专题04 基本平面图形（10大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题04 基本平面图形 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 线段、射线、直线及相关概念 题型二 线段、直线的重要性质 题型三 线段的相关计算 题型四 线段的中点与n等分点 题型五 线段中的动态问题 题型六 角的相关概念与运算 题型七 角平分线的相关运算 题型八 角度中的旋转问题 题型九 多边形的概念及相关计算 题型十 圆的概念及相关计算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 线段、射线、直线及相关概念 ⭐技巧积累与运用 线段的概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．如图所示，记作：线段a或线段AB（BA）． 射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．记作：射线OA 直线的概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．如图所示，记作：直线或直线AB（BA）． 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线. A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③ 2．（23-24七年级上·江苏·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ）    A．点P在直线外 B．点C在直线外 C．直线不经过点M D．直线经过点B 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图A、B、C、D在同一平面内，请按下列要求画图： (1)过点A、B画直线；(2)画射线；(3)连接和相交于点E；(4)连结并延长到F，使． 线段、直线的基本性质 ⭐技巧积累与运用 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短。 直线基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线。 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（    ）． A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 2．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 3．（23-24七年级上·吉林白城·期末）在多媒体教室的墙上装一幅投影幕布，至少需 个钉子，理由是 ． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．在所有连结两点的线中，线段最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离 C．过三点中的任意两点作直线共可作三条 D．若，则点B是线段AC的中点 线段的相关计算 ⭐技巧积累与运用 线段的和与差： 1）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和； 如图，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。 2）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差； 如图，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，．(1)若，求的长；(2)若，为的中点，求的长． 3．（23-24七年级上·成都·专题练习）在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长． 线段的中点与n等分点 ⭐技巧积累与运用 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：. ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有. 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 2．（23-24七年级上·山东济宁·期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 线段中的动态问题 ⭐技巧积累与运用 线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 1．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 3．（23-24七年级·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 角的相关概念与运算 ⭐技巧积累与运用 角的和、差： 1）如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和，如图∠ABC＝∠1+∠2。 2）如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差；如图∠GEF＝∠DEG-∠1。 1．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江·月考）（1）已知，，求的度数； （2）已知，过点O作射线（不同于），满足，求的度数．（题目中的角是小于平角的角） 角平分线的相关运算 ⭐技巧积累与运用 角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 类似地，还有角的三等分线、n等分线等。 1．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）若，是不同于的射线，平分，平分，则的大小为 ． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ． 3．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分．(1)求的度数；(2)求的度数；(3)是否平分？试说明理由． 角度中的旋转问题 ⭐技巧积累与运用 角度旋转模型解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②旋转角度取值范围。 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 3．（23-24七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 多边形的概念及相关计算 ⭐技巧积累与运用 多边形的定义: 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形；通常按边数将他们分为三角形、四边形、五边形等。 组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形。等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。 1．（23-24·河南南阳·七年级期末）现有几种形状的正多边形地砖，分别是：①正三角形：②正方形；③正五边形：④正六边形，每一种正多边形地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种正多边形地砖镶嵌，那么不能够镶嵌成一个平面图案的正多边形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24·陕西八年级期中）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　） A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm 3．（23-24·四川成都·七年级期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出的对角线条数为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 圆的概念及相关计算 ⭐技巧积累与运用 圆的定义：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆. 固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。 弧的定义：圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 扇形的定义：由一条弧AB和经过这条弧的两个端点的两条半径OA、OB所组成的的图形叫扇形。 扇形的面积计算公式为：。（其中扇形圆心角的度数为n°，半径为r）。 圆心角的定义：顶点在圆心的角叫圆心角。 1．（2024·河南郏县·七年级期中）下列说法正确的是（ ）． A．圆的一部分是扇形 B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形 C．三角形是最简单的多边形 D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形 2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 3．（2024·成都市石室联合中学七年级期中）如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 1．（2024·河北·七年级期末）在军事上，往往对角的度量有更精密的要求，常常使用密位制，1密位等于周角的，即为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 3．（2024七年级上·上海·专题练习）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 4．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，由淮安始发终点至上海的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：淮安－扬州－泰州－海安－如皋－南通－常熟－太仓－上海，那么要为这次列车制作的单程火车票有 种． 5．（23-24七年级上·四川成都·期末）神州17号载人飞船已于2023年10月26日上午11时14分成功发射．上午11时14分时钟上时针与分针的夹角是 ． 6．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．    7．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．    8．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图并解答问题： (1)①作直线；②作射线交直线于点E；③连接，交于点F； (2)若F是的一个三等分点，已知线段上所有线段之和为，求的长． 9．（2023·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 10．（23-24七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 12．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；（2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    1．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 3．（2024·成都市石室联合中学七年级期中）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的面积为，试计算求出_______；并猜想得到________（）． 4．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 5．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 6．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由；(2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度；(3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本平面图形 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 线段、射线、直线及相关概念 题型二 线段、直线的重要性质 题型三 线段的相关计算 题型四 线段的中点与n等分点 题型五 线段中的动态问题 题型六 角的相关概念与运算 题型七 角平分线的相关运算 题型八 角度中的旋转问题 题型九 多边形的概念及相关计算 题型十 圆的概念及相关计算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 线段、射线、直线及相关概念 ⭐技巧积累与运用 线段的概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．如图所示，记作：线段a或线段AB（BA）． 射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．记作：射线OA 直线的概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．如图所示，记作：直线或直线AB（BA）． 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线. A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义和表示方法，熟记概念是解题的关键． 【详解】解：①直线和直线是同一条直线，正确； ②射线和射线是同一条射线，不正确，二者端点不同；③线段和线段是同一条线段，正确； ④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，正确，综上所述，正确的是①③④．故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ）    A．点P在直线外 B．点C在直线外 C．直线不经过点M D．直线经过点B 【答案】B 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，理解点在直线上，点在直线外，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：点P在直线外，描述正确，故A不符合题意；点C在直线上，故B符合题意； 线不经过点M，描述正确，故C不符合题意； 直线经过点B，描述正确，故D不符合题意；故选B 3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图A、B、C、D在同一平面内，请按下列要求画图： (1)过点A、B画直线；(2)画射线；(3)连接和相交于点E；(4)连结并延长到F，使． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义．（1）根据直线的定义画出图形即可；（2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可；（4）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求； （4）解：如图，线段即为所求． 线段、直线的基本性质 ⭐技巧积累与运用 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短。 直线基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线。 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（    ）． A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质公理，根据直线的性质公理，两点确定一条直线进行解答即可； 【详解】解：建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线．故选：B 2．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题关键． 【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，故选：C． 3．（23-24七年级上·吉林白城·期末）在多媒体教室的墙上装一幅投影幕布，至少需 个钉子，理由是 ． 【答案】 两点确定一条直线 【分析】本题考查两点确定一条直线，因为经过两点有且只有一条直线，所以固定一根木条，至少需要2个钉子． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线，∴固定一根木条，至少需要2个钉子． 故答案为：2；两点确定一条直线． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．在所有连结两点的线中，线段最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离 C．过三点中的任意两点作直线共可作三条 D．若，则点B是线段AC的中点 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质、两点间的距离的定义和线段中点的定义，根据线段的性质、两点间的距离的定义和线段中点的定义逐项分析可得答案． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，故正确，符合题意； B．连结两点的线段的长度叫做两点的距离，故错误，不符合题意： C．过三点中的任意两点作直线共可作三条或一条，故错误，不符合题意： D．若，当点B不在直线上时，则点B不是线段的中点，故错误，不符合题意．故选：A． 线段的相关计算 ⭐技巧积累与运用 线段的和与差： 1）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和； 如图，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。 2）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差； 如图，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【答案】图形见解析，或 【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧． 【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，．点位于点的右侧时，．故答案为：或 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，．(1)若，求的长；(2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)15(2)9 【分析】本题主要考查线段和线段的中点，掌握线段和差计算，数形结合分析方法是解题关键． （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． （2）解：∵，∴．∵，∴． ∵是的中点，∴，∴． 3．（23-24七年级上·成都·专题练习）在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长． 【答案】的长为或 【分析】本题考查了线段长短的计算，根题意分别画出图形和掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键． 先根据题意画出图①、图②， 根据题意，需分以下2种情况：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，然后分别根据线段的和差列式解答即可． 【详解】解：①当点D在线段上时，如图①． 因为，所以． 因为，所以，所以，所以． ②当点D在线段的延长线上时，如图②． 因为，所以． 因为，所以，所以，所以． 综上所述，的长为或． 线段的中点与n等分点 ⭐技巧积累与运用 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：. ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有. 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴， ∴，，故①②正确；∵，∴， ∵，∴，故③错误； ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，故④正确；∴正确的有①②④，故答案为：①②④． 2．（23-24七年级上·山东济宁·期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ． 【答案】或/或 【分析】根据点是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， 是线段的中点，，， 点是线段上的三等分点，，， 如图， 点是线段上的三等分点，， 是线段的中点，，，；故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故；（2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，，， ，分别是，的中点，，， ；故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，，， ，；故答案为：； ②，，，， ，，； ③，，，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 线段中的动态问题 ⭐技巧积累与运用 线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 1．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题主要考查了线段的和差问题和两点间的距离的计算，（1）计算出和的长，进而可得出答案；（2）由结合（1）问便可解答； （3）由，分两种情况讨论：①点N在线段上时，②点N在的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，， ∵，． （2）解：设运动时间为t，则，∵， 又，，即，∴； （3）解：由（2）可得：，∵，，， 点N在线段上时，如图， ∵，∴，，即． 当点N在线段AB的延长线上时，如图， ∵，，∴，即． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 【答案】(1)(2)(3)见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可得到答案；（2）分点C在点B左侧和右侧两种情况讨论求解即可；（3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，∴ （2）解：分两种情况讨论：①当点C在点B右侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点， ∴，． ∴； ②当点C在点B左侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点，∴，， ∴；综上所述，； （3）解：定值为2，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴，∵，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，． 3．（23-24七年级·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键．（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，∴， ∵线段，∴，∴．故答案为：3． （2）当点在线段上，，如图， 为的中点，∴，解得， 当点在线段的延长线上，，如图， 同理：解得， 综上所述，当时，点的运动时间的值为或20； （3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图， 为的中点，为的中点， 角的相关概念与运算 ⭐技巧积累与运用 角的和、差： 1）如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和，如图∠ABC＝∠1+∠2。 2）如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差；如图∠GEF＝∠DEG-∠1。 1．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据角的和差可得，又根据角的和差可得，再根据即可得． 【详解】解：，，， ，， 又，，，故选：A． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，正确找出图形中的角之间的联系是解题关键． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠问题，根据折叠前后对应角相等可得，，结合长方形中可得答案． 【详解】解：由折叠知，，，， ，，故选C． 3．（24-25七年级上·浙江·月考）（1）已知，，求的度数； （2）已知，过点O作射线（不同于），满足，求的度数．（题目中的角是小于平角的角） 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，利用角度的和差计算即可得解；（2）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）分两种情况：如答图①，当在内部时， 此时； 如答图②，当在外部时，此时． 综上，的度数为或． （2）分两种情况：如答图③，当在内部时， 设，则，∴，∴，∴； 如答图④，当在外部时，设，则， ∴，∴，∴．综上，的度数为或． 角平分线的相关运算 ⭐技巧积累与运用 角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 类似地，还有角的三等分线、n等分线等。 1．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）若，是不同于的射线，平分，平分，则的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．当射线在的内部时，根据角平分线的定义求得，，然后根据图形中的角与角间的和差关系来求的度数．当射线在的外部时，同理可求的度数． 【详解】解：当射线在的内部时，如图所示： ∵平分，∴，又∵平分，∴， 又∵，∴； 当射线在的外部时，如图所示 ∵平分，∴，又∵平分，∴， 又∵， ∴．故答案为：． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ． 【答案】或 【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或， 当时，如图：∵，，∴， ∵射线为的平分线，∴， ∴；       当时，如图：∵，，∴， ∵射线为的平分线，∴，∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条． 3．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分．(1)求的度数；(2)求的度数；(3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)平分，理由见解析． 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；（1）由角分线的定义，得到的度数；（2）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数；（3）由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：，平分， ，； （2）解：，，，； （3）平分；理由：，，， 又 ，平分． 角度中的旋转问题 ⭐技巧积累与运用 角度旋转模型解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②旋转角度取值范围。 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100(2)，(3) 【分析】本题考查角的数量关系，数形结合是解答本题关键．（1）根据可得答案；（2）先分别表示出，，根据，求解即可；（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，，∴， ∴；故答案为：100； （2）如图，∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵，∴，， ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵，∴，， ∴． 综上所述：的度数为． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 2．（23-24七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)选择A: ；选择B：∠EOF的度数是或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）．根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； ．分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解：，，， ，分别是和的角平分线， ，，； （2）解：选择题．，分别是和的角平分线， ，， ；故答案为：； 选择题．①射线，只有1个在外面，如图3①，      ． ②射线，个都在外面，如图3②， ． 故的度数是或． 多边形的概念及相关计算 ⭐技巧积累与运用 多边形的定义: 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形；通常按边数将他们分为三角形、四边形、五边形等。 组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形。等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。 1．（23-24·河南南阳·七年级期末）现有几种形状的正多边形地砖，分别是：①正三角形：②正方形；③正五边形：④正六边形，每一种正多边形地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种正多边形地砖镶嵌，那么不能够镶嵌成一个平面图案的正多边形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据一种或几种图形是否能够镶嵌的特点解答即可. 【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故①不符合题意； ②正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故②不符合题意； ③正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故③符合题意； ④正六边形的每个内角是120°，120°×3=360°，能镶嵌，故④不符合题意.故选：C. 【点睛】本题考查了平面镶嵌的特点，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键. 2．（23-24·陕西八年级期中）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　） A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm 【答案】C 【详解】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长， 所以正六边形的周长是正三角形的周长的,正六边形的周长为90×3×=180cm， 所以正六边形的边长是180÷6=30cm.故选C. 3．（23-24·四川成都·七年级期末）如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出的对角线条数为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案． 【详解】解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是8-3=5，故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握计算公式． 圆的概念及相关计算 ⭐技巧积累与运用 圆的定义：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆. 固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。 弧的定义：圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 扇形的定义：由一条弧AB和经过这条弧的两个端点的两条半径OA、OB所组成的的图形叫扇形。 扇形的面积计算公式为：。（其中扇形圆心角的度数为n°，半径为r）。 圆心角的定义：顶点在圆心的角叫圆心角。 1．（2024·河南郏县·七年级期中）下列说法正确的是（ ）． A．圆的一部分是扇形 B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形 C．三角形是最简单的多边形 D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形 【答案】C 【分析】根据扇形、多边形的概念逐一判断即可得出答案． 【详解】A.扇形可以看成圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形，比如随便一刀下去，所造成的两部分很难会是扇形，此选项错误；B. 一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形叫做扇形，此选项错误； C.组成多边形的线段至少有3条三角形是最简单的多边形，此选项正确； D. 由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，此选项错误；故选C． 【点睛】本题考查了认识平面图形的知识，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握． 2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 3．（2024·成都市石室联合中学七年级期中）如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等． 【详解】解：设小明走的半圆的半径是．则小明所走的路程是． 设小红所走的两个半圆的半径分别是与，则， 小红所走的路程是，∴，故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径． 1．（2024·河北·七年级期末）在军事上，往往对角的度量有更精密的要求，常常使用密位制，1密位等于周角的，即为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一周角等于360°，列式即可求解． 【详解】依题意可得1密位等于×360°=故选C． 【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知一周角等于360°． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线，∴， 又∵，∴， 而，∴， 如图，当在下方时，此时，； 如图，当在上方时，此时，； 即：或，故选：C． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 4．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，由淮安始发终点至上海的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：淮安－扬州－泰州－海安－如皋－南通－常熟－太仓－上海，那么要为这次列车制作的单程火车票有 种． 【答案】 【分析】本题考查线段的数量问题；单程两个站点有一种票，相当于图中线段条数问题，根据计算即可． 【详解】解：（种），∴要为这次列车制作的单程火车票种．故答案为：． 5．（23-24七年级上·四川成都·期末）神州17号载人飞船已于2023年10月26日上午11时14分成功发射．上午11时14分时钟上时针与分针的夹角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握钟表上每一个大格的角度为是解题关键．根据钟表上，12个大格共求出每一个大格的角度为，再根据上午11时14分进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面表的定义可知，， ，，．故答案为． 6．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．    【答案】10 【分析】根据列式计算即可． 【详解】解：由题意得：，故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的和差计算，准确识别图形是解题的关键． 7．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据，可计算出的度数，再由，即可得出答案． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查角度的计算，理解角的度量单位及计算法则是解题的关键． 8．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图并解答问题： (1)①作直线；②作射线交直线于点E；③连接，交于点F； (2)若F是的一个三等分点，已知线段上所有线段之和为，求的长． 【答案】(1)见解析(2)或 【分析】（1）根据语句作图即可；（2）分两种情况讨论，即当大于时和当小于时，根据“线段AC上所有线段之和为18”列方程求解即可． 【详解】（1）如图所示： （2）当大于时，设，则，， ∴，解得：，∴， 当小于时，设，则，． ∴．解得：，∴，综上所述：或． 【点睛】本题考查了线段的和差、线段的n等分点的有关计算以及根据语句作图．熟练掌握基本作图语句是解题的关键，解题（2）时注意分类讨论． 9．（2023·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，． ∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 10．（23-24七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）6；（2）①；② 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；（2）①由，可得，然后根据求解即可；②仿照（2）的过程求解即可． 【详解】解：（1），分别是，的中点 （2）① ； ② ． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足， 即，∴，故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点∴或，或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 12．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；（2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则，解得，若相遇后，则，解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距；故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为，故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格，∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度；故答案为：； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时，由题意得：，解得：； ②当分针在时针下方时，由题意得：，解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 1．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设，∵，，∴，， ∵，即，∴，∴， ∵，∴，故选：D． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”，∴， ∵点E为线段的中点，∴∴， ∴，∴，∴；如图，，， ∵点D是折线的“折中点”，∴， ∵点E为线段的中点，∴∴， ∴，∴；综上所述，的长为4或24，故答案为：4或24． 3．（2024·成都市石室联合中学七年级期中）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的面积为，试计算求出_______；并猜想得到________（）． 【答案】 【分析】由是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，则可知，比少了半径为的半圆，，比少了半径为的半圆，；据此可以算出，，，因此可以推出． 【详解】∵，∴比少了半径为的半圆，则，， ∴比少了半径为的半圆，则，， ∴，∴， 故可得：，故答案为：；． 【点睛】本题考查圆的面积公式、规律性等知识，从特殊到一般，找出相邻两个图形的规律是解题的关键． 4．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； (2)根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】(3)从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】(4)往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种? 【答案】(1)10，10(2)15(3)15(4)20 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．（1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每条射线与其他各射线都可有个角，每条射线都数两次，当时即可计算出角的个数． （4）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）由图①可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． 故答案为：10，10； （2）由图②可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排15场比赛． 故答案为：15； （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角，故答案为：15． （4）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中，得∴要准备车票的种数为20种． 5．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解； （2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离； （3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间． 【详解】（1）解：，， 又，，． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点，，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，，， 又，，解得：； 当点到达点返回时，即时， 由题意得，，， 又，，解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 6．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由；(2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度；(3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解(2)9或6或12(3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得；分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可；计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下：∵点C为线段的中点，∴，∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，，∴，或，或； 当，则；当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得，∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$