专题03 位置与坐标（8大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题03 位置与坐标 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 确定位置 题型二 直角坐标系中的象限问题 题型三 直角坐标系中的距离、平行、垂直问题 题型四 几何图形中的坐标问题 题型五 坐标的平移与作图问题 题型六 坐标的对称与作图问题 题型七 直角坐标系中的面积、全等问题 题型八 坐标系中的规律问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 确定位置 ⭐技巧积累与运用 确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。 有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作。 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列能确定郑州地理位置的是（   ） A．与开封市相邻 B．北纬东经 C．在河南省 D．与洛阳直线距离 2．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）何老师在音乐课堂上拿着如图的密码表玩听声音猜学科的游戏．如果听到“咚咚咚咚咚咚﹣咚咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚，咚咚咚咚﹣咚咚”表示的学科是“数学（）”，那么听到“咚咚﹣咚，咚咚咚咚﹣咚咚，咚咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚”时，表示的学科是（    ） A．语文 B．英语 C．数学 D．音乐 3．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（   ） A． B． C． D． 直角坐标系中的象限问题 ⭐技巧积累与运用 平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成。水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点。 点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标。 点在各象限及坐标轴上的点的特征： 第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）； 在轴上，a为任意实数； 在轴上，b为任意实数。 一、三象限角平分线的点的坐标满足：；二、四象限角平分线的点的坐标满足：。 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如果A点在第二象限，那么B点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）数学课上，陈老师在黑板上画出一个正方形被等分成4行4列，如图所示，她问大家几个问题，你能解答出来吗？    (1)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（1）中标出，D点如何表示呢？(2)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（2）中标出，D点如何表示呢？ 直角坐标系中的距离、平行、垂直问题 ⭐技巧积累与运用 已知点，则：到轴的距离等于；到轴的距离等于；到原点的距离等于。 到直线（与x轴平行的直线）的距离为；到直线（与y轴平行的直线）的距离为； 平行于轴的直线上的各点的 纵 坐标相同； 平行于轴的直线上的各点的 横 坐标相同。 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）在第三象限内，点到x轴距离为5，到y轴的距离为2，则点P坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知点P在第四象限，坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，线段的长度为3，且轴．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25八年级上·安徽·期中）已知点和点，如果直线轴，那么的值为（   ） A．1 B． C． D．4 几何图形中的坐标问题 ⭐技巧积累与运用 两个重要公式： （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)【已有认识】既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． 【拓展运用】如图2，点、点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴中点表示的数是 ．（直接写出答案） (2)【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的，其中，，，并求出的面积，以及点到边的距离． (3)【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中、两点的距离，显然是转化为求△的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，所以， 所以由勾股定理可得，． 【拓展运用】①在图5中，设，轴，轴，于点，则_________，_________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，（直接写出答案）；②图4中，平面直角坐标系中有两点，为轴上任一点，则的最小值为________；（直接写出答案）；③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________．（直接写出答案） 坐标的平移与作图问题 ⭐技巧积累与运用 坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 1．（23-24·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（       ） A． B． C． D． 2．（23-24·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（       ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 坐标的对称与作图问题 ⭐技巧积累与运用 坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 1．（23-24·浙江·八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（       ） A．4 B．－4 C．－2 D．2 2．（24-25八年级上·广东·期末）在正方形网格中，各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出关于y轴对称的；(2)画出关于x轴对称的；(3)点的坐标是 ；点的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上．(1)请直接写出点C关于x轴的对称点P的坐标：________； (2)画出关于y轴对称的；(3)在y轴上画出点Q，使的周长最小．(4)求的面积． 直角坐标系中的面积、全等问题 ⭐技巧积累与运用 1）‌标记关键点‌：在坐标系中标出题目中给出的关键点的坐标。 2）‌绘制基本图形‌：根据题目要求，绘制基本图形。如果是多边形，先画出各边的直线段。 3）‌直接法‌：选择适当的边作为底边，如果该底边及其高易求，问题解决。 4）‌间接法（割补法）‌：将复杂的图形分割或补全成若干个特殊图形（如直角三角形、直角梯形、长方形等），再计算这些图形面积的和或差。技巧在于选择的割线一般要与坐标轴平行或重合‌。 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出．(2)的面积是 ； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上找一点C，使得的值最小．你能求出点C的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，则此时的值最小；然后连接，利用列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点C的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，直线m经过点，且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找点M，N，使得轴，且的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点M，N的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，C是的中点，交于点D，求点D的坐标． 3．（24-25八年级上·成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足．(1)求的面积；(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标；(3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 坐标系中的规律问题 ⭐技巧积累与运用 1.观察坐标轴的刻度间隔：在坐标轴上的刻度间隔通常是相等的。观察坐标轴的刻度间隔可以帮助我们找到规律。 2.寻找特殊点的坐标：在直角坐标系中，某些特殊点的坐标往往具有特殊的规律。 3.观察点的坐标之间的关系：在确定一系列点的规律时，观察点的坐标之间的关系是很关键的。 4.使用图形的性质：直角坐标系中的图形通常具有一些性质。 5.使用代数方法；在直角坐标系中，可以使用代数方法来寻找规律。 1．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川广安·期中）在平面直角坐标系中，点C的坐标为，的直角边与轴重合， 轴，将依次绕着顶点B，A，C的顺序，沿着顺时针方向在轴上作无滑动的旋转，顶点B，A，C旋转后的对应点依次为点，，，，按照这种方式依次旋转下去，若，则点的坐标是 ．   3．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动个单位至点，…，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ． 1.（23-24·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）若想在图所示的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的轴，轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长度，则下列可在方格纸的范围内标出，，，四点的画法是（    ） A．B．C．D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．已知中，，，则 B．已知点在x轴上，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．已知点，，则直线轴 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）风筝是中国传统工艺品，也称“纸鸢”，它的长尾巴能起到平衡的作用．将一个燕子风筝放在如图所示的平面直角坐标系中，使风筝尾巴的点处和点处关于轴对称．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如果点在直角坐标系的x轴上，则 ． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，且轴，则的坐标为 ． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系；(2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 10．（24-25八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题：(1)当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；(2)当点M在第四象限的角平分线上，求a的值； (3)若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标． 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足．(1)直接写出___________；(2)求点，的坐标； (3)若在第二象限有一点，连接，，已知的面积是面积的一半，求点的坐标． 12．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，； ①在平面直角坐标系中画出；②填空：与关于 对称； (2)在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）；(3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点在线段上的对应点的坐标为 ． 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______(2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如果m是任意实数，那么点一定不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1．（1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，以直角三角形的直角顶点为原点，分别以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为______，点的坐标为______；(2)直角三角形的面积为______； (3)已知轴、轴上分别有动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴负方向匀速移动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点到达点时，整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标；(2)求点A的坐标：(3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． (1)若，求点B的坐标；(2)点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 位置与坐标 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 确定位置 题型二 直角坐标系中的象限问题 题型三 直角坐标系中的距离、平行、垂直问题 题型四 几何图形中的坐标问题 题型五 坐标的平移与作图问题 题型六 坐标的对称与作图问题 题型七 直角坐标系中的面积、全等问题 题型八 坐标系中的规律问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 确定位置 ⭐技巧积累与运用 确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。 有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作。 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列能确定郑州地理位置的是（   ） A．与开封市相邻 B．北纬东经 C．在河南省 D．与洛阳直线距离 【答案】B 【分析】本题考查了坐标和方向，确定位置，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据坐标和方向、确定位置的标准判定即可． 【详解】解：A、与开封市相邻，不能确定郑州地理位置，不符合题意； B、北纬东经，能确定郑州地理位置，符合题意； C、在河南省，不能确定郑州地理位置，不符合题意； D、与洛阳直线距离，不能确定郑州地理位置，不符合题意；故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）何老师在音乐课堂上拿着如图的密码表玩听声音猜学科的游戏．如果听到“咚咚咚咚咚咚﹣咚咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚，咚咚咚咚﹣咚咚”表示的学科是“数学（）”，那么听到“咚咚﹣咚，咚咚咚咚﹣咚咚，咚咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚”时，表示的学科是（    ） A．语文 B．英语 C．数学 D．音乐 【答案】A 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据题意，发现“﹣”前面的咚字的个数表示横向对应的数字，“﹣”后面的咚字的个数表示纵向对应的数字，据此找出对应的汉字即可解决问题． 【详解】解：由题意可得，“﹣”前面的咚字的个数表示横向对应的数字，“﹣”后面的咚字的个数表示纵向对应的数字． 所以“咚咚﹣咚，咚咚咚咚﹣咚咚，咚咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚咚，咚咚咚﹣咚咚咚”对应的数字分别为“，，，，，，”， 再结合表格可知，表示的学科对应的单词为：；所以表示的学科为语文．故选：A． 3．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中的点A和点B的表示方式是解题的关键． 根据点A和点B的表示方法，得出和的度数，再根据平分角及点D的位置即可解决问题． 【详解】解：，， 平分，，， 又点D在从内向外的第5层圆上，点D可表示为故选：A． 直角坐标系中的象限问题 ⭐技巧积累与运用 平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成。水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点。 点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标。 点在各象限及坐标轴上的点的特征： 第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）； 在轴上，a为任意实数； 在轴上，b为任意实数。 一、三象限角平分线的点的坐标满足：；二、四象限角平分线的点的坐标满足：。 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如果A点在第二象限，那么B点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了判断点所在的象限，掌握各象限点的符号特征是解题的关键．根据第二象限的坐标特征，得出的符号，进而即可判断B点所在的象限． 【详解】解：∵A点在第二象限，∴， ∴，∴B点在第一象限，故选：A． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据轴上的点的横坐标为0，求出的值，进而得到点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：，∴，∴点的坐标为：，∴点在第二象限；故选B． 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）数学课上，陈老师在黑板上画出一个正方形被等分成4行4列，如图所示，她问大家几个问题，你能解答出来吗？    (1)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（1）中标出，D点如何表示呢？(2)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（2）中标出，D点如何表示呢？ 【答案】(1)图见解析；(2)图见解析； 【分析】本题考查了用坐标确定位置；（1）根据已知A的坐标，可得原点在它的左下方，据此解答； （2）根据（1）中的方法先找出点C的位置，再表示出点D即可. 【详解】（1）根据题意得点C的位置如图，则       （2）根据题意得点C的位置如图，则 直角坐标系中的距离、平行、垂直问题 ⭐技巧积累与运用 已知点，则：到轴的距离等于；到轴的距离等于；到原点的距离等于。 到直线（与x轴平行的直线）的距离为；到直线（与y轴平行的直线）的距离为； 平行于轴的直线上的各点的 纵 坐标相同； 平行于轴的直线上的各点的 横 坐标相同。 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）在第三象限内，点到x轴距离为5，到y轴的距离为2，则点P坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第三象限内，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为，纵坐标为，∴点P的坐标为．故选：C． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知点P在第四象限，坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等得出，解出的值，再代入和进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴，解得，∴， ∴点P的坐标是，故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，线段的长度为3，且轴．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标．根据点A坐标为，轴，，由坐标的特征分两种情况即可得到点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A坐标为，轴，， 点的坐标是或，即或，故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）已知点和点，如果直线轴，那么的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行于坐标轴的点的坐标特点，当直线平行于x轴时，直线上各点的纵坐标相同，掌握这一特点是关键；根据A、B纵坐标相同，得，即可求得m的值． 【详解】解：∵直线轴，∴直线上所有点的纵坐标相同，∴，解得：；故选：D． 几何图形中的坐标问题 ⭐技巧积累与运用 两个重要公式： （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵，∴点D为的中点， ∵点，，∴点E的坐标为，即，故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．设交轴于点，交轴于点，求出，，勾股定理求出，然后证明出，得到，得到当最小时，最小，当时，最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，交轴于，连接， 直线，当时，；当时，； ，，，根据对称可得，， ∵，，四边形是平行四边形，， ，平行四边形是矩形，，， 又，，， ，．当最小时，最小，当时，最小， ，，的最小值为．故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，由对称可知，，，，，得，则，设，在中，，列出方程求解即可． 【详解】解：点A的坐标为，过点A作轴于点B， ∴，，轴，则， 由对称可知，，，，， ∴，则，设，则， 在中，，即：， 解得：，∴点的坐标为，故选：B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)【已有认识】既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． 【拓展运用】如图2，点、点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴中点表示的数是 ．（直接写出答案） (2)【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的，其中，，，并求出的面积，以及点到边的距离． (3)【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中、两点的距离，显然是转化为求△的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，所以， 所以由勾股定理可得，． 【拓展运用】①在图5中，设，轴，轴，于点，则_________，_________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，（直接写出答案）；②图4中，平面直角坐标系中有两点，为轴上任一点，则的最小值为________；（直接写出答案）；③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)图见解析，的面积为2；点到边的距离为； (3)①，；②；③ 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．（1）利用勾股定理以及实数与数轴的关系即可求解； （2）利用勾股定理结合网格的特点作出，再利用割补法求解即可； （3）①根据图形直接写出即可；②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值；③根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∴数轴中点表示的数是，故答案为：； （2）解：，，，如图所示， 的面积为，点到边的距离为； （3）解：①∵，轴，轴，于点，则，，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；故答案为：，；②作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ∵，∴，∵，， 即的最小值为；故答案为：； ③，故原式表示点到和的距离之和． 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． 利用公式，原式．故答案为：． 坐标的平移与作图问题 ⭐技巧积累与运用 坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 1．（23-24·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可． 【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2）， 再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）．故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题关键． 2．（23-24·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形可得平移方法，再根据平移方法可得P的坐标． 【详解】解：根据图可得△ABC向上平移了2个单位，向右平移了4个单位， 因此点的坐标为（a，b）变为点P的坐标为，故选：A． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，“宝藏”点的坐标为 【分析】（）根据点的坐标找到原点的位置，再画出平面直角坐标系即可； （）根据平移找到原点位置，再画出平面直角坐标系即可； 本题考查了坐标与图形，坐标的平移，根据已知点找到原点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：确定的平面直角坐标系如图所示： （2）解：确定的平面直角坐标系如图所示，此时“宝藏”点的坐标为． 坐标的对称与作图问题 ⭐技巧积累与运用 坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 1．（23-24·浙江·八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（       ） A．4 B．－4 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点是， ∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故选：B． 【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 2．（24-25八年级上·广东·期末）在正方形网格中，各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出关于y轴对称的；(2)画出关于x轴对称的；(3)点的坐标是 ；点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)； 【分析】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；（3）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：点的坐标是；点的坐标是．故答案为：；． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上．(1)请直接写出点C关于x轴的对称点P的坐标：________； (2)画出关于y轴对称的；(3)在y轴上画出点Q，使的周长最小．(4)求的面积． 【答案】(1)(2)图见详解；(3)图见详解；(4)； 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键； （1）根据图像得到，结合关于y轴对称的点横坐标互为相反数纵坐标相同直接求解即可得到答案； （2）先根据轴对称的性质分别画出点，，，再顺次连接即可得到答案； （3）根据最短距离和理论，连接交y轴于一点即可得答案；（4）利用割补法直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图像可得，，∴点关于y轴对称的点坐标为：，故答案为：； （2）解：由题意可得，点、、如图所示，连接，，，如图所示； ，，， （3）解：如图所示，连接交y轴于一点即为点，连接，，即为最小周长的； （4）解：由图形可得，． 直角坐标系中的面积、全等问题 ⭐技巧积累与运用 1）‌标记关键点‌：在坐标系中标出题目中给出的关键点的坐标。 2）‌绘制基本图形‌：根据题目要求，绘制基本图形。如果是多边形，先画出各边的直线段。 3）‌直接法‌：选择适当的边作为底边，如果该底边及其高易求，问题解决。 4）‌间接法（割补法）‌：将复杂的图形分割或补全成若干个特殊图形（如直角三角形、直角梯形、长方形等），再计算这些图形面积的和或差。技巧在于选择的割线一般要与坐标轴平行或重合‌。 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出．(2)的面积是 ； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)见解答(2)4(3)或 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积， 的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积． 故答案为：4； （3）点在轴上，的面积，即，解得：． 所以点的坐标为或． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上找一点C，使得的值最小．你能求出点C的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，则此时的值最小；然后连接，利用列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点C的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，直线m经过点，且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找点M，N，使得轴，且的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点M，N的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，C是的中点，交于点D，求点D的坐标． 【答案】（1）画图见解析，；（2）画出点M和点N的位置见解析，，；（3）． 【分析】（1）根据题意作图即可，由题意可知，设，则可求出，，．再根据，列方程求解即可； （2）作点D关于x轴的对称点，连接交直线m于点N，过点N作轴于点M，则点M和点N即为所作，即得出．设，则，可求，，．再根据，列方程求解即可； （3）过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E．证明为等腰直角三角形，即得出．又可证，即得出．最后根据列等式可求出，从而即可求解． 【详解】解：（1）完成画图，如图，设，∵，∴， ∴，，． ∵，∴，解得：，∴； （2）如图，作点D关于x轴的对称点，连接交直线m于点N，过点N作轴于点M，则点M和点N即为所作．∴．设，则， ∵，∴，，． ∵，∴，解得：，∴，； （3）如图，过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E． ∵，∴，∴，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴，∴． ∵C是的中点，∴．∵ 又∵，∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，利用等积法求解等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 3．（24-25八年级上·成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足．(1)求的面积；(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标；(3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6(2)或(3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解．（2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解．（3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解；②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，，，解得：，． ，，的面积． （2）当点C在上方时：作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：      ∴，∵，，， ，，， 在和中，，，，， ∵，，即：，解得：， ，，； 当点C在下方时；作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图： ，， ，，， 在和中，，，，， ∵，，，即：， 解得：，，，综上所述：点的坐标为：或． （3）①延长，，它们相交于点，如图：    等腰直角中，，，且，， 又，， 在和中，，，． 是的角平分线，，，， 在和中，，，即，． ②的大小不变，总为，理由如下：作，，垂足分别是，，如图：   ，由①可知：，， 在和中，，，， 是的角平分线，． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 坐标系中的规律问题 ⭐技巧积累与运用 1.观察坐标轴的刻度间隔：在坐标轴上的刻度间隔通常是相等的。观察坐标轴的刻度间隔可以帮助我们找到规律。 2.寻找特殊点的坐标：在直角坐标系中，某些特殊点的坐标往往具有特殊的规律。 3.观察点的坐标之间的关系：在确定一系列点的规律时，观察点的坐标之间的关系是很关键的。 4.使用图形的性质：直角坐标系中的图形通常具有一些性质。 5.使用代数方法；在直角坐标系中，可以使用代数方法来寻找规律。 1．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律是关键． 先根据，可得，再根据，即可得解． 【详解】解：由图可得，，，，， ，，故选：C． 2．（24-25九年级上·四川广安·期中）在平面直角坐标系中，点C的坐标为，的直角边与轴重合， 轴，将依次绕着顶点B，A，C的顺序，沿着顺时针方向在轴上作无滑动的旋转，顶点B，A，C旋转后的对应点依次为点，，，，按照这种方式依次旋转下去，若，则点的坐标是 ．   【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律，根据勾股定理求出，可得，由旋转得在轴上方，纵坐标为3； 在轴上，纵坐标为0；可知在轴上方，纵坐标为3；横坐标为即可得出的坐标． 【详解】解：∵中，，∴，由旋转得， 在轴上方，纵坐标为3； 在轴上，纵坐标为0； ∴的横坐标为：，纵坐标为3， ∴点的坐标，故答案为：． 3．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动个单位至点，…，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上，纵坐标是次数的一半，然后写出即可． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是，第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是，第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是，第次跳动至点的坐标是，故答案为： 1.（23-24·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【答案】A 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：由题意得：，解得，即，故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）若想在图所示的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的轴，轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长度，则下列可在方格纸的范围内标出，，，四点的画法是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据点的坐标特点解答即可．本题考查的是点的坐标，熟知各点坐标在平面直角坐标系中的表示方法是解题的关键． 【详解】解：A、坐标系中不能表示出点，不符合题意； B、坐标系中不能表示出点，不符合题意； C、坐标系中不能表示出点，不符合题意； D、坐标系中能表示出各点，符合题意，故选：D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．已知中，，，则 B．已知点在x轴上，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．已知点，，则直线轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平方根的概念，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此可判断A；在x轴上的点的纵坐标为0，据此可判断B；对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得判断C；根据P、Q横坐标相同可得直线轴，据此可判断D． 【详解】解：A、在中，，，若c是斜边，则，原说法错误，不符合题意；B、∵点在x轴上，∴，∴，原说法错误，不符合题意； C、平方根等于本身的数是0，原说法错误，不符合题意； D、已知点，，则直线轴，原说法正确，符合题意；故选：D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点．根据“和谐点”的定义列出关于的方程，然后求得的值，进而确定点M的坐标，最后确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴，解得，∴∴点M在第一象限．故选：D． 5．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）风筝是中国传统工艺品，也称“纸鸢”，它的长尾巴能起到平衡的作用．将一个燕子风筝放在如图所示的平面直角坐标系中，使风筝尾巴的点处和点处关于轴对称．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握关于轴对称的点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 根据关于轴对称的点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等求解作答即可． 【详解】解：∵点处和点处关于轴对称，∴点的坐标为，故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点的坐标，掌握点坐标的特征是解题的关键． 根据点坐标的特征求得，即可求解． 【详解】解：∵直线与轴平行，∴，则，故， ∴线段的长为，故答案为：5． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如果点在直角坐标系的x轴上，则 ． 【答案】1 【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 本题考查了点的坐标特征，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 【详解】解：∵点在直角坐标系的x轴上，∴，解得，．故答案为：1． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，且轴，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据轴，得到点和纵坐标相同，得到，解答即可． 本题考查了平行x轴的直线上点的坐标特点，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：∵轴，∴点和纵坐标相同， ∴，解得，∴．故答案为：． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系；(2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)见解析(2)黑③坐标为，白④坐标为(3)或 【分析】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． （1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系；（2）由坐标系直接得出坐标；（3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图： （2）解：由坐标系得，黑③坐标为，白④坐标为； （3）解：现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：或． 10．（24-25八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题：(1)当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；(2)当点M在第四象限的角平分线上，求a的值； (3)若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标． 【答案】(1)在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是；(2)1(3)或． 【分析】（1）根据轴，轴上点坐标特征，分别列出关于的方程，求得的值，即可得答案； （2）根据第四象限的角平分线上点坐标的特征列出关于的方程，即可解得答案；（3）根据直角坐标系中平行于轴的直线上的点坐标特征，列出关于的方程可得的坐标，由可得的坐标． 本题考查直角坐标系中的点的坐标，解题的关键是掌握直角坐标系中点坐标的特征． 【详解】（1）解：若在轴上，则，，， 若在轴上，则，，， 在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是； （2）解：在第四象限的角平分线上，，解得，的值为1； （3）解：经过点，的直线与轴平行，，解得，， ，，解得或，或． 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足．(1)直接写出___________；(2)求点，的坐标； (3)若在第二象限有一点，连接，，已知的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)点的坐标为，点的坐标为；(3)． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解；（）由，则，然后由勾股定理求出，即，从而求解；（）根据的面积是面积的一半，得到，然后解出即可； 本题考查坐标与图形，算术平方根，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，∴，则，故答案为：； （2）解：由（）得，，∴，∴，∴， ∴，∴，，∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：∵，，∴，∴， ∵，的面积是面积的一半， ∴，∴，∴点的坐标为． 12．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，； ①在平面直角坐标系中画出；②填空：与关于 对称； (2)在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）；(3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点在线段上的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)①见解析；②轴(2)见解析(3) 【分析】本题考查轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征．（1）①将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可；②根据图形判断即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【详解】（1）解：①为所求作的三角形，如图所示： ②与关于x轴对称； （2）解：如图，为所求作的三角形； （3）解：∵与关于y轴对称，∴点在线段上的对应点的坐标为． 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______(2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析，(2)3.5(3)图见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出点、关于轴的对称点、的位置，再与顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）找出点关于轴的对称点位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与轴的交点即为所求的点，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作；由图可得：． （2）解：的面积； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求， ∵点A关于x轴的对称点，∴，∴ 根据两点之间线段最短，此时，值最小，最小值等于的长， ∵，∴最小值等于． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，三角形的面积，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，点的坐标，熟练掌握轴对称图形的性质，网格结构，准确作出图形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如果m是任意实数，那么点一定不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了根据点的坐标判断点所在的象限；求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答． 【详解】解：，点的纵坐标一定大于横坐标． 第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标． 点一定不在第四象限．故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴，∴，， ∵点A坐标为，∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴，， ∴，，∴点C坐标为，故选：A． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的规律，列举几次滚动后点的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，据此即可求解，找到滚动次数与点坐标之间的规律是解题的关键． 【详解】解：滚动次后，，滚动次后，，滚动次后，， 滚动次后，，滚动次后，，， 每滚动次为个循环 ， ∴，，，， ∵，∴，即，故选：． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1．（1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【答案】 3 或2或4 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，垂线段最短．（1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可；（2）分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解点的横坐标． 【详解】解：（1）点，，，，，， 垂线段最短，，点，，的“最佳间距”是3．故答案为：3； （2）点，∴，∴，， 垂线段最短，，，点，，的“最佳间距”是1，∴或， ∵，，∴或， 当时，，点，，的“最佳间距”是1，，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为或2或4． 故答案为：或2或4． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，以直角三角形的直角顶点为原点，分别以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为______，点的坐标为______；(2)直角三角形的面积为______； (3)已知轴、轴上分别有动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴负方向匀速移动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点到达点时，整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)存在，． 【分析】本题考查直角坐标系与几何图形的结合，绝对值和算术平方根非负性，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（）根据 即可得到点、点的坐标；（）根据（）进而利用三角形面积公式即可得直角三角形的面积；（）根据点和点的运动方向和速度，由题意得，，，利用三角形面积公式并根据，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵，∴，，∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为，故答案为：，； （2）解：由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，，∴，故答案为：； （3）解：存在，由题意易知点从点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，点在线段上，点在线段上， 由题意得，∴，，∵点的坐标是，∴，， ∴，， ∵∴，∴． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标；(2)求点A的坐标：(3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 【答案】(1)(2)(3)四边形的面积为36 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后得出答案即可；（2）过点P作轴于点C，轴于点D，证明，得出，根据，得出，求出，即可得出答案；（3）证明四边形为矩形，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，，∴； （2）解：过点P作轴于点E，轴于点F，如图所示：则， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：∵，∴四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，非负数的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． (1)若，求点B的坐标；(2)点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)(2)16(3)，理由见解析 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．（1）根据轴对称的性质，得，可得，求出，即可得出结论；（2）过点D作于M，再证，得出，再证，得，即可得出结论；（3）在的延长线上取一点N，使，再判断出，进而判断出，得出，，再证，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，由轴对称的性质，得，∴， ，∴，∴，∴； （2）解：如图2，过点D作于M， ∵，∴， 在和中，∴，∴， 又，，，，，， 又，，∴，∴； （3）解：；证明：如图3，在的延长线上取一点N，使， ∵平分，，，∴， 在和中，∴，∴， ∵∴， 在和中，∴，∴ ∵∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$