精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二11月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册4.2结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程先求斜率，再求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的斜率，所以. 故选：C． 2. 已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推公式逐项计算即可得到第4项的值. 【详解】由，得，，，． 故选：B． 3. 若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得是直角三角形，且，即可得到答案。 【详解】由题得是直角三角形，且． 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得，． 故选：A 4. 若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是(　　) A. 4 B. 2 C. 1 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的图形及性质，求出t的范围，即可得到选项． 【详解】在中，， 当或时，均只有一个交点， 当时，有两个交点， 当时，无交点． 故选A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 5. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 6. 已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1012 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次方程求和，再根据等差数列的公式，即可求解. 【详解】方程的两个根是1和2024， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为，所以，故． 故选：B． 7. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设点为第一象限的交点，根据椭圆和双曲线的定义结合余弦定理得到，再利用三角换元法求解最大值即可. 【详解】不妨设点为第一象限的交点，如图所示： 则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可知， 所以，， 因此， 即， 所以，即，令，， 因此，其中， 所以，当时，有最大值， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两圆和相切，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两圆相外切和内切的公式，即可去求解. 【详解】根据题意，圆的圆心坐标为，半径长为2，圆的圆心坐标为，半径长为5． 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有，解得； 当两圆内切时，有，解得． 综上所述，实数的值为或． 故选：ACD． 10. 已知是数列的前项和，且，，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义以及分组求和法来求得正确答案. 【详解】由，得，两式相减得， 故数列的奇数项是等差数列，偶数项也是等差数列，公差都为3． ，，A正确； ，B错误； ，， ，C错误； ，，D正确． 故选：AD 11. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为 D. ，都存在过且与平面平行的平面 【答案】AD 【解析】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；取，可得A；结合向量模长与数量积的关系，计算可得B；得到平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算可得C；借助向量性质可得，，为共面向量，即可得D. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； 对于A，当即时，，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当即时等号成立，故，故B错误； 对于C，平面的法向量为，且， 故，此值不是常数， 故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误； 对于D，由，故，，为共面向量， 而平面，故平面，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果. 【详解】易见，抛物线的准线方程为，设，则到准线的距离为，等于到焦点的距离为4，即，故，即点的横坐标为3. 故答案为：3. 13. 若两个等差数列，的前项和分别为，，且满足，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，代入计算可得结果. 【详解】由等差数列性质得，， ∴． 故答案为：9. 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直线方程写成，即可求解定点； （2）首先求点到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 直线方程可化为， 由可得， 所以直线恒过定点． 【小问2详解】 化为， 圆心，半径． 当时，直线． 圆心到直线的距离． 所以直线被圆截得的弦长为． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过两点，． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的点满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用向量数量积的坐标运算列方程，再通过联立方程组来求得的坐标. 【小问1详解】 因为椭圆经过，， 则，，解得，． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，假设椭圆上存在点，使得， 则，即， 联立，解得，． 椭圆上存在点使得， 点坐标为或或或． 17. 如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即转化为证明平面； （2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求两个平面与平面的法向量，利用向量法求平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 又，且，平面， 所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则 令，则，，． 设平面的一个法向量为， 则 令，则，，， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） 由题意知，且当时，， 所以由得， 所以，由得，即， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列是等差数列，求得，进而求得，利用求得. （2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即，又， 所以解得，所以的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 19. 已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3. （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）直线恒过点 【解析】 【分析】（1）首先得到抛物线的焦点与准线方程，根据抛物线的定义可得，即可求出，从而得解. （2）依题意直线和的斜率均存在且不为，设直线的方程为，则直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，即可求出点坐标，同理得到点坐标，即可得到直线的方程，从而得解. 【小问1详解】 抛物线：焦点为，准线为， 设到的距离为，因为位于的上方区域， 根据抛物线的定义可知（当且仅当时取等号）， 又的最小值为，所以，解得， 所以抛物线：. 【小问2详解】 依题意直线和的斜率均存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为，，， 联立方程得，消去并整理得， 则，则，， 所以， 因为为的中点，所以，同理， 所以直线的方程为， 整理得，所以直线恒过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二11月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册4.2结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ） A. B. C. D. 6 3. 若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是(　　) A. 4 B. 2 C. 1 D. －2 5. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 6. 已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1012 D. 2 7. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两圆和相切，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是数列的前项和，且，，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为 D. ，都存在过且与平面平行的平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为_________. 13. 若两个等差数列，的前项和分别为，，且满足，则的值为______． 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过两点，． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的点满足，求点的坐标． 17. 如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 19. 已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3. （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $