专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 11 21 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2024·河南濮阳·一模）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（     ） A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 例2．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 例3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，．点是轴正半轴上一动点，则当的度数最大时，点的坐标为 ． 例4．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 例5．（2024·山东济南·二模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    例4．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 例5．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 例6．（2023·陕西渭南·统考二模）问题探究：（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 2．（2024·福建泉州·一模）“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（    ）时，最大． A． B． C． D．1 4．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ． 5．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形中，边长为4，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，则 ．    6．（2023·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．（1）点M的纵坐标为 ；（2）当最大时，点P的坐标为 ． 7．（2024·广东·校考一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 　　． 8.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 10．（2024·浙江金华·九年级校考期中）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB =_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为___ 米． 11．（2024·山西·九年级期中）如图，是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，其顶点为.（1）求的值.（2）连结、，动点的坐标为.①当四边形是平行四边形时，求的值；②连结、，当取最大值时，求出此时点的坐标.       12．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由． （2）如图2，影厅是一个长为12米，宽为6米的矩形，是观影屏幕，且米，观众座位设置在矩形区域内，其中米，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列上的座位可选，为使观影视角最佳，在上是否存在点P，使得最大，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． （3）在（2）情况下，交于点Q，所在区域观影效果不佳，则此区域的面积_______． 13．（23-24九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 16．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    17．（2024·陕西商洛·二模）【问题提出】（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 11 21 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2024·河南濮阳·一模）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（     ） A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大． 【详解】解：因为点 都在圆上，故通过观察处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大．故选D． 例2．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，，，， ，，，，三点在以Q为圆心的圆上， ，与圆Q相切与P，此时最大， 在中，，故选：． 例3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，．点是轴正半轴上一动点，则当的度数最大时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】依题意，经过、、三点的圆的圆心一定在第一象限，设圆心为，过作轴交于，过作轴交于，得出四边形为矩形，在轴上任意取一点，连接、，与圆的交点为，连接，当轴与圆相切时，的度数最大，勾股定理得出，则，即可求解． 【详解】解：点在轴正半轴上运动，经过、、三点的圆的圆心一定在第一象限， 设圆心为，过作轴交于，过作轴交于， 四边形为矩形，，， 在轴上任意取一点，连接、，与圆的交点为，连接，， ，，当轴与圆相切时，的度数最大， ，，，，，， ，，；故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，得出当轴与圆相切时，的度数最大是解题的关键． 例4．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【答案】[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2） 【分析】[提出问题]根据同弧所对的圆周角，以及三角形外角的性质可得，，然后作答即可； [经验感知]（1）由题意知，过三点，分别作的垂直平分线，交点即为圆心，然后作圆即可；（2）如图4，连接，于，是的切点，四边形是矩形，，则，是等边三角形，然后根据圆周定理求最大射门角的度数即可； [理解应用]（1）如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由，可知四点共圆，如图5，则，然后作答即可；（2）如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，，，均为等腰直角三角形，，，设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的值，根据，计算求解即可． 【详解】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下： 如图2，记与过两点的圆的交点为，连接，∵，∴， ∵，∴，∴甲自己射门好； [经验感知]（1）如图4，即为所求； （2）如图4，连接，于，∵是的切点，∴， ∵，，∴四边形是矩形， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形，， ∵，∴，∴最大射门角的度数为； [理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由勾股定理得，， ∴，∴四点共圆，如图5，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C； （2）解：∵，，，∴， 如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角， ∴，，， ∵，∴，∴，， ∴，， 由题意知，，， ∴均为等腰直角三角形，∴，， 设的半径为，则，，∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴射门角（）最大，此时的长度为米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 例5．（2024·山东济南·二模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）把、代入求解，得出抛物线的解析式即可； （2）过点作，交于，根据抛物线的解析式，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，设点（），得出点的纵坐标点的纵坐标，代入直线的解析式，表示出点的横坐标，根据的边上的高与的边上的高相同，得出，证明，根据相似三角形的性质推出关于的函数关系式，根据二次函数的性质，求出最大值即可；（3）分“点在轴上方”和“点在轴下方”两种情况讨论；作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接，根据“同弧所对圆周角相等”推理证明出当点在点的位置时，最大，根据图形与坐标，结合勾股定理，求出点的坐标；作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接，根据“同弧所对圆周角相等”推理证明出当点在点的位置时，最大，根据图形与坐标，结合勾股定理，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把、代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作，交于， ∵抛物线的解析式为，与轴交于、两点，∴令，则， 解得∶（为点横坐标），，∴，，设直线的解析式为， 把、代入得：，解得：，∴直线的解析式为， ∵点为第一象限抛物线上的一点，∴设点（）， ∵，交于，∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴把代入得：，整理得：， ∴点的横坐标，∴点的横坐标点的横坐标， ∵的边上的高与的边上的高相同，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴， ∴当时，取得最大值， ∴与面积的比值的最大值为； （3）解：如图，作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵，∴，∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，，∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标，∴点的坐标为； 如图，作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵，∴，∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴，∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为；综上所述，当最大时，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、求二次函数解析式及最值、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式的理解、圆与直线相切的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理、图形与坐标等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况． 例3．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 例4．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4． 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°， ∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x， ∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键． 例5．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)8，16(2)(3)(4) 【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出； （2）作的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果； （3）同（2）步骤相同：作的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果； （4）作，交于，可证得，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：，，当和点重合时，，此时最小为4， ，最小，故答案为：8，16； （2）解：如图1，作的外接圆，作于，设，， ，，， ，，， 当点在上时，，此时最小，； （3）解：如图2，作的外接圆，作于，设，， ，，，，， ，，， 当点在上时，，此时，，故答案为：； （4）解：如图3，作，交于， ，，， ，，，， ，由（2）知：，， ，，，，， 同理，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 例6．（2023·陕西渭南·统考二模）问题探究：（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在最小值是；理由见解析；（3）存在，最大值是平方米． 【分析】（1）根据旋转可得，，根据勾股定理求出BC的值，进而可得AC′的值，再根据勾股定理可得AA′的长； （2）如图2，作的外接圆，连接，，，过点作于，设，根据垂线段最短得，则，所以x的最小值是2，根据三角形的面积公式可得结论； （3）存在，如图3，过点作于，则，根据等腰直角三角形的判定得，将绕点E顺时针旋转135°得到，证明M，B，C三点共线，根据面积差得S四边形EFCH，则当的面积最小时，四边形EFCH的面积最大，作△EMF F的外接圆，，连接，，，过点作于，设米，最后计算出FM的最小值即可求解． 【详解】解：（1）如图1，根据旋转可知：，，， 根据勾股定理，得，∴， 在中，根据勾股定理，得：，故答案为：； （2）的面积存在最小值，最小值是；理由如下： 如图2，作的外接圆，连接，，，过点作于， 设，∵，∴． ∵，∴，∵，∴，． ∵，∴，∴，∴，即的最小值是2． ∵，∴的最小值是，此时， ∴的面积存在最小值，最小值是； （3）存在，如图3，过点作于，则， ∵，，∴，∴． ∵，∴，将绕点顺时针旋转得到， ∴，∴，∴，，三点共线． ∵，当的面积最小时，四边形的面积最大， 作的外接圆，连接，，，过点作于， 设米，∵，， ∴，∴，∴． ∵，∴是等边三角形，∴，． ∵，∴，∴，此时的最小值是， ∴（平方米）， ∴四边形的面积的最大值是平方米． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，勾股定理，三角形高的最小值问题，三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作辅助线，利用辅助圆和旋转的知识作三角形解决问题． 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆，延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上，∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则，， ，∴四边形为矩形，， ，．故选择：C． 2．（2024·福建泉州·一模）“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，过点作，则，可证得四边形是矩形，，进而可知是等边三角形，可得，由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，如图， 过点作，则，，∵四边形是矩形，∴， 又∵与射线相切于点，∴，∴四边形是矩形， ∵，，则，∴，则，∴，则， ∴是等边三角形，∴，∴，即：的值最大为，故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，作出图形，利用切线的性质，矩形的判定及性质证得是等边三角形是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（    ）时，最大． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时，最大，设圆心，用n的代数式表示出，，即可求解． 【详解】解：设的中点为M，作轴于点H，作轴于点G， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为，切点为Q， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 当C与Q重合时，最大， ∵，， ∴ ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，特殊角的三角函数值，求一次函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，找出使最大的位置． 4．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆有关的计算，勾股定理．当时，取得最大值，然后在直角三角形中利用勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图所示：是定值，∴时，最大， 在直角三角形中，，，．故答案为：． 5．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在正方形中，边长为4，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，则 ．    【答案】 【分析】作的外接圆，当与相切时，最大，即最大，连接，则，求出，然后利用圆周角定理得到，进而利用代数求解即可． 【详解】解：作的外接圆，则圆心在的中垂线上移动， ， 当最大时，最大， 当与相切时，最大， 是的中点，， ，， 连接，则，   ，， 四边形是矩形， ， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，矩形的性质，圆周角定理，求角的正弦值等知识，掌握矩形的性质和切线的性质是正确解答的前提，理解的外接圆与相切时，最大是解决问题的关键． 6．（2023·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆． （1）点M的纵坐标为 ；（2）当最大时，点P的坐标为 ． 【答案】 5 (4，0) 【分析】（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可； （2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆， ∴点M在线段AB的垂直平分线上， ∵A(0，2)，B(0，8)，∴点M的纵坐标为：，故答案为：5； （2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大， 理由：若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点， 设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB， ∵∠AEB是ΔAE的外角，∴∠AEB>∠AB， ∵∠APB>∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大， ∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)， ∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上， ∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5， 设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5， 而∠POD=90°，∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD， 由勾股定理，得MD=， ∴OP=MD=4，∴点P的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)． 【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键． 7．（2024·广东·校考一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 　　． 【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝＝30° 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴64﹣16，当取等号时△ABC有最小值； 法2：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△ABB′中，AB＝，∴AB′的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l垂直平分线段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B， ∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB， ∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴，∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k， ∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝2k， ∵S△TAB＝•AB•TW＝•TB•AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4， ∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案为：64﹣16． 8.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆， 连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2）， BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC， ∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°， 设OB=OC=OE=r，则OG= BG=r，BC=2BG=r， ∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4， 当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4， ∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道： 当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。 再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。 ∴的周长的最小值为，故答案为：． 法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， 设，则，，∵， ∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．（2024·浙江金华·九年级校考期中）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB =_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为___ 米． 【答案】          【分析】（1）证明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性质求出QD，过点B作BH⊥AQ于点H．利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得结论；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，根点O作OJ⊥NK于点J．解直角三角形求出NJ，NK，可得结论． 【详解】（1）由题意，∠BQD=∠QAD， ∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB•DA， ∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如图，过点B作BH⊥AQ于点H． ∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=， ∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=， ∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案为：； （2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，过点O作OJ⊥NK于点J． ∵MN∥BH ∴，∴BN==，∴NK=BN•sin∠QBD=×=， ∵MN⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°， ∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=， ∴JN=ON•cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=， ∴MN中点与AB的距离至少为米时才能确保防守成功．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2024·山西·九年级期中）如图，是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，其顶点为.（1）求的值.（2）连结、，动点的坐标为.①当四边形是平行四边形时，求的值；②连结、，当取最大值时，求出此时点的坐标.       【答案】（1）；（2）①；②，. 【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值； （2）①可先求得OB、OC和BE的长，再利用平行四边形的性质证明△QFC≌△BED，可证明FQ=2，可求得m的值；②记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N），连接OM、CM．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出sin∠CQO，可得出sin∠CQO的值随着OM的增大而减小，则可得与直线y=1相切，再结合勾股定理可求得Q点的坐标． 【详解】解：（1）把代入，，解得. （2）①设抛物线的对称轴与轴交于点. ∵，∴，则，. 令得，；令得，，解得，. ∴，，.（以下有两种方法） 方法1：设直线与轴交于点，则，. 当四边形是平行四边形时，，∴.∴. 方法2：过作的平行线与直线相交，则交点必为， 设直线与轴交于点，则.∵，∵. 又∵，，∴. ∴，，∴. ②记的外心为，则在的垂直平分线上（与轴交于点）.连结、，则，， ∴，∴的值随着的减小而增大. 又∵，∴当取最小值时最大，即直线时，最大，此时，与直线相切，∴，又，∴， ∴.根据对称性，另一点也符合题意.综上所述，，. 【点睛】本题考查二次函数综合题，熟练掌握计算法则是解题关键. 12．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由． （2）如图2，影厅是一个长为12米，宽为6米的矩形，是观影屏幕，且米，观众座位设置在矩形区域内，其中米，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列上的座位可选，为使观影视角最佳，在上是否存在点P，使得最大，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． （3）在（2）情况下，交于点Q，所在区域观影效果不佳，则此区域的面积_______． 【答案】（1）坐在 C位置更好；（2）为2米；（3） 【分析】（1）如图，记于圆的交点为，证明，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）如图，作过且与，都相切的，与的切点为，连接，，，，，，，过作于，交于，由（1）的结论可得：最大，再进一步解答即可； （3）如图，延长交于，结合（2）可得：，，由，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）如图，记于圆的交点为， ∴，∵，∴，∴坐在 C位置更好； （2）如图，作过且与，都相切的，与的切点为，连接，，，，，，，过作于，交于，由（1）的结论可得：最大， 由题意可得：矩形，矩形，∴，，，，， ∵，，第一排座位所在直线离屏幕的距离为2米， ∴，，，， ∵为的切线，∴，∴四边形是矩形，且，∴，， ∵，∴，∴，∴； （3）如图，延长交于，结合（2）可得：，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 13．（23-24九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【分析】米勒定理∶由得，由圆的基本性质得，即可求证； 问题解决∶过作交于，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由矩形的性质得，，由线段和差可求，，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】米勒定理 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，，（填“、或”）， 又，，，眼睛位于点C处时，最大，故答案：，； 问题解决∶解：如图，过作交于， 四边形是矩形，，，， ，， ，，， 在中，，， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握性质，理解米勒定理及题意中线段的实际意义，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)存在，(3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可．（2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题．（3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下，如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．，，， ，，，， ，，，的最小值为，，的最小值为． （3）存在，理由如下，如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，，，， ，，， ，，，， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，则，，，， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值． 【答案】（1）；（2）平方米 【分析】（1）作的外接圆，连接、、，过点作于点，根据等腰三角形的性质得出，设，则，，根据，得，求出，，然后求出结果即可； （2）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，，，求出，在上截取，连接，证明，得出，根据，得出要使四边形的面积最小，只需的面积最小，求出，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，根据，得出，求出，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， ，，， 设，则，∴， ∵，∴，由，得，即， ，，面积的最小值为； （2）如图，过点作于点，于点， ，平分，，又，， ，，， ，均为等腰直角三角形，且， ，如图，在上截取，连接， ，，，， ，， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小， ，，， ，. 如图，的外接圆圆心为，连接，，，作于点， ，，，， 由题意得，即，， ，， ， 新品种郁金香培育基地面积的最小值为平方米. 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案； （2）如图所示，延长到G使得，连接，证明，得到，再证明，得到，，则； （3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当r最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵是边长为5的等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴；          （2）如图所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，， 又∵，∴； （3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴，∵，∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，∴，∴，∴， ∵，∴当r最小时，的面积最小， ∵，∴，∴， ∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键． 17．（2024·陕西商洛·二模）【问题提出】（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    【答案】（1）；（2）；（3）种植花卉的最少费用为元；草坪的最少费用为元 【分析】（1）过点作于点，进而可得，，解，即可求解；（2）作的外接圆交于点，连接，得出，证明，根据即可求解．（3）将绕点顺时针旋转得到，根据是等腰梯形，，，得出，作的外接圆，连接，则当最小时，种植花卉的面积最小，即当重合时，即为的直径时，最小，进而求得种植花卉的最少费用，当面积最大时，则四边形面积最小，当重合时，最大，则最大，进而求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点，        ∵是的外心，∴， ∵，∴ 即外接圆的半径为 （2）如图所示，作的外接圆交于点，连接， ∵四边形是矩形，∴∴是直径，∴ ∵∴∴∴ ∵∴∵，由（1）可得，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴ 设，则，∵，，，∴ ∵∴解得：或（负值舍去） ∴ （3）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴∴ ∵梯形，，，， ∴是等腰梯形，， ∴∴在直线上，∴ ∵，∴作的外接圆，连接， ∴∴，而 ∴当最小时，种植花卉的面积最小，∴当重合时，即为的直径时，最小， 此时∴平方米． ∵种植花卉每平方米元，∴种植花卉的最少费用为元； ∵在四边形内部种植草坪，即当面积最大时，则四边形面积最小， ∵在上，∴当重合时，最大，则最大 此时，如图所示，    ∵，∴ ∵∴ ∵ ∵∴∴ ∴∴是的角平分线，∴到的距离相等，设 ∵∴ ∵，，在中， ∴∵是等腰梯形，∴ ∴∴平方米． ∵种植草坪每平方米元，∴种植草坪的最少费用为元； 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【分析】本题考查了阅读学习型考题，先学习后应用是解题的关键． (1)根据斜边大于直角边计算即可．(2)根据斜边大于直角边计算即可．(3)作的外接圆，作于E，作直径，连接，  ，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．(4)作的外接圆，作于E，作直径，连接，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可． (5) 作于G，延长交于H，证明，把问题转化任务4求解即可． 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接       ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                             任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的性质，线段和的最值，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握治疗三角形的性质，圆的性质，三角函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$