专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 9 18 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 例2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·山东日照·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 例4．（2024·江苏南京·一模）数学的思考：如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光(1)如图，请说明； 数学的表达(2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； (3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； (4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 例5．（2024·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值和点的坐标；(2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 4．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 例5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？ (3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 例6．（2023·广东·校考一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为　 　； 问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．（2024·广东·校考一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 　　． 3.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 5．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点，且．（1）当时， ；（2）当最大时，的长为 ． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，点P在y轴上，点，，为的外接圆．当最大时，点P的坐标为 ． 7．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有． 小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则 ∵___________∴___________∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．） 8．（2023·四川宜宾·校考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．    9.（2024·陕西宝鸡·模拟预测）发现问题（1）如图，已知直线切于点，为直线上不同于点的另一点，，为上两点，分别连接，与，，则 ．（选填“”，“”或“”） 探究问题（2）如图，在中，为边上一点，连接，则有．求证：； 实际应用（3）五一劳动节期间，李明和爸爸妈妈一同去春游，他们选择野外搭帐篷露营过夜，如图，等边三角形是他们家帐篷的截面图，，，，分别为帐篷的固定点，其中，为帐篷入口位置的地面上两个固定点，已知，太阳落山后，李明需在帐篷边上挂一盏照明灯，请问这盏灯挂在距离顶点多远处，能使灯光的照射角最大？ 10．（2024·陕西商洛·二模）(1)【问题提出】如图①，，若，则的度数为______； (2)【问题探索】如图②，在中，，，，点为边上一动点，连接，以为直径的交于点，求线段的最小值． (3)【问题解决】如图③，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，连接，，，当最大时，求点的坐标． 11．（2024·广东广州·三模）如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，．(1)求点与点之间的最大距离；(2)当最大时，连接，求的面积；(3)在旋转过程中，线段与线段存在交点，连接，若是的中点，是线段上的一个动点，当的值最小时，求的值． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 13．（2024·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，可知， ∵是的外角，∴ _______（填“＞”，“＝”或“＜”）， ∴______（填“＞”，“＝”或“＜”）； 【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点P，作使其与直线相切，切点为P，不妨在直线上另取一点Q，连接，请你判断与的数量关系；并说明理由； 【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿着方向带球跑动，球门米，米,米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．） 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 16．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    17．（2024·陕西商洛·二模）【问题提出】（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 9 18 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 【答案】C 【详解】解：如图，记过测量可以发现当设点在DE上时，张角最大． 故选C． 例2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线性质；取的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即，然后运用勾股定理求解即可；解题的关键是掌握点、的运动轨迹． 【详解】解：如图，取的中点， ，，为中点，， 点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵当与相切时，最大，， ，故选：D． 例3．（2023·山东日照·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 【答案】（1，0） 【分析】作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角，推出当圆E和x轴相切时，∠MPN最大，设E（x，y），则P（x，0），根据圆半径相等得到关于x和y的方程，解之即可． 【详解】解：∵点P在x轴正半轴上，作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角， ∴当圆E的半径最小时，∠MPN最大，∴当圆E和x轴相切时，∠MPN最大， 设E（x，y），则P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根据EM=EN=PE， 则，由化简可得：x+y=3， 由化简可得：， 将y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案为：（1，0）． 【点睛】本题考查了圆的性质，切线的性质，圆周角，根据夹角转化为圆的半径最小是解题的关键，有一定难度． 例4．（2024·江苏南京·一模）数学的思考：如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 (1)如图，请说明； 数学的表达 (2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； (3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； (4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)见解析；(2)点坐标为，见解析；(3)点坐标为，见解析；(4)见解析． 【分析】（）设与圆于点，连接，根据外角性质，得到即可； （）设点，求出，根据和两点间的距离，列出等式即可求解；（）连接并延长，交于点，连接，证明，再根据性质即可求解；（）延长，交于点，根据第（）问，可知，则在右图中构造，然后左图以为圆心，为半径画弧，交于点即可． 【详解】（1）解：如图，设与圆于点，连接，∴， ∵是的外角，∴，∴，∴； （2）解：如图，设与直线交于点，设直线与轴交于点，过作轴于点， ∵点，，∴，，，∴， ∵垂直平分，∴，由题意得：，∴， ∴，即重合，∴，设直线的表达式是， ∴，解得：，∴直线的表达式是， ∵点在直线上，∴设点，∴，， ∵，∴，∴， 解得，（不合题意，舍去）∴点坐标为； （3）解：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵是直径，∴，∴， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，∴， ∵点，，∴同理解析式为，当时，,∴点， ∴， ， ∴，即，∴，∴点坐标为 ； （4）如图：延长，交于点，同（）理得，设， 以为直径画半圆，过作的垂线交半圆于点，易证，∴， 然后以为圆心，为半径画弧，交于点，∴即为所求． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，三角形外角性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 例5．（2024·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值和点的坐标；(2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标． 【答案】(1)，，(2)(3)点的坐标为 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解直角三角形，相似三角形的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出参数，解直角三角形的运用，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，即可． （1）把点，的坐标代入，即可解出，；根据函数的对称轴：，即可； （2）根据，，推出，即，得到，设，则，求出点的坐标，根据点在抛物线，即可．； （3）根据平移得到抛物线的解析式，设点，，直线的解析式为：，过点作轴交于点，过点作轴交于点，根据相似三角形的判定和性质，则，求得，根据一次函数的性质，则直线的解析式为：；根据，则为直角三角形，斜边，即点在以为圆心，为半径的圆上，当时，最大，过点作轴交于点，设点，根据勾股定理，相等三角形的判定和性质，则，得到，即可． 【详解】（1）∵抛物线交轴于点，，与轴交于点， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：； ∵二次函数的对称轴：，∴，∴，∴点． （2）作轴于点，∵点，点∴， ∵，，∴，∴， ∴，设，则，∴点， ∵点在二次函数，∴，解得：（舍），，∴． （3）∵抛物线平移到顶点在原点的位置，∴现抛物线解析式为：， 设点，，直线的解析式为：， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴， ∵，∴，，∴，∴， ∴，∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，在直线上，∴，整理得：， ∴，∴，∴，解得：， ∴直线的解析式为：，∴直线过点， ∵，∴为直角三角形，斜边，∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当时，最大，∴，，， 过点作轴交于点，设点，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，，∴此时点的坐标为． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况． 例3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 【解析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r， ∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴， ∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：． 4．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4． 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE， ∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 法1：根据：∠EAF＝60°，AK＝2，得到定角定高（探照灯）模型 设三角形△AEF的高为AK=h，其外接圆半径为r，∠EAF= 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△AEF是等腰三角形（AE=AF）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴=4，当取等号时△ABC面积有最小值； 法2：作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？ (3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 【答案】(1)，；(2)，盲区的面积不会变化，为；(3)，． 【分析】（）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，由不变, 要使面积最小则最小，当、、 共线时最小，的面积最小； （）设，则有盲区面积为，当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，当盲区增加的面积与减少的面积相等时即可求解； （）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，，求出坐标即可． 【详解】（1）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，         的面积，不变, 要使面积最小则最小，设圆的半径为，不变， ∴不变，，当最小时，最小， ， ∴当、、 共线时最小，的面积最小，此时，，， 故答案为：，； （2）设，当摄像头如图所示，盲区面积为， 当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为， 当盲区增加的面积与减少的面积相等时，， 盲区的面积不会变化，此时，面积为初始面积等于，故，盲区的面积不会变化，为； （3）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，, ∴坐标为，． 【点睛】此题考查了圆的有关性质和垂线段最短，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键． 例6．（2023·广东·校考一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为　 　； 问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）15；（3）存在，． 【分析】（1）过点A作AH⊥BC，根据等边三角形的性质、正弦的定义求出AH，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH，根据三角形的面积公式计算即可；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG，根据角平分线的性质、三角形的面积公式得到＝，设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H，则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得R的范围，故△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，得△AGE的面积的最小值为16﹣16，进而可得△AEF的面积的最小值为24﹣24． 【详解】（1）如图①，过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°， ∴△ACD的面积＝×CD×AH＝×4×10•sin60°＝10，故答案为：10； （2）如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，AF=AH, ∠EAH＝∠EAF，AE=AE， ∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15； （3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG， 则AG＝ AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，过点E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N， ∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝， 设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H， 则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R， 由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4， ∴△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16， ∴△AGE的面积的最小值为16﹣16，∴△AEF的面积的最小值为24﹣24． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，圆周角定理，图形的旋转等，较为综合，根据图形作出合适的辅助线是解题的关键． 1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】作，交的延长线于点，当为此圆的切线时，即时，最大，在中，，证明则根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】如图，作，交的延长线于点，    ，当绕点A旋转时，点在以A为圆心，8为半径的圆上 当为此圆的切线时，即时，最大，此时，在中，， ，，，， 在和中， ，．故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正方形的性质、切线性质、圆周角定理、勾股定理等知识，找到最大时的位置是解题的关键． 2．（2024·广东·校考一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 　　． 【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝＝30° 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴64﹣16，当取等号时△ABC有最小值； 法2：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△ABB′中，AB＝，∴AB′的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l垂直平分线段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B， ∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB， ∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴，∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k， ∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝2k， ∵S△TAB＝•AB•TW＝•TB•AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4， ∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案为：64﹣16． 3.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆， 连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2）， BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC， ∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°， 设OB=OC=OE=r，则OG= BG=r，BC=2BG=r， ∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4， 当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4， ∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道： 当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。 再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。 ∴的周长的最小值为，故答案为：． 法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， 设，则，，∵， ∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点，且．（1）当时， ；（2）当最大时，的长为 ． 【答案】 / 【分析】（1）证明，利用计算即可； （2）当与相切时，的值最大，此时， 也最大，利用三角形相似计算即可． 【详解】（1）∵矩形中，，，∴ ∵，∴， ∴，故答案为：． （2）如图，取的中点O，连接． ∵矩形中，，，∴， ∵，∴A、D、E、F四点共圆，∴， ∴当与相切时，的值最大，此时， 也最大，∴， ∵矩形中，，，∴，∴， ∴，∴，∵， ∵矩形中，，，∴ ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，点P在y轴上，点，，为的外接圆．当最大时，点P的坐标为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质，熟练掌握切线的性质，相似的性质是解题的关键. 【详解】当的外接圆与y相切时，切点为P时，最大， 设外接圆的圆心为Q，G是异于点P的一点，连接，，交圆于点T， 则，根据三角形外角性质，得，故，∴最大， ∵，∴点Q一定在线段的垂直平分线上， 连接，，根据切线性质，∴，作直径，连接， ∴，，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 解得（舍去），故，当点P在y轴的负半轴时，根据对称性，可得； 故，. 7．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有． 小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则 ∵___________ ∴___________ ∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．） 【答案】（1）；（2）同意，理由见解析；问题应用：10；问题迁移： 【分析】（1）根据等量代换，按步骤进行作答即可； （2）如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，解答过程同（1）； 问题应用：由（2）可知，与切点连线的夹角是最大的张角，如图4，为过、两点的动圆的圆心，为动圆与的切点，则，，证明，则，证明三点共线，则，，，根据，计算求解即可； 问题迁移：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，记动圆的圆心为O，设，则，在中，由勾股定理得，，即，求得，则，根据，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设直线交圆于点，连接，则， ∵，∴，∴； （2）解：同意，理由如下， 如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，则， ∵，∴， ∴； 问题应用：解：由（2）可知，与切点连线的夹角是最大的张角，如图4，为过、两点的动圆的圆心，为动圆与的切点， ∴，，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴三点共线， ∴，，，∴，故答案为：10； 问题迁移：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形， 记动圆的圆心为O，设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，∴，∵， ∴，∴的最大度数为． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，切线的性质，余弦、正切，勾股定理，作垂线，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在灵活运用知识进行求解． 8．（2023·四川宜宾·校考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．    (1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）． 【答案】(1)，(2)(3)或 【分析】（1）根据平移可求，将点A的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式；（2）过点作轴交于，设，可求，由可求解；（3）是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为， ，点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，，， 抛物线的解析式为，即． 令，则，解得：，，；， 的面积为，，， ，解得：，，∴． 设直线的解析式为，则有 ，解得：，直线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴交于，      设，则，， ． ∴当此时E点坐标为． （3）解：如图，是的中点，在直线上运动，    ，， 当取得最小值时，的值最大， ，当取得最小值时，的值最大， 当垂直直线时，取得最小值， 此时、在二次函数的对称轴直线上，， 根据对称性，存在，故：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与三角形面积计算，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键． 9.（2024·陕西宝鸡·模拟预测）发现问题（1）如图，已知直线切于点，为直线上不同于点的另一点，，为上两点，分别连接，与，，则 ．（选填“”，“”或“”） 探究问题（2）如图，在中，为边上一点，连接，则有．求证：； 实际应用（3）五一劳动节期间，李明和爸爸妈妈一同去春游，他们选择野外搭帐篷露营过夜，如图，等边三角形是他们家帐篷的截面图，，，，分别为帐篷的固定点，其中，为帐篷入口位置的地面上两个固定点，已知，太阳落山后，李明需在帐篷边上挂一盏照明灯，请问这盏灯挂在距离顶点多远处，能使灯光的照射角最大？ 【答案】（）；（）见解析；（）米． 【分析】（）设与交于点，连接，根据圆周角定理得，最后由三角形的外角性质即可求解；（）利用相似三角形的判定与性质即可求解；（）以为弦作切于点，此时最大，由切线定理得，利用相似三角形性质即可求解；本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）设与交于点，连接， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （）如答图所示，以为弦作切于点， 此时最大，由切线定理得， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴ 挂灯点距离点为米． 10．（2024·陕西商洛·二模）(1)【问题提出】如图①，，若，则的度数为______； (2)【问题探索】如图②，在中，，，，点为边上一动点，连接，以为直径的交于点，求线段的最小值． (3)【问题解决】如图③，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，连接，，，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)线段的最小值为；(3)点的坐标为． 【分析】（1）不妨设，根据等边对等角，知道，， ，把，，用表示出来，然后在中利用三角形内角和，计算出； （2）根据直径所对的圆周角是，推出，然后根据邻补角得到，从而知道在以为直径的圆上，取的中点，画出，所以当、、三点共线时，最小，然后在中用勾股定理求出，最后求出的长度； （3）当最大时，过、两点的与轴相切，点在的垂直平分线上，首先通过待定系数法求出直线的表达式，通过、两点的中点，以及直线与轴的交点,判断和为等腰直角三角形，从来推出点坐标，然后通过待定系数法求出的垂直平分线的表达式，设的坐标，然后在中利用勾股定理求出的坐标，从而得到点的坐标． 【详解】（1）连接，不妨设，如图所示 ， ， 故答案为：； （2）如图，连接，是的直径，，， 即点在以为直径的圆上，以为直径作，交于点，当、、三点共线时，最小， 中，，，，， ，，故线段的最小值为； （3）如图，当最大时，过、两点的与轴相切， 设直线的解析式为，把，代入， 得，解得，直线的解析式为， 延长交轴于点，当时，，， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，直线交轴于点，交轴于点， 过点作，，， ，点的坐标为，直线的解析式为， 设，过点作， ，在中，， 解得，（舍去），点的坐标为． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形的内角和，勾股定理，圆周角定理以及推论，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2024·广东广州·三模）如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，． (1)求点与点之间的最大距离；(2)当最大时，连接，求的面积； (3)在旋转过程中，线段与线段存在交点，连接，若是的中点，是线段上的一个动点，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）连接，，根据题意可知，当点，点，点共线时，可以取得最大值；（2）以点为圆心，以为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大，可求得，结合即可求得答案； （3）过点作于点，证得，进而求得，点，点，点，点四点共圆，，当点，点，点三点共线时，且点，点重合时，值最小，过点作于，求得，进而得到． 【详解】（1）如图所示，连接，． 根据题意可知． 当点，点，点共线时，可以取得最大值，． （2）以点为圆心，以为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大． 根据题意可知． 过点作直线的垂线，交直线于点N． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）如图所示，过点作于点． ∵，,, ∴． 在和中 ∴． ∵, ∴． ∴． ∵， ∴点，点，点，点四点共圆． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴当点，点，点三点共线时，且点，点重合时，值最小． 如图所示，过点作于． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形三边关系，能根据题意绘制辅助线是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）观赏展品时视角越大越理想．如图所示，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动． (1)请证明：当过三点的圆与水平线相切于点时，视角最大． (2)若展品距地面最高、最低，小明身高，他站在与墙水平距离多远处，观赏展品最理想？ 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查圆周角定理，外角性质，切线性质定理，矩形判定及性质，勾股定理等． （1）过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，，利用外角性质可知，利用圆周角定理可知，继而得到本题答案； （2）连接，过点作于点，可得四边形是矩形，利用线段和差可得，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：过点水平线上取异于点的，连接交圆于点，连接，， ， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴在点处视角最大，即视角最大； （2）解：∵由题意得：，，设与交于点，圆心为 由题意知：， ∴，， 连接，过点作于点， ， ∵与水平线相切于点， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即站在与墙水平距离处最理想． 13．（2024·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，可知， ∵是的外角， ∴ _______（填“＞”，“＝”或“＜”）， ∴______（填“＞”，“＝”或“＜”）； 【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点P，作使其与直线相切，切点为P，不妨在直线上另取一点Q，连接，请你判断与的数量关系；并说明理由； 【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿着方向带球跑动，球门米，米,米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．） 【答案】（1）＜，＜（2） （3）15米 【分析】（1）根据三角形外角性质，得即； （2）根据(1)的解答，可判定； （3）当经过点A，点B的与相切，切点为M，此时切点位置即可射门位置． 本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，切线性质定理，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键． 【详解】（1）与相交于点D，连接，可知， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：＜，＜． （2）；理由如下： 与相交于点D，连接，可知， ∵是的外角， ∴， ∴． （3）当经过点A，点B的与相切，切点为M，此时切点位置即可射门位置 过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米， ∴米， ∵米 ∴米， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵，，设， ∴， 解得， 故， ∴， ∴， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去） ∴， ∴． 答：的长度为15米． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)存在，(3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可．（2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题．（3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下，如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．，，， ，，，， ，，，的最小值为，，的最小值为． （3）存在，理由如下，如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，，，， ，，， ，，，， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，则，，，， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 【答案】（1）；（2）平方米 【分析】（1）作的外接圆，连接、、，过点作于点，根据等腰三角形的性质得出，设，则，，根据，得，求出，，然后求出结果即可； （2）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，，，求出，在上截取，连接，证明，得出，根据，得出要使四边形的面积最小，只需的面积最小，求出，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，根据，得出，求出，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， ，，， 设，则，∴， ∵，∴，由，得，即， ，，面积的最小值为； （2）如图，过点作于点，于点， ，平分，，又，， ，，， ，均为等腰直角三角形，且， ，如图，在上截取，连接， ，，，， ，， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小， ，，， ，. 如图，的外接圆圆心为，连接，，，作于点， ，，，， 由题意得，即，， ，， ， 新品种郁金香培育基地面积的最小值为平方米. 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案； （2）如图所示，延长到G使得，连接，证明，得到，再证明，得到，，则； （3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当r最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵是边长为5的等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴；          （2）如图所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，， 又∵，∴； （3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴，∵，∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，∴，∴，∴， ∵，∴当r最小时，的面积最小， ∵，∴，∴， ∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键． 17．（2024·陕西商洛·二模）【问题提出】（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    【答案】（1）；（2）；（3）种植花卉的最少费用为元；草坪的最少费用为元 【分析】（1）过点作于点，进而可得，，解，即可求解；（2）作的外接圆交于点，连接，得出，证明，根据即可求解．（3）将绕点顺时针旋转得到，根据是等腰梯形，，，得出，作的外接圆，连接，则当最小时，种植花卉的面积最小，即当重合时，即为的直径时，最小，进而求得种植花卉的最少费用，当面积最大时，则四边形面积最小，当重合时，最大，则最大，进而求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点，        ∵是的外心，∴， ∵，∴ 即外接圆的半径为 （2）如图所示，作的外接圆交于点，连接， ∵四边形是矩形，∴∴是直径，∴ ∵∴∴∴ ∵∴∵，由（1）可得，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴ 设，则，∵，，，∴ ∵∴解得：或（负值舍去） ∴ （3）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴∴ ∵梯形，，，， ∴是等腰梯形，， ∴∴在直线上，∴ ∵，∴作的外接圆，连接， ∴∴，而 ∴当最小时，种植花卉的面积最小，∴当重合时，即为的直径时，最小， 此时∴平方米． ∵种植花卉每平方米元，∴种植花卉的最少费用为元； ∵在四边形内部种植草坪，即当面积最大时，则四边形面积最小， ∵在上，∴当重合时，最大，则最大 此时，如图所示，    ∵，∴ ∵∴ ∵ ∵∴∴ ∴∴是的角平分线，∴到的距离相等，设 ∵∴ ∵，，在中， ∴∵是等腰梯形，∴ ∴∴平方米． ∵种植草坪每平方米元，∴种植草坪的最少费用为元； 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【分析】本题考查了阅读学习型考题，先学习后应用是解题的关键． (1)根据斜边大于直角边计算即可．(2)根据斜边大于直角边计算即可．(3)作的外接圆，作于E，作直径，连接，  ，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．(4)作的外接圆，作于E，作直径，连接，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可． (5) 作于G，延长交于H，证明，把问题转化任务4求解即可． 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接       ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                             任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的性质，线段和的最值，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握治疗三角形的性质，圆的性质，三角函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$