专题04 概率、视图与投影（9大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题04 概率、视图与投影 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 几何概率 题型二 列表法或树状图法求概率 题型三 游戏的公平性 题型四 频率估计概率 题型五 平行投影及相关运算 题型六 中心投影及相关运算 题型七 视点、视角和盲区 题型八 三视图的辨别 题型九 三视图的相关运算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 几何概率 ⭐技巧积累与运用 几何概率的特征与计算方法：①样本空间的样本点为无限个；②每个样本点发生的可能性是均等的；③P(A)=事件A的几何度量值/样本空间的几何度量值。 1．（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏常州·期末）杭州亚运会射箭比赛休息之余，一名工作人员发现这样的一幕：有一只蜘蛛在箭靶上爬来爬去，最终停下来，已知两圆的半径分别是和，则蜘蛛停留在阴影区域内的概率为 ． 3.（23-24·山东烟台·九年级期中）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“弦图”，其中，，现将其中四个三角形涂上颜色（如图），点P是右图图案内的任意一点，则点P恰好在涂色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 列表法或树状图法求概率 ⭐技巧积累与运用 用列举法求概率的一般步骤:（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=m/n 树状图法注意事项：(1)当一次试验要涉及2个及以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。(2)树状图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(3)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 列表法注意事项：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率。 1．（24-25九年级上·重庆·期中）“一本好书，一份成长”．老师向同学们推荐了多本好书，小育和小才分别从《家》、《时间简史》、《老人与海》三本书中随机选择一本阅读，小育和小才两人同时都选择《时间简史》的概率是 ． 2．（24-25九年级上·山西·期中）如图为太原古县城示意图，小君和小帆都从南门进入古县城游览，结束时分别从其余四个门中的一个离开，他们恰好从同一城门走出的概率是 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）五边形的顶点A有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶点．顶点C有一个陷阱，机器人跳到C就会触发毁灭程序．机器人跳4步仍未毁灭的概率为 %． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜．(1)第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______．(2)第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 游戏的公平性 ⭐技巧积累与运用 （1）游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 1．（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，甲、乙两个转盘分别分成3个、4个大小相同的扇形，参与者分别转动甲、乙两个转盘，观察转盘静止后两指针所指颜色（若指针恰好指向分界线，则判定指针指向分界线右侧的区域）．(1)请用列表或画树状图的方法列出两指针所指颜色的所有可能的结果； (2)嘉嘉和淇淇分别设计了一个规则．嘉嘉：两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向白色的区域时获奖；淇淇：红色和蓝色在一起配成紫色，蓝色和黄色在一起配成绿色，当两个转盘的指针所指颜色可以配成紫色或绿色时获奖．若要求该游戏的获奖率为，你认为应该选谁设计的规则？请说明理由． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，两个标有数字的转盘，转动两个转盘各1次，将所转到的数字相加，结果为偶数时，小刚得分，否则小明得分．(1)小刚和小明得分的概率分别是多少？(2)这个游戏对双方公平吗？如果不公平，请你修改一下规则使之公平． 频率估计概率 ⭐技巧积累与运用 1.频率与概率的关系注意： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的。 2.利用频率估计概率：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 1．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 3．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在一个不透明的盒子里有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____．(2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1）。(3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 平行投影及相关运算 ⭐技巧积累与运用 1）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 2）平行投影的应用： 等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3）作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·广东·专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 中心投影及相关运算 ⭐技巧积累与运用 1）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 2）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，线段，分别表示标杆，在地面上的影子，则这种投影应该是 （选填“中心投影”或“平行投影”）． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 3．（23-24九年级上·天津·期末）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 ． 视点、视角和盲区 ⭐技巧积累与运用 1）观测点的位置称为视点 2）由视点发出的观测线称为视线 3）视线不能穿过障碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为盲区。 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围 ． 2．（23-24·广东·九年级专题练习）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24·浙江·校考九年级期中）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 三视图的辨析 ⭐技巧积累与运用 在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。 1．（2024·安徽合肥·三模）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·三模）2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（   ） A．B．C．D． 3．（2024·辽宁大连·一模）赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（   ）    A．   B．   C．   D．   三视图的相关运算 ⭐技巧积累与运用 1）三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。 2）由三视图还原几何体一般分为两种情况： 由三种视图判断几何体的形状；给出三种视图，求搭成该几何体的小正方体的个数。 1．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若．(1)画出该立体图形在投影面P上的正投影；(2)计算正投影的面积． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________；(2)求出这个立体图形的表面积． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（   ） A．某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率 B．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率 C．某种柑橘在某运输过程中的损坏率 D．某种幼苗在一定条件的移植成活率 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南濮阳·二模）如图(1)，古代叫“斗”，它是一种器具，是一种量具，主要用于量粮食等．官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图(2)，是它的几何示意图，则示意图的俯视图、主视图、左视图相同的是（    ） A．主视图与左视图 B．左视图与俯视图 C．主视图与俯视图 D．主视图、左视图与俯视图 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 6．（23-24·浙江·一模）某航班每次飞行约有100名乘客，若飞机失事的概率为p=0．000 05，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币． 平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，请你写出概率为的事件： ．（只需写出一种符合要求的事件） 8．（2024·上海·二模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 9．（24-25九年级上·广东深圳·期中）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）． (1)小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是______；(2)小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率？ 10．（24-25九年级上·河南焦作·期中）元旦期间，某商场推出优惠活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成五份，任意转动这个转盘两次，当转盘停止时，若指针落在同一个区域(当指针落在两扇形的交线上时无效，需重新转动)，所购商品享受半价优惠． (1)小明和妈妈在商场进行了购物并参与了优惠活动，请你利用树状图或表格求出他们获得半价优惠的概率； (2)在上面优惠活动开展一天后，该商场决定增加优惠力度，使获得半价优惠的概率变为原来的2倍，请你借助原转盘写出活动规则．(不必说明理由) 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体．(1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 12．（2024·宁夏银川·模拟预测）某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且．(1)请在图中画出统一时刻乙数的影子；(2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 1．（2024·重庆·中考模拟预测）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在经历了抛掷硬币的实验之后，同学们得到了“正面向上的概率是0.5”这个结论，各小组同学又对其进行了解释说明，其中不正确的是（    ） A．连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次 B．连续掷100次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次 C．连续掷n次，当n越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5 D．连续掷2n次，当n越来越大时，结果一定是“正面向上”n次 3．（23-24·河南·九年级单元测试）有一圆柱形的水池，已知水池的底面直径为4米，水面离池口2米，水池内有一小青蛙，它每天晚上都会浮在水面上赏月，则它能观察到的最大视角为（   ） A．45° B．60° C．90° D．135° 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2；②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃；④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 5．（2024·江苏镇江·校考二模）一般地，如果随机事件A发生的概率是，那么相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为． 假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费x元，则在n次飞行中共收取保险费元．保险公司必须保证收入不小于支出，可得 (1)该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． (2)如图，媛媛从家A去学校D，选择骑电瓶车，需要经过两个红绿灯路口，设每个路口可直接通过和需要等待的概率相同． ①求媛媛从家去学校在B、C两个路口都需要等待的概率是多少？（用列表或画树状图的方法求解） ②若，每段路平均用时均为6分钟，各路口平均需要等待时间均为1分钟，全程需要等待时间的平均值为：分钟，则媛媛从家到学校所用时间的平均值为______分钟． (3)徐老师开车去学校的道路要途径5个红绿灯路口，每个路口需要等待的概率为，直接通行的概率为，各路口平均需要等待时间均为1分钟，从家到第一个路口和最后一个路口到学校所用行驶时间均为5分钟，其余相邻两个路口间所需行驶时间均为2分钟，则徐老师从家到学校所用时间的平均值为______分钟． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题：(1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 7．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．          原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 概率、视图与投影 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 几何概率 题型二 列表法或树状图法求概率 题型三 游戏的公平性 题型四 频率估计概率 题型五 平行投影及相关运算 题型六 中心投影及相关运算 题型七 视点、视角和盲区 题型八 三视图的辨别 题型九 三视图的相关运算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 几何概率 ⭐技巧积累与运用 几何概率的特征与计算方法：①样本空间的样本点为无限个；②每个样本点发生的可能性是均等的；③P(A)=事件A的几何度量值/样本空间的几何度量值。 1．（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为，则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为．故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏常州·期末）杭州亚运会射箭比赛休息之余，一名工作人员发现这样的一幕：有一只蜘蛛在箭靶上爬来爬去，最终停下来，已知两圆的半径分别是和，则蜘蛛停留在阴影区域内的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求几何概率，直接求出阴影部分面积在整个区域面积的占比即可得到答案． 【详解】解：由题意得，蜘蛛停留在阴影区域内的概率为，故答案为：． 3.（23-24·山东烟台·九年级期中）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“弦图”，其中，，现将其中四个三角形涂上颜色（如图），点P是右图图案内的任意一点，则点P恰好在涂色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何概率的求法：P恰好在涂色部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】如图，依题意得：, ∴,∴, 其中阴影部分面积为:， ∵总面积为，∴点P恰好在涂色部分的概率是:．故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理以及几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率，本题还考查了二次根式的混合运算． 列表法或树状图法求概率 ⭐技巧积累与运用 用列举法求概率的一般步骤:（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=m/n 树状图法注意事项：(1)当一次试验要涉及2个及以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。(2)树状图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(3)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 列表法注意事项：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率。 1．（24-25九年级上·重庆·期中）“一本好书，一份成长”．老师向同学们推荐了多本好书，小育和小才分别从《家》、《时间简史》、《老人与海》三本书中随机选择一本阅读，小育和小才两人同时都选择《时间简史》的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查等可能情形下的概率计算，对于两次抽取问题采用列表或树状图；画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． 【详解】解：表示如下：：《家》、：《时间简史》、：《老人与海》， 列表如下： 共有种等可能结果，其中小育和小才两人同时都选择《时间简史》的结果有种，， 答：小育和小才恰好两人同时都选择《时间简史》的概率为． 2．（24-25九年级上·山西·期中）如图为太原古县城示意图，小君和小帆都从南门进入古县城游览，结束时分别从其余四个门中的一个离开，他们恰好从同一城门走出的概率是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得他们恰好从同一城门走出的结果有4种，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：依题意，分别记观澜门、北门、廷西门，望翠门为，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们恰好从同一城门走出的结果有4种， 他们恰好从同一城门走出的概率为．故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）五边形的顶点A有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶点．顶点C有一个陷阱，机器人跳到C就会触发毁灭程序．机器人跳4步仍未毁灭的概率为 %． 【答案】50 【分析】本题主要考查了概率公式，解题关键是找出所有路线种类以及其中没有路过C的路线． 先假设C处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线可能性通过树状图列举共有16种，在路线中没有路过C的有8种，计算即可求解． 【详解】解：假设C处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线画树状图如下： 通过树状图可知：路线共有16种，在路线中没有路过C的有8种， ∴机器人跳4步仍未毁灭的概率为：．故答案为：50． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜．(1)第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______．(2)第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查简单的概率计算，树状图法或列表法求解概：（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到嘉嘉获胜的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有五个空格，每个空格被掷到的概率相同，且只有掷到最中间的那个空格嘉嘉才能获胜，∴嘉嘉获胜的概率为，故答案为：； （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中掷完两次棋子后嘉嘉获胜的结果有，，，，共4种，∴嘉嘉获胜的概率为． 游戏的公平性 ⭐技巧积累与运用 （1）游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 1．（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平，∴，解得，，故选：B ． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，甲、乙两个转盘分别分成3个、4个大小相同的扇形，参与者分别转动甲、乙两个转盘，观察转盘静止后两指针所指颜色（若指针恰好指向分界线，则判定指针指向分界线右侧的区域）．(1)请用列表或画树状图的方法列出两指针所指颜色的所有可能的结果； (2)嘉嘉和淇淇分别设计了一个规则．嘉嘉：两个转盘指针指向同样的颜色区域或者乙转盘指针指向白色的区域时获奖；淇淇：红色和蓝色在一起配成紫色，蓝色和黄色在一起配成绿色，当两个转盘的指针所指颜色可以配成紫色或绿色时获奖．若要求该游戏的获奖率为，你认为应该选谁设计的规则？请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)选择嘉嘉设计的规则，理由见解析． 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解答本题的关键．（1）根题意列表即可．（2）由表格得出所有等可能的结果数分别算出嘉嘉和淇淇设计方案的中奖率，即得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 红 白 蓝 黄 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄） 由表格可知，共有12种等可能的结果； （2）解：嘉嘉设计方案的中奖机会有6种，故其设置的获奖率为， 淇淇设计方案的中奖机会有4种，故其设置的获奖率为，∴选择嘉嘉设计的游戏规则． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，两个标有数字的转盘，转动两个转盘各1次，将所转到的数字相加，结果为偶数时，小刚得分，否则小明得分．(1)小刚和小明得分的概率分别是多少？(2)这个游戏对双方公平吗？如果不公平，请你修改一下规则使之公平． 【答案】(1)小刚：，小明：；(2)这个游戏对双方不公平，见解析． 【分析】（）画树状图，得到所有等可能的结果数，再利用概率公式进行计算即可； （）根据得分情况，再结合得分情况，可得游戏不公平，结合得分修改游戏规则，从而可得答案； 本题考查了利用画树状图的方法求解随机事件的概率，游戏的公平性问题，理解解决游戏公平性问题的方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：画树状图如图． ∵共有种等可能的结果，所转到的数字相加结果为偶数的有种情况， ∴（小刚得分），（（小明得分）． （2）∵结果为偶数小刚得分，结果不为偶数小明得分，且（小刚得分）（（小明得分）， ∴这个游戏对双方不公平． 新规则：将所转到的数字相加结果为偶数时，小刚得分，否则小明得分， 则（小刚得分）（小明得分）． 频率估计概率 ⭐技巧积累与运用 1.频率与概率的关系注意： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的。 2.利用频率估计概率：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 1．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为．故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在一个不透明的盒子里有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，由题意得：摸到红球的概率为，推出，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：摸到红球的概率为，∴，解得：， 经检验：是方程的解，故选：D 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____．(2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1）。(3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 【答案】(1)(2)(3)12；5 【分析】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率总在某个固定值附近摆动，这个固定值就是概率，理解这一核心思想是解题的关键．（1）根据频率等于频数与试验总次数的比，即可求得k的值； （2）根据不同试验次数的频率，除了试验次数为50次的除外，其余的频率都在及以上，基本稳定在，按精度要求为，即可求解；（3）由于有12种不同的生肖，要有12个大小形状一样且编有号码的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次实验，不断重复这样的试验即可进行模拟． 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：试验次数为50次时频率为0，其余的频率都在及以上，基本稳定在， 而；故答案为：； （3）解： 12种不同的生肖，对应12个大小形状一样且有编号的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次试验，多次重复此试验即可进行模拟；因此要准备12个球，一次模拟记录5个球；故答案为：12；5． 平行投影及相关运算 ⭐技巧积累与运用 1）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 2）平行投影的应用： 等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3）作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案． 【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致．故选：B． 2．（2024九年级下·广东·专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的意义，根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项C中的图形符合题意，故选：C． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，勾股定理，矩形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，则易知四边形是矩形，故，然后根据勾股定理，角所对直角边是斜边的一半即可求解，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，，∴四边形是矩形，∴， ∵太阳光线与地面成的角，∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故选：． 中心投影及相关运算 ⭐技巧积累与运用 1）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 2）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，线段，分别表示标杆，在地面上的影子，则这种投影应该是 （选填“中心投影”或“平行投影”）． 【答案】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键．根据在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与，连接、并延长交于点，据此判断即可． 【详解】解：如图所示，光线、相交于点，所以此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为中心投影． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，，点的坐标为，， ，，，即，解得：， ，点的坐标是，故答案为：． 3．（23-24九年级上·天津·期末）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用相似三角形测高，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．根据，得到，得到，代入相关数据即可求解． 【详解】解：∵，，∴，∴，∴ ， ∵， ， ，∴，∴： ∴，∴路灯的高度为．故答案为：． 视点、视角和盲区 ⭐技巧积累与运用 1）观测点的位置称为视点 2）由视点发出的观测线称为视线 3）视线不能穿过障碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为盲区。 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围 ． 【答案】越大 【分析】此题考查了视角和盲区．根据实际情况进行解答即可． 【详解】解：“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围越大． 故答案为：越大 2．（23-24·广东·九年级专题练习）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 3．（23-24·浙江·校考九年级期中）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 三视图的辨析 ⭐技巧积累与运用 在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。 1．（2024·安徽合肥·三模）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，可得答案． 【详解】从上面看到的是，故选：B； 2．（2024·江苏泰州·三模）2024年2月17日，全球首架大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展．商飞是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机．如图是大型客机的实物图，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得选项A的图形．故选：A． 3．（2024·辽宁大连·一模）赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．细心观察原立体图形中几何体的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：从正面看，可得如下图形：    故选：D． 三视图的相关运算 ⭐技巧积累与运用 1）三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。 2）由三视图还原几何体一般分为两种情况： 由三种视图判断几何体的形状；给出三种视图，求搭成该几何体的小正方体的个数。 1．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若．(1)画出该立体图形在投影面P上的正投影；(2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 【答案】(1)有错，见解析(2) 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义．（1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可； （2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：方方所画的三个视图中左视图错了，正确的为： （2）解：，答：其体积为． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________；(2)求出这个立体图形的表面积． 【答案】(1)圆锥(2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸．（1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥；（2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【详解】（1）解：这是一个圆锥，故答案为：圆锥. （2）解：母线长：，底面圆周长：，侧面积：， 底面积：，表面积：。故这个圆锥的表面积为 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【答案】D 【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况． 【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影．故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（   ） A．某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率 B．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率 C．某种柑橘在某运输过程中的损坏率 D．某种幼苗在一定条件的移植成活率 【答案】B 【分析】此题是频率估计概率，主要考查了概率的几种求法．根据例举法和频率估计概率的特点确定正确的选项即可． 【详解】解：A、某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意； B、一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，不是奇数，便是偶数， 能一一的列举出来， 既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意； C、某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不符合题意； D、某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；故选：B． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为．故选：B． 4．（2024·河南濮阳·二模）如图(1)，古代叫“斗”，它是一种器具，是一种量具，主要用于量粮食等．官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图(2)，是它的几何示意图，则示意图的俯视图、主视图、左视图相同的是（    ） A．主视图与左视图 B．左视图与俯视图 C．主视图与俯视图 D．主视图、左视图与俯视图 【答案】A 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，俯视图、主视图、左视图相同的是主视图与左视图，故选：A． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【分析】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的正投影，故选：C 6．（23-24·浙江·一模）某航班每次飞行约有100名乘客，若飞机失事的概率为p=0．000 05，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币． 平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】20 【详解】每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，由题意可得一次飞行中飞机失事的概率为P=0.00005，所以赔偿的钱数为40000000×0.00005=2000元，即可得至少应该收取保险费每人 =20元． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，请你写出概率为的事件： ．（只需写出一种符合要求的事件） 【答案】出现“两个正面朝上”的事件（答案不唯一） 【分析】本题考查用树状图求概率，先利用树状图列出所有的等可能性，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中出现“两个正面朝上”的结果数有1种，所以出现“两个正面朝上”的概率为， 故概率为的事件为出现“两个正面朝上”的事件， 故答案为：出现“两个正面朝上”的事件（答案不唯一）． 8．（2024·上海·二模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行投影的知识，根据此时为正午点方向，得出垂直于晷针，再根据平行投影得出，得出结论即可，熟练掌握平行投影的知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知，垂直于晷针，∵投影为平行投影，∴， ∵，∴，故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东深圳·期中）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）． (1)小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是______； (2)小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率？ 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率（1）根据概率公式求概率，即可求解； （2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：共有四幅图，小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是， 故答案为：． （2）解：根据题意画出树状图如下： 一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一幅图的情况有4种， （两人恰好选中同一幅图）． 10．（24-25九年级上·河南焦作·期中）元旦期间，某商场推出优惠活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成五份，任意转动这个转盘两次，当转盘停止时，若指针落在同一个区域(当指针落在两扇形的交线上时无效，需重新转动)，所购商品享受半价优惠． (1)小明和妈妈在商场进行了购物并参与了优惠活动，请你利用树状图或表格求出他们获得半价优惠的概率； (2)在上面优惠活动开展一天后，该商场决定增加优惠力度，使获得半价优惠的概率变为原来的2倍，请你借助原转盘写出活动规则．(不必说明理由) 【答案】(1)；(2)见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． （1）列举出所有情况，看指针所指指针落在同一个区域的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率； （2）根据获得半价优惠的概率变为原来的2倍修改游戏规则即可． 【详解】（1）解：列表如下：       第1次 第2次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 共有25种等可能结果，其中满足条件的有5种，故概率为： （2）解：任意转动这个转盘两次，当转盘停止时，若指针落在区域的数字之和小于6（当指针落在两扇形的交线上时无效，需重新转动），所购商品享受半价优惠． 理由：同上表，共有25种等可能结果，其中满足条件的有10种，故概率为：． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体．(1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】本题考查了作图——三视图，几何体的表面积等知识，解题关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画出图形即可；（2）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：该几何体的三视图如图所示 （2）解：由图可知，该几何体的表面积． 12．（2024·宁夏银川·模拟预测）某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子；(2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【答案】(1)画图见解析；(2)小华的影长是米． 【分析】（）根据相似三角形画出图形；（）根据相似三角形的性质求出小华的影长； 本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图，连接，过作，交于点，∴即为所求； （2）设小华的影长是米，由题意得：，解得：，答：小华的影长是米． 1．（2024·重庆·中考模拟预测）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图特点可得. 【详解】A、三视图分别为长方形，三角形，圆，符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意； C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，不符合题意；故选A． 【点睛】考核知识点：三视图. 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在经历了抛掷硬币的实验之后，同学们得到了“正面向上的概率是0.5”这个结论，各小组同学又对其进行了解释说明，其中不正确的是（    ） A．连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次 B．连续掷100次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次 C．连续掷n次，当n越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5 D．连续掷2n次，当n越来越大时，结果一定是“正面向上”n次 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识．利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可． 【详解】解：A、连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次，此说法正确，故不符合同意； B、连续掷100次，结果不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次，此说法正确，故不符合同意； C、连续掷次，当越来越大时，“正面向上”的频率越来越稳定于0.5，此说法正确，故不符合同意； D、连续抛掷次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，抛掷次，当越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，此说法错误，故符合同意；故选：D． 3．（23-24·河南·九年级单元测试）有一圆柱形的水池，已知水池的底面直径为4米，水面离池口2米，水池内有一小青蛙，它每天晚上都会浮在水面上赏月，则它能观察到的最大视角为（   ） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】C 【分析】利用已知条件可以推出△OBC，△OAD均为等腰直角三角形，此时再利用已知条件就很容易求得所求的角的度数． 【详解】解：如图：∵AB=4，O为圆心，∴AO=BO=2，∵BC=2，BC⊥AB，∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠COB=45°，同理∠AOD=45°，∴∠COD=90°．故选：C． 【点睛】本题考查视点、视角和盲区，直角三角形的相关知识在实际生活中的应用，注意对相关知识的灵活运用． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2；②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃；④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 【答案】(1)①②(2)是，理由见解析 【分析】本题考查的是函数的定义，利用频率估计概率．利用列表法求解随机事件的概率； （1）利用概率公式或列表法分别求解①②③④的概率，再与题干事件的概率进行比较即可得到结论； （2）根据函数的定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，从而可得答案． 【详解】（1）解：由图可得：某项试验的频率稳定在附近， ①掷一次骰子点数大于2的频率是，故符合题意； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女的概率是，符合题意； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃的概率是，故不符合题意； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球的概率是，故不符合题意；故答案为：①② （2）解：这幅图中的频率是关于试验次数的函数，理由如下： ∵对于每1个不同的试验次数，都有唯一的一个频率与之对应，∴这幅图中的频率是关于试验次数的函数． 5．（2024·江苏镇江·校考二模）一般地，如果随机事件A发生的概率是，那么相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为． 假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费x元，则在n次飞行中共收取保险费元．保险公司必须保证收入不小于支出，可得 (1)该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． (2)如图，媛媛从家A去学校D，选择骑电瓶车，需要经过两个红绿灯路口，设每个路口可直接通过和需要等待的概率相同． ①求媛媛从家去学校在B、C两个路口都需要等待的概率是多少？（用列表或画树状图的方法求解） ②若，每段路平均用时均为6分钟，各路口平均需要等待时间均为1分钟，全程需要等待时间的平均值为：分钟，则媛媛从家到学校所用时间的平均值为______分钟． (3)徐老师开车去学校的道路要途径5个红绿灯路口，每个路口需要等待的概率为，直接通行的概率为，各路口平均需要等待时间均为1分钟，从家到第一个路口和最后一个路口到学校所用行驶时间均为5分钟，其余相邻两个路口间所需行驶时间均为2分钟，则徐老师从家到学校所用时间的平均值为______分钟． 【答案】(1)20(2)①；②19(3)20 【分析】（1）根据已知概率解出不等式即可求解．（2）①利用树状图法，根据概率公式即可求解，②根据全程需要等待时间的平均值即可求解．（3）利用概率求出平均值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当时， ，即，解得，故答案为：． （2）①树状图如图所示， 在B、C两个路口都需等待的概率是， ②由题意得，（分钟）， 答：从家到学校所用时间的平均值为分钟，故答案为：． （3）由题意得，（分钟）， 答：徐老师从家到学校所用时间的平均值为20分钟，故答案为：． 【点睛】本题考查了简单随机概率的应用，树状图法求概率，解题的关键在于熟练掌握树状图法求概率及利用概率求平均值． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题：(1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，；(2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键．（1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率，获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为，获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为元， ．应该选择方案一． 7．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．          【答案】(1)(2)旗杆高度为；(3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：，∴，故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，，，， ，即，，答：旗杆高度为； （3）解：设，由题意得：，， ∴，，即，， ∴，整理得，解得，经检验符合他 ∴，答：雕塑高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$