专题04 一次函数的图象与性质（10大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题04 一次函数的图象与性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 函数的相关概念及表示方法 题型二 从函数图象获取信息 题型三 动点问题的函数图象 题型四 一次（正比例）函数相关概念 题型五 一次函数的图象与过象限问题 题型六 一次函数性质综合（含增减性） 题型七 一次函数中的平移与对称 题型八 一次函数的实际应用 题型九 一次函数中的规律探究问题 题型十 一次函数与几何图形综合 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 函数的相关概念及表示方法 ⭐技巧积累与运用 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的三种表示方法：①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意；．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查函数的定义，解题关键在于掌握定义，特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 根据函数的定义（给定一个x值都有唯一确定的y与它对应），对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A选项不符合题意； B、对于x的每一个取值，y不是都有唯一确定的值与之对应，故B选项符合题意； C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C选项不符合题意； D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D选项不符合题意．故选：B． 3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得故选：D． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解． 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确；由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折，∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个，故选：C． 从函数图象获取信息 ⭐技巧积累与运用 1）确定函数关系：通过观察函数图像，我们可以确定两个变量之间的关系。 2）寻找最大值和最小值：函数图像可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。 3）预测未来趋势：通过观察函数图像，我们可以预测未来的发展趋势。 4）解决实际问题：函数图像可以帮助我们解决一些实际问题。 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）重阳节当天，甲、乙两人相约去爬山，甲先出发一段时间，乙才从同一地点出发，甲、乙两人距出发地的距离与甲爬山时间之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息，下列说法正确的是（   ） A．甲比乙先出发 B．乙出发后追上甲 C．乙的速度为 D．乙比甲提前到达 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象可知道甲、乙爬山的总路程和甲所用时间，甲的速度总路程甲所用时间，进而可得甲、乙相遇时距出发地的距离，即可求乙的速度和乙到达所用的时间，观察图象逐项判断即可． 【详解】解：A、根据图象可得，甲比乙先出发，故A选项错误； B、根据图象可得，甲出发后，即乙出发后追上甲，故B选项错误； C、根据图象可得，甲的速度，乙的速度，故C选项正确；D、乙到达所用时间，，乙比甲提前到达，故D选项错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市去年居民用水按照元吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年月日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过吨，超过吨的部分每吨增加元．图中，分别表示去年、今年水费（元）与用水量（吨）之间的关系．实行阶梯水费后，若用水超过吨，则超过吨的部分每吨水费为 元． 【答案】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，根据图象求出的值，再根据图象求出今年用水不超过吨时每吨的水费，最后根据超过吨的部分每吨增加元计算超过吨的部分每吨水费即可，读懂题意，通过函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得（吨），今年用水不超过吨时，每吨的水费为（元）， ∵超过吨的部分每吨增加元，∴超过吨的部分每吨水费为（元），故答案为：． 动点问题的函数图象 ⭐技巧积累与运用 动点问题中函数图像的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的。考查的重点是分段函数解析式的求解。探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法。 1.（23-24·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．下面可以近似地刻画出容器中最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数圈象． 【详解】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 2．（23-24·山东威海·期末）小明早上从家里骑车上学，途中想起忘带作业，立刻加速按原路返回．返家途中遇到了给他送作业的妈妈，接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去．下列能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小明的行驶情况，返回途中加速，且并未到家，距离先增加再减少再增加，逐一排除选项． 【详解】解：A.因为接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去，故A错误； B.因为返家途中遇到了给他送作业的妈妈，故B错误；C.因为加速按原路返回，故C错误； D.该图象能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象，故D正确故选：D． 【点睛】本题考查函数的图像，解题关键在于通过分析题意，由实际情况来判断答案． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值；(2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式；(3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)当出发4秒，9秒，12秒时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，，即，∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即，∴，在上速度为，，∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为，，∴，即，，，； （2）解：前8秒速度为，，8秒后速度为，∴，因此； （3）解：如图③当时，中， ∴，∴，同理当时，中，， ∴，，当时，在的垂直平分线上，即为的中点， ，∴，， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． 一次（正比例）函数相关概念⭐技巧积累与运用 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 1．（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．根据一次函数和正比例函数的概念解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故选项符合题意； B、不是一次函数，故选项不符合题意；C、是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； D、不是一次函数，故选项不符合题意．故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如的式子是正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：函数是关于x的正比例函数， ，解得：，故选：C． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数自变量的值．分别求出当时的自变量的值，即可得到答案． 【详解】解：当时，，解得，，当时，，解得，， 当时，，解得，，当时，，解得，， 由上可知，当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是，故选：B 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线必过一定点． 【详解】解： 当时，，此定点坐标为，故答案为． 一次函数的图象与过象限问题 ⭐技巧积累与运用 1）一次函数图象是一条直线；2）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 1.（23-24·河南信阳·八年级期末）请写出一个图象经过二、四象限的函数的解析式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】可以写小于0的一次函数的解析式． 【详解】解：一个图象经过二、四象限的函数的解析式，则满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了函数解析式，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过一、三、四象限，则图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，正确掌握图象分布与的关系是解题的关键．根据直线经过一、三、四象限，判定，，从而判定，即图象经过一、二、三象限，再选择即可． 【详解】解：∵直线经过一、三、四象限，∴，，∴， ∴直线的图象经过一、二、三象限，故选：C． 3．（24-25八年级上·四川·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数与y轴的交点位置情况即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，不符合题意； B、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故不符合题意； C、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故不符合题意； D、由正比例函数图象可知，由一次函数图象可知，故符合题意．故选：D． 一次函数性质综合（含增减性） ⭐技巧积累与运用 当：随的增大而增大；当：随的增大而减小。 函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，则下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标是 C．因变量y随自变量x的减小而减小 D．原点到该图象的最短距离是 【答案】D 【分析】设一次函数的解析式为，一次函数的图象与x轴的交点为D，点为点A，过点A作轴于B，过点A作轴于C．根据一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，可得一次函数的图象经过第二、三、四象限，可判定A；根据，可求得，则，所以图象与x轴的交点坐标是，可判定B；根据，则一次函数，因变量y随自变量x的减小而增大，可判定C；过点O作于E，根据等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理可求得，由垂线段最短可判定D． 【详解】解：设一次函数的解析式为，一次函数的图象与x轴的交点为D，点为点A，过点A作轴于B，过点A作轴于C，如图， A、∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴一次函数的图象与函数的图象平行，∴， ∵一次函数的图象过点，∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项不符合题意； B、∵，轴于B，轴于C，∴，， ∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴图象与x轴的交点坐标是，故此选项不符合题意； C、∵一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是， ∴一次函数的图象与函数的图象平行，∴， ∴一次函数，因变量y随自变量x的减小而增大，故此选项不符合题意； D、过点O作于E，则， ∴，∴，由勾股定理，得，∴， 根据垂线段最短，可得原点到该图象的最短距离是，故此选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象和性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答． 【详解】解：∵一次函数，且，∴随的增大而减小，故B选项不符合题意； 令时，则，即一次函数与轴交于点，故A选项符合题意； 则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意； ∵一次函数的随的增大而减小，∴令时，则， ∴当时，则，故C选项不符合题意；故选：A． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，据此判断出增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，，∴y随x增大而减小， ∵是直线（为常数）上的三个点，且， ∴，故答案为：． 一次函数中的平移与对称 ⭐技巧积累与运用 一次函数平移口诀：左加右减，上加下减。 一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直。 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）要使直线向上平移后过点，那么直线应向上平移（ ）个单位 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了直线平移变换的规律：对直线而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．设直线向上平移个单位，其图象经过点，根据平移规律得出，再将点代入，得2，解方程即可求出的值、 【详解】解：设直线向上平移个单位后经过点， 则函数解析式为，将点代入，得，解得．故选：C． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度后得到的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移3个单位长度，所得函数图象的表达式是，即为，故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若直线与直线互相平行，则的值为 ． 【答案】 【分析】由平行可得，解得即可．本题考查了一次函数的性质，两条直线平行问题，两条直线平行一次项系数相等，常数项不等． 【详解】解：直线：与直线互相平行， ，解得，故答案为：． 一次函数的实际应用 ⭐技巧积累与运用 1）数学建模的一般思路：数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型。 2）正确认识实际问题的应用：在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、及图象求解。要注意结合实际，确定自变量的取值范围。 3）选择最简方案问题：分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．研究步骤：（1）取一桶桶装水，打开置于空气中； （2）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；（3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)根据表中信息，求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式；(2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 【答案】(1) (2)桶装水最佳饮用时间是7天 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）设，利用待定系数法代入求解即可；（2）当时，代入求解即可． 【详解】（1）解：设．当时，．， 将代入得：．解得：， （2）解：当时，．解得：．桶装水最佳饮用时间是7天． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）某电动车保管处对于停放的电动车，有两种收费方案：方案一：每辆电动车办卡每月元，每停放一天收费元；方案二：无管理费，每辆电动车每停放一天收费元．若方案一中一辆电动车每月所需的总保管费为（元），方案二中一辆电动车每月所需的总保管费为（元），一辆电动车每月停放的天数为（天）． (1)分别写出一辆电动车每月的总保管费（元），（元）与每月停放的天数（天）之间的关系式； (2)张阿姨每月骑电动车上班的天数是天，她打算将电动车停放在此保管处，选择哪种方案比较省钱？ 【答案】(1)，(2)方案一 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解数量关系，掌握一次函数解决实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意中的数量关系列式即可求解；（2）把代入计算，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：方案一：每辆电动车办卡每月元，每停放一天收费元，∴； 方案二：无管理费，每辆电动车每停放一天收费元，∴； （2）解：每月骑电动车上班的天数是天，∴（元），（元）， ∵，∴方案一比较省钱． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决：(1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________．(2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 【答案】(1)砝码的质量 (2)，，，(3) (4)画图见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键．（1）根据函数的定义可得自变量为砝码的质量；（2）根据表格信息，图象信息，判断函数的类型，再利用待定系数法求解函数解析式即可，再计算当时的函数值即可；（3）根据表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过．（4）根据表格信息，描点画图即可． 【详解】（1）解：材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是砝码的质量， （2）解：由题意可得：当时，设， ∴，解得：，∴函数关系式为：， 当时，设函数为， ∴，解得：，∴函数关系式为：， 当时，；当时，， ∴当砝码的质量为时，弹簧的长度为． （3）解：由表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）解：画图如下：    一次函数中的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数与规律探究类问题的综合类题型，常以选择或填空题型呈现，找出规律求坐标或长度，考查了对数字规律问题的分析归纳的能力，偏难。 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题关键． 【详解】解：直线与轴交于点，，解得，直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示：，；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设，，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为，设，则， 代入直线解析式，解得，， 的纵坐标为，的纵坐标为，故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，，∴，， ∵四边形是正方形，∴，即， 当时，，∴，即， ∵四边形是正方形，∴，即，即， 当时，，∴，即， ∵四边形是正方形，∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是；点的坐标是；故选：A. 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则，解得：，，， 四边形是正方形，，， 令，则，解得：，，， 四边形是正方形，，的纵坐标为：， ，同理可得，，，，故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 一次函数与几何图形综合⭐技巧积累与运用‌ ‌一次函数图象与几何图形相结合‌：此类问题主要利用待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，并结合图形进行分析。‌ ‌等腰三角形和直角三角形的存在性问题‌：对于等腰三角形和直角三角形的存在性问题，需要分类讨论，利用勾股定理和等腰三角形的性质进行求解。等腰三角形的存在性一般通过代数法解决，利用两点间的距离公式表示出各边长度，然后分类讨论并列出方程求解。 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、轴对称、全等三角形的判定与性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．由得出，连接交直线于，在上截取，连接，利用轴对称的性质和全等三角形的性质推出、即为符合题意的两个点，利用A、B、C、D坐标求出直线与直线的解析式，联立可得的坐标，再根据对称性得出的横坐标等于的横坐标的相反数，代入直线即可完成求解． 【详解】解：对于，令，则，即，令，则，即， 对于，令，则，即，令，则，即， ，； 连接交直线于，在上截取，连接， ，和关于轴对称，、在轴上，，为符合题意的一个点， ，，，， ，，，， ，为符合题意的另一个点；，，直线的解析式为， ，，直线的解析式为， 联立，解得：，，由对称性得：的横坐标为， 代入，则，，综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式．(3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】（1）由得到，根据，并结合勾股定理可求得，由翻折可得是等边三角形，过点C作于点D，根据“三线合一”与勾股定理即可求得点C的坐标； （2）由，，，得到，，，，根据长方形的性质与勾股定理求得，， ，设点D的坐标为，则，，根据勾股定理有，代入即可求出点D的坐标，进而根据待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （3）过点B作，交的延长线于点E，可得四边形是长方形，从而，，，根据勾股定理求得，进而得到，从而证得，得到，又证，得到，因此，根据面积公式求得，．连接，得到，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴， ∴，由翻折可得，， ∴，∴是等边三角形，∴过点C作于点D， ∴，，∴点C的坐标为．故答案为： （2）解：∵，，，∴，，，∴， ∵四边形是长方形，∴，，， ∴在中，， 设点D的坐标为，则，， 由翻折可得，，， ∴，， ∵在中，，在中，， ∴，解得，∴点， ∵四边形是长方形，，，∴点， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得，∴所在直线的函数表达式为． （3）解：过点B作，交的延长线于点E， ∴四边形是长方形，∴，，∴， ∴在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴ ∵，，，∴，∴∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，连接，∵，且与的高相等， ∴，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称图形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．(1)求线段的长；(2)当时，求点的坐标；(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点， ∴当，则，故；当，则，故；∴， ∵，∴，即，∴，∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且， ∴当，则，解得∴，即； 过点C作 由（1）知，，∴， 根据等面积法，得， ∴，则，设直线的解析式为，把代入， 解得，∴直线的解析式为，则点，∴， ∵，∴，解得，∴； （3）解：如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，， ，，，，， ，，，， ，由对称的性质可知，， 则点，，三点共线时，则有最小值，此时最小值． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标；(2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值．(3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标(2)存在，(3) (4)满足条件的点C的坐标为或 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键．（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标；（2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可；（3）利用三角形面积公式列式运算即可；（4）分类讨论点的位置，用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到，解得：， ∴直线的解析式为，∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：，∴点坐标； （2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，，∴的最小值； （3）如图2中，∵点坐标为，，∴， ．故答案为18； （4）如图3中，①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵，∴ ∵∴， ∴，，∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，根据总费用为元张以内（含10张）门票超过10张的部分门票费用，可得函数关系式． 【详解】解：由题意，得．故选D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象 D．图象与y轴的交点是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断． 【详解】解：A、由于一次函数中的，，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意； B、由于一次函数中的，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象，故C错误，不符合题意； D、直线，令可得，函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图象可得，在中，，，故，故，，故直线经过一、三、四象限，不符合题意； B、由图象可得，在中，，，故，故，故直线经过一、二、四象限，符合题意； C、由图象可得，在中，，，故，故，，故直线经过二、三、四象限，不符合题意； D、由图象可得，在中，，，故，故，故直线经过二、三、四象限，不符合题意；故选：B． 4．（24-25八年级上·四川成都·期中）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，根据一次函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：；故答案为： 5．（23-24八年级下·海南·期末）有一个一次函数，两位同学说出了它的一些特点：小军说它的图象经过；小梅说在这个函数中，随的增大而减小．请你写出满足上述全部特点的一个一次函数 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意即可直接写出满足上述全部特点的一个一次函数（答案不唯一）． 【详解】解：根据题意，写出满足上述全部特点的一个一次函数为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）全民运动已成为社会普遍现象．某健身俱乐部针对市民制定两种优惠方案，方案一：办理月卡，并单次打折；方案二：单次打折， 关于健身费用y（元）与次数x（次）的函数图象落在直线上，如图所示，若原定健身单价为20元/次．根据图象信息，下列叙述：①方案一办理月卡120元，每健身一次打六折；②方案二没有办理月卡，每健身一次打九折；③健身4次，方案一的费用比方案二多95元；④每月健身20次，两种方案费用相同． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得两个函数的解析式，再根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：由题意设方案一的函数解析式为；方案二的函数解析式为； ∴，，解得，，∴，， ①，∴方案一办理月卡120元，每健身一次打六折的说法正确； ②，∴方案二没有办理月卡，每健身一次打九折的说法正确； ③当时，，，， ∴健身4次，方案一的费用比方案二多95元的说法不正确； ④当时，，， ∴每月健身20次，两种方案费用相同的说法正确．综上，①②④正确，故答案为：①②④． 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相对函数”． （1）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则m的值是 ； （2）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了求函数值或自变量，理解新定义是解题的关键． （1）把代入解析式，即可求解； （2）分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：；故答案为： （2）当时，，此时； 当时，，此时；综上所述，n的值是．故答案为： 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值．(2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键．（1）经过原点，则且，再进一步求解即可；（2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点，∴且，∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点，∴，∴，解得：， ∵y的值随x值的增大而减小，∴，解得：，∴． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D．(1)求点A的坐标；(2)若，求t的值；(3)若，求t的值． 【答案】(1)，(2)(3)或 【分析】本题考查一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算．（1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：,∴一次函数为，当时，，解得，∴点， （2）依题意得：的解析式为，∵点，∴点，点， ∴，，若，，解得：， （3）当时；，，当，即，解得， 当时；，，当，即，解得， 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）2024年10月27日，以“乐跑公园城市奋进创新之城”为主题的2024成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的35000名选手从金沙遗址出发，一同体验“雪山下的公园城市、烟火里的幸福成都、奋进中的创新之城”的万千气象和独特魅力．经过激烈争夺，来自埃塞俄比亚的阿达内以2小时8分55秒的成绩夺得男子冠军，并刷新赛会纪录．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，l1，l2分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点A的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)谁先经过补给点A？早多少时间？(2)在这段时间内，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过补给点A后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)甲先经过补给点A，早到0.5小时(2)甲的速度：，乙的速度： (3)乙经过补给点A后或时间，甲乙两名选手相距 【分析】本题主要考查一次函数的应用和绝对值的应用，解题的关键是明白题目时间和距离补给点距离的关系，（1）根据图像已知数据即可判定谁先经过补给点，以及时间差； （2）结合图像中的数据和速度公式即可计算出甲乙二人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法即可求得各自的一次函数的解析式，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，甲先经过补给点A，早到0.5小时； （2）解：甲的速度：，乙的速度：， （3）解：设直线的关系式为：，由（2）得：， ∴直线的关系式为： ，设直线的关系式为：，由（2）得：， 又∵过点，∴，解得：， ∴直线的关系式为： 由题意得：，即解得：或 ∴乙经过补给点A后或时间，甲乙两名选手相距． 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价2万元．经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．学校想购进A，B两种健身器材共80套，若A型健身器材买x套，共花费y元．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)若A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，此时总费用最少为114.7万元 【分析】本题考查了一次函数的应用．（1）根据题意先得出A型健身器材的购进价格为万元，再根据费用数量价格，列出函数关系式即可；（2）由（1）得总费用y与x的函数关系式为，再由A型健身器材的数量不超过53套，得，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，A型健身器材买x套，则B型健身器材的数量为套， B型健身器材的购进价格为万元，A型健身器材的购进价格为万元， ∴，∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得总费用y与x的函数关系式为， ∴y随x的增大而减小，x最大时，y最小即总费用最少， ∵A型健身器材的数量不超过53套，即， ∴，y最小，总费用最少为万元，此时， ∴A型健身器材应购买53套，B型健身器材应购买27套， 答：学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，此时总费用最少为114.7万元． 12．（24-25八年级上·山西晋中·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，一次函数的图象经过点A，并与y轴交于点C，P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交直线于点E． (1)求A，B，C三点的坐标．(2)求的面积．(3)试探究直线上是否存在点P，使的长度等于长度的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为(2)(3)存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：（1）分别令，求出两个函数对应的函数值和自变量的值，进而得到A，B，C三点的坐标即可；（2）利用三角形的面积公式进行计算即可；（3）设点P的坐标为，得到点E的坐标为，根据的长度等于长度的一半，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得．∴点A的坐标为． 把代入，得．∴点B的坐标为把代入，得．∴点C的坐标为． （2）∵，，，∴，．∴． （3）存在．设点P的坐标为． ∵PE与x轴垂直，且点E在直线AB上，∴点E的坐标为．根据题意，得． 分以下两种情况讨论：①当点P位于点E上方时，． ∴，解得．∴． ②当点P位于点E下方时，． ∴，解得．∴． 综上所述，点P的坐标为或． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键．由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为，∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求；轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求；故选：C． 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）若，是一次函数（为常数）图象上的两个点，下面三个结论：①；②；③．正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，把，代入得，，然后分别求出、、的值，再进行判断即可得答案． 【详解】解：∵，是一次函数（为常数）图象上的两个点， ∴，∴，∴，故①错误； ∴，∴，故②正确； ∴，∴，故③正确，综上，正确的结论是②③，故选：C． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题意，利用勾股定理求出、、的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：∵直线，当时，；当时，； ∴，，∴； ；； ；∴． 则，的横坐标为， ∴的坐标为．故选：A． 4．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，函数图象一定不经过第二象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的知识，熟练掌握一次函数图像的性质是解题的关键．根据一次函数的与值，判断函数图象的特点，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：由可知，当，即时，不管为何值，永远为，故该一次函数一定过，故A选项正确； 当，例如时，，该函数过第一，二，三象限，故B错误； 当时，随的增大而减小，故C错误； 当时，例如，那么函数图象经过第一、三、四象限，故D错误； 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A，B，在直线上取点P，若为直角三角形（为直角边），则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决问题的关键． 作出图形，分别以A、B为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：对于函数，令，则，令，则，∴，， ∵点P在一次函数的图象上，∴设点的坐标为，∴， ，， ①当点B是直角顶点，即时， ∵在中，，∴，解得：，∴点的坐标为； ②当点A是直角顶点，即时， ∵在中，，∴，解得： ∴点的坐标为；综上，点的坐标为或．故答案为：或 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，    ，，，， ，，， 在和中，，，， ，设，，，，则，，即． 直线，，点， 在中，由勾股定理得：，则的坐标是， 设直线的解析式是，把代入得：，即直线的解析式是， 又∵过点，设直线解析式为，则∴直线的解析式为， 联立 解得：点，故答案为． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为边在右侧作等腰直角三角形，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点E作于点F，证明，设，确定，利用两点间距离公式，得，利用实数的非负性，配方法确定最小值，再计算算术平方根即可． 【详解】解：过点E作于点F，∵，，∴， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点， ∴，∴，∴，，设， ∴，∴，∴， ∴当时，取得最小值，且最小值为18，∴取得最小值，且最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，两点间距离公式，配方法的应用，算术平方根，熟练掌握三角形全等的判定和性质，配方法的应用是解题的关键． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的美丽邂逅我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图1所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、二、三象限；③其图象与轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向上平移2个单位长度得到． 在一次函数的表达式的右侧添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． （1）列表： (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)请写出函数与一次函数图象特征的相同点和不同点（各写一条即可）； (3)将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键．（1）把，，代入函数关系式进行计算，再描点、连线画出函数图象即可； （2）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可； （3）根据函数平移的规律即可解答． 【详解】（1）解：（1）当时，， 当时，，当时，，列表： … 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 3 … 连线，画出函数的图象； （2）解：答案不唯一，例如：相同点：两个函数图象都与轴交于点；都与轴交于点， 不同点：函数的图象是具有公共端点的两条射线组成，函数的图象是一条直线；函数不经过第三象限，而函数经过第三象限． （3）解：将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为， 故答案为： 9．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．(1)求点，点的坐标．(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 【答案】(1)，(2) (3)点和点的坐标分别为或或或 【分析】（1）在中，令，即可得点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式，联立即可得点的坐标；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可得答案；（3）证明为直角三角形，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点， 令，可得，解得，∴，设直线的解析式为， ∵直线经过点和点，∴，解得，∴直线的解析式为， 联立得，解得，∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴，，∴，此时最小，最小， ∵点的坐标为，，，∴，， ∴的最小值为； （3）解：∵点的坐标为，，， ∴，，， ∴，∴是直角三角形，， 点分别是直线上的两点，且不与点重合， 设，，当时，，， ∴，， 解得或，或， ∴点和点的坐标分别为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合，全等三角形的性质，两点之间距离的计算方法，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程求直线交点，对称轴与线段最短的计算，全等三角形的性质等综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的图象与性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 函数的相关概念及表示方法 题型二 从函数图象获取信息 题型三 动点问题的函数图象 题型四 一次（正比例）函数相关概念 题型五 一次函数的图象与过象限问题 题型六 一次函数性质综合（含增减性） 题型七 一次函数中的平移与对称 题型八 一次函数的实际应用 题型九 一次函数中的规律探究问题 题型十 一次函数与几何图形综合 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 函数的相关概念及表示方法 ⭐技巧积累与运用 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的三种表示方法：①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 从函数图象获取信息 ⭐技巧积累与运用 1）确定函数关系：通过观察函数图像，我们可以确定两个变量之间的关系。 2）寻找最大值和最小值：函数图像可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。 3）预测未来趋势：通过观察函数图像，我们可以预测未来的发展趋势。 4）解决实际问题：函数图像可以帮助我们解决一些实际问题。 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）重阳节当天，甲、乙两人相约去爬山，甲先出发一段时间，乙才从同一地点出发，甲、乙两人距出发地的距离与甲爬山时间之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息，下列说法正确的是（   ） A．甲比乙先出发 B．乙出发后追上甲 C．乙的速度为 D．乙比甲提前到达 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市去年居民用水按照元吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年月日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过吨，超过吨的部分每吨增加元．图中，分别表示去年、今年水费（元）与用水量（吨）之间的关系．实行阶梯水费后，若用水超过吨，则超过吨的部分每吨水费为 元． 动点问题的函数图象 ⭐技巧积累与运用 动点问题中函数图像的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的。考查的重点是分段函数解析式的求解。探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法。 1.（23-24·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．下面可以近似地刻画出容器中最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（    ） A． B．C． D． 2．（23-24·山东威海·期末）小明早上从家里骑车上学，途中想起忘带作业，立刻加速按原路返回．返家途中遇到了给他送作业的妈妈，接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去．下列能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值；(2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式；(3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 一次（正比例）函数相关概念⭐技巧积累与运用 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 1．（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）当x从0开始逐渐增大时，对同一个x值，下列函数中函数值先到达100的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 一次函数的图象与过象限问题 ⭐技巧积累与运用 1）一次函数图象是一条直线；2）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 1.（23-24·河南信阳·八年级期末）请写出一个图象经过二、四象限的函数的解析式__________． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过一、三、四象限，则图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B．C． D． 一次函数性质综合（含增减性） ⭐技巧积累与运用 当：随的增大而增大；当：随的增大而减小。 函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的负半轴的夹角是，且过点，则下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标是 C．因变量y随自变量x的减小而减小 D．原点到该图象的最短距离是 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系是 （用“”表示）． 一次函数中的平移与对称 ⭐技巧积累与运用 一次函数平移口诀：左加右减，上加下减。 一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直。 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）要使直线向上平移后过点，那么直线应向上平移（ ）个单位 A．1 B．3 C．5 D．7 2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度后得到的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西·阶段练习）若直线与直线互相平行，则的值为 ． 一次函数的实际应用 ⭐技巧积累与运用 1）数学建模的一般思路：数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型。 2）正确认识实际问题的应用：在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、及图象求解。要注意结合实际，确定自变量的取值范围。 3）选择最简方案问题：分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．研究步骤：（1）取一桶桶装水，打开置于空气中； （2）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；（3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)根据表中信息，求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式；(2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）某电动车保管处对于停放的电动车，有两种收费方案：方案一：每辆电动车办卡每月元，每停放一天收费元；方案二：无管理费，每辆电动车每停放一天收费元．若方案一中一辆电动车每月所需的总保管费为（元），方案二中一辆电动车每月所需的总保管费为（元），一辆电动车每月停放的天数为（天）． (1)分别写出一辆电动车每月的总保管费（元），（元）与每月停放的天数（天）之间的关系式； (2)张阿姨每月骑电动车上班的天数是天，她打算将电动车停放在此保管处，选择哪种方案比较省钱？ 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决：(1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________．(2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 一次函数中的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数与规律探究类问题的综合类题型，常以选择或填空题型呈现，找出规律求坐标或长度，考查了对数字规律问题的分析归纳的能力，偏难。 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 一次函数与几何图形综合⭐技巧积累与运用‌ ‌一次函数图象与几何图形相结合‌：此类问题主要利用待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，并结合图形进行分析。‌ ‌等腰三角形和直角三角形的存在性问题‌：对于等腰三角形和直角三角形的存在性问题，需要分类讨论，利用勾股定理和等腰三角形的性质进行求解。等腰三角形的存在性一般通过代数法解决，利用两点间的距离公式表示出各边长度，然后分类讨论并列出方程求解。 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式．(3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．(1)求线段的长；(2)当时，求点的坐标；(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标；(2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值．(3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象 D．图象与y轴的交点是 3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B．C． D． 4．（24-25八年级上·四川成都·期中）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 5．（23-24八年级下·海南·期末）有一个一次函数，两位同学说出了它的一些特点：小军说它的图象经过；小梅说在这个函数中，随的增大而减小．请你写出满足上述全部特点的一个一次函数 （写出一个即可）． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）全民运动已成为社会普遍现象．某健身俱乐部针对市民制定两种优惠方案，方案一：办理月卡，并单次打折；方案二：单次打折， 关于健身费用y（元）与次数x（次）的函数图象落在直线上，如图所示，若原定健身单价为20元/次．根据图象信息，下列叙述：①方案一办理月卡120元，每健身一次打六折；②方案二没有办理月卡，每健身一次打九折；③健身4次，方案一的费用比方案二多95元；④每月健身20次，两种方案费用相同． 其中正确的是 ．（填写序号） 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相对函数”． （1）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则m的值是 ； （2）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则n的值是 ． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值．(2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D．(1)求点A的坐标；(2)若，求t的值；(3)若，求t的值． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）2024年10月27日，以“乐跑公园城市奋进创新之城”为主题的2024成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的35000名选手从金沙遗址出发，一同体验“雪山下的公园城市、烟火里的幸福成都、奋进中的创新之城”的万千气象和独特魅力．经过激烈争夺，来自埃塞俄比亚的阿达内以2小时8分55秒的成绩夺得男子冠军，并刷新赛会纪录．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，l1，l2分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点A的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)谁先经过补给点A？早多少时间？(2)在这段时间内，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过补给点A后多长时间，甲乙两名选手相距？ 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价2万元．经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．学校想购进A，B两种健身器材共80套，若A型健身器材买x套，共花费y元．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)若A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 12．（24-25八年级上·山西晋中·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，一次函数的图象经过点A，并与y轴交于点C，P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交直线于点E． (1)求A，B，C三点的坐标．(2)求的面积．(3)试探究直线上是否存在点P，使的长度等于长度的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）若，是一次函数（为常数）图象上的两个点，下面三个结论：①；②；③．正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，函数图象一定不经过第二象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A，B，在直线上取点P，若为直角三角形（为直角边），则点P的坐标是 ． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为边在右侧作等腰直角三角形，其中，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的美丽邂逅我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图1所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、二、三象限；③其图象与轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向上平移2个单位长度得到． 在一次函数的表达式的右侧添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． （1）列表： (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)请写出函数与一次函数图象特征的相同点和不同点（各写一条即可）； (3)将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为． 9．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．(1)求点，点的坐标．(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$