，则，函数在区间上单调递减，则在上恒成立，故，即在上恒成立，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，故，故，故m的最小值为．故选：A． 4．已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，即，解得 -1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D 5.若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，又在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，只需求出的最小值即可，又在单调递减，所以，则，所以，故. 故选：D 6．若函数的单调递减区间恰为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】导函数为.因为函数f(x)的单调递减区间恰为，所以-1和4是的两根，所以.故答案为-4. 7．已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由，可得，（m＞0）,令，解得，即函数（m＞0）的单调递减区间为，∴，∴，即m的最大值为6.故选：D 8.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上存在单调递减区间，而在上有解，即在上有解，而，当且仅当时，等号成立， 若，，不符合题意，所以，即，所以实数a的取值范围为.故选：B. 9.若函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，求导得，依题意，在上有变号零点，由，得，函数在上单调递减，；在上单调递增，，所以实数的取值范围是.故选：A 考点4：利用导数由函数极值，最值求参数 例4.（1）函数在处有极值10，则a，b的值为（    ） A．，，或， B．，，或， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为，所以，由题意有，解得或.当时，，在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；当时，恒成立， 所以在处无极值，应舍去；故选：C （2）若在处有极值，则（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，可得，因为在处有极值，所以，解得，此时，，当时，；当时，，则在处取得极小值.故选：B. （3）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，在单调递减，且最小值为，满足条件，故可排除A，B；当时，，，时，，在单调递减，所以最小值为，满足条件，故可排除C； 故选：D. （4）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当x＜0时，，当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，即在x＞0时恒成立，即在x＞0时恒成立，即，设，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，，.故选：C． 跟综训练： 1．已知函数在处有极值2，则的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因为函数在处有极值2，所以，即，解得，所以，则，由，得，解得或，因为当或时，，当时，，所以的极小值点为，故选：B 2．函数的极值点为，则的值为 . 【答案】 【详解】因为函数的极值点为，，所以，解得，此时，故当，，单调递增，当，，单调递减；所以是函数的极小值点.故答案为： 3．已知函数的最小值为， 则（    ） A． B． C．e D． 【答案】D 【详解】由，得，当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 时，函数有最小值，解得.故选：D. 4．函数的值域为 ． 【答案】[2,+∞） 【详解】的定义域为，,令得：,令得：. 所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以时，函数取得极小值，也是最小值, 即.所以此函数值域为.故答案为： 四、课后练习，巩固提升 1.已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，，令，解得，故的单调递减区间为，故选：B 2.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：B 3．设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 【答案】A 【详解】，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以在区间递减，A正确；在区间递减，B错误；在点处有极小值，C错误；在区间递增，D错误；故选:A. 4.若是函数的极值点．则的极小值为（    ） A．-3 B． C． D．0 【答案】A 【详解】函数，求导得：，因是函数的极值点，即，解得，，当或时，，当时，，即是函数的极值点，函数在处取得极小值.故选：A. 5.已知函数，若不等式的解集为且，则函数的极小值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式的解集为且，所以，且为的二重根，所以，则，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，即.故选：C 6．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意在上恒成立，即，又在单增，，则．故选：C． 7.已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】，令，得，令，若函数在上单调递减，则，当时，，所以函数在上单调递增，则，所以.故选：C 8.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：令，则在上单调递减，且在上恒成立， 所以解得. 法二：，则，则在区间上恒成立，则或，解之得.故选：A. 9.若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得对恒成立，即对恒成立．因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，所以，解得．故选：B. 10.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，可得，因为函数在上存在单调递减区间，可得在上有解，即在上有解，令，则，且，当时，，所以；当时，，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.故选D． 11.若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，求导得，由函数在区间上不单调，得在上有变号零点，由，得，则，令，于是，即有，令，函数在上单调递减，函数值从减小到，在上单调递增，函数值从增大到，由在上有变号零点，得直线与函数的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此，解得，所以k的取值范围是.故选：B 12.若为函数的极值点，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为是函数的极值点，所以，则， 所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：C. 13.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【详解】函数，，由在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处取极小值，所以有，由，得，解得，则有，由，得只有一个根，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；故当时，满足题意，所以有极小值，且极小值.故选：A. 14.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【详解】函数，,由在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处取极小值，所以有，由，得，解得，则有，由，得只有一个根，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；故当时，满足题意，所以有极小值，且极小值.故选：A. 15．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的极小值点为 C．函数无极大值 D．函数在上的最大值为 【答案】BCD 【详解】因为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以A错误，B正确，C正确；在上递减，在上递增，，，所以函数在上的最大值为，D正确.故选：BCD. 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$