5.7 三角函数的应用-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.7. 三角函数的应用 课本P242 1 复习引入 y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象两种变换关系图 y=sin(x+φ) y=sinωx y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)的图象，再扩充到R上 作y=sinx(长度为2的某闭区间) 沿x轴平移 |φ|个单位 纵坐标 变为A倍 沿x轴平移 个单位 横坐标变为 横坐标变为 复习引入 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 ①求A: 最值，当sin(ѡx+φ)=±1时， 最大值=|A|，最小值=－|A| ②求ѡ: 先求周期T，再求 相邻对称中心之间的距离为 相邻对称轴与对称中心之间的距离为 ③求φ：找最高点的横坐标x0， 带入ѡx0+φ=+2kπ，解出φ 相邻对称轴之间的距离为 学习目标 新课程标准 核心素养 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 数学建模 2.能将某些实际问题抽象为三角函数模型． 数学运算 情境引入 正弦型函数 y=Asin(ωx+φ) 3.心理、生理现象 4.日常生活现象 ①简谐运动 ②星体的环绕运动 ①气温变化规律 ②月圆与月缺 ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 ①涨潮与退潮 ②股票变化 ………… 2.地理情景 1.物理情景 探索新知 T 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 问题1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 根据散点图(如图)，分析得出位移y随时间t的变化规律可以用y＝Asin(ωx＋φ)这个函数模型进行刻画． 问题1 画出散点图并观察，位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？ 探索新知 问题2 由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？ A＝20，T＝0.6 s，初始状态的位移为－20 mm． 函数的解析式为 例1　某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 探索新知 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0， ω >0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动． 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； ωx＋φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. 这个简谐运动的周期是 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； 小试牛刀 C [错因分析]注意满足定义中的前提条件是“A>0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A>0，ω>0”再求． 探索新知 问题2 图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象.将测得的图象放大，得到图(2). (1) 是某求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式； (1) (2) (2) 当 时，求电流 i. 探索新知 解：(1)由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相. 由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5； 电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，解得ω=100π； 再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得sin φ=0.866，因此φ约为 . 所以电流随时间变化的函数解析式是 (2) (2) 小试牛刀 课本P244 小试牛刀 （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． 2. 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数 （2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，所以 因为点(6,10)是五点法作图中的第四点，故 故所求函数解析式为 解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20ºC。 总结归纳 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b. （1）A：图象上的最高点和最低点的距离的一半，即 （3）ω：因为 ，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. （2）b：图象上的最高点和最低点的中点的纵坐标，即 由图象确立三角函数的解析式的方法 （4）φ：从“五点法”中的点 作为突破口，即 ；或从“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 总结归纳 由图象确立三角函数的解析式的方法 ①“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为 ； ②“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ； ③“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为 ； ④“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ； ⑤“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为 . 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： 小试牛刀 B 小试牛刀 4. 小试牛刀 D 题型一　由图象确定函数的解析式 例 3 小试牛刀 A 小试牛刀 题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 例2 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(-π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ . (1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值； (3)画出函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象． 小试牛刀 题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 例2 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(-π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ . (1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值； (3)画出函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象． 小试牛刀 故函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象如右图所示. 解：(3)由y＝sin(2x－ )知， 题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 例2 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(-π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ . (1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值； (3)画出函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象． 课堂小结 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b. （1）A：图象上的最高点和最低点的距离的一半，即 （3）ω：因为 ，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. （2）b：图象上的最高点和最低点的中点的纵坐标，即 由图象确立三角函数的解析式的方法 （4）φ：从“五点法”中的点 作为突破口，即 ；或从“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 课堂小结 由图象确立三角函数的解析式的方法 ①“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为 ； ②“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ； ③“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为 ； ④“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ； ⑤“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为 . 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： 链接期末 作业与反思 1.函数y＝2sin(－2x＋eq \f(π,3))的相位和初相分别是(　　) A．－2x＋eq \f(π,3)，eq \f(π,3)　　 B．2x－eq \f(π,3)，－eq \f(π,3) C．2x＋eq \f(2π,3)，eq \f(2π,3) D．2x＋eq \f(2π,3)，eq \f(π,3) 解：∵y＝2sin(－2x＋eq \f(π,3))＝2sin[π－(－2x＋eq \f(π,3))]＝2sin(2x＋eq \f(2π,3)) ∴相位和初相分别是2x＋eq \f(2π,3)，eq \f(2π,3). 例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　) f(x)＝2sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)) f(x)＝2sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)) f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,6)) f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6)) 变1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．y＝2sin(2x－eq \f(π,6)) B．y＝2sin(2x－eq \f(π,3)) C．y＝2sin(2x＋eq \f(π,6)) D．y＝2sin(2x＋eq \f(π,3)) 解：由图知，A＝2，周期T＝2[eq \f(π,3)－(－eq \f(π,6))]＝π，所以ω＝eq \f(2π,π)＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．因为图象过点(eq \f(π,3)，2)，所以2＝2sin(2×eq \f(π,3)＋φ)，所以sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝1，所以eq \f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)． 令k＝0得φ＝－eq \f(π,6)，所以y＝2sin(2x－eq \f(π,6))． 当2x－eq \f(3π,4)＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时函数有最小值－1. 解：(2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－eq \f(3π,4))， 由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(3π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)， 故函数的单调递增区间是[kπ＋eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(5π,8)](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋eq \f(5π,8)，kπ＋eq \f(9π,8)](k∈Z)． 当2x－eq \f(3π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)时函数有最大值1； x 0 eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(5π,8) eq \f(7π,8) π 2x－eq \f(3π,4) －eq \f(3π,4) －eq \f(π,2) 0 eq \f(π,2) π eq \f(5π,4) y －eq \f(\r(2),2) －1 0 1 0 －eq \f(\r(2),2) $$