专题05 抛物线（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题05 抛物线 抛物线的定义及应用 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·四川资阳·期末）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 3．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（22-23高二上·四川凉山·期末）抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（22-23高二上·四川绵阳·期末）已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．（22-23高二上·四川达州·期末）直线上两点到直线的距离分别等于它们到的距离，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（20-21高二上·四川巴中·期末）若点P为抛物线上一点，则F为焦点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．2 C．4 D．1 8．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知抛物线=的焦点为F， M、N是抛物线上两个不同的点，若，则线段MN的中点到y轴的距离为（ ） A．8 B．4 C． D．9 9．（23-24高二上·四川达州·期末）已知点F为抛物线的焦点，第一象限的点在该抛物线上，且，则 ． 抛物线的几何性质及应用 10．（23-24高二上·重庆·期末）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 12．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（22-23高二下·四川自贡·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二上·四川眉山·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（   ） A． B． C．8 D．2 15．（23-24高三上·四川内江·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22高二下·四川遂宁·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（    ） A． B． C．4 D．8 17．（21-22高二下·四川资阳·期末）抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 求抛物线的标准方程 18．（23-24高二上·四川凉山·期末）“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高三上·四川成都·期末）如图，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角轴等于60°．已知内的曲线的方程是，则曲线在内的射影所在曲线方程是（    ） A． B． C． D． 21．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22高二上·四川达州·期末）下列抛物线中，以点为焦点的是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21高二下·四川资阳·期末）已知为抛物线上一点，是坐标原点，点到的焦点的距离为2，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 24．（18-19高二上·四川成都·期末）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是　　 A． B． C． D． 25．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 26．（22-23高二上·四川泸州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（    ）    A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m 抛物线的最值问题 27．（22-23高二下·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 28．（22-23高二上·四川凉山·期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 29．（22-23高二上·四川成都·期末）已知点P在抛物线上移动，是抛物线内部一定点，若点P到抛物线焦点F的距离与到点A的距离之和的最小值为5，则点A的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（21-22高二上·四川·期末）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 31．（21-22高二上·四川眉山·期末）已知直线，，P是抛物线上的动点，则P到、的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（21-22高二上·四川泸州·期末）动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（21-22高二上·四川泸州·期末）动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D．12 34．（20-21高二下·四川资阳·期末）抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点.则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 抛物线的焦点弦问题 35．（22-23高二上·四川成都·期末）直线l过抛物线（p>0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果，，M为RS的中点，则（    ） A． B． C． D．2 36．（21-22高二上·四川·期末）已知点为坐标原点，直线与抛物线：相交于A，两点，的中点为，若到的准线的距离等于，则（    ） A． B． C． D． 37．（20-21高二上·四川宜宾·期末）已知点是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（20-21高二上·四川乐山·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 40．（23-24高二上·四川乐山·期末）如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 41．（23-24高二下·四川内江·期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．2 42．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，直线过点交抛物线于两点，于点于点，四边形的面积为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 43．（21-22高三下·四川德阳·期末）抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是 . 44．（23-24高三下·四川·期末）已知O为坐标原点，A，B是抛物线上的两个动点，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为，．若直线，的斜率之积为，则的面积的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 45．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线的倾斜角为锐角，且与交于两点，，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 直线与抛物线的位置关系 46．（21-22高二下·四川自贡·期末）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 47．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为， 其上有两点， 若的中点为， 满足的斜率等于1，则的最大值是（    ） A．7 B．8 C． D．10 48．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D．16 49．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 51．（21-22高二上·四川成都·期末）已知抛物线，过点作直线交于两点、，分别过、作的切线交于点.若，则（    ） A． B． C．或 D．或 52．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知扡物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 53．（22-23高二上·四川绵阳·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 54．（21-22高二下·四川南充·期末）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A．－5 B．－3 C．3 D．5 抛物线的定值和定点问题 55．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 56．（23-24高二上·四川泸州·期末）抛物线上的点到C的准线的距离为5． (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 57．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N． (1)求抛物线的方程及线段MN的长； (2)直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 58．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证： (1)线段AB的中点在一条定直线上 (2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 59．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． (1)若，P在抛物线上，求的最小值； (2)若．求证：直线AB必过定点． 60．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为3，点到轴的距离恰为. (1)求点的坐标； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线上是否存在一定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 抛物线的最值范围问题 61．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 62．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率；②两渐近线夹角为；③为定值；④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 63．（21-22高二上·四川·期末）已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为． (1)求双曲线C的方程； (2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围． 64．（20-21高二下·四川资阳·期末）双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：； ②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 65．（20-21高二上·四川泸州·期末）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 抛物线的综合问题 66．（23-24高二上·四川凉山·期末）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．的最小值为8 D．若点P的坐标为，则的最小值为6 67．（23-24高二上·四川南充·期末）（多选题）已知焦点为的抛物线与直线相交于两点，且满足（为坐标原点），则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D．以为直径的圆与轴只有一个公共点 68．（23-24高二上·四川泸州·期末）（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等腰直角三角形 C．直线AB的斜率为 D．的面积为 69．（23-24高二上·四川乐山·期末）（多选题）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 70．（23-24高二上·四川宜宾·期末）（多选题）已如抛物线的点为，直线与交于两点、则下列说法正确的是（    ） A．为坐标原点，则面积的最小值为． B．若，则． C．设，的最小值为． D．过分别作直线的垂线，垂足分别为．则． 71．（23-24高二上·四川绵阳·期末）（多选题）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时， C．以线段为直径的圆与直线相切 D．当最小时，切线与准线的交点坐标为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 抛物线 抛物线的定义及应用 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义结合中点公式，可得焦点弦长度. 【详解】 如图所示， 由抛物线，得， 设，， 由线段中点M到轴距离为， 可知， 所以， 又由抛物线定义可知， 故选：B. 2．（22-23高二下·四川资阳·期末）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据条件求出的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果. 【详解】因为抛物线：过点，所以，故抛物线：， 所以的焦点到准线的距离为. 故选：B. 3．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义得解. 【详解】由题得抛物线的准线方程为， 所以点P到准线的距离为， 由抛物线的定义得3. 故选：B    4．（22-23高二上·四川凉山·期末）抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出抛物线上点P的纵坐标，再结合抛物线定义求解作答. 【详解】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则， 所以点P到抛物线焦点的距离为. 故选：B 5．（22-23高二上·四川绵阳·期末）已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算作答. 【详解】依题意，抛物线：的焦点，准线方程为， 显然有，所以. 故选：D 6．（22-23高二上·四川达州·期末）直线上两点到直线的距离分别等于它们到的距离，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】首先确定点在抛物线上，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示焦半径的和. 【详解】根据抛物线的定义可知，到直线距离和到点的距离相等的点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，抛物线方程为， 所以点是直线与抛物线的两个交点，联立方程， 得，， 而. 故选：C 7．（20-21高二上·四川巴中·期末）若点P为抛物线上一点，则F为焦点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】B 【分析】由抛物线的定义可求解. 【详解】抛物线方程为，可知准线方程为，由抛物线的定义可知点P到准线的距离为，从而可知点P到y轴的距离为. 故选：B 8．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知抛物线=的焦点为F， M、N是抛物线上两个不同的点，若，则线段MN的中点到y轴的距离为（ ） A．8 B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，再过MN的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯形的中位线定理可求得结果 【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线 如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN的中点作垂直于准线，垂足为， 则由抛物线的定义可得， 因为，所以， 因为是梯形的中位线， 所以， 所以线段MN的中点到y轴的距离为4， 故选：B 9．（23-24高二上·四川达州·期末）已知点F为抛物线的焦点，第一象限的点在该抛物线上，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线定义求得，根据点在抛物线上求得. 【详解】因为点F为抛物线的焦点，点在该抛物线上， 所以，所以， 所以抛物线方程为， 因为第一象限的点在该抛物线上，所以， 解得或（舍）. 故答案为：4 抛物线的几何性质及应用 10．（23-24高二上·重庆·期末）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出． 【详解】得到，则焦点坐标为． 故选：D. 11．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标． 【详解】抛物线，即为抛物线， 由抛物线的性质可得该抛物线开口向上， 焦点为． 故选：A． 12．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义知，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得. 故选：. 13．（22-23高二下·四川自贡·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的标准方程，直接可得答案. 【详解】抛物线即，故其焦点坐标为， 故选：A 14．（22-23高二上·四川眉山·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 【分析】 根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 抛物线 的准线为， 又圆 与该抛物线的准线相切, 圆心到准线 的距离： . 故选： D. 15．（23-24高三上·四川内江·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解焦点坐标. 【详解】由得，故焦点为， 故选：B 16．（21-22高二下·四川遂宁·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得． 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 抛物线的准线为， 所以， ∴， 故选：C. 17．（21-22高二下·四川资阳·期末）抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算准线方程得到，解得答案. 【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为， 到焦点的距离等于，故. 故选：B. 求抛物线的标准方程 18．（23-24高二上·四川凉山·期末）“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线方程为，通过代入B点坐标即可求得抛物线方程. 【详解】设抛物线方程为：， 由题意可得，将代入抛物线方程得， 所以抛物线方程为， 故选：D. 19．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决. 【详解】由题知，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向左，，即， 设拋物线的标准方程为， 所以拋物线的标准方程为， 故选：D 20．（22-23高三上·四川成都·期末）如图，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角轴等于60°．已知内的曲线的方程是，则曲线在内的射影所在曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点是曲线上任一点，为射影上任一点，由二面角轴等于确定得，代入即可求解. 【详解】如图， 在平面内，设点是曲线上任一点， 过点M作，垂足为，过点N作轴，垂足为H， 连接MH，则轴，所以是二面角轴的平面角， 即，在中，， 又轴，(或M与O重合)，设为射影上任一点， 则，即， 由点在上，得， 所以所求射影的方程为. 故选：D. 21．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可. 【详解】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准方程是. 故选：A. 22．（21-22高二上·四川达州·期末）下列抛物线中，以点为焦点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程. 【详解】∵抛物线为， ∴可设抛物线方程为， ∴即， ∴抛物线方程为， 故选：A. 23．（20-21高二下·四川资阳·期末）已知为抛物线上一点，是坐标原点，点到的焦点的距离为2，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线定义可得，求得进而求得即可得解. 【详解】根据抛物线定义易知，所以， 所以抛物线， 所以， 所以， 故选：B 24．（18-19高二上·四川成都·期末）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，可以构造出关于的方程，求解可得抛物线方程． 【详解】由题意可设抛物线的方程为， 可得抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得 抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5， 即为， 解得， 则抛物线的方程为． 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解标准方程，属于基础题． 25．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 26．（22-23高二上·四川泸州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（    ）    A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m 【答案】B 【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果. 【详解】   取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系， 则， 设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得， ∴抛物线方程为， 行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，则， ∴限度为. 故选：B. 抛物线的最值问题 27．（22-23高二下·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值. 【详解】，故, 记抛物线的准线为，则：， 记点到的距离为，点到的距离为， 则. 故选：A.    28．（22-23高二上·四川凉山·期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值. 【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故， 如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立. 故选：C 29．（22-23高二上·四川成都·期末）已知点P在抛物线上移动，是抛物线内部一定点，若点P到抛物线焦点F的距离与到点A的距离之和的最小值为5，则点A的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，将点P到抛物线焦点F的距离与到点A的距离之和转化为点P到抛物线准线的距离与到点A的距离之和，结合几何位置关系求解. 【详解】 如图，设点P在准线上的投影为点B， 由抛物线的定义得，则， 当B、P、A三点共线时， 取得最小值， 故选:C. 30．（21-22高二上·四川·期末）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】因为抛物线的焦点的坐标为， 显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为 联立可得，其， 设坐标为，显然， 则，， 根据抛物线定义，， 故 ， 令， 故， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键. 31．（21-22高二上·四川眉山·期末）已知直线，，P是抛物线上的动点，则P到、的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作直线、的垂线，垂足分别为、，由抛物线的定义可得出，由当在线段上时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】易知是抛物线的准线，抛物线焦点为． 如图，过点作直线、的垂线，垂足分别为、，由抛物线的定义可得， 则，当且仅当在线段上时等号成立， 故当时，取得最小值，为到的距离，即. 故选：C. 32．（21-22高二上·四川泸州·期末）动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案. 【详解】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为， 所以点P到圆心的距离， 令，则， 令，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以的最小值为， 所以， 所以的最小值为. 故选：B 33．（21-22高二上·四川泸州·期末）动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】设出点坐标，用两点间距离公式表达出点到点的距离，配方后求出最小值. 【详解】设，则，当时，取得最小值，最小值为 故选：B 34．（20-21高二下·四川资阳·期末）抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点.则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为抛物线：的焦点为，所以的坐标为：，因为的准线与轴交于点，所以准线的方程为：，的坐标为：，因为为上的动点，所以设的坐标为，且，显然， 所以有， 当时，， 当时，（当且仅当时取等号，即时取等号），因此，所以， 所以的最小值为， 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是对所求的式子进行合理变形，应用基本不等式进行求解. 抛物线的焦点弦问题 35．（22-23高二上·四川成都·期末）直线l过抛物线（p>0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果，，M为RS的中点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义得，，证明，则有，过点P作PN⊥QS交于点N，利用矩形性质得，利用勾股定理求得，则得到. 【详解】如图所示，由抛物线的定义可得，， ，，由题意可得， ，， ，∴， 过点P作PN⊥QS交于点N，则， 在中，，∴． 故选：A． 36．（21-22高二上·四川·期末）已知点为坐标原点，直线与抛物线：相交于A，两点，的中点为，若到的准线的距离等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义可知直线过抛物线的焦点，从而求出焦点坐标可得的值. 【详解】如图，假设直线不过抛物线焦点F，过A、B、M分别做准线的垂线，垂直分别为E、D、G，则GM是直角梯形AEDB的中位线 则 又因为， 所以 由定义可知 所以A、B、F三点共线 由直线可得F的坐标为 所以. 另解：设A，，联立方程组得，则，，所以到的准线的距离等于．因为，所以，解得． 37．（20-21高二上·四川宜宾·期末）已知点是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义结合，得出，，从而求出，最后由梯形的性质得出到抛物线准线的距离. 【详解】设，由题意可知 ，即① 由结合抛物线的定义得，② 由①②可得 则到抛物线准线的距离为 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用抛物线的定义以及向量共线的坐标关系求出. 38．（20-21高二上·四川乐山·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于点A、B两点，的中点为M．若．则点M的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得抛物线的焦点坐标，设点M、A、B的坐标，结合抛物线的定义和中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意知焦点， 设， 有 则，所以， 所以点M的横坐标为3， 故选：B 39．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】设、在准线上的射影分别为为、，通过三角形相似，求，再求出即可． 【详解】解：设、在准线上的射影分别为为、， 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点， 线段的延长线交抛物线的准线于点，准线与轴的交点为， ，，由，可得， ，， 故选：． 【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题． 40．（23-24高二上·四川乐山·期末）如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得. 【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设，则由已知得：，由定义得：，故， 在直角三角形中， ∵，，∴， ∴，从而得， ∵，∴，求得， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中档题. 41．（23-24高二下·四川内江·期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论． 【详解】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为， 设A（x，y）， 则，故x=4，此时y=4，即A（4，4）， 则直线AF的方程为，即， 代入得， 解得x=4（舍）或， 则， 故选C． 【点睛】本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．一般和抛物线有关的小题，可以应用结论来处理；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 42．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，直线过点交抛物线于两点，于点于点，四边形的面积为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义及四边形的面积求出弦长，再求出到准线的距离即得． 【详解】如图，作于，交轴于，准线与轴交于，， 设，则，，，∴， ， ，解得（舍去）， ∵，∴，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，解题关键是掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，然后用平面几何的方法求解． 43．（21-22高三下·四川德阳·期末）抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义确定，结合已知条件有，由此解出点坐标，即可求解. 【详解】    因为，所以，抛物线的准线方程为， 设垂直于准线，垂足为，则，， 又因为，所以，又， 所以，所以，所以点横坐标为， 代入，则，，所以， 所以. 故答案为： 44．（23-24高三下·四川·期末）已知O为坐标原点，A，B是抛物线上的两个动点，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为，．若直线，的斜率之积为，则的面积的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合已知求出直线所过定点，再求出三角形面积最小值. 【详解】显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x得：，则，， 而抛物线的准线方程为，，依题意，， 因此，解得，即直线：恒过定点， ， 于是的面积，当且仅当时取等号， 所以的面积的最小值为2. 故选：C 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得. 45．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线的倾斜角为锐角，且与交于两点，，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设出直线的横截式方程，然后联立直线与的方程得到纵坐标的韦达定理形式，结合向量关系得到参数的方程，由此求解出的值则斜率可知. 【详解】由题意可知，设， 联立可得， 且， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，解得（负值舍去）， 所以直线的斜率， 故选：A. 直线与抛物线的位置关系 46．（21-22高二下·四川自贡·期末）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断. 【详解】由已知，可得 ①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点； ②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点； ③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得， ，，解得，故直线方程. 所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点. 故选：C. 47．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为， 其上有两点， 若的中点为， 满足的斜率等于1，则的最大值是（    ） A．7 B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】设直线的方程为，， 利用韦达定理得出中点的坐标，再根据条件得出，再利用求根公式得出，再分或两种情况，通过构造函数，利用函数单调性即可解决问题. 【详解】由题知，直线斜率存在，设直线的方程为，， 由，消得到， 由，得到①， 由韦达定理知，，所以， 又由题知，得到②，由①②得到，即或. 由抛物线定义知，， 又由，得到， 取，将代入并化简得到， 当，则，且， 令，则， 由，得到，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 由时，，，所以时，，即有时，， 当时，，， 所以，得到， 所以当时，有最大值为3， 所以的最大值为，得到， 当，则，且， 令，则， 因为，所以，得到， 所以，在上恒成立，此时， 则，故， 综上，，    故选：D. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于找出的范围后，用表示出，即，再根据的范围，构造相应的函数，借助函数的单调性来解决问题. 48．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系，结合向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可求解. 【详解】由题意可知，直线的斜率不可能为0，设直线的方程为， 由，消去，得 设，则， 所以. 因为， 所以，解得， 当且仅当即时，取的最小值为, 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系及向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可. 49．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由已知联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示，并求其值. 【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为， 直线的方程为， 联立，消得， 设，则， 所以， 圆的圆心坐标为，半径为1， 由已知可得， 所以    故选：A. 50．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和抛物线对称性，知点、关于轴对称．可知，进而根据抛物线和直线方程求得点的坐标，即可求解面积. 【详解】设，、，， ，． 又，， ， 即． 又，均为正数，． ，即． 由抛物线对称性，知点、关于轴对称． ，则． ，将其代入抛物线方程中得，解得， 等边三角形的边长为，所以面积为， 故选：A    51．（21-22高二上·四川成都·期末）已知抛物线，过点作直线交于两点、，分别过、作的切线交于点.若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用导数求出B，C点的切线方程，联立方程求出P点的坐标即可. 【详解】      设，显然，直线l的斜率是存在的， 设l的方程为， 联立，解得，，并且， ，…①， ， 即B，C点切线的斜率分别为，切线方程分别为，， 即…②，…③； 联立②③，解得，即，由得： ， 将①代入上式得：，即， ， ； 故选：B. 52．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知扡物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据已知可得点是的中点，由已知可求得横坐标为.然后根据抛物线方程即可求出的坐标，即可根据距离公式得出答案. 【详解】由已知可得，，，设，. 由已知可得，点是的中点，所以有，所以. 又在抛物线上，所以有，所以. 当时，，此时； 当时，，此时. 故选：D. 53．（22-23高二上·四川绵阳·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质求出焦点坐标和准线方程，设点A、B的坐标，利用平面向量的坐标表示求出A、B的纵坐标，即可求解. 【详解】由题意知，抛物线的焦点为，准线为， 设，则， 由，得，又， 解得，所以， 所以的面积为. 故选：B. 54．（21-22高二下·四川南充·期末）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A．－5 B．－3 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：设，， 由题意，直线的斜率存在， 因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为， 由，可得， 所以，，， 所以， 故选：B. 抛物线的定值和定点问题 55．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)48. 【分析】（1）求出抛物线的方程，设出直线的方程，与的方程联立，借助韦达定理及斜率坐标公式计算即得. （2）由（1）的结论求出，进而求出直线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，抛物线， 设直线的方程为，，显然， 由消去x得， ，则且，， 因此， 所以为定值. （2）由，得，则，由（1）知，， ，解得， 直线的方程为，， 而点到直线的距离， 所以的面积. 56．（23-24高二上·四川泸州·期末）抛物线上的点到C的准线的距离为5． (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析；该定值为2； 【分析】（1）根据抛物线定义可得点到C的准线的距离为，可求出C的方程； （2）先根据条件联立方程可求得的值，再利用求出点D的坐标，最后求出的长度. 【详解】（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得； 所以抛物线C的方程为； （2）如下图所示： 设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得， 设，则可得； 由于，所以可得，即， 可得，解得或（舍）； 又，所以可得直线的方程为， 联立，可得点D的坐标为； 又，所以可得 ； 即的长度为定值2. 57．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N． (1)求抛物线的方程及线段MN的长； (2)直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)直线l过定点 【分析】（1）由抛物线定义即可得抛物线E的方程，从而再得到、的坐标，即可得线段MN的长； （2）设出、两点坐标，结合抛物线方程与，可得，再设出直线AB的方程，联立曲线结合韦达定理，可得，故，从而得到直线所过定点. 【详解】（1），且点M到y轴的距离1， 由抛物线的定义得，即，解得． 抛物线E的方程为． 抛物线的焦点．又点M到y轴的距离为1，且在抛物线上， 点M的横坐标为1．直线MN的方程为． 联立，解之得或， 点M在第一象限，，， ； （2）设，， ，，同理可得：， ， 整理得，（*） 设直线AB的方程为， 联立方程，消去x，则， ， 由韦达定理得，， 将其代入（*）式得，解得， 直线AB的方程为， 当时，， 直线l过定点． 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于通过题目所给，结合抛物线方程得到、两点纵坐标的关系，从而可设出直线l，联立曲线，借助韦达定理得到、两点纵坐标的关系. 58．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证： (1)线段AB的中点在一条定直线上 (2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程为，联立，计算出线段AB的中点坐标,即可证明； （2）借助（1）问，利用韦达定理表示出，化简证明即可. 【详解】（1）设直线方程为，联立， 得， 故,且即， 故， 则， 故线段AB的中点坐标为，一定在直线上. （2）， ， 故为定值. 59．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． (1)若，P在抛物线上，求的最小值； (2)若．求证：直线AB必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设抛物线上的点，由两点间的距离公式可求解； （2）设直线方程，和抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系表示条件，可得直线过定点. 【详解】（1） 设， ∵P在抛物线上，∴． ∴． ∴当，即时，的最小值为． （2） 显然直线斜率不为零，设直线AB的方程为，， 如图： 联立得， 有两个交点故． ∴，． ∵， ∴． ∴，得， ∴或（舍）． ∴直线AB过定点． 60．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为3，点到轴的距离恰为. (1)求点的坐标； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线上是否存在一定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义以及焦半径公式联立方程组即可解得，可求出； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程并利用两直线垂直的斜率表示，结合韦达定理即可求得满足题意. 【详解】（1）设，焦点， 由题可知， 解得，所以， 所以点的坐标为. （2）由（1）知抛物线的方程为，设， 因为直线的倾斜角不为0，设直线的方程为，如下图所示： 由消去，得. 则. 由以线段为直径的圆与该抛物线交于点， 当与之一重合时，满足题意； 当与均不重合时，则的斜率均存在，记为，且满足. ，同理， 所以. 即. 又因为， 所以.整理得. 当时，上式恒成立，即为定点. 所以存在抛物线上的定点始终在以线段为直径的圆上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中有关垂直或圆直径的问题，经常利用平面向量数量积为0或斜率之积为来表示垂直，并结合韦达定理即可求解. 抛物线的最值范围问题 61．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解. 【详解】由题意得，故， 如图所示： 到渐近线的距离, 则，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最小值为. 故选：D 62．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确； 设，根据点到直线距离公式求出为定值，可判断③正确； 设，联立直线方程解得的坐标，再根据两点间的距离公式求出可判断④正确. 【详解】因为圆与的渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以，离心率，故①正确； 因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确； 设，则， 为定值，故③正确； 依题意设， 联立，得，则， 联立，，则， 所以 ， 因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确. 故选：D. 63．（21-22高二上·四川·期末）已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为． (1)求双曲线C的方程； (2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用双曲线的离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程； （2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解. 【详解】（1）解：因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为， 所以点在双曲线上， 由题意，得，解得，，， 即双曲线的标准方程为. （2）解：联立，得， 因为直线与该双曲线C交于不同的两点， 所以且， 即且， 设，，的中点， 则，， 因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上， 所以，即， 因为，， 所以， 即， 将代入， 得， 解得或， 即m的取值范围为或. 64．（20-21高二下·四川资阳·期末）双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：； ②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①见详解；②. 【分析】（1）根据双曲线的基本量的运算，结合距离公式即可得解； （2）①若要证明则需求得各点坐标利用距离公式来证，可设直线l方程为y＝kx+2，和椭圆方程联立利用韦达定理求得A，B两点间的相关关系，再分别和渐近线联立求得M、N两点坐标即可得证；对②进行转化可得，化简求值即可得解. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线， 渐近线的方程为，焦点F（±c，0）， 所以解得a＝1，b＝2， 所以双曲线的方程为； （2）①由（1）知双曲线的方程为， 其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2， 因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2， 联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝，x1x2＝， 联立，解得x＝，y＝，则M（，）， 联立，解得x＝，y＝，则N（，）， 所以|AM|＝，|BM|＝， 所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2] ＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2] ＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2] ＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|． ②由共线，可得， 由①可得， 解得，所以符合题意， 所以直线的方程为. 65．（20-21高二上·四川泸州·期末）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）直接由椭圆的焦点得双曲线的定点，再根据可得解； （2）设，，,,设直线的方程为，直线的方程为，分别与椭圆联立得韦达定理，进而可表示弦长，联立直线和可得焦点，代入双曲线化简得，进而得展开利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由椭圆可得， 所以等轴双曲线的顶点为， 设等轴双曲线为，所以， 所以等轴双曲线的方程为； （2）设，，,, 设直线的方程为，直线的方程为， 由得：， 所以显然成立，所以， 同理可得， 所以， ， 联立直线和：，解得， 所以， 因为在双曲线上，所以，解得， 所以 ， . 当且仅当，即时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键有两个，一个是联立直线和得，代入双曲线得，另一个是处理最值时用到了基本不等式，由，展开利用基本不等式. 抛物线的综合问题 66．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．的最小值为8 D．若点P的坐标为，则的最小值为6 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义判断AB选项，根据焦点弦性质判断C选项，利用抛物线定义和距离公式求D选项. 【详解】A项，抛物线，所以，焦点坐标为，即，所以A错误； B项，焦点到准线的距离为，即4，所以B正确； C项，焦点弦MN，由几何性质可知通径最小，为，所以C正确； D项，如图所示，，当M，，P三点共线时有最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 67．（23-24高二上·四川南充·期末）已知焦点为的抛物线与直线相交于两点，且满足（为坐标原点），则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D．以为直径的圆与轴只有一个公共点 【答案】BC 【分析】联立直线与抛物线利用，可以求出，故A错误；利用弦长公式可以求出，故B正确；利用面积分割可以判断C正确；利用点到直线的距离与半径关系可以判断D错误. 【详解】如图所示设，， 联立，消去得， 易得，则， 则， ， 因为，则， 即，即，则，，故A错误； 则， 由弦长公式可得，故B正确； 设直线与轴交于点，则， 则，， 所以，故C正确； 设的中点为，则， 到轴的距离， 则以为直径的圆与轴相交， 所以以为直径的圆与轴有两个公共点，故D错误； 故选：BC. 68．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等腰直角三角形 C．直线AB的斜率为 D．的面积为 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据求得直线的方程，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线，，焦点，准线方程为. 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得，， 设，则， ， 由于，即， 所以， 解得（舍去）或，则， 所以，，， 所以直线的方程为， 所以直线的斜率为，C选项正确. 不妨设直线的斜率为，即， 由上述分析可设，则， 则，而， 所以， 所以，A选项正确. ，， ， ， 所以三角形不是等腰直角三角形，B选项错误. ，D选项正确. 故选：ACD 69．（23-24高二上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（   ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D. 【详解】设， 设直线：， 联立得， 则， 设过点的切线为， 联立得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为， 所以处切线方程分别为， 联立可得，故A正确； 又即，， 所以，， 所以，， 即，C正确； 又， 所以， ， 所以 ，B错； 由上述知，， 又因为直线斜率为， 所以， 设准线与轴的交点为， 则面积， 当轴时，最短（最短为）， 也最短（最短为）， 此时面积取最小值，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想. 70．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已如抛物线的点为，直线与交于两点、则下列说法正确的是（    ） A．为坐标原点，则面积的最小值为． B．若，则． C．设，的最小值为． D．过分别作直线的垂线，垂足分别为．则． 【答案】ABD 【分析】设，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可得，求出原点到直线的距离可得，再根据的范围求最小值可判断A；根据可得代入，解得可得可判断B；求出、可得，再利用基本不等式求最值可判断C，求出，可判断D. 【详解】对于A，，不妨设， 由得，所以，， ， 原点到直线的距离为，当时， ， 则面积的最小值为，故A正确； 对于B，若，则， 可得代入，解得 则，故B正确； 对于C，设，，， ， 当且仅当即等号成立，故C错误； 对于D， ， ， ， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线与直线的问题的考查，常用设而不求思想，通常设出直线方程和交点坐标，联立曲线方程消元，利用韦达定理表示题设及所求，然后化简整理进行求解. 71．（23-24高二上·四川绵阳·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时， C．以线段为直径的圆与直线相切 D．当最小时，切线与准线的交点坐标为 【答案】ACD 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，，再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A；先结合A得到，，再根据题意得到，，进而即可判断B；设，，在准线上的射影为，，，根据题意求得即可判断C；结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程，再抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，从而得到切线方程，再联立准线方程即可求出交点，进而即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故A正确； 对于B，结合A可得，， 由，得，解得，，故B错误； 对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点， 设，，在准线上的射影为，，， 则，，， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于D，结合A可得，当最小时，不妨取， 则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确． 故选：ACD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$