期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题【十大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 27 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 27 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 专题内容 本专题包括数对与位置、事件与可能性以及植树问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................3 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................7 【考点一】认识数对 .......................................................................................................... 7 【考点二】数对与教室中的位置 ....................................................................................... 8 【考点三】数对与图形 .......................................................................................................9 【考点四】数对描述行进路线 ......................................................................................... 11 【考点五】三种事件 ........................................................................................................ 15 【考点六】可能性的大小及改变 ..................................................................................... 17 【考点七】可能性与生活实际应用 ..................................................................................18 3 / 27 【考点八】不封闭路线上的植树问题 ..............................................................................20 【考点九】封闭路线上的植树问题 ..................................................................................23 【考点十】植树问题变式 .................................................................................................24 【第三篇】知识总览篇 知识点一：认识数对。 1. 列和行。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般 要从前往后数。 2. 数对的写法。 用数对表示物体的位置时，先写列，后写行，表示形式为（列数，行数），不能 调换位置，两个数之间一定要用逗号隔开，相同的数在不同的位置表示的意义不 同。 知识点二：数对与教室中的位置。 前后在同一列，左右在同一行，一般默认每个同学都有同桌，且只有一名。 1. 前后相邻问题：前后在同一列，列数相同，行数差 1； 2. 左右相邻问题：左右在同一行，行数相同，列数差 1。 知识点三：数对与图形。 1. 判断图形的形状。 ①在方格纸上描出各点； ②依次连接各点； ③判断图形的形状。 2. 判断三角形的形状。 根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。 知识点四：数对的平移。 1. 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把 一个点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 4 / 27 2. 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平 移后的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 知识点五：数对描述行进路线。 1. 用数对描述行进路线时，有时需要说明方向和距离，没有特殊要求的直接用 箭头连接数对即可。 2. 用数对描述行进路线的解题步骤。 （1）依次找到每步的目的地； （2）找到每个目的地的数对； （3）按照顺序依次连接数对； （4）注意按要求标明方向和距离。 知识点六：认识三种事件。 1. 在一定的条件下，一些事件的结果是必然会发生的或必然不会发生的，具有 确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是随机的，具 有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述。 2. 根据事件的发生结果，将事件分为一定发生、不可能发生、可能发生三种事 件。 知识点七：可能性的大小及改变。 1. 不同事件发生的可能性是有大小之分的。 2. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数 量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小。 3. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数 量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小，因此要改变可能性的大小， 只需要增加或减少个体的数量。 知识点八：求可能性的大小。 1. 可能性的大小等于该事件可能性发生的数量÷总发生的数量。 2. 生活中常见事件发生的可能性。 （1）掷出一枚硬币，正面朝上的可能性是1 2 。 5 / 27 （2）掷出 2枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是1 4 。 （3）掷出 3枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是1 8 。。 知识点九：植树问题。 （一）植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第 三个量，这类应用题叫做植树问题。 （二）植树问题的基础公式。 1. 总距离=株距×间隔数 2. 株距=总距离÷间隔数 3. 间隔数=总距离÷株距 （三）植树问题的类型。 不封闭路线上的植树问题。 1. 两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2. 一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3. 两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 6 / 27 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） 封闭路线上的植树问题。 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭 合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 （四）植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 7 / 27 【第四篇】典型例题篇 【考点一】认识数对。 【典型例题】 1. 如果电影票上的“a排 b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( ) 号。 【答案】 7 15 【分析】电影票上的“a排 b号”表示为（a，b），说明数对的第一个数表示排， 第二个数表示号，据此填空。 【详解】如果电影票上的“a排 b号”表示为（a，b），（7，15）表示 7排 15号。 【点睛】关键是掌握用数对表示位置的方法。 2. 电影票上的“8排 12号”简记作（8，12），则“10排 7号”简记作( )， （12，16）表示( )排( )号。 【答案】 （10，7） 12 16 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几排，后一个数表示第几号；据此 解答。 【详解】电影票上的“8排 12号”简记作（8，12），则“10排 7号”简记作（10， 7），（12，16）表示 12排 16号。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法，掌握相应的方法是解答本题的 关键。 【对应练习】 1. 小丽的座位可以用数对（9，4）表示，小丽在第( )列，第( ) 行的位置。 【答案】 9 4 【分析】数对中的第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行，据此解答。 【详解】通过分析可得：小丽的座位可以用数对（9，4）表示，小丽在第 9列， 第 4行的位置。 2. 小明在教室的位置的第 2列第 3行，可以用数对（2，3）表示，小勇在第 3 行第 4列，用数对表示为( )。 【答案】4，3 8 / 27 【分析】数对中第一个数是几，就表示在第几列，第二个数是几，就表示在第几 行。据此解答即可。 【详解】小明在教室的位置的第 2列第 3行，可以用数对（2，3）表示，小勇在 第 3行第 4列，用数对表示为（4，3）。 【考点二】数对与教室中的位置。 【典型例题】 1. 如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面 一个同学的座位用数对表示是( )。 【答案】 （2，3） （2，4） 【分析】用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。 【详解】小明的座位在第 2列、第 3行的交点处，用数对（2，3）表示。他后面 一个同学与小明在同一列，即在第 2列、第 4行的交点处，所以他后面一个同学 的座位用数对表示是（2，4）。 【点睛】用数对表示物体的位置时，先表示列，后表示行，不能调换位置。 2. 王老师坐在大厅的第 5列第 7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相 邻老师的位置用数对表示为( )。 【答案】（6，7） 【分析】用数对表示物体的位置时，括号里面先写列数，再写行数，中间用逗号 隔开，王老师右边相邻的老师与王老师在同一行，列数比王老师的列数多 1，据 此解答。 【详解】5＋1＝6 分析可知，坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为（6，7）。 【点睛】掌握用数对表示物体位置的方法是解答题目的关键。 【对应练习】 小明的位置是（4，3），他的前一排正对着小刚，小刚的位置是( )，小 刚的右边隔着 2人是小红，小红的位置是( )。 【答案】 （4，2） （7，2） 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；已知 小明的位置是（4，3），说明小明在第 4列，第 3行，而他的前一排正对着小刚， 9 / 27 所以小刚跟小明同一列，且在他的前一行；又已知小刚的右边隔着 2人是小红， 则说明小红和小刚在同一行，在小刚的后 3列，据此解答。 【详解】小明的位置是（4，3）， 他的前一排正对着小刚， 小刚的位置是（4，2）， 小刚的右边隔着 2人是小红， 小红的位置是（7，2）。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法。 【考点三】数对与图形。 【典型例题】 三角形 ABC中的 A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C 点用数对表示为（1，3），则三角形 ABC是( )三角形。 【答案】直角 【分析】平面内，从左往右数是列数，从前往后数是行数，以（列数，行数）的 形式来表示位置，就是数对，可据此先把三角形的 3个顶点确定在平面内，再根 据其具体形状确定三角形的分类。 【详解】如图：如果 A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1）， C点用数对表示为（1，3），那么三角形 ABC按角分是直角三角形。 【点睛】此题主要考查了两个知识点：一是数对与位置；二是三角形按角分类。 【对应练习】 1. 在同一幅地图上如果点 A用数对表示为（2，5），点 B用数对表示为（2，8）， 点 C用数对表示为（7，5），那么三角形 ABC一定是( )三角形。 【答案】直角 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此 10 / 27 标出 A、B、C，再连接三点，最后判断图形即可。 【详解】如图： 通过观察图形可知，三角形是一个直角三角形。 【点睛】本题考查了根据数对找位置的方法以及直角三角形的认识。 2. 如图，点 B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点 A的位置用数对表示是( )，点 C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形 ABC向右平移 3格，平移后点 C的位置用数对表示是( )。 【答案】(1) （1，2） （2，5） (2)（5，5） 【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行， 由此即可解答； （2）将三角形 ABC向右平移 3格，平移后点 C在第 5列第 5行，据此用数对 表示平移后点 C的位置。 【详解】（1）点 A的位置用数对表示是（1，2），点 C的位置用数对表示是（2， 5）。 11 / 27 （2）把三角形 ABC向右平移 3格（下图红色部分），平移后点 C的位置用数 对表示是（5，5）。 【点睛】掌握用数对表示物体的位置、作平移后的图形的作图方法是解题的关键。 【考点四】数对描述行进路线。 【典型例题】 歙县大谷运气候温和，山高雾多，十分适宜种植茶树，是黄山市最负盛名的名茶 之乡。清明前夕是采茶的旺季，小艺一家都在茶园忙碌。小艺在茶园的位置如下 图所示（每个小方格的边长表示 100米）。 （1）用数对表示小艺的位置( )。 （2）小艺妈妈在她正北方 200米，妈妈的位置可以用数对( )表示。 （3）爸爸的采茶速度比较快，一开始在茶园（2，3）位置，他以每小时 200米 的速度向正东方前进，3小时后爸爸的位置可以用数对( )表示。 （4）小艺的弟弟按照（1，1）→（9，1）→（9，9）→（7，9）的路线逛茶园。 请你在图中画出弟弟的行走路线，并算一算，弟弟共走了( )米。 【答案】（1）4，5 12 / 27 （2）4，7 （3）8，3 （4）路线图见详解；1800 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在 前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 （2）每个小方格的边长表示 100米，小艺妈妈在她正北方 200米，根据地图“上 北下南，左西右东”的规定可知，小艺妈妈在小艺上方 2格的位置，据此确定小 艺妈妈的位置并用数对表示。 （3）爸爸一开始在茶园（2，3）位置，即第 2列第 3行的位置。速度×时间＝路 程，则爸爸 3小时后向东前进了 200×3＝600（米），即 6格的距离，这时爸爸 的位置在第 8列第 3行，用数对表示即可。 （4）根据数对“先列后行”的特点标出弟弟行走的各点的位置，画出路线图，再 数一数他一共走了几格，即可算出走了多少米。 【详解】通过分析可得： （1）用数对表示小艺的位置是（4，5）。 （2）200÷100＝2，则妈妈的位置是第 4列第 7行，可以用数对（4，7）表示。 （3）200×3＝600（米），600÷100＝6，则 3小时后爸爸的位置在第 8列第 3行， 可以用数对（8，3）表示。 （4） 弟弟一共走了 18格，18×100＝1800（米），则弟弟共走了 1800米。 【对应练习】 1．下图是动物园的平面图。 13 / 27 （1）猴山的位置用（5，2）表示，请你用数对表示下面各场所的位置。 东门( ) 天鹅湖( ) （2）请你在图中标出盆景园（3，8）、北门（2，10）的位置。 （3）周日，凡凡一家游览了动物园，活动路线是（10，1）→（5，2）→（7，4） →（9，7）→（6，6）→（3，6）→（3，8）→（2，10）。请你写出凡凡一家 的游览路线。 _____________________________________________________________ 【答案】（1）东门（10，1）；天鹅湖（3，6） （2）见详解 （3）东门→猴山→大象馆→鹿园→金鱼湖→天鹅湖→盆景园→北门 【分析】（1）数对中的第一个数表示物体所在的列数，数对中的第二个数表示 物体所在的行数；东门的位置在第 10列，第 1行；天鹅湖的位置在第 3列，第 6行，据此用数对表示即可。 （2）根据数对找位置：数对中的第一个数表示物体所在的列数，数对中的第二 个数表示物体所在的行数；盆景园的位置用（3，8）表示，说明盆景园的位置在 第 3列，第 8行；北门的位置用（2，10）表示，说明北门的位置在第 2列，第 10行；据此确定盆景园和北门的位置。 （3）分别找出数对（10，1）、（5，2）、（7，4）、（9，7）、（6，6）、（3， 6）、（3，8）和（2，10）表示的位置所对应的景点，据此可以描述出凡凡一家 的游览路线。 【详解】（1）东门在第 10列，第 1行，用数对表示为（10，1）； 14 / 27 天鹅湖在第 3列，第 6行，用数对表示为（3，6）。 （2）盆景园的位置用（3，8）表示，则盆景园的位置在第 3列，第 8行；北门 的位置用（2，10）表示，则北门的位置在第 2列，第 10行；因此盆景园和北门 的位置如下图： （3）数对（10，1）表示在第 10列，第 1行，也就是东门的位置； 数对（5，2）表示在第 5列，第 2行，也就是猴山的位置； 数对（7，4）表示在第 7列，第 4行，也就是大象馆的位置； 数对（9，7）表示在第 9列，第 7行，也就是鹿园的位置； 数对（6，6）表示在第 6列，第 6行，也就是金鱼湖的位置； 数对（3，6）表示在第 3列，第 6行，也就是天鹅湖的位置； 数对（3，8）表示在第 3列，第 8行，也就是盆景园的位置； 数对（2，10）表示第 2列，第 10行，也就是北门的位置； 因此周日，凡凡一家的游览路线为：东门→猴山→大象馆→鹿园→金鱼湖→天鹅 湖→盆景园→北门。 2． （1）用数对表示出下面两处建筑的位置。 15 / 27 政府( ) 学校( ) （2）小林家在学校以西 100米，再往北 400米处，在图中标出这位同学家的位 置。 （3）星期日，小红的活动路线是（3，4）→（5，2）→（10，5）→（1，7）。 她这一天先后去了哪些地方？ 【答案】（1）政府（6，5）；学校（2，1） （2）见详解 （3）小红先后去了书店、体育馆、图书馆、公园 【分析】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数表示列，第二个数表示行； 据此求出用数对表示政府和学校。 （2）由图可知，每个单位长度代表 100米，根据地图上方向的规定“上北下南， 左西右东”，找出小林家的图上位置。 （3）根据数对表示位置的方法，找出小红经过了哪些地方，即可解答。 【详解】（1）政府（6，5），学校（2，1）。 （2）如图： （3）小红的活动线路是（3，4）书店→（5，2）体育馆→（10，5）图书馆→（1， 7）公园，所以小红先后去了书店、体育馆、图书馆、公园。 【考点五】三种事件。 【典型例题】 用“可能”“不可能”或“一定”填空。 (1)月亮绕着地球转。( ) (2)今天星期三，明天( )星期四。 16 / 27 (3)姐姐的年龄比妹妹小。( ) 【答案】(1)一定 (2)一定 (3)不可能 【分析】对事件发生的可能性，可以用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来描述； 无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下， 都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不 会发生的事件，是“可能”事件。 【详解】（1）月亮一定绕着地球转。 （2）今天星期三，明天一定星期四。 （3）姐的年龄不可能比妹妹小。 【点睛】本题考查事件的确定性和不确定性，应结合生活实际进行判断。 【对应练习】 根据题意，用“一定”、“可能”、“不可能”填空。 (1)抛硬币时，( )是正面向上。 (2)太阳( )从东方升起。 (3)箱子里有 15个白球，10个绿球，任意摸一个，( )摸到白球，( ) 摸到黄球。 【答案】(1)可能 (2)一定 (3) 可能 不可能 【分析】判断事件发生的可能性的几种情况：可能、不可能、一定，结合实际进 行填空即可； （1）抛出的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下。 （2）太阳东升西落是自然规律。 （3）箱子里有两种颜色的球，任意摸一个，则这两种颜色的球都有可能摸到， 不可能摸到其它颜色的球，依此解答。 17 / 27 【详解】（1）抛硬币时，可能是正面向上。 （2）太阳一定从东方升起。 （3）箱子里有 15个白球，10个绿球，任意摸一个，可能摸到白球，不可能摸 到黄球。 【点睛】此题考查的是可能性的大小，应对每种情况具体分析，从而得出结论。 【考点六】可能性的大小及改变。 【典型例题】 袋中有大小相同的 10颗玻璃珠，其中有 2颗红色珠子，3颗蓝色珠子，5颗白色 珠子。王亮从中任意摸出 1颗珠子，摸出( )色珠子的可能性最小；摸出 ( )色珠子的可能性最大。 【答案】 红 白 【分析】当总数一定的时候，某种颜色的珠子的数量越多，则摸到的可能性越大， 数量越少，则摸到的可能性越小，据此即可填空。 【详解】5＞3＞2 所以摸出红色珠子的可能性最小，摸出白色珠子的可能性最大。 【对应练习】 1. 一个正方体有 6个面，其中有 3个面写着数字“1”、2个面写着数字“2”和 1个 面写着数字“3”，任意投掷小正方体，数字( )朝上的可能性最大，数字 ( )朝上的可能性最小。 【答案】 1 3 【分析】有几个不同的数字就有几种可能，哪个数字数量最多，可能性最大，数 字数量最少，可能性最小，据此分析。 【详解】3 2 1 个 个 个 据分析可知，数字“1”朝上的可能性最大，数字“3”朝上的可能性最小。 2. 袋子里有红、白两种颜色的球共 10个。随意摸出 1个，要使摸出白球的可能 性比摸出红球的可能性大，袋子里的白球最少有( )个，最多有( ) 个。如摸出白球和红球的可能性一样，那么袋子里有红球( )个。 【答案】 6 9 5 【分析】要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，白球的数量就要比红球 18 / 27 的数量多，10个平均分每种颜色 5个，要使白球可能性大，至少白球的个数要 比 5多 1；10个球要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，红球最少要有 1个，则白球最多可有 9个；摸出白球和红球的可能性一样，那就是把 10平均 分，两色球一样多，据此解答。 【详解】袋子里有红、白两种颜色的球共 10个。随意摸出 1个，要使摸出白球 的可能性比摸出红球的可能性大，袋子里的白球最少有 6个，最多有 9个。如摸 出白球和红球的可能性一样，那么袋子里有红球 5个。 【考点七】可能性与生活实际应用。 【典型例题】 转动转盘，待转盘停下后，指针指向红色区域要唱歌，指向绿色区域要跳舞，指 向橙色区域要讲故事。 （1）转动 A转盘，指针可能停在哪个区域，也可能停在哪个区域，指针停在哪 个区域的可能性大，停在哪个区域的可能性小？ （2）乐乐想要唱歌，她最好选择转动哪个转盘？ （3）小然不会跳舞，她最好选择转动哪个转盘？ 【答案】（1）转动 A转盘，指针可能停在红色区域，也可能停在绿色区域，指 针停在红色区域的可能性大，停在绿色区域的可能性小。 （2）A转盘 （3）C转盘 【分析】（1）A转盘只有红、绿两种颜色，且红色区域大，绿色区域小。因此 转动 A转盘，指针可能停在红色区域，也可能停在绿色区域，指针停在红色区 域的可能性大，停在绿色区域的可能性小。 （2）指针指向红色区域要唱歌，A转盘红色区域最大，且只有两种可能，乐乐 想要唱歌，她最好选择使用 A转盘。 （3）指针指向绿色区域要跳舞，小然不会跳舞，最好选择没有绿色的转盘，C 转盘没有绿色。 19 / 27 【详解】（1）转动 A转盘，指针可能停在红色区域，也可能停在绿色区域，指 针停在红色区域的可能性大，停在绿色区域的可能性小。 （2）乐乐想要唱歌，她最好选择使用 A转盘。 （3）小然不会跳舞，她最好选择 C转盘。 【对应练习】 1. 下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。 如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改 动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 【答案】不公平；因为红色区域的面积比黑色区域的面积大，即小明获胜的可能 性更大；改动见详解 【分析】由题意得，红色区域和黑色区域哪个区域的面积大，谁获胜的可能性就 大。由图可知，红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性 就更大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，那么红色区域的面积和黑 色区域的面积得一样大。据此解答。 【详解】 答：这个游戏不公平，因为红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获 胜的可能性就比小东要大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，转盘的 颜色分布应该如上图。（答案不唯一） 2. 选出点数为 1、2的扑克牌各 3张，反扣在桌面上。 游戏规则：①每次摸 3张牌，记下 3张牌上点数的和，然后放回去，另一个人再 摸，2人摸牌次数相同。②3张牌上点数的和大于 4，一方得 1分；否则另一方 得 1分。③积分高者赢。 20 / 27 【答案】公平；见详解 【分析】根据题意可知，6张扑克牌分别是 1、1、1、2、2、2；算出任意摸出的 3张牌的点数之和，再从中找出点数的和大于 4、小于或等于 4的各有几种情况， 如果数量相等，则可能性相等，游戏公平；反之，游戏不公平。 【详解】3张牌上点数的和有：1＋1＋1＝3，1＋1＋2＝4，1＋2＋2＝5、2＋2＋ 2＝6；共有 4种不同的情况。 点数和大于 4的有：5、6，共 2种情况； 点数和小于或等于 4的有：3、4，共 2种情况； 2＝2，可能性相等。 答：这个游戏公平。因为点数和大于 4的可能性与点数和小于或等于 4的可能性 相等。 【考点八】不封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 1. “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在 1800米长的公路一旁设置垃圾 桶摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔 50米（两端都摆放），一共要设置多 少个垃圾桶摆放点？ 【答案】37个 【分析】此题属于植树问题中两端都栽的情况，植树棵数比间隔数多 1，根据“间 隔数＝总长÷间距”求出间隔数，再加 1即可求出要设置的垃圾桶摆放点，据此解 答。 【详解】1800÷50＝36（个） 36＋1＝37（个） 答：一共要设置 37个垃圾桶摆放点。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答 题目的关键。 2. 一条路长 1000米，在路的一旁安装路灯，每隔 20米安装一盏（一端安另一 21 / 27 端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【答案】50盏 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷ 间距＝路灯数量，据此列式解答。 【详解】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备 50盏路灯。 3. 一条长 1000米的街道，现在街道的两侧每隔 20米放一盆花（两端都不放）， 需要多少盆花？ 【答案】98盆 【分析】根据植树问题的两端都不栽：“棵数＝间隔数－1”，用这条街道的长除 以间距（20米）求出间隔数，再用间隔数减去 1就是街道一侧放的盆数，再乘 2 即可求出需要多少盆花。 【详解】1000÷20－1 ＝50－1 ＝49（盆） 49×2＝98（盆） 答：需要 98盆花。 【对应练习】 1. 笔直的跑道一旁插著 49面小旗（两端都插），它们的间隔是 4米，现在要改 为间隔是 6米，可以插多少面小旗？ 【答案】33面 【分析】本题考查了植树问题，根据公式如果植树线路的两端都植树，那么全长 ÷间距＝间隔数，用间隔数再加上 1就是植树的棵树，由此可得：小旗的面数减 1的差乘间距，可得全长，将数据代入求出该跑道的长度，再用长度除以新的间 距，最后加 1，求出小旗的面数。 【详解】由分析可得： 4×（49－1） ＝4×48 ＝192（米） 22 / 27 192÷6＋1 ＝32＋1 ＝33（面） 答：可以插 33面小旗。 【点睛】本题考查了植树问题的相关知识，注意分情况讨论，不同的植树方式有 不同的间隔数和不同的棵数。 2. 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前 60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学 楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是 3米，一共需要多少盆花？ 【答案】40盆 【分析】在不封闭路线上一端栽树，另一端不栽树的问题的规律：总距离÷株距 ＝间隔数，棵数＝间隔数。由题意可知：靠教学楼墙的一端不放花，另一端放花。 总距离是 60米，株距是 3米，用 60÷3求出间隔数是 20个，也就是一侧的盆数 是 20盆；再用 20×2求出两侧的盆数，即一共需要的盆数。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（盆） 答：一共需要 40盆花。 【点睛】解决植树问题的关键是理清棵数与间隔数之间的关系、弄清是否两旁都 要植树。 3. 晓晓家离学校 1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵 树之间的距离是 25米，一共栽了多少棵树？ 【答案】118棵 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都不栽，棵数＝段数－1，晓晓家离学 校的距离÷间距－1＝一边栽的棵数，一边栽的棵数×2＝两边栽的棵数，据此列 式解答。 【详解】1500÷25－1 ＝60－1 ＝59（棵） 59×2＝118（棵） 23 / 27 答：一共栽了 118棵树。 【考点九】封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 一个长方形花圃长 20米，宽 12米，沿这个长方形四周每隔 4米栽一棵树，四个 顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【答案】16棵 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出花圃周长，再根据封闭图形植树， 棵数＝段数，花圃周长÷间距＝栽的棵数，列式解答即可。 【详解】（20＋12）×2÷4 ＝32×2÷4 ＝64÷4 ＝16（棵） 答：这个长方形花圃的四周一共栽了 16棵树。 【对应练习】 1. 育苗小区的花园是一个长 50米，宽 40米的长方形。现在要在花园四周栽树， 四个角都要栽，每相邻两棵树间隔 4米。 （1）一共要栽多少棵树？ （2）如果平均每棵树苗 25.5元，买这些树苗一共要花多少钱？ 解析： （1）（50＋40）×2 ＝90×2 ＝180（米） 180÷4＝45（棵） 答：一共要栽 45棵树。 （2）25.5×45＝1147.5（元） 答：买这些树苗一共要花 1147.5元。 2. 在一个圆形的湖边，每隔 13米立一根路灯电线杆，一共立了 23根，这个圆 形湖周长是多少米？ 【答案】299米 24 / 27 【分析】封闭路栽树，数量关系：颗数＝间隔数＝全长÷间距；全长＝间距×棵 数；间距＝全长÷棵数。围成圆圈植树时，植树棵数＝间隔数，由此可得这个圆 形的湖一周的周长有23个间隔，一个间隔的长度是13米，根据乘法的意义，23×13 ＝299米就是这个圆形的湖的周长。 【详解】23×13＝299（米） 答：这个圆形湖周长是 299米。 【考点十】植树问题变式。 【典型例题】 1．一根木头长 12米，把它平均锯成 5段，一共用了 20分钟，平均锯一次要多 久？ 【答案】5分钟 【分析】锯成 5段，需要锯（5－1）次，用除法计算每次的时间即可。 【详解】时间：20÷（5－1） ＝20÷4 ＝5（分钟） 答：平均锯一次需要 5分钟。 【点睛】本题主要考查植树问题，关键注意锯的次数和段数的关系。 2．挂钟几点钟就敲几下，5点敲 5下，用时 16秒，12点的时候敲 12下，用时 多少秒？ 【答案】44秒 【分析】根据“5时敲响 5下，16秒敲完，”知道敲了（5－1）个间隔用了 16秒， 由此求出一个间隔所用的时间；因为 12时敲 12下，即敲了（12－1）个间隔， 再乘一个间隔所用的时间，就是敲 12下所用的时间。 【详解】16÷（5－1）×（12－1） ＝16÷4×11 ＝4×11 ＝44（秒） 答：用时 44秒。 【点睛】关键是根据间隔数＝挂钟敲的下数－1与基本的数量关系解决问题。 25 / 27 3．小新回家每走一层楼就有 12个台阶，共要走 72个台阶，小新住在几楼？ 【答案】7楼 【分析】走的楼梯间隔数是：72÷12＝6（个），那么他家住 6＋1＝7楼；据此解 答。 【详解】72÷12＋1 ＝6＋1 ＝7（楼） 答：小新住在 7楼。 【点睛】本题主要考查了植树问题，关键是要理解层数＝楼梯间隔数加 1。 【对应练习】 1．一根木料锯成 4段要 12分钟，如果每锯一段所用时间相同，那么锯成 10段 要多少分钟？ 【答案】36分 【分析】锯的次数＝段数－1，先求出锯一次的时间，再乘锯成 10段需要的次数 即可。 【详解】12÷（4－1）×（10－1） ＝12÷3×9 ＝36（分） 答：锯成 10段要 36分钟。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解锯的次数和段数之间的关系。 2．礼堂里的大钟 5时敲响 5下，10秒钟敲完。10时敲响 10下，敲完需要多长 时间？ 【答案】22.5秒 【分析】根据敲 5下，需要 10秒完成；要经历 4个时间间隔，那么每个间隔所 经历的时间是：10÷4＝2.5（秒）；由此即可求得敲 10下需要的时间。 【详解】5－1＝4（个） 10÷4＝2.5（秒） 10－1＝9（个） 9×2.5＝22.5（秒） 26 / 27 答：敲完需要 22.5秒。 【点睛】在求敲钟用的时间时要弄清敲的次数与间隔数的关系。 3．小华从一楼跑到七楼用了 90秒，如果他从同样的速度从一楼跑到十楼要用多 少时间？ 【答案】135秒 【分析】从一楼到七楼有（7－1）个间隔，先根据“总时间÷间隔数＝爬一层的时 间”，求出爬一层需要的时间；从一楼到十楼有（10－1）个间隔，再根据“爬一 楼需要的时间×间隔数＝总时间”，即可求出从一楼到十楼要用的时间。 【详解】90÷（7－1）×（10－1） ＝90÷6×9 ＝15×9 ＝135（秒） 答：如果他从同样的速度从一楼跑到十楼要用 135秒。 【点睛】本题属于“上楼梯”问题，可以转化成“植树问题”来解答；在“上楼梯”问 题中，楼层数－1＝楼梯段数（即间隔数）。 4．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站 10名学生，最外层一共有多 少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】36名；100名 【分析】根据题意，方阵最外层每边有 10名同学，则其 4个点上人员是重复的， 即最外层人数＝每边人数×4－4，实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入 数据求解即可。 【详解】由分析可得： 10×4－4 ＝40－4 ＝36（名） 10×10＝100（名） 答：最外层一共有 36名学生，整个方阵一共有 100名学生。 【点睛】本题考查了方阵问题，即植树问题，牢记公式是解题的关键。 27 / 27 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 专题内容 本专题包括数对与位置、事件与可能性以及植树问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 3 【第四篇】典型例题篇 7 【考点一】认识数对 7 【考点二】数对与教室中的位置 8 【考点三】数对与图形 9 【考点四】数对描述行进路线 11 【考点五】三种事件 15 【考点六】可能性的大小及改变 17 【考点七】可能性与生活实际应用 18 【考点八】不封闭路线上的植树问题 20 【考点九】封闭路线上的植树问题 23 【考点十】植树问题变式 24 【第三篇】知识总览篇 知识点一：认识数对。 1. 列和行。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般要从前往后数。 2. 数对的写法。 用数对表示物体的位置时，先写列，后写行，表示形式为（列数，行数），不能调换位置，两个数之间一定要用逗号隔开，相同的数在不同的位置表示的意义不同。 知识点二：数对与教室中的位置。 前后在同一列，左右在同一行，一般默认每个同学都有同桌，且只有一名。 1. 前后相邻问题：前后在同一列，列数相同，行数差1； 2. 左右相邻问题：左右在同一行，行数相同，列数差1。 知识点三：数对与图形。 1. 判断图形的形状。 ①在方格纸上描出各点； ②依次连接各点； ③判断图形的形状。 2. 判断三角形的形状。 根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。 知识点四：数对的平移。 1. 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把一个点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 2. 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平移后的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 知识点五：数对描述行进路线。 1. 用数对描述行进路线时，有时需要说明方向和距离，没有特殊要求的直接用箭头连接数对即可。 2. 用数对描述行进路线的解题步骤。 （1）依次找到每步的目的地； （2）找到每个目的地的数对； （3）按照顺序依次连接数对； （4）注意按要求标明方向和距离。 知识点六：认识三种事件。 1. 在一定的条件下，一些事件的结果是必然会发生的或必然不会发生的，具有确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是随机的，具有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述。 2. 根据事件的发生结果，将事件分为一定发生、不可能发生、可能发生三种事件。 知识点七：可能性的大小及改变。 1. 不同事件发生的可能性是有大小之分的。 2. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小。 3. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小，因此要改变可能性的大小，只需要增加或减少个体的数量。 知识点八：求可能性的大小。 1. 可能性的大小等于该事件可能性发生的数量÷总发生的数量。 2. 生活中常见事件发生的可能性。 （1）掷出一枚硬币，正面朝上的可能性是。 （2）掷出2枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是。 （3）掷出3枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是。。 知识点九：植树问题。 （一）植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 （二）植树问题的基础公式。 1. 总距离=株距×间隔数 2. 株距=总距离÷间隔数 3. 间隔数=总距离÷株距 （三）植树问题的类型。 不封闭路线上的植树问题。 1. 两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2. 一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3. 两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） 封闭路线上的植树问题。 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 （四）植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】认识数对。 【典型例题】 1. 如果电影票上的“a排b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( )号。 【答案】 7 15 【分析】电影票上的“a排b号”表示为（a，b），说明数对的第一个数表示排，第二个数表示号，据此填空。 【详解】如果电影票上的“a排b号”表示为（a，b），（7，15）表示7排15号。 【点睛】关键是掌握用数对表示位置的方法。 2. 电影票上的“8排12号”简记作（8，12），则“10排7号”简记作( )，（12，16）表示( )排( )号。 【答案】 （10，7） 12 16 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几排，后一个数表示第几号；据此解答。 【详解】电影票上的“8排12号”简记作（8，12），则“10排7号”简记作（10，7），（12，16）表示12排16号。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法，掌握相应的方法是解答本题的关键。 【对应练习】 1. 小丽的座位可以用数对（9，4）表示，小丽在第( )列，第( )行的位置。 【答案】 9 4 【分析】数对中的第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行，据此解答。 【详解】通过分析可得：小丽的座位可以用数对（9，4）表示，小丽在第9列，第4行的位置。 2. 小明在教室的位置的第2列第3行，可以用数对（2，3）表示，小勇在第3行第4列，用数对表示为( )。 【答案】4，3 【分析】数对中第一个数是几，就表示在第几列，第二个数是几，就表示在第几行。据此解答即可。 【详解】小明在教室的位置的第2列第3行，可以用数对（2，3）表示，小勇在第3行第4列，用数对表示为（4，3）。 【考点二】数对与教室中的位置。 【典型例题】 1. 如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面一个同学的座位用数对表示是( )。 【答案】 （2，3） （2，4） 【分析】用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。 【详解】小明的座位在第2列、第3行的交点处，用数对（2，3）表示。他后面一个同学与小明在同一列，即在第2列、第4行的交点处，所以他后面一个同学的座位用数对表示是（2，4）。 【点睛】用数对表示物体的位置时，先表示列，后表示行，不能调换位置。 2. 王老师坐在大厅的第5列第7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为( )。 【答案】（6，7） 【分析】用数对表示物体的位置时，括号里面先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，王老师右边相邻的老师与王老师在同一行，列数比王老师的列数多1，据此解答。 【详解】5＋1＝6 分析可知，坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为（6，7）。 【点睛】掌握用数对表示物体位置的方法是解答题目的关键。 【对应练习】 小明的位置是（4，3），他的前一排正对着小刚，小刚的位置是( )，小刚的右边隔着2人是小红，小红的位置是( )。 【答案】 （4，2） （7，2） 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；已知小明的位置是（4，3），说明小明在第4列，第3行，而他的前一排正对着小刚，所以小刚跟小明同一列，且在他的前一行；又已知小刚的右边隔着2人是小红，则说明小红和小刚在同一行，在小刚的后3列，据此解答。 【详解】小明的位置是（4，3）， 他的前一排正对着小刚， 小刚的位置是（4，2）， 小刚的右边隔着2人是小红， 小红的位置是（7，2）。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法。 【考点三】数对与图形。 【典型例题】 三角形ABC中的A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C点用数对表示为（1，3），则三角形ABC是( )三角形。 【答案】直角 【分析】平面内，从左往右数是列数，从前往后数是行数，以（列数，行数）的形式来表示位置，就是数对，可据此先把三角形的3个顶点确定在平面内，再根据其具体形状确定三角形的分类。 【详解】如图：如果A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C点用数对表示为（1，3），那么三角形ABC按角分是直角三角形。 【点睛】此题主要考查了两个知识点：一是数对与位置；二是三角形按角分类。 【对应练习】 1. 在同一幅地图上如果点A用数对表示为（2，5），点B用数对表示为（2，8），点C用数对表示为（7，5），那么三角形ABC一定是( )三角形。 【答案】直角 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此标出A、B、C，再连接三点，最后判断图形即可。 【详解】如图： 通过观察图形可知，三角形是一个直角三角形。 【点睛】本题考查了根据数对找位置的方法以及直角三角形的认识。 2. 如图，点B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点A的位置用数对表示是( )，点C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形ABC向右平移3格，平移后点C的位置用数对表示是( )。 【答案】(1) （1，2） （2，5） (2)（5，5） 【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答； （2）将三角形ABC向右平移3格，平移后点C在第5列第5行，据此用数对表示平移后点C的位置。 【详解】（1）点A的位置用数对表示是（1，2），点C的位置用数对表示是（2，5）。 （2）把三角形ABC向右平移3格（下图红色部分），平移后点C的位置用数对表示是（5，5）。 【点睛】掌握用数对表示物体的位置、作平移后的图形的作图方法是解题的关键。 【考点四】数对描述行进路线。 【典型例题】 歙县大谷运气候温和，山高雾多，十分适宜种植茶树，是黄山市最负盛名的名茶之乡。清明前夕是采茶的旺季，小艺一家都在茶园忙碌。小艺在茶园的位置如下图所示（每个小方格的边长表示100米）。 （1）用数对表示小艺的位置( )。 （2）小艺妈妈在她正北方200米，妈妈的位置可以用数对( )表示。 （3）爸爸的采茶速度比较快，一开始在茶园（2，3）位置，他以每小时200米的速度向正东方前进，3小时后爸爸的位置可以用数对( )表示。 （4）小艺的弟弟按照（1，1）→（9，1）→（9，9）→（7，9）的路线逛茶园。请你在图中画出弟弟的行走路线，并算一算，弟弟共走了( )米。 【答案】（1）4，5 （2）4，7 （3）8，3 （4）路线图见详解；1800 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。 （2）每个小方格的边长表示100米，小艺妈妈在她正北方200米，根据地图“上北下南，左西右东”的规定可知，小艺妈妈在小艺上方2格的位置，据此确定小艺妈妈的位置并用数对表示。 （3）爸爸一开始在茶园（2，3）位置，即第2列第3行的位置。速度×时间＝路程，则爸爸3小时后向东前进了200×3＝600（米），即6格的距离，这时爸爸的位置在第8列第3行，用数对表示即可。 （4）根据数对“先列后行”的特点标出弟弟行走的各点的位置，画出路线图，再数一数他一共走了几格，即可算出走了多少米。 【详解】通过分析可得： （1）用数对表示小艺的位置是（4，5）。 （2）200÷100＝2，则妈妈的位置是第4列第7行，可以用数对（4，7）表示。 （3）200×3＝600（米），600÷100＝6，则3小时后爸爸的位置在第8列第3行，可以用数对（8，3）表示。 （4） 弟弟一共走了18格，18×100＝1800（米），则弟弟共走了1800米。 【对应练习】 1．下图是动物园的平面图。 （1）猴山的位置用（5，2）表示，请你用数对表示下面各场所的位置。 东门( )     天鹅湖( ) （2）请你在图中标出盆景园（3，8）、北门（2，10）的位置。 （3）周日，凡凡一家游览了动物园，活动路线是（10，1）→（5，2）→（7，4）→（9，7）→（6，6）→（3，6）→（3，8）→（2，10）。请你写出凡凡一家的游览路线。 _____________________________________________________________ 【答案】（1）东门（10，1）；天鹅湖（3，6） （2）见详解 （3）东门→猴山→大象馆→鹿园→金鱼湖→天鹅湖→盆景园→北门 【分析】（1）数对中的第一个数表示物体所在的列数，数对中的第二个数表示物体所在的行数；东门的位置在第10列，第1行；天鹅湖的位置在第3列，第6行，据此用数对表示即可。 （2）根据数对找位置：数对中的第一个数表示物体所在的列数，数对中的第二个数表示物体所在的行数；盆景园的位置用（3，8）表示，说明盆景园的位置在第3列，第8行；北门的位置用（2，10）表示，说明北门的位置在第2列，第10行；据此确定盆景园和北门的位置。 （3）分别找出数对（10，1）、（5，2）、（7，4）、（9，7）、（6，6）、（3，6）、（3，8）和（2，10）表示的位置所对应的景点，据此可以描述出凡凡一家的游览路线。 【详解】（1）东门在第10列，第1行，用数对表示为（10，1）； 天鹅湖在第3列，第6行，用数对表示为（3，6）。 （2）盆景园的位置用（3，8）表示，则盆景园的位置在第3列，第8行；北门的位置用（2，10）表示，则北门的位置在第2列，第10行；因此盆景园和北门的位置如下图： （3）数对（10，1）表示在第10列，第1行，也就是东门的位置； 数对（5，2）表示在第5列，第2行，也就是猴山的位置； 数对（7，4）表示在第7列，第4行，也就是大象馆的位置； 数对（9，7）表示在第9列，第7行，也就是鹿园的位置； 数对（6，6）表示在第6列，第6行，也就是金鱼湖的位置； 数对（3，6）表示在第3列，第6行，也就是天鹅湖的位置； 数对（3，8）表示在第3列，第8行，也就是盆景园的位置； 数对（2，10）表示第2列，第10行，也就是北门的位置； 因此周日，凡凡一家的游览路线为：东门→猴山→大象馆→鹿园→金鱼湖→天鹅湖→盆景园→北门。 2． （1）用数对表示出下面两处建筑的位置。 政府( )    学校( ) （2）小林家在学校以西100米，再往北400米处，在图中标出这位同学家的位置。 （3）星期日，小红的活动路线是（3，4）→（5，2）→（10，5）→（1，7）。她这一天先后去了哪些地方？ 【答案】（1）政府（6，5）；学校（2，1） （2）见详解 （3）小红先后去了书店、体育馆、图书馆、公园 【分析】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数表示列，第二个数表示行；据此求出用数对表示政府和学校。 （2）由图可知，每个单位长度代表100米，根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，找出小林家的图上位置。 （3）根据数对表示位置的方法，找出小红经过了哪些地方，即可解答。 【详解】（1）政府（6，5），学校（2，1）。 （2）如图： （3）小红的活动线路是（3，4）书店→（5，2）体育馆→（10，5）图书馆→（1，7）公园，所以小红先后去了书店、体育馆、图书馆、公园。 【考点五】三种事件。 【典型例题】 用“可能”“不可能”或“一定”填空。 (1)月亮绕着地球转。( ) (2)今天星期三，明天( )星期四。 (3)姐姐的年龄比妹妹小。( ) 【答案】(1)一定 (2)一定 (3)不可能 【分析】对事件发生的可能性，可以用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来描述；无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 【详解】（1）月亮一定绕着地球转。 （2）今天星期三，明天一定星期四。 （3）姐的年龄不可能比妹妹小。 【点睛】本题考查事件的确定性和不确定性，应结合生活实际进行判断。 【对应练习】 根据题意，用“一定”、“可能”、“不可能”填空。 (1)抛硬币时，( )是正面向上。 (2)太阳( )从东方升起。 (3)箱子里有15个白球，10个绿球，任意摸一个，( )摸到白球，( )摸到黄球。 【答案】(1)可能 (2)一定 (3) 可能 不可能 【分析】判断事件发生的可能性的几种情况：可能、不可能、一定，结合实际进行填空即可； （1）抛出的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下。 （2）太阳东升西落是自然规律。 （3）箱子里有两种颜色的球，任意摸一个，则这两种颜色的球都有可能摸到，不可能摸到其它颜色的球，依此解答。 【详解】（1）抛硬币时，可能是正面向上。 （2）太阳一定从东方升起。 （3）箱子里有15个白球，10个绿球，任意摸一个，可能摸到白球，不可能摸到黄球。 【点睛】此题考查的是可能性的大小，应对每种情况具体分析，从而得出结论。 【考点六】可能性的大小及改变。 【典型例题】 袋中有大小相同的10颗玻璃珠，其中有2颗红色珠子，3颗蓝色珠子，5颗白色珠子。王亮从中任意摸出1颗珠子，摸出( )色珠子的可能性最小；摸出( )色珠子的可能性最大。 【答案】 红 白 【分析】当总数一定的时候，某种颜色的珠子的数量越多，则摸到的可能性越大，数量越少，则摸到的可能性越小，据此即可填空。 【详解】5＞3＞2 所以摸出红色珠子的可能性最小，摸出白色珠子的可能性最大。 【对应练习】 1. 一个正方体有6个面，其中有3个面写着数字“1”、2个面写着数字“2”和1个面写着数字“3”，任意投掷小正方体，数字( )朝上的可能性最大，数字( )朝上的可能性最小。 【答案】 1 3 【分析】有几个不同的数字就有几种可能，哪个数字数量最多，可能性最大，数字数量最少，可能性最小，据此分析。 【详解】 据分析可知，数字“1”朝上的可能性最大，数字“3”朝上的可能性最小。 2. 袋子里有红、白两种颜色的球共10个。随意摸出1个，要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，袋子里的白球最少有( )个，最多有( )个。如摸出白球和红球的可能性一样，那么袋子里有红球( )个。 【答案】 6 9 5 【分析】要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，白球的数量就要比红球的数量多，10个平均分每种颜色5个，要使白球可能性大，至少白球的个数要比5多1；10个球要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，红球最少要有1个，则白球最多可有9个；摸出白球和红球的可能性一样，那就是把10平均分，两色球一样多，据此解答。 【详解】袋子里有红、白两种颜色的球共10个。随意摸出1个，要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，袋子里的白球最少有6个，最多有9个。如摸出白球和红球的可能性一样，那么袋子里有红球5个。 【考点七】可能性与生活实际应用。 【典型例题】 转动转盘，待转盘停下后，指针指向红色区域要唱歌，指向绿色区域要跳舞，指向橙色区域要讲故事。 （1）转动A转盘，指针可能停在哪个区域，也可能停在哪个区域，指针停在哪个区域的可能性大，停在哪个区域的可能性小？ （2）乐乐想要唱歌，她最好选择转动哪个转盘？ （3）小然不会跳舞，她最好选择转动哪个转盘？ 【答案】（1）转动A转盘，指针可能停在红色区域，也可能停在绿色区域，指针停在红色区域的可能性大，停在绿色区域的可能性小。 （2）A转盘 （3）C转盘 【分析】（1）A转盘只有红、绿两种颜色，且红色区域大，绿色区域小。因此转动A转盘，指针可能停在红色区域，也可能停在绿色区域，指针停在红色区域的可能性大，停在绿色区域的可能性小。 （2）指针指向红色区域要唱歌，A转盘红色区域最大，且只有两种可能，乐乐想要唱歌，她最好选择使用A转盘。 （3）指针指向绿色区域要跳舞，小然不会跳舞，最好选择没有绿色的转盘，C转盘没有绿色。 【详解】（1）转动A转盘，指针可能停在红色区域，也可能停在绿色区域，指针停在红色区域的可能性大，停在绿色区域的可能性小。 （2）乐乐想要唱歌，她最好选择使用A转盘。 （3）小然不会跳舞，她最好选择C转盘。 【对应练习】 1. 下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 【答案】不公平；因为红色区域的面积比黑色区域的面积大，即小明获胜的可能性更大；改动见详解 【分析】由题意得，红色区域和黑色区域哪个区域的面积大，谁获胜的可能性就大。由图可知，红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性就更大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，那么红色区域的面积和黑色区域的面积得一样大。据此解答。 【详解】 答：这个游戏不公平，因为红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性就比小东要大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，转盘的颜色分布应该如上图。（答案不唯一） 2. 选出点数为1、2的扑克牌各3张，反扣在桌面上。 游戏规则：①每次摸3张牌，记下3张牌上点数的和，然后放回去，另一个人再摸，2人摸牌次数相同。②3张牌上点数的和大于4，一方得1分；否则另一方得1分。③积分高者赢。 【答案】公平；见详解 【分析】根据题意可知，6张扑克牌分别是1、1、1、2、2、2；算出任意摸出的3张牌的点数之和，再从中找出点数的和大于4、小于或等于4的各有几种情况，如果数量相等，则可能性相等，游戏公平；反之，游戏不公平。 【详解】3张牌上点数的和有：1＋1＋1＝3，1＋1＋2＝4，1＋2＋2＝5、2＋2＋2＝6；共有4种不同的情况。 点数和大于4的有：5、6，共2种情况； 点数和小于或等于4的有：3、4，共2种情况； 2＝2，可能性相等。 答：这个游戏公平。因为点数和大于4的可能性与点数和小于或等于4的可能性相等。 【考点八】不封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 1. “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在1800米长的公路一旁设置垃圾桶摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔50米（两端都摆放），一共要设置多少个垃圾桶摆放点？ 【答案】37个 【分析】此题属于植树问题中两端都栽的情况，植树棵数比间隔数多1，根据“间隔数＝总长÷间距”求出间隔数，再加1即可求出要设置的垃圾桶摆放点，据此解答。 【详解】1800÷50＝36（个） 36＋1＝37（个） 答：一共要设置37个垃圾桶摆放点。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答题目的关键。 2. 一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【答案】50盏 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷间距＝路灯数量，据此列式解答。 【详解】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备50盏路灯。 3. 一条长1000米的街道，现在街道的两侧每隔20米放一盆花（两端都不放），需要多少盆花？ 【答案】98盆 【分析】根据植树问题的两端都不栽：“棵数＝间隔数－1”，用这条街道的长除以间距（20米）求出间隔数，再用间隔数减去1就是街道一侧放的盆数，再乘2即可求出需要多少盆花。 【详解】1000÷20－1 ＝50－1 ＝49（盆） 49×2＝98（盆） 答：需要98盆花。 【对应练习】 1. 笔直的跑道一旁插著49面小旗（两端都插），它们的间隔是4米，现在要改为间隔是6米，可以插多少面小旗？ 【答案】33面 【分析】本题考查了植树问题，根据公式如果植树线路的两端都植树，那么全长÷间距＝间隔数，用间隔数再加上1就是植树的棵树，由此可得：小旗的面数减1的差乘间距，可得全长，将数据代入求出该跑道的长度，再用长度除以新的间距，最后加1，求出小旗的面数。 【详解】由分析可得： 4×（49－1） ＝4×48 ＝192（米） 192÷6＋1 ＝32＋1 ＝33（面） 答：可以插33面小旗。 【点睛】本题考查了植树问题的相关知识，注意分情况讨论，不同的植树方式有不同的间隔数和不同的棵数。 2. 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是3米，一共需要多少盆花？ 【答案】40盆 【分析】在不封闭路线上一端栽树，另一端不栽树的问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵数＝间隔数。由题意可知：靠教学楼墙的一端不放花，另一端放花。总距离是60米，株距是3米，用60÷3求出间隔数是20个，也就是一侧的盆数是20盆；再用20×2求出两侧的盆数，即一共需要的盆数。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（盆） 答：一共需要40盆花。 【点睛】解决植树问题的关键是理清棵数与间隔数之间的关系、弄清是否两旁都要植树。 3. 晓晓家离学校1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵树之间的距离是25米，一共栽了多少棵树？ 【答案】118棵 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都不栽，棵数＝段数－1，晓晓家离学校的距离÷间距－1＝一边栽的棵数，一边栽的棵数×2＝两边栽的棵数，据此列式解答。 【详解】1500÷25－1 ＝60－1 ＝59（棵） 59×2＝118（棵） 答：一共栽了118棵树。 【考点九】封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 一个长方形花圃长20米，宽12米，沿这个长方形四周每隔4米栽一棵树，四个顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【答案】16棵 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出花圃周长，再根据封闭图形植树，棵数＝段数，花圃周长÷间距＝栽的棵数，列式解答即可。 【详解】（20＋12）×2÷4 ＝32×2÷4 ＝64÷4 ＝16（棵） 答：这个长方形花圃的四周一共栽了16棵树。 【对应练习】 1. 育苗小区的花园是一个长50米，宽40米的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵树间隔4米。 （1）一共要栽多少棵树？ （2）如果平均每棵树苗25.5元，买这些树苗一共要花多少钱？ 解析： （1）（50＋40）×2 ＝90×2 ＝180（米） 180÷4＝45（棵） 答：一共要栽45棵树。 （2）25.5×45＝1147.5（元） 答：买这些树苗一共要花1147.5元。 2. 在一个圆形的湖边，每隔13米立一根路灯电线杆，一共立了23根，这个圆形湖周长是多少米？ 【答案】299米 【分析】封闭路栽树，数量关系：颗数＝间隔数＝全长÷间距；全长＝间距×棵数；间距＝全长÷棵数。围成圆圈植树时，植树棵数＝间隔数，由此可得这个圆形的湖一周的周长有23个间隔，一个间隔的长度是13米，根据乘法的意义，23×13＝299米就是这个圆形的湖的周长。 【详解】23×13＝299（米） 答：这个圆形湖周长是299米。 【考点十】植树问题变式。 【典型例题】 1．一根木头长12米，把它平均锯成5段，一共用了20分钟，平均锯一次要多久？ 【答案】5分钟 【分析】锯成5段，需要锯（5－1）次，用除法计算每次的时间即可。 【详解】时间：20÷（5－1） ＝20÷4 ＝5（分钟） 答：平均锯一次需要5分钟。 【点睛】本题主要考查植树问题，关键注意锯的次数和段数的关系。 2．挂钟几点钟就敲几下，5点敲5下，用时16秒，12点的时候敲12下，用时多少秒？ 【答案】44秒 【分析】根据“5时敲响5下，16秒敲完，”知道敲了（5－1）个间隔用了16秒，由此求出一个间隔所用的时间；因为12时敲12下，即敲了（12－1）个间隔，再乘一个间隔所用的时间，就是敲12下所用的时间。 【详解】16÷（5－1）×（12－1） ＝16÷4×11 ＝4×11 ＝44（秒） 答：用时44秒。 【点睛】关键是根据间隔数＝挂钟敲的下数－1与基本的数量关系解决问题。 3．小新回家每走一层楼就有12个台阶，共要走72个台阶，小新住在几楼？ 【答案】7楼 【分析】走的楼梯间隔数是：72÷12＝6（个），那么他家住6＋1＝7楼；据此解答。 【详解】72÷12＋1 ＝6＋1 ＝7（楼） 答：小新住在7楼。 【点睛】本题主要考查了植树问题，关键是要理解层数＝楼梯间隔数加1。 【对应练习】 1．一根木料锯成4段要12分钟，如果每锯一段所用时间相同，那么锯成10段要多少分钟？ 【答案】36分 【分析】锯的次数＝段数－1，先求出锯一次的时间，再乘锯成10段需要的次数即可。 【详解】12÷（4－1）×（10－1） ＝12÷3×9 ＝36（分） 答：锯成10段要36分钟。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解锯的次数和段数之间的关系。 2．礼堂里的大钟5时敲响5下，10秒钟敲完。10时敲响10下，敲完需要多长时间？ 【答案】22.5秒 【分析】根据敲5下，需要10秒完成；要经历4个时间间隔，那么每个间隔所经历的时间是：10÷4＝2.5（秒）；由此即可求得敲10下需要的时间。 【详解】5－1＝4（个） 10÷4＝2.5（秒） 10－1＝9（个） 9×2.5＝22.5（秒） 答：敲完需要22.5秒。 【点睛】在求敲钟用的时间时要弄清敲的次数与间隔数的关系。 3．小华从一楼跑到七楼用了90秒，如果他从同样的速度从一楼跑到十楼要用多少时间？ 【答案】135秒 【分析】从一楼到七楼有（7－1）个间隔，先根据“总时间÷间隔数＝爬一层的时间”，求出爬一层需要的时间；从一楼到十楼有（10－1）个间隔，再根据“爬一楼需要的时间×间隔数＝总时间”，即可求出从一楼到十楼要用的时间。 【详解】90÷（7－1）×（10－1） ＝90÷6×9 ＝15×9 ＝135（秒） 答：如果他从同样的速度从一楼跑到十楼要用135秒。 【点睛】本题属于“上楼梯”问题，可以转化成“植树问题”来解答；在“上楼梯”问题中，楼层数－1＝楼梯段数（即间隔数）。 4．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】36名；100名 【分析】根据题意，方阵最外层每边有10名同学，则其4个点上人员是重复的，即最外层人数＝每边人数×4－4，实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据求解即可。 【详解】由分析可得： 10×4－4 ＝40－4 ＝36（名） 10×10＝100（名） 答：最外层一共有36名学生，整个方阵一共有100名学生。 【点睛】本题考查了方阵问题，即植树问题，牢记公式是解题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 14 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 14 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 专题内容 本专题包括数对与位置、事件与可能性以及植树问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................3 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................7 【考点一】认识数对 .......................................................................................................... 7 【考点二】数对与教室中的位置 ....................................................................................... 7 【考点三】数对与图形 .......................................................................................................7 【考点四】数对描述行进路线 ........................................................................................... 8 【考点五】三种事件 ........................................................................................................ 10 【考点六】可能性的大小及改变 ..................................................................................... 10 【考点七】可能性与生活实际应用 ..................................................................................10 3 / 14 【考点八】不封闭路线上的植树问题 ..............................................................................12 【考点九】封闭路线上的植树问题 ..................................................................................13 【考点十】植树问题变式 .................................................................................................13 【第三篇】知识总览篇 知识点一：认识数对。 1. 列和行。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般 要从前往后数。 2. 数对的写法。 用数对表示物体的位置时，先写列，后写行，表示形式为（列数，行数），不能 调换位置，两个数之间一定要用逗号隔开，相同的数在不同的位置表示的意义不 同。 知识点二：数对与教室中的位置。 前后在同一列，左右在同一行，一般默认每个同学都有同桌，且只有一名。 1. 前后相邻问题：前后在同一列，列数相同，行数差 1； 2. 左右相邻问题：左右在同一行，行数相同，列数差 1。 知识点三：数对与图形。 1. 判断图形的形状。 ①在方格纸上描出各点； ②依次连接各点； ③判断图形的形状。 2. 判断三角形的形状。 根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。 知识点四：数对的平移。 1. 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把 一个点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 4 / 14 2. 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平 移后的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 知识点五：数对描述行进路线。 1. 用数对描述行进路线时，有时需要说明方向和距离，没有特殊要求的直接用 箭头连接数对即可。 2. 用数对描述行进路线的解题步骤。 （1）依次找到每步的目的地； （2）找到每个目的地的数对； （3）按照顺序依次连接数对； （4）注意按要求标明方向和距离。 知识点六：认识三种事件。 1. 在一定的条件下，一些事件的结果是必然会发生的或必然不会发生的，具有 确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是随机的，具 有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述。 2. 根据事件的发生结果，将事件分为一定发生、不可能发生、可能发生三种事 件。 知识点七：可能性的大小及改变。 1. 不同事件发生的可能性是有大小之分的。 2. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数 量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小。 3. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数 量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小，因此要改变可能性的大小， 只需要增加或减少个体的数量。 知识点八：求可能性的大小。 1. 可能性的大小等于该事件可能性发生的数量÷总发生的数量。 2. 生活中常见事件发生的可能性。 （1）掷出一枚硬币，正面朝上的可能性是1 2 。 5 / 14 （2）掷出 2枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是1 4 。 （3）掷出 3枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是1 8 。。 知识点九：植树问题。 （一）植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第 三个量，这类应用题叫做植树问题。 （二）植树问题的基础公式。 1. 总距离=株距×间隔数 2. 株距=总距离÷间隔数 3. 间隔数=总距离÷株距 （三）植树问题的类型。 不封闭路线上的植树问题。 1. 两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2. 一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3. 两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 6 / 14 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） 封闭路线上的植树问题。 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭 合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 （四）植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 7 / 14 【第四篇】典型例题篇 【考点一】认识数对。 【典型例题】 1. 如果电影票上的“a排 b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( ) 号。 2. 电影票上的“8排 12号”简记作（8，12），则“10排 7号”简记作( )， （12，16）表示( )排( )号。 【对应练习】 1. 小丽的座位可以用数对（9，4）表示，小丽在第( )列，第( ) 行的位置。 2. 小明在教室的位置的第 2列第 3行，可以用数对（2，3）表示，小勇在第 3 行第 4列，用数对表示为( )。 【考点二】数对与教室中的位置。 【典型例题】 1. 如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面 一个同学的座位用数对表示是( )。 2. 王老师坐在大厅的第 5列第 7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相 邻老师的位置用数对表示为( )。 【对应练习】 小明的位置是（4，3），他的前一排正对着小刚，小刚的位置是( )，小 刚的右边隔着 2人是小红，小红的位置是( )。 【考点三】数对与图形。 【典型例题】 三角形 ABC中的 A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C 点用数对表示为（1，3），则三角形 ABC是( )三角形。 【对应练习】 1. 在同一幅地图上如果点 A用数对表示为（2，5），点 B用数对表示为（2，8）， 点 C用数对表示为（7，5），那么三角形 ABC一定是( )三角形。 8 / 14 2. 如图，点 B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点 A的位置用数对表示是( )，点 C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形 ABC向右平移 3格，平移后点 C的位置用数对表示是( )。 【考点四】数对描述行进路线。 【典型例题】 歙县大谷运气候温和，山高雾多，十分适宜种植茶树，是黄山市最负盛名的名茶 之乡。清明前夕是采茶的旺季，小艺一家都在茶园忙碌。小艺在茶园的位置如下 图所示（每个小方格的边长表示 100米）。 （1）用数对表示小艺的位置( )。 （2）小艺妈妈在她正北方 200米，妈妈的位置可以用数对( )表示。 （3）爸爸的采茶速度比较快，一开始在茶园（2，3）位置，他以每小时 200米 的速度向正东方前进，3小时后爸爸的位置可以用数对( )表示。 （4）小艺的弟弟按照（1，1）→（9，1）→（9，9）→（7，9）的路线逛茶园。 请你在图中画出弟弟的行走路线，并算一算，弟弟共走了( )米。 9 / 14 【对应练习】 1．下图是动物园的平面图。 （1）猴山的位置用（5，2）表示，请你用数对表示下面各场所的位置。 东门( ) 天鹅湖( ) （2）请你在图中标出盆景园（3，8）、北门（2，10）的位置。 （3）周日，凡凡一家游览了动物园，活动路线是（10，1）→（5，2）→（7，4） →（9，7）→（6，6）→（3，6）→（3，8）→（2，10）。请你写出凡凡一家 的游览路线。 _____________________________________________________________ 2． （1）用数对表示出下面两处建筑的位置。 政府( ) 学校( ) （2）小林家在学校以西 100米，再往北 400米处，在图中标出这位同学家的位 置。 （3）星期日，小红的活动路线是（3，4）→（5，2）→（10，5）→（1，7）。 她这一天先后去了哪些地方？ 10 / 14 【考点五】三种事件。 【典型例题】 用“可能”“不可能”或“一定”填空。 (1)月亮绕着地球转。( ) (2)今天星期三，明天( )星期四。 (3)姐姐的年龄比妹妹小。( ) 【对应练习】 根据题意，用“一定”、“可能”、“不可能”填空。 (1)抛硬币时，( )是正面向上。 (2)太阳( )从东方升起。 (3)箱子里有 15个白球，10个绿球，任意摸一个，( )摸到白球，( ) 摸到黄球。 【考点六】可能性的大小及改变。 【典型例题】 袋中有大小相同的 10颗玻璃珠，其中有 2颗红色珠子，3颗蓝色珠子，5颗白色 珠子。王亮从中任意摸出 1颗珠子，摸出( )色珠子的可能性最小；摸出 ( )色珠子的可能性最大。 【对应练习】 1. 一个正方体有 6个面，其中有 3个面写着数字“1”、2个面写着数字“2”和 1个 面写着数字“3”，任意投掷小正方体，数字( )朝上的可能性最大，数字 ( )朝上的可能性最小。 2. 袋子里有红、白两种颜色的球共 10个。随意摸出 1个，要使摸出白球的可能 性比摸出红球的可能性大，袋子里的白球最少有( )个，最多有( ) 个。如摸出白球和红球的可能性一样，那么袋子里有红球( )个。 【考点七】可能性与生活实际应用。 【典型例题】 转动转盘，待转盘停下后，指针指向红色区域要唱歌，指向绿色区域要跳舞，指 向橙色区域要讲故事。 11 / 14 （1）转动 A转盘，指针可能停在哪个区域，也可能停在哪个区域，指针停在哪 个区域的可能性大，停在哪个区域的可能性小？ （2）乐乐想要唱歌，她最好选择转动哪个转盘？ （3）小然不会跳舞，她最好选择转动哪个转盘？ 【对应练习】 1. 下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。 如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改 动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 2. 选出点数为 1、2的扑克牌各 3张，反扣在桌面上。 游戏规则：①每次摸 3张牌，记下 3张牌上点数的和，然后放回去，另一个人再 摸，2人摸牌次数相同。②3张牌上点数的和大于 4，一方得 1分；否则另一方 得 1分。③积分高者赢。 12 / 14 【考点八】不封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 1. “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在 1800米长的公路一旁设置垃圾 桶摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔 50米（两端都摆放），一共要设置多 少个垃圾桶摆放点？ 2. 一条路长 1000米，在路的一旁安装路灯，每隔 20米安装一盏（一端安另一 端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 3. 一条长 1000米的街道，现在街道的两侧每隔 20米放一盆花（两端都不放）， 需要多少盆花？ 【对应练习】 1. 笔直的跑道一旁插著 49面小旗（两端都插），它们的间隔是 4米，现在要改 为间隔是 6米，可以插多少面小旗？ 2. 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前 60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学 楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是 3米，一共需要多少盆花？ 13 / 14 3. 晓晓家离学校 1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵 树之间的距离是 25米，一共栽了多少棵树？ 【考点九】封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 一个长方形花圃长 20米，宽 12米，沿这个长方形四周每隔 4米栽一棵树，四个 顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【对应练习】 1. 育苗小区的花园是一个长 50米，宽 40米的长方形。现在要在花园四周栽树， 四个角都要栽，每相邻两棵树间隔 4米。 （1）一共要栽多少棵树？ （2）如果平均每棵树苗 25.5元，买这些树苗一共要花多少钱？ 2. 在一个圆形的湖边，每隔 13米立一根路灯电线杆，一共立了 23根，这个圆 形湖周长是多少米？ 【考点十】植树问题变式。 【典型例题】 1．一根木头长 12米，把它平均锯成 5段，一共用了 20分钟，平均锯一次要多 久？ 14 / 14 2．挂钟几点钟就敲几下，5点敲 5下，用时 16秒，12点的时候敲 12下，用时 多少秒？ 3．小新回家每走一层楼就有 12个台阶，共要走 72个台阶，小新住在几楼？ 【对应练习】 1．一根木料锯成 4段要 12分钟，如果每锯一段所用时间相同，那么锯成 10段 要多少分钟？ 2．礼堂里的大钟 5时敲响 5下，10秒钟敲完。10时敲响 10下，敲完需要多长 时间？ 3．小华从一楼跑到七楼用了 90秒，如果他从同样的速度从一楼跑到十楼要用多 少时间？ 4．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站 10名学生，最外层一共有多 少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：概率与广角·位置与可能性与植树问题 专题内容 本专题包括数对与位置、事件与可能性以及植树问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 3 【第四篇】典型例题篇 7 【考点一】认识数对 7 【考点二】数对与教室中的位置 7 【考点三】数对与图形 7 【考点四】数对描述行进路线 8 【考点五】三种事件 10 【考点六】可能性的大小及改变 10 【考点七】可能性与生活实际应用 10 【考点八】不封闭路线上的植树问题 12 【考点九】封闭路线上的植树问题 13 【考点十】植树问题变式 13 【第三篇】知识总览篇 知识点一：认识数对。 1. 列和行。 竖排叫做列，横排叫做行；确定列数时，一般要从左往右数，确定行数时，一般要从前往后数。 2. 数对的写法。 用数对表示物体的位置时，先写列，后写行，表示形式为（列数，行数），不能调换位置，两个数之间一定要用逗号隔开，相同的数在不同的位置表示的意义不同。 知识点二：数对与教室中的位置。 前后在同一列，左右在同一行，一般默认每个同学都有同桌，且只有一名。 1. 前后相邻问题：前后在同一列，列数相同，行数差1； 2. 左右相邻问题：左右在同一行，行数相同，列数差1。 知识点三：数对与图形。 1. 判断图形的形状。 ①在方格纸上描出各点； ②依次连接各点； ③判断图形的形状。 2. 判断三角形的形状。 根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。 知识点四：数对的平移。 1. 把一个点向右（或）向左平移几格，行数不变，列数加上（或减去）几；把一个点向上（或下）平移几格，列数不变，行数加上（或减去）几。 2. 在方格纸上平移图形时，可以用数形结合的方法，先确定出原图形各顶点平移后的对应点的位置，再将各对应点按顺序连接起来，得到平移后的图形。 知识点五：数对描述行进路线。 1. 用数对描述行进路线时，有时需要说明方向和距离，没有特殊要求的直接用箭头连接数对即可。 2. 用数对描述行进路线的解题步骤。 （1）依次找到每步的目的地； （2）找到每个目的地的数对； （3）按照顺序依次连接数对； （4）注意按要求标明方向和距离。 知识点六：认识三种事件。 1. 在一定的条件下，一些事件的结果是必然会发生的或必然不会发生的，具有确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是随机的，具有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述。 2. 根据事件的发生结果，将事件分为一定发生、不可能发生、可能发生三种事件。 知识点七：可能性的大小及改变。 1. 不同事件发生的可能性是有大小之分的。 2. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小。 3. 事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性就越大；反之，可能性就越小，因此要改变可能性的大小，只需要增加或减少个体的数量。 知识点八：求可能性的大小。 1. 可能性的大小等于该事件可能性发生的数量÷总发生的数量。 2. 生活中常见事件发生的可能性。 （1）掷出一枚硬币，正面朝上的可能性是。 （2）掷出2枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是。 （3）掷出3枚相同的硬币，均为正面朝上的可能性是。。 知识点九：植树问题。 （一）植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 （二）植树问题的基础公式。 1. 总距离=株距×间隔数 2. 株距=总距离÷间隔数 3. 间隔数=总距离÷株距 （三）植树问题的类型。 不封闭路线上的植树问题。 1. 两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2. 一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3. 两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） 封闭路线上的植树问题。 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 （四）植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】认识数对。 【典型例题】 1. 如果电影票上的“a排b号”表示为（a，b），（7，15）表示( )排( )号。 2. 电影票上的“8排12号”简记作（8，12），则“10排7号”简记作( )，（12，16）表示( )排( )号。 【对应练习】 1. 小丽的座位可以用数对（9，4）表示，小丽在第( )列，第( )行的位置。 2. 小明在教室的位置的第2列第3行，可以用数对（2，3）表示，小勇在第3行第4列，用数对表示为( )。 【考点二】数对与教室中的位置。 【典型例题】 1. 如果小明的座位从进门数是第二列第三行，用数对( )表示，那他后面一个同学的座位用数对表示是( )。 2. 王老师坐在大厅的第5列第7行用数对表示为（5，7），那么坐在他右边相邻老师的位置用数对表示为( )。 【对应练习】 小明的位置是（4，3），他的前一排正对着小刚，小刚的位置是( )，小刚的右边隔着2人是小红，小红的位置是( )。 【考点三】数对与图形。 【典型例题】 三角形ABC中的A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（4，1），C点用数对表示为（1，3），则三角形ABC是( )三角形。 【对应练习】 1. 在同一幅地图上如果点A用数对表示为（2，5），点B用数对表示为（2，8），点C用数对表示为（7，5），那么三角形ABC一定是( )三角形。 2. 如图，点B的位置用数对表示是（4，2）。 (1)点A的位置用数对表示是( )，点C的位置用数对表示是( )。 (2)把三角形ABC向右平移3格，平移后点C的位置用数对表示是( )。 【考点四】数对描述行进路线。 【典型例题】 歙县大谷运气候温和，山高雾多，十分适宜种植茶树，是黄山市最负盛名的名茶之乡。清明前夕是采茶的旺季，小艺一家都在茶园忙碌。小艺在茶园的位置如下图所示（每个小方格的边长表示100米）。 （1）用数对表示小艺的位置( )。 （2）小艺妈妈在她正北方200米，妈妈的位置可以用数对( )表示。 （3）爸爸的采茶速度比较快，一开始在茶园（2，3）位置，他以每小时200米的速度向正东方前进，3小时后爸爸的位置可以用数对( )表示。 （4）小艺的弟弟按照（1，1）→（9，1）→（9，9）→（7，9）的路线逛茶园。请你在图中画出弟弟的行走路线，并算一算，弟弟共走了( )米。 【对应练习】 1．下图是动物园的平面图。 （1）猴山的位置用（5，2）表示，请你用数对表示下面各场所的位置。 东门( )     天鹅湖( ) （2）请你在图中标出盆景园（3，8）、北门（2，10）的位置。 （3）周日，凡凡一家游览了动物园，活动路线是（10，1）→（5，2）→（7，4）→（9，7）→（6，6）→（3，6）→（3，8）→（2，10）。请你写出凡凡一家的游览路线。 _____________________________________________________________ 2． （1）用数对表示出下面两处建筑的位置。 政府( )    学校( ) （2）小林家在学校以西100米，再往北400米处，在图中标出这位同学家的位置。 （3）星期日，小红的活动路线是（3，4）→（5，2）→（10，5）→（1，7）。她这一天先后去了哪些地方？ 【考点五】三种事件。 【典型例题】 用“可能”“不可能”或“一定”填空。 (1)月亮绕着地球转。( ) (2)今天星期三，明天( )星期四。 (3)姐姐的年龄比妹妹小。( ) 【对应练习】 根据题意，用“一定”、“可能”、“不可能”填空。 (1)抛硬币时，( )是正面向上。 (2)太阳( )从东方升起。 (3)箱子里有15个白球，10个绿球，任意摸一个，( )摸到白球，( )摸到黄球。 【考点六】可能性的大小及改变。 【典型例题】 袋中有大小相同的10颗玻璃珠，其中有2颗红色珠子，3颗蓝色珠子，5颗白色珠子。王亮从中任意摸出1颗珠子，摸出( )色珠子的可能性最小；摸出( )色珠子的可能性最大。 【对应练习】 1. 一个正方体有6个面，其中有3个面写着数字“1”、2个面写着数字“2”和1个面写着数字“3”，任意投掷小正方体，数字( )朝上的可能性最大，数字( )朝上的可能性最小。 2. 袋子里有红、白两种颜色的球共10个。随意摸出1个，要使摸出白球的可能性比摸出红球的可能性大，袋子里的白球最少有( )个，最多有( )个。如摸出白球和红球的可能性一样，那么袋子里有红球( )个。 【考点七】可能性与生活实际应用。 【典型例题】 转动转盘，待转盘停下后，指针指向红色区域要唱歌，指向绿色区域要跳舞，指向橙色区域要讲故事。 （1）转动A转盘，指针可能停在哪个区域，也可能停在哪个区域，指针停在哪个区域的可能性大，停在哪个区域的可能性小？ （2）乐乐想要唱歌，她最好选择转动哪个转盘？ （3）小然不会跳舞，她最好选择转动哪个转盘？ 【对应练习】 1. 下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 2. 选出点数为1、2的扑克牌各3张，反扣在桌面上。 游戏规则：①每次摸3张牌，记下3张牌上点数的和，然后放回去，另一个人再摸，2人摸牌次数相同。②3张牌上点数的和大于4，一方得1分；否则另一方得1分。③积分高者赢。 【考点八】不封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 1. “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在1800米长的公路一旁设置垃圾桶摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔50米（两端都摆放），一共要设置多少个垃圾桶摆放点？ 2. 一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 3. 一条长1000米的街道，现在街道的两侧每隔20米放一盆花（两端都不放），需要多少盆花？ 【对应练习】 1. 笔直的跑道一旁插著49面小旗（两端都插），它们的间隔是4米，现在要改为间隔是6米，可以插多少面小旗？ 2. 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是3米，一共需要多少盆花？ 3. 晓晓家离学校1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵树之间的距离是25米，一共栽了多少棵树？ 【考点九】封闭路线上的植树问题。 【典型例题】 一个长方形花圃长20米，宽12米，沿这个长方形四周每隔4米栽一棵树，四个顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【对应练习】 1. 育苗小区的花园是一个长50米，宽40米的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵树间隔4米。 （1）一共要栽多少棵树？ （2）如果平均每棵树苗25.5元，买这些树苗一共要花多少钱？ 2. 在一个圆形的湖边，每隔13米立一根路灯电线杆，一共立了23根，这个圆形湖周长是多少米？ 【考点十】植树问题变式。 【典型例题】 1．一根木头长12米，把它平均锯成5段，一共用了20分钟，平均锯一次要多久？ 2．挂钟几点钟就敲几下，5点敲5下，用时16秒，12点的时候敲12下，用时多少秒？ 3．小新回家每走一层楼就有12个台阶，共要走72个台阶，小新住在几楼？ 【对应练习】 1．一根木料锯成4段要12分钟，如果每锯一段所用时间相同，那么锯成10段要多少分钟？ 2．礼堂里的大钟5时敲响5下，10秒钟敲完。10时敲响10下，敲完需要多长时间？ 3．小华从一楼跑到七楼用了90秒，如果他从同样的速度从一楼跑到十楼要用多少时间？ 4．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$