专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 8 17 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（23-24·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 例2．（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    例3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点． 已知点 ，，是的外接圆．（1）点P的横坐标为 ；（2）若最大时，则 ． 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 例5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为． (1)求、、的坐标及的值；(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．    模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 例4.（23-24·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________. 例5．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示）；(4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 例6．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝　 　．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 2．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（    ） A． B．6 C．8 D．10 3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点P为上一动点，点A为圆内一点，且满足，当最大时，则的长是 ． 4．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．（1）点M的纵坐标为 ；（2）当最大时，点P的坐标为 ． 5．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．      6.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 8．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？    9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）问题发现（1）如图1，是的弦，直线交于点，在直线上找一点，使得，请画出满足条件的一个． 问题探究（2）如图2，已知射线、，，点、在射线上，点是射线上一动点，，，当最大时，请求出此时的长． 问题解决（3）如图3，某公园准备修建一室外儿童游乐园，地面道路边的段为儿童游乐园的入口，安全管理部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上确定一点，并架设横杆，使得且，在点处安装一摄像头，对入口段实施监控（点、、、、、、在同一平面内）．已知，，．调研发现，当最大时监控效果最好．请问能否找到一个点，从而确定点，使得达到最大？如果存在，请确定点的位置，并求出此时的值；如果不存在，请说明理由． 10．（2023·广东深圳·一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ (1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， 是的外角， 　 　（填“”，“”或“”）， 　 　（填“”，“”或“”）； (2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由； (3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．） 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，完成探索任务． 生活中的最大视角问题 素材1 如图1，直线，相交于点，A，B为直线上两点且在同侧，C为直线上一动点，当的外接圆与动点C所在直线相切时，最大． 如图2，在上任取异于点C的一点D，连接，交圆于点E，连接，可证得． 素材2 如图3，山顶有一座古塔，已知塔的高度为，距离山脚的观测点E处（即）看古塔的视角最大． 素材3 如图4，若动点C在半径为r的上，经过点A、点B的（半径为R）与点C所在圆外切时，最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆心与切点三点共线） 素材4 如图5，摩天轮的半径为（它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平面内有一长度为的风景带，其中为，点P从最低点A处按逆时针转动到最高点B处． 问题解决 任务一 结合图2，说明． 任务二 结合图3，求山的高度． 任务三 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离_______．（用含R和r的代数式表示） 任务四 结合图5，若从点P处看风景带视角最大，求的度数． 12.（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知正方形，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转．(1)如图1，连接与，在旋转过程中小语同学发现，请你帮小语同学完成证明过程；(2)如图2，若，，在旋转过程中，①求点与点之间的最大距离；②当最大时，连接，求的面积． 13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式：(2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标：(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答．    14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值； （2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值． 15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______． 17．（2024九年级下·广东·专题练习）问题提出： 如图1：在中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ． 问题探究：如图2，正方形中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决：如图3，四边形中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 1 模型1.米勒最大张角（视角）模型 1 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 8 17 模型1.米勒最大张角（视角）模型 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（23-24·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据三角形外角的性质得出，得出最大，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴最大，∴小明将球传给丁球员射门较好，故选：D． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    【答案】 【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，      ∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m， ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF， 又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E， ∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝m，故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明OB是⊙F的切线是解题的关键． 例3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点． 已知点 ，，是的外接圆．（1）点P的横坐标为 ；（2）若最大时，则 ． 【答案】 3 【分析】本题考查坐标与图形，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，求正弦值，解题的关键是确定点P,A的位置．（1）根据三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点上，得到点在的中垂线上，即可得出结果；（2）据最大时，与轴相切，确定点的位置，再根据正弦的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）∵三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点上，∴点在的中垂线上， ∵，，∴点的横坐标为；故答案为：3； （2）如图：当与轴相切于点时，的度数最大，理由如下： 若过点点，连接，交与轴相切且过点的圆于点，连接，则：， 又∵，∴， ∴当与轴相切于点时，的度数最大，则：轴， ∵，，点的横坐标为；∴， 连接，过点作，则：，，， ∴；故答案为：． 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）   （3）， 【分析】（1）先利用三角形外角的性质得出 再利用同弧所对的圆周角相等得出即可得出结论；（2）先利用三角形外角的性质得出，再利用同弧所对的圆周角相等得出， 即可得出结论；（3）如图3中, 当经过的与相切于时, 的值最大，作于, 交于, 连接.设 ，用两种方法求出，构建方程即可解决问题. 【详解】（1）如图,延长 交于, 连接, 是的外角，， ，，故答案为:； （2）画出图形如图所示， 证明: 连接, 是 的外角，， ，； （3）如图中, 当经过的与相切于时, 的值最大， 作于, 交于,连接.设， ，， ， ，，， ，， 整理得：，， 或 (舍弃),， ，，， ，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角的性质，解直角三角形，构造出直角三角形是解本题的关键. 例5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为．    (1)求、、的坐标及的值；(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，，；(2)直线的解析式为：或； (3)存在，． 【分析】（1）令，即可求出点、坐标，再求出点坐标代入抛物线解析式即可求出． （2）如图1，作于点，于点，则，设直线的解析式为，，，列出方程组消去，根据根与系数关系以及，列出方程即可解决问题． （3）存在点，使的值最大，当时，最小，此时与相切于点（如图3），求出即可． 【详解】（1）解：令，得，、； ，，代入得； （2）解：如图1，作于点，于点，则，      ，，又，， 设直线的解析式为，，， 由消去得，，， ，，，， 直线的解析式为：或； （3）解：存在点，使的值最大， 如图2，设的外接圆为，是弦心距，则， 在中，为定值，当的半径最小时，最大， 当时，最小，此时与相切于点（如图3）， 由，得，解得，． 【点睛】本题考查二次函数综合题、根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理、圆、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用根与系数的关系构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造圆解决问题，属于中考压轴题． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。 例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况． 例3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 【解析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r， ∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴， ∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：． 例4.（23-24·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________. 【解析】“大角含半角+有相等且共端点的边”识别出“半角模型”，通过截长补短构造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB为定高，通过定角定高模型结论求出最值。 延长CD至点G，使DG=BE，连结AG，易证△ABE≌△ADG(SAS) ∴BE=DG，∠BAE=∠DAG ∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF则△AEF'≌△AGF(SAS)， 作△AGF的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OF，过得O作OH⊥GF于H， 则∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，设△AGF的外接圆的半径为R， 则GF＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣， ∴△AGF的面积≥××（8﹣）×4＝16﹣16，∴△AFE的面积的最小值为16-16． 例5．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示）；(4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)8，16(2)(3)(4) 【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出； （2）作的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果； （3）同（2）步骤相同：作的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果； （4）作，交于，可证得，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：，，当和点重合时，，此时最小为4， ，最小，故答案为：8，16； （2）解：如图1，作的外接圆，作于，设，， ，，， ，，， 当点在上时，，此时最小，； （3）解：如图2，作的外接圆，作于，设，， ，，，，， ，，， 当点在上时，，此时，，故答案为：； （4）解：如图3，作，交于， ，，， ，，，， ，由（2）知：，， ，，，，， 同理，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 例6．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝　 　．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 【答案】（1）；（2）16；（3）． 【分析】（1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质求出，利用正弦求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）因为， 四点共圆，所以当BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，此时，由勾股定理可得 ，因为四边形 ，所以，当 时，四边形ABCD是正方形，由不难求出，进而求得四边形ABCD的最大面积；（3） 因为甲种花卉贵，所以若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，可证得三点共线，通过证明，得，过点A作过点A作于K，求得，作的外接圆，连接 ，过点作于点N，通过过得 面积的最小值为， 再通过求求得乙种花卉的种植面积为 ，最后根据甲乙两种花卉每平方米的价格求出至少种植两种花卉的费. 【详解】解：（1）如图①，过点作于点D， ，是等腰三角形，， ，，故答案为： （2），四点共圆， 当为直径时，最大，此时 ，， ，由勾股定理， ， 时，四边形是正方形，最大，， ， 的最大值=， （3）如图③ 甲种花卉贵，若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，由旋转可得 三点共线， ，， 过点A作过点A作于K，， 作的外接圆，连接 ，过点作于点N， 设 在中，，， ， ，， ，面积的最小值为 且 ， 乙种花卉的种植面积为 种四花卉花费：元，种乙花卉花费：元， 至少花费元． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，正方形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，三角形和四边形的面积问题等知识，利用四点共圆及图形的旋转变换是解决本题的关键． 1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：运用定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝ 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴=4，当取等号时AB有最小值； 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k， ∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k， ∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题． 2．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】作于H，由题意知绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵， ∴当绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上， ∴当为此圆的切线时，最大，即， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、圆的性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点P为上一动点，点A为圆内一点，且满足，当最大时，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的基本性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键，先过作于，，可得最大，则最大，再进一步解题可得答案． 【详解】解：如图，过作于，， ∴，∴最大，则最大，∴此时， ∴，故答案为： 4．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．（1）点M的纵坐标为 ；（2）当最大时，点P的坐标为 ． 【答案】 5 【分析】（1）根据点A、点B的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标； （2）连接、，过点M作轴于点N，根据垂径定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵点，， ∴的中点坐标为， ∵为的外接圆， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点M的纵坐标为5， 故答案为：5； （2）连接，， 根据解析（1）可知，点M一定在直线上， ∵为的外接圆，点P在x轴上， ∴， ∴， 如图，过点M作于点N， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，最大，即最大，最大， ∴当，即当与x轴相切于点P时，最大， 连接、， ∵与x轴相切于点P， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与x轴相切于点P时，最大是解题的关键． 5．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．      【答案】 【分析】过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,则，证明四边形是矩形, 再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的性质即可求解． 【详解】：过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,    则， ∵四边形是正方形，，∴，， ∵M是的中点，∴， ∵过点A、M作与相切于点，∴， ∵的中点为N,∴，， ∴，∴四边形是矩形, ∴, 在中,， ∴,∴当点P运动到点时，最大， 此时，故答案为： 【点睛】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大． 6.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。 【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆， 连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2）， BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC， ∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°， 设OB=OC=OE=r，则OG= BG=r，BC=2BG=r， ∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4， 当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4， ∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道： 当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。 再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。 ∴的周长的最小值为，故答案为：． 法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， 设，则，，∵， ∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？    【答案】 【分析】本题综合考查了与圆相切的位置关系和勾股定理，找出最大视角即与圆相切的位置关系是解决问题的关键． 根据题意画出图形找到最大视角，运用与圆有关的位置相切和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，则在过，且与地面平行的直线上，    当过，，的与相切时，最大， 过作，则，， ，栅栏应摆放在距的位置． 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）问题发现（1）如图1，是的弦，直线交于点，在直线上找一点，使得，请画出满足条件的一个． 问题探究（2）如图2，已知射线、，，点、在射线上，点是射线上一动点，，，当最大时，请求出此时的长． 问题解决（3）如图3，某公园准备修建一室外儿童游乐园，地面道路边的段为儿童游乐园的入口，安全管理部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上确定一点，并架设横杆，使得且，在点处安装一摄像头，对入口段实施监控（点、、、、、、在同一平面内）．已知，，．调研发现，当最大时监控效果最好．请问能否找到一个点，从而确定点，使得达到最大？如果存在，请确定点的位置，并求出此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）满足条件点的位置是，此时 【分析】（1）设直线交于，，根据三角形的外角的性质，当点在点的左侧或点的右侧时，满足条件．（2）如图2中，作线段的垂直平分线，垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．（3）存在．过点作交于，作线段的垂直平分线垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．延长交的延长线于，连接，．，则，利用勾股定理构建方程求出，再求出即可． 【详解】解：（1）如图，，． （2）如图2中，作线段的垂直平分线，垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．是的切线，， ，，四边形是矩形，， ，，， ，当最大时，的长为． （3）存在．理由：过点作交于，作线段的垂直平分线垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．延长交的延长线于，连接，． ， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， 设，，则， 由题意，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得，， 解得或（舍）， ， ， ， ，此时． ∴满足条件点的位置是，此时． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·广东深圳·一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ (1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， 是的外角， 　 　（填“”，“”或“”）， 　 　（填“”，“”或“”）； (2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由； (3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．） 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由是的外角，可得，即可求解； （2）设与交于点G，连接，可证，从而可证，即可求证； （3）当经过A，B的与相切时，最大，过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，四边形是矩形， 可求，可证是等腰直角三角形，设的半径，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是的外角， ， ， 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 如图所示，设与交于点G，连接，    ， ， 是的外角， ， ． （3）解：如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，    过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F， ， ， ，，AD⊥DF， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设的半径， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， ． 答：的长度为． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，三角函数等掌握相关的性质，找出最大角的条件是解题的关键 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，完成探索任务． 生活中的最大视角问题 素材1 如图1，直线，相交于点，A，B为直线上两点且在同侧，C为直线上一动点，当的外接圆与动点C所在直线相切时，最大． 如图2，在上任取异于点C的一点D，连接，交圆于点E，连接，可证得． 素材2 如图3，山顶有一座古塔，已知塔的高度为，距离山脚的观测点E处（即）看古塔的视角最大． 素材3 如图4，若动点C在半径为r的上，经过点A、点B的（半径为R）与点C所在圆外切时，最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆心与切点三点共线） 素材4 如图5，摩天轮的半径为（它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平面内有一长度为的风景带，其中为，点P从最低点A处按逆时针转动到最高点B处． 问题解决 任务一 结合图2，说明． 任务二 结合图3，求山的高度． 任务三 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离_______．（用含R和r的代数式表示） 任务四 结合图5，若从点P处看风景带视角最大，求的度数． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三：；任务四： 【分析】任务一，根据圆周角定理，建立圆周角与圆外角之间的联系，即得答案； 任务二，根据最大视角的定义可知，的外接圆与相切于点E，过点O作于点H，连结，，根据垂径定理求得的半径长，即可进一步求得答案； 任务三，根据素材三给出的两圆外切的概念阐述，即得答案； 任务四，由题意得点P位于的外接圆与外切的切点处，过点作于点C， 于点D，连结，，则切点P在上，设的半径为r（m），（m），根据勾股定理列出方程组，解方程组得，可知点O与点D重合，即得答案． 【详解】解：任务一，由圆周角定理得， 是的一个外角， ， ； 任务二，根据最大视角的定义可知，的外接圆与相切于点E， 过点O作于点H，连结，， 则， ， 四边形是矩形， ，（m）， （m）， 在中，（m）， （m）， （m）， 即山的高度为； 任务三， 与 外切， ，C，三点共线， 两圆心之间的距离； 故答案为：； 任务四， 若从点P处看风景带视角最大， 由素材三可知，点P位于的外接圆与外切的切点处， 过点作于点C， 于点D，连结，， 则切点P在上， ， （m）， 设的半径为r（m），（m）， 则（m）， ，，， 四边形是矩形， （m），（m）， （m）， 在和中，， 解得， ， 即点O与点D重合， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，正确理解最大视角的定义是解题的关键． 12.（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知正方形，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转． (1)如图1，连接与，在旋转过程中小语同学发现，请你帮小语同学完成证明过程； (2)如图2，若，，在旋转过程中， ①求点与点之间的最大距离；②当最大时，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)①；②24 【分析】（1）先根据证明，得出即可； （2）①连接，，根据题意可知，当点，点，点共线时，可以取得最大值； ②以点为圆心，以8为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大，可求得，证明，得出，代入数据求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，， ∵为等腰直角三角形，∴，， ∴，即，∴，∴； （2）解：①如图所示，连接，． ∵四边形为正方形，∴，， ∴，根据题意可知：． 且当点，点，点共线时，可以取得最大值， ∴，即点与点之间的最大距离为． ②以点为圆心，以8为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大． ∵此时与相切，∴，∴，根据勾股定理得：， 过点作直线的垂线，交直线于点N，∵，∴， ∵，∴，∴，即,∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，切线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式：(2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标：(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答．    【答案】(1)(2)的最大值为，(3) 【分析】（1）用待定系数法，将点，点坐标代入，即可求解， （2）先证明，得出，设，求出，则，然后证明是等腰直角三角形，得出，，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）利用圆周角定理判断出当的外接圆与对称轴相切时，的度数最大，然后设，，利用相等构造方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入可得： ，解得：，故抛物线的解析式为：； （2）解：当时，，∴，∴， ∵，∴， ，设直线解析式为， 则，解得，∴直线解析式为， 过点F作于H，∴，    又，∴，∴，设， ∵轴，∴点E的纵坐标为，代入，得，解得， ∴，∴，∵，，∴， ∵轴，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴当时，取最大值为，此时，∴的最大值为，； （3）解：∵，∴对称轴为， 作的外接圆，记为，    ∵点M在对称轴上运动，∴对称轴与相交或相切， 设与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点，连接，，，，与相交于点N，则，由，∴， ∴当与对称轴相切时，的度数最大，此时，设，，则 ∵，∴，整理得， 解得（舍去），，∴ 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是：（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式， （2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值， （3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置． 14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值； （2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值． 【答案】（1）的最小值为；（2） 【分析】（1）的外接圆，连接，过点O作，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，再由即可求解； （2）长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线 由，因为为定值，取得最小值时，取得最大值． 【详解】（1）解：如图，作的外接圆，连接，过点O作，则， ∵∴， 设，则， ∵∴，解得：， ∴，∴的最小值为； （2）解：分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形 ∵，，，∴， ∴，∴，∴， ∴ ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线 ∴ ∵为定值∴当取得最小值时，取得最大值， ∵∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J，设的外接圆半径为，则， ∵∴∴ 当点O在上时，最短，此时 ∴ ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，三角形的外接圆，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵等边的边长为，∴，，∴ 又∵，∴的面积为，故答案为：． （2）如图所示，延长到使得，连接， 四边形是正方形，，， ，，， ∠，， ，， 又，，，， 又，； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ，，，， 过点作于，作于，则四边形是矩形， ，， ，当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于， 设，，， ，，，当最小时，的面积最小， ，，， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为米， 平方米 存在一个面积最小的，其最小值为平方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键． 16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______． 【答案】（1）11；（2）；（3）平方米 【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可． 【详解】解：（1）∵圆心到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为，故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图． ，，，设，则， 由，得，即，∴， ，．即面积的最小值为； （3）过点作于点于点，∵平分，∴． 又，． 米，，， 、为等腰直角三角形，∴米， （平方米），平方米． 在上截取，连接，如图． ，， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ，，， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则，∴．设，则． 由，得，解得，米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．故答案为：平方米． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键． 17．（2024九年级下·广东·专题练习）问题提出： 如图1：在中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ． 问题探究：如图2，正方形中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由． 问题解决：如图3，四边形中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】问题提出：；问题探究：，见解析；问题解决： 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，添加合适的辅助线进行推理证明是解题的关键． 问题提出：作出的外接圆， 证明，则，即可得到答案； 问题探究：延长，使，连接，证明，得到， 再证明，即可得到； 问题解决：延长，使，证明，得到，证明，在中，，则边上的高，画的外接圆，作于M，得到，设，，，，由得到，得到的最小值为，即可得到的最小值． 【详解】问题提出：如图1，作出的外接圆， ∵，∴，∵，∴，故答案为：． 问题探究：，理由如下：如图2，延长，使，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； 问题解决：存在最小值，如图3，延长，使， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，∵，边上的高， 画的外接圆，作于M， ∵，∴，设，，，， ∵，∴，∴， ∴的最小值为，∴的最小值为． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【分析】本题考查了阅读学习型考题，先学习后应用是解题的关键． (1)根据斜边大于直角边计算即可．(2)根据斜边大于直角边计算即可．(3)作的外接圆，作于E，作直径，连接，  ，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．(4)作的外接圆，作于E，作直径，连接，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可． (5) 作于G，延长交于H，证明，把问题转化任务4求解即可． 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接       ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                             任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的性质，线段和的最值，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握治疗三角形的性质，圆的性质，三角函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$