专题03 椭圆（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题03 椭圆 椭圆的定义及应用 1．（23-24高二上·四川成都·期末）平面内有两个定点、和一个动点，，（为常数）.若表示""，表示“点的轨迹是椭圆”．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义分析若点的轨迹为椭圆所对应的的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】解：因为，且为常数）， 所以要使点的轨迹为椭圆，则， 所以“”是“点的轨迹是椭圆”的充分不必要条件． 故选：A． 2．（23-24高二上·四川广安·期末）在平面内，已知两点，，动点满足，则动点的轨迹是 A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．线段 【答案】A 【解析】利用椭圆的定义判断出动点的轨迹. 【详解】因为动点满足， 所以由椭圆的定义得：动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 故选：A. 【点睛】本题主要考查定义法求动点的轨迹，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键，属于基础题. 3．（23-24高二上·四川凉山·期末）设椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】D 【分析】利用椭圆定义直接求出的周长. 【详解】椭圆长半轴长， 所以的周长为. 故选：D 4．（22-23高二下·四川自贡·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列四个结论正确的个数（    ） ①； ②离心率； ③面积的最大值为； ④以线段为直径的圆与直线相切． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由椭圆定义可判断①；求出离心率可判断②；当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值，求出可判断③；求出圆心到直线距离可判断④. 【详解】对于①，由椭圆的定义可知，故①正确； 对于②，由椭圆方程知， 所以离心率，故②错误； 对于③，，当为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值，最大值为，故③错误； 对于④，以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为: ， 即圆心到直线的距离等于半径， 所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切， 故④正确. 故选：B. 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 故选：D. 6．（23-24高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出即，再由椭圆定义可得． 【详解】由可知，即， 所以，故不妨设， 因为线段的中点M在轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， 设，将代入椭圆方程，得，得， 所以，∴． 故选：D. 方程表示椭圆满足的条件 7．（21-22高二上·四川资阳·期末）已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则 ． 【答案】4 【分析】直接利用椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点， 所以. 故答案为：4 8．（23-24高二上·四川泸州·期末）若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解之即可得解. 【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 9．（21-22高二上·四川成都·期末）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得或. 故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是. 故选：D. 10．（21-22高二上·四川泸州·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得到，解得答案. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以 ，即 或 ， 则 ， 故选：A. 11．（21-22高二上·四川·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为方程表示椭圆 所以，解得， 所以实数的取值范围为 故选：D 12．（20-21高二上·四川·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：D. 13．（21-22高二上·四川眉山·期末）已知命题方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程表示圆．若“p或”为假，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】若“或”为假，等价于命题为假，且命题为真，再椭圆和圆的方程要求列不等式，解出不等式即可 【详解】解：当命题为真命题时，解得： 当命题为真命题时，即或． 若“或”为假，则命题为假，且命题为真 若命题 “”为假命题，则有：或 综上可得：或 实数a的取值范围： 故答案为： 14．（20-21高二上·四川乐山·期末）方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为 ． 【答案】且； 【分析】由题意列出不等式组，解之即可. 【详解】由题意可得，解之得且. 故答案为：且. 求直线方程 15．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 【详解】∵在椭圆上 ∴ ∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号. 故选：D. 16．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用椭圆定义转化及当且仅当三点共线时取得最值可得结果. 【详解】由椭圆的方程知，，，则、 由椭圆的定义知，， 所以， 又∵ ∴，当且仅当F2在线段PQ上时等号成立，即：的最大值为11. 故选：D. 17．（21-22高二下·四川遂宁·期末）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D．13 【答案】B 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得：， 当点P在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：B. 18．（22-23高二上·四川资阳·期末）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 【答案】11 【分析】 先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案. 【详解】 由题意可得，， 所以, 因为， 所以; 因为， 所以. 故答案为：11.    19．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足.若点，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意先求出点的轨迹方程，得知它的轨迹为以点，为焦点的椭圆，由椭圆的定义可将化简为，结合焦半径的范围即可得解. 【详解】由题意设，所以，因为，所以.    将点带入圆，则点满足椭圆的方程. 所以 ， 又，即， 当时，最大，最小且为； 当或时，最小，最大且为， 即，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是得到点的轨迹方程，结合椭圆定义化简表达式即可进一步得解. 求椭圆的轨迹方程和标准方程 20．（21-22高二上·四川·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程. 【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为. 故选：A 21．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 22．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 23．（20-21高二下·四川自贡·期末）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果. 【详解】依题意得，则， 由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，， 又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为. 故选：A. 24．（22-23高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，两点且的周长为24，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，作出椭圆的图形分析可得，解可得的值，又由其离心率可得，解可得的值，计算可得的值，将、的值代入椭圆标准方程即可得答案． 【详解】解：根据题意，如图： 的周长为24，则有，则， 又由其离心率，则，； 又由其焦点在轴上，则椭圆的标准方程为. 故选：A． 25．（21-22高二上·四川达州·期末）椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得抛物线的焦点从而求得，再结合题意求得，即可写出椭圆方程. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，故可得； 又短轴长为2，故可得，即； 故椭圆方程为：. 故选：. 26．（21-22高二下·四川南充·期末）过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答. 【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，， 则有，两式相减得：， 而，且，即有， 又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意， 所以椭圆的方程为. 故选：A 27．（17-18高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设，因为直线过，所以，得， 所以， 设， 由，得，得， 因为P为线段的中点，O为坐标原点， 所以，， 所以， 又在直线上，所以， 所以，即，将其代入，得，， 所以椭圆C的方程为. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下： ①设出弦的两个端点的坐标； ②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解. 椭圆几何性质 28．（23-24高二上·四川眉山·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程得出即可 【详解】由可得，即， 所以长轴长为 故选：B. 29．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知得出，根据勾股定理得出.根据离心率公式，结合椭圆的定义，即可得出.根据焦点即可得出答案. 【详解】    由正弦定理得. 又，则， 又，得， 所以，，， 所以椭圆C的离心率. 又，所以. 故选：A. 30．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据椭圆方程先判断焦点位置，再确定的值，即得长轴长. 【详解】由椭圆C:知椭圆焦点在轴上，故，解得，故椭圆C的长轴长为. 故选：C. 31．（21-22高二上·四川成都·期末）椭圆 的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程判断焦点位置，求出可得. 【详解】由椭圆方程可得焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：C. 32．（20-21高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上有且只有一个点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先由椭圆的对称性得到点的位置，再求解的值. 【详解】根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足，这个点只能是右顶点，即，由条件可知， 则，那么. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点的位置，从而得到这个关键条件. 33．（23-24高二上·四川宜宾·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定焦点所在的位置，再求出即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上， ，所以， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：D. 34．（20-21高二上·四川资阳·期末）已知P椭圆上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】根据椭圆方程可得， 所以P到该椭圆两焦点的距离之和为. 故选：D. 35．（17-18高二上·四川乐山·期末）已知椭圆的左焦点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】由椭圆的性质求解 【详解】由题意得，， 故选：B 36．（19-20高二下·四川遂宁·期末）椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，可得答案. 【详解】解：由椭圆的标准方程为，可得该椭圆的一个焦点坐标为， 所以焦点在轴上，其中，所以 解得， 故选：D. 【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 椭圆焦点三角形及应用 37．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 38．（23-24高二上·四川广安·期末）设点为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则的面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由椭圆的定义可得.在中，，即.两式联立，可求的面积. 【详解】设，由椭圆的定义可得. ， 在中，，即. ，即. 的面积. 故选：. 【点睛】本题考查椭圆的定义和三角形面积公式，属于基础题. 39．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，可得，，是直角三角形，的面积，故选D. 40．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算. 【详解】    由题意得，，于是， 即为△的外心，以为直径的圆经过，于是， 记，根据椭圆定义和勾股定理：， 于是. 故选：A 41．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知是椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程可求出的值，然后由已知结合图象可得的周长为，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，，. 由椭圆的定义可得，， 又. 如图，的周长为. 故选：C. 42．（21-22高二上·四川乐山·期末）已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果. 【详解】在椭圆中，，，， 如图，设椭圆的另一个焦点为，连接， 因为、分别为、的中点，则， 则的周长为， 故选：A. 43．（21-22高二上·四川眉山·期末）直线l过椭圆的中心，交椭圆于A，B两点，F是椭圆的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】利用椭圆的对称性，再利用椭圆的定义，将的周长化简为，再根据椭圆的性质，可得，即周长的最小值为16 【详解】 如图，E，F是椭圆的两个焦点，则四边形AEBF是平行四边形，结合椭圆的对称性 周长为： 又有： 则有：周长的最小值为16 故选：B 求椭圆离心率 44．（23-24高二下·四川达州·期末）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具.如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得利用垂直关系可得，即可由离心率公式求解. 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，故， 故离心率为， 故选：C 45．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第二象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意：设，分别为的中点， 椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为， 则由椭圆及双曲线定义可得：，解得， 又因为，且分别为，的中点，可得， 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：， 因为，所以即， 整理得：，将代入得， 即，所以. 故选：C. 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 46．（23-24高二上·四川凉山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，为坐标原点.若，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出c的值，利用勾股定理即可求得的值，结合椭圆定义求出a，即可求得答案. 【详解】设椭圆的焦距为2c， 由椭圆的几何性质，可知点是线段的中点，，    所以：，即得， 而，解得：， 所以：，故， 所以：， 故选：A. 47．（21-22高二上·四川德阳·期末）是椭圆上的一点，、分别是椭圆的左右焦点，已知，三角形的面积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得到，由三角形的面积得到，再由余弦定理求得，最后解出离心率即可. 【详解】由椭圆方程可得， 因为、分别是椭圆的左右焦点，已知，三角形的面积为，所以， 在中由余弦定理可知 ， 解得， 所以离心率为， 故选：A 48．（21-22高二上·四川宜宾·期末）椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得为等边三角形，可得，即得. 【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，， ∴为等边三角形， 由代入，可得， ∴，所以， 即，又， 解得. 故选：C. 49．（21-22高二上·四川资阳·期末）过椭圆C：右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线经过C的左焦点和上顶点．若以线段AB为直径的圆与直线相切，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线过的左焦点和上顶点写出直线的方程，再根据过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，得到以为直径的圆的圆心和半径，然后再根据为直径的圆与相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】由题意得：左焦点上顶点， 所以直线l的方程为，即， 因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点， 所以以为直径的圆的圆心为右焦点，半径为， 因为以为直径的圆与相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，即， 所以， 所以， 故选：A 50．（21-22高二上·四川成都·期末）已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，即可得到，即可得到，再根据，即可求出离心率； 【详解】解：根据题意，设，，方程为， 代其入椭圆方程得：． ①，②． ，，， ③． ∴由①③得，④ ∴将④代入②得：， ，所以， ， ∴椭圆的离心率． 故选：B 51．（20-21高二上·四川资阳·期末）过椭圆的左顶点A作圆(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依据题意可知，直接可得结果. 【详解】由题可知： 所以，即 所以椭圆的离心率为 故选：A 52．（22-23高二上·四川乐山·期末）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点）.如图，圆锥的锥角为，斜截面与圆锥轴所成角为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设两个球的半径分别为，已知圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用已知条件和几何关确定的关系，结合椭圆的性质，即可得出椭圆离心率． 【详解】如图， 上面球心为，下面的球心为，设两个球的半径分别为和， 由于圆锥的锥角为，则球心距离， 截面分别与球，球相切于点，，是截面椭圆的焦点）， 如图，圆锥面与其内切球、分别相切与，， 连接，，则，，连接，，交于点，截面与圆锥的母线交． 由于圆锥的锥角为，所以圆锥母线与轴的夹角为，斜截面与圆锥轴所成角为， 则，， 所以， 则椭圆的长轴长，焦距， 又，，， ，， 则，所以， 所以， 则椭圆的离心率． 故答案为：． 53．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 54．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知椭圆，左、右焦点分别为、，若过的直线与圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且垂直于x轴，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，再由垂直于x轴，可得，，再结合椭圆的定义可求出椭圆的离心率 【详解】如图，设过的直线与圆相切于点，则， 由于，所以， 因为垂直于x轴， 所以，所以，则， 因为， 所以，化简得， 所以离心率， 故答案为：    求椭圆离心率的取值范围 55．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，， 设，代入椭圆的方程，可得， 则， 即，即. 又因为，所以. 故选：A. 56．（21-22高二上·四川·期末）设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围. 【详解】由椭圆的方程可得，，设， 由，则，即， 由P在椭圆上可得，所以， 代入可得 所以， 因为， 所以整理可得：，消去得： 所以，即 所以. 故选：B. 57．（21-22高二上·四川资阳·期末）过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点， ， 所以为直径的圆的圆心为，半径为. 直线的方程为， 由于以线段为直径的圆与相交， 所以，， ， ， ， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 58．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】设，，根据条件建立方程，整理得到，再利用方程有解，即可求出结果. 【详解】如图，设，， 易知，，则 由题知，所以， 整理得到，由，得到，即， 又，所以， 故答案为：. 59．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 【答案】 【分析】设P的坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围. 【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为， ，故， 所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上， ① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径， ，即，， 方程两边同除以得，，解得， 故， ②若，，解得， 综上，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 60．（22-23高二上·四川成都·期末），是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是 的内切圆圆心，若 的面积是 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】作图，根据几何关系以及条件求出a与c的关系式，再求出e. 【详解】设椭圆方程为：，如图，设P（m，n），，， 的周长为l，内切圆I的半径为r， 则由椭圆的定义可得l＝2a＋2c，∴， ， ∴，解得：，； 故答案为：． 直线与椭圆位置关系 61．（23-24高二下·四川雅安·期末）直线被椭圆截得的弦长是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长． 【详解】将直线y＝x+1代入，可得， 即5x2+8x﹣4＝0， ∴x1＝﹣2，x2， ∴y1＝﹣1，y2， ∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为 故选A． 【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题． 62．（21-22高二上·四川雅安·期末）已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出过点斜率为的直线方程与椭圆的交点，得出直线FP的斜率大于时，点在椭圆上的位置，根据图形从而得出答案. 【详解】由椭圆方程 ,则 ，过点斜率为的直线方程为 由 ， ，即得 ， 过作 轴垂线与椭圆交于 ， 如图，当点在弧上时，符合题意，又 ， 所以斜率的取值范围是 . 故选:B. 63．（22-23高二上·四川成都·期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点弦问题的点差法求解. 【详解】因为，所以为中点， 设， 因为在椭圆上，所以， 两式相减得，即 ，即， 因为直线过点，所以， 所以，经检验C、D不满足， A、B选项均满足，但在椭圆外，不符合条件， 故选：A. 64．（22-23高二上·四川广元·期末）若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用点差法即可获解 【详解】设. 则 两式相减得 即 因为,线段AB的中点为,所以 所以 所以直线的方程为,即 故选: A 65．（21-22高二上·四川成都·期末）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答. 【详解】显然点在椭圆内，设点， 依题意，，两式相减得：， 而弦恰好被点平分，即， 则直线AB的斜率，直线AB：，即， 所以所在的直线方程为. 故选：D 66．（21-22高二上·四川雅安·期末）直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值. 【详解】设点与， 则，， 所以，， 又点与在椭圆上， 所以，， 作差可得， 即， 所以， 故选：A. 67．（21-22高二上·四川雅安·期末）若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出弦的两端点坐标，分别代入椭圆方程，将两式相减，由此根据弦中点的坐标，可求出弦所在直线的斜率,进而得到所求直线的方程. 【详解】设弦被点平分，弦的两个端点,为 ， 则， ， 两式作差变形可得 ,即 ， 而 ， 故，即弦的斜率为-1， 所以弦的方程为 ，即 ， 故选：B. 68．（20-21高二上·四川眉山·期末）椭圆，过点的直线交椭圆于两点，且，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，可得 ，，将两点坐标分别代入椭圆方程，两式相减可得，由可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程 【详解】设，， 则，两式相减可得， 所以， 因为，所以点为弦的中点， 所以 ，， 所以，即， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程是 ， 即， 故选：A 【点睛】思路点睛：关于中点弦问题往往采取设而不求的方法，利用整体代入思想求出中点弦所在直线的斜率，再结合中点可得直线的方程. 69．（19-20高二上·四川绵阳·期末）如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设过点的直线与椭圆的两个交点为,利用点差法：把代入椭圆,然后作差,再结合中点坐标公式即可求出直线的斜率,代入直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设过点的直线与椭圆的两个交点为, 由题意知,满足椭圆方程, 所以,两式相减可得, , 因为线段的中点为,所以由中点坐标公式可得, ,即， 所以,即, 所以直线的斜率为, 由直线的点斜式方程可得，直线的方程为, 所以所求的直线方程为. 故选:C 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系;设两个交点坐标,利用点差法求出直线的斜率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 70．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于、两点，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出的坐标，利用垂径定理，得到． 【详解】、分别为椭圆的左、右焦点，故， 设， 以点为圆心，为半径的圆交轴于、两点， 则 ． 当且仅当时，取得最大值． 故选：D． 71．（22-23高二上·四川广元·期末）已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用为定值即可获解. 【详解】 设 则 又,所以 所以 当且仅当,即,取等 故选:A 椭圆的定值、定点问题 72．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 73．（23-24高二下·四川成都·期末）已知点 为椭圆 上任一点，椭圆的短轴长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)若点 是抛物线 的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点 ，试判断 是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值，且定值为2． 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆的焦点坐标求出的值，代入即可求出椭圆的标准方程； （2）设，，因为以为直径的圆过原点，所以，得到，再利用两点间的距离公式代入化简计算即可. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为 ，离心率为 .， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）知抛物线的标准方程为，其准线方程为：， 设，， 因为以为直径的圆过原点，所以，所以， 所以，即， 所以， 又因为，， 所以， 所以为定值，且定值为2． 【点睛】方法点睛：两点间距离公式中点的坐标应用椭圆方程转化为一个未知量即可得出定值. 74．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率求出即得. （2）设，求出切线的方程，进而求出直线，即可推理得解. 【详解】（1）点在椭圆上，得， 由离心率是，得的半焦距，于是， 所以椭圆的标准方程是. （2）设，显然切线的斜率存在，且， 设直线的方程为，即， 由消去并整理得， ， 即，而，因此， 解得，则直线的方程为，整理得， 同理得直线的方程为，于是， 显然点的坐标都满足方程， 从而得直线的方程为，又， 即直线：，对于任意实数，当时，恒有， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：以椭圆上的点为切点的切线方程为. 75．（21-22高三下·四川德阳·期末）已知椭圆的焦距为2，经过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)椭圆的左顶点为，过其右焦点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及椭圆过的点，列式求解，即可求得答案； （2）设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系，表示出，结合根与系数的关系式化简，即可得结论. 【详解】（1）由题意得，解之得， 椭圆的标准方程：. （2）由（1）知； 当斜率存在时，设.    联立得：， 由于l过椭圆右焦点，必有， 则 ， 当斜率不存在时，的方程为，此时 ，则； 所以总有（定值）. 【点睛】易错点点睛：解决此类定值问题，要注意利用联立方程，结合根与系数的关系进行化简，在化简的过程中，基本都是字母参数的运算，一不小心很容易出错，要特别注意. 76．（23-24高二上·四川眉山·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）由题意求得，的值即可确定椭圆方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理和圆的性质得到关于的方程，解方程即可确定的值，据此即可确定直线所过的定点． 【详解】（1）由题意知，，且， 结合，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）直线的斜率存在且不为零，设为，，，，， 联立直线方程和椭圆方程,化简得， ， 所以． ， 因为以为直径的圆过， 所以． 即， 整理得， 所以， 即：， 整理可得：， 解得或， 当时，直线过，舍去， 所以直线的方程为，过定点． 77．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知椭圆T以坐标原点O为对称中心，以坐标轴为对称轴，且过，． (1)求椭圆T的标准方程； (2)若A、B为椭圆上两点，且以线段AB为直径的圆经过O点． ①求证：为定值； ②求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设椭圆T的方程为，（，，），列方程组即可得到标准方程； （2）①由题意得，当的斜率不存在时，易得，当的斜率存在时，设，，联立方程组可得，，进而由，代入即可得证； ②当直线斜率不存在时，显然，当直线的斜率存在时，，令，通过化简整理与结合二次函数的最值可得面积的取值范围. 【详解】（1）设椭圆T的方程为，（，，），且过， 所以，解得． 则椭圆的标准方程为. （2）①以线段AB为直径的圆经过O点，∴． 当直线OA的斜率不存在时，如下图： ，， ∴． 当直线OA的斜率存在时，如下图所示： 设：，则：． 设，， 联立得，即. 同理可得，即． ∵， ∴． ∴． ②当直线OA斜率不存在时，显然． 当直线OA的斜率存在时，由①知，， ∴． 令， 则. 由得，进而得， 于是， 所以，即． 综上所说，△AOB的面积的范围是. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 78．（23-24高二上·四川内江·期末）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； (3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解； 【分析】（1）根据椭圆的性质可求得的值，继而求得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，继而求得弦的长，利用点的直线的距离公式，求得三角形的高，利用面积公式计算即可； （3）设点，求得直线的方程，令，求得，的坐标，表示出圆的方程即可证明. 【详解】（1）由题意知，，则， 又离心率，所以， 则， 所以椭圆的方程为. （2）由题知，, 则过且斜率为1的直线方程为，即， 联立，消去得， 设， 则， 则 ， 又点到直线的距离 ， 所以的面积. （3）由（1）得， 设，则，即； 直线，直线， 点纵坐标点纵坐标， 即， 以为直径的圆的方程为:， 由对称性可知:以为直径的圆所过定点位于轴上， 设 ，， ，解得或， 以为直径的圆过点. 椭圆有关最值问题 79．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的坐标，不妨设点在第一象限，点在第二象限，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的纵坐标，求出的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由椭圆的方程可得， 不妨设点在第一象限，点在第二象限， 设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 解得（舍去），所以， 因为和的斜率，所以， 则直线的方程为， 代入椭圆方程得， 解得（舍去），所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为， 由椭圆及直线的对称性，满足条件时的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 80．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）设线，联立方程，利用韦达定理可得，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知：， 因为直线的斜率可以不存在，但不为0，且直线与椭圆必相交，    设直线， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，整理可得， 因为，可得 令，则，解得，即， 由题意可知：， 因为， 所以与的面积之比的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 81．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解， （2）根据相切可得，进而联立直线与椭圆方程，可得韦达定理，进而根据弦长公式以及三角形面积，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以，， ，，椭圆的方程为. （2）若圆的切线轴，则,所以, 故，因此，, 当直线有斜率时，设直线的方程为， 直线与圆相切，，， 联立与，消得. 设，，则，. 到直线的距离为1，则 ， 将代入消可得， 令则故， 由于所以，进而， 所以， 综上可得 的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用k表示出来，然后再利用不等式的性质求范围． 82．（23-24高三下·四川·期末）已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． (1)求椭圆的方程； (2)过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由可求出的值，然后利用弦长公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：易知点、，则， ，，则，故， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设点、， 若轴，则、关于轴对称，即点， ，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 因为，，同理可得， ， 因为直线不过点，则，整理可得，解得，满足， 所以，，， 则 ， 因为，令， 则， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最大值，且其最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 83．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（不与重合），记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值 (2)若线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，则，设l方程为，联立直线与椭圆的方程由韦达定理可得，代入化简即可得出答案. （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由弦长公式求得，及点的坐标，进而求出，由此化简，可求得正确答案. 【详解】（1）由题意可得：，设， 则，， 由直线不与轴重合，可设其方程为， 于是， 联立，去得， 易知，，， 所以， 故. （2）解：设直线的方程为，， 联立，消去得， 设，所以，， 所以， 设的中点为，则， 所以线段的垂直平分线的方程为： ，令，可得， 所以， 又因为 所以， 由于，可得，即有. 则有的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由弦长公式求得，和点的坐标，进而求出，由此表示出并化简，可求得正确答案. 84．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，再由当直线与轴垂直时，得到，代入椭圆的方程，求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，得到的面积为，结合对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的右顶点，可得， 当直线与轴垂直时，且， 所以直线过点，可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，且 所以，， ∴的面积为 ， 令，则 又由对勾函数在上单调递增，则， 所以，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 85．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 86．（22-23高二上·四川眉山·期末）椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解. （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不等式求最大值即可. （3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得三点共线得到成立. 【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为. （2）依题意，设，直线的斜率显然存在， 故设直线为，联立，消去，得， 因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，， 故， 令，所以，当且仅当，即时取得等号， 综上可知：面积的最大值为. （3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即，解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为， 由（2）知， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线，所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. .   【点睛】方法点睛：直线与椭圆交于，当且仅当时，取得最大值. 综合应用 87．（22-23高二下·四川成都·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【分析】代入点的坐标求出，即可得到椭圆方程，从而求出，即可求出离心率，从而判断A、C，由面积公式判断B，由椭圆的定义及等面积法求出内切圆的半径，即可判断D. 【详解】依题意，解得，则，所以椭圆方程为， 所以，，即，，所以离心率，故A正确，C错误； 所以，故B正确； 又，设的内切圆半径为， 则，即，解得，故D正确. 故选：ABD 88．（23-24高二上·四川达州·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，上顶点为，直线l：与C交于点M，N，则（    ） A．直线l恒过点 B．当直线时， C．的周长为20 D． 【答案】AC 【分析】将直线转化为，求定点，即可判断A；利用，求出，即可判断B；利用椭圆定义求出的周长即可判断C；利用椭圆焦点弦通径最短，长轴最长，求出范围即可判断D. 【详解】由椭圆C：，得，，， 可知左右焦点，，上顶点为， 对于选项A，将直线转化为， 则，解得，所以直线l恒过点， 又因的右焦点，所以直线恒过点，故选项A正确； 对于选项B，直线的斜率为，当，则直线的斜率为， 又因直线：，所以可求得，故选项B不正确； 对于选项C，由椭圆定义及直线l过椭圆右焦点，可知的周长为， 故选项C正确； 对于选项D，因为直线l过椭圆右焦点，且与椭圆C交于点M，N， 则当最小时，为椭圆的通径，此时直线垂直轴，可求， 但直线l：斜率存在，不可能垂直轴，故， 当直线与轴重合时，最大，此时，故， 故选项D不正确. 故选：AC. 89．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的上、下焦点分别为，，上顶点为A，右顶点为B，原点为O，直线与椭圆C交于D，E两点，点，则（    ） A．四边形面积的最大值为 B．四边形的周长为12 C．直线BD，BE的斜率之积为 D．若动点Q满足，且点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的性质可判断A；根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断B；设，则，表示出BD，BE的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，进而判断C；先求出动点的轨迹方程，进而结合椭圆定义求解即可判断D. 【详解】由椭圆，则，， 所以，即，，， 则,，，， 因为直线过原点，所以四边形为平行四边形， 即面积取最大值时，四边形面积取最大值， 此时，四边形面积的最大值为，故A正确； 四边形的周长为，故B正确； 设，则，而， 所以， 又在椭圆上，则， 整理得，， 所以，故C错误； 若设动点，由，可得， 化简得，即， 所以Q在以为圆心，为半径的圆上， 所以，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于要先求出动点的轨迹方程，进而结合椭圆定义，利用图象进行求解. 90．（23-24高二上·四川成都·期末）已知曲线，将曲线用函数表示，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减； B．的图象关于对称； C．的最小值为； D．若直线与的图象没有交点，则实数为定值. 【答案】ACD 【分析】分段讨论确定所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A，B，D选项；求出的表达式求其最小值判断C选项； 【详解】当时， 不存在，故在第一象限内无图象； 当时， ，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为， 此时，即， 所以； 当时， ，在第三象限内为椭圆的一部分； 此时，即， 所以 当时， ，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为 ； 此时，即， 所以； 综上：的最小值为，故C正确； 图象如图所示： 对于A：由图象可得在上单调递减，故A正确； 对于B，由图象可得图象不关于直线成轴对称图形，也可以求得关于直线对称的点不在图象上， 故B错误； 对D：若直线与的图象没有交点，则直线与渐近线平行， 即为定值，否则直线与渐近线相交，则一定会与的图象相交，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析. 91．（23-24高二上·四川绵阳·期末）设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，根据椭圆、双曲线的定义求得，进而判断AB；由，结合向量相关知识可得，进而判断CD. 【详解】设，，    则，解得，即，故B正确； 显然，可得，故A错误； 因为， 则， 且， 即，整理得， 则，即，故D正确； 因为不恒为0， 所以不一定垂直，故C错误； 故选：BD. 92．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】ACD 【分析】由题意作出图分析可知曲线为椭圆，从而求出椭圆的方程判断选项A与B，由点差法求出直线的斜率，然后求得直线的方程，可知C正确，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可知D正确. 【详解】如图： 由图可知点到点与点的距离之和始终为定值且， 故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为， 故，，所以，， 所以椭圆的方程为：，故A正确； 椭圆的离心率为：，故B错误； 直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 由于直线：过椭圆的上焦点， 所以的周长为，故D正确。 故选：ACD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆 椭圆的定义及应用 1．（23-24高二上·四川成都·期末）平面内有两个定点、和一个动点，，（为常数）.若表示""，表示“点的轨迹是椭圆”．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·四川广安·期末）在平面内，已知两点，，动点满足，则动点的轨迹是 A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．线段 3．（23-24高二上·四川凉山·期末）设椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 4．（22-23高二下·四川自贡·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列四个结论正确的个数（    ） ①； ②离心率； ③面积的最大值为； ④以线段为直径的圆与直线相切． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 6．（23-24高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（21-22高二上·四川资阳·期末）已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则 ． 方程表示椭圆满足的条件 8．（23-24高二上·四川泸州·期末）若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高二上·四川成都·期末）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高二上·四川泸州·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二上·四川·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（20-21高二上·四川·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高二上·四川眉山·期末）已知命题方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程表示圆．若“p或”为假，求实数a的取值范围． 14．（20-21高二上·四川乐山·期末）方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为 ． 椭圆有关的最值问题 15．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 16．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高二下·四川遂宁·期末）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D．13 18．（22-23高二上·四川资阳·期末）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 19．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足.若点，，则的取值范围是 . 求椭圆的轨迹方程和标准方程 20．（21-22高二上·四川·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 23．（20-21高二下·四川自贡·期末）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，两点且的周长为24，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 25．（21-22高二上·四川达州·期末）椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高二下·四川南充·期末）过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 27．（17-18高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 椭圆几何性质 28．（23-24高二上·四川眉山·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 30．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 31．（21-22高二上·四川成都·期末）椭圆 的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 32．（20-21高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上有且只有一个点满足，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·四川宜宾·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 34．（20-21高二上·四川资阳·期末）已知P椭圆上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为（    ） A． B．4 C． D．8 35．（17-18高二上·四川乐山·期末）已知椭圆的左焦点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 36．（19-20高二下·四川遂宁·期末）椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=（    ） A．2 B． C． D． 椭圆的焦点三角形及应用 37．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 38．（19-20高二上·四川广安·期末）设点为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则的面积为 A． B． C． D． 39．（17-18高二上·四川乐山·期末）已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是 A． B． C． D． 40．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．64 41．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知是椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 42．（21-22高二上·四川乐山·期末）已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 43．（21-22高二上·四川眉山·期末）直线l过椭圆的中心，交椭圆于A，B两点，F是椭圆的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 椭圆的离心率 44．（23-24高二下·四川达州·期末）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具.如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第二象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二上·四川凉山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，为坐标原点.若，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．（21-22高二上·四川德阳·期末）是椭圆上的一点，、分别是椭圆的左右焦点，已知，三角形的面积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 48．（21-22高二上·四川宜宾·期末）椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 49．（21-22高二上·四川资阳·期末）过椭圆C：右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线经过C的左焦点和上顶点．若以线段AB为直径的圆与直线相切，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 50．（21-22高二上·四川成都·期末）已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 51．（20-21高二上·四川资阳·期末）过椭圆的左顶点A作圆(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 52．（22-23高二上·四川乐山·期末）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点）.如图，圆锥的锥角为，斜截面与圆锥轴所成角为，则椭圆的离心率为 . 53．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 54．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知椭圆，左、右焦点分别为、，若过的直线与圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且垂直于x轴，则椭圆的离心率为 ． 求椭圆离心率的取值范围 55．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．（21-22高二上·四川·期末）设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（21-22高二上·四川资阳·期末）过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 59．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 60．（22-23高二上·四川成都·期末），是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是 的内切圆圆心，若 的面积是 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为 ． 直线与椭圆位置关系 61．（23-24高二下·四川雅安·期末）直线被椭圆截得的弦长是 A． B． C． D． 62．（21-22高二上·四川雅安·期末）已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（22-23高二上·四川成都·期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 64．（22-23高二上·四川广元·期末）若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 65．（21-22高二上·四川成都·期末）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 66．（21-22高二上·四川雅安·期末）直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（ ） A． B． C． D． 67．（21-22高二上·四川雅安·期末）若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 68．（20-21高二上·四川眉山·期末）椭圆，过点的直线交椭圆于两点，且，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 69．（19-20高二上·四川绵阳·期末）如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 70．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于、两点，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 71．（22-23高二上·四川广元·期末）已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 椭圆的定值、定点问题 72．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 73．（23-24高二下·四川成都·期末）已知点 为椭圆 上任一点，椭圆的短轴长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)若点 是抛物线 的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点 ，试判断 是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由. 74．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点． 75．（21-22高三下·四川德阳·期末）已知椭圆的焦距为2，经过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)椭圆的左顶点为，过其右焦点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值. 76．（23-24高二上·四川眉山·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 77．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知椭圆T以坐标原点O为对称中心，以坐标轴为对称轴，且过，． (1)求椭圆T的标准方程； (2)若A、B为椭圆上两点，且以线段AB为直径的圆经过O点． ①求证：为定值； ②求面积的取值范围． 78．（23-24高二上·四川内江·期末）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； (3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 椭圆有关最值问题 79．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为 . 80．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围． 81．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 82．（23-24高三下·四川·期末）已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． (1)求椭圆的方程； (2)过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． 83．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（不与重合），记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值 (2)若线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围 84．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 85．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 86．（22-23高二上·四川眉山·期末）椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 综合应用 87．（22-23高二下·四川成都·期末）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 88．（23-24高二上·四川达州·期末）（多选）已知，是椭圆C：的左、右焦点，上顶点为，直线l：与C交于点M，N，则（    ） A．直线l恒过点 B．当直线时， C．的周长为20 D． 89．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知椭圆的上、下焦点分别为，，上顶点为A，右顶点为B，原点为O，直线与椭圆C交于D，E两点，点，则（    ） A．四边形面积的最大值为 B．四边形的周长为12 C．直线BD，BE的斜率之积为 D．若动点Q满足，且点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为 90．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知曲线，将曲线用函数表示，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减； B．的图象关于对称； C．的最小值为； D．若直线与的图象没有交点，则实数为定值. 91．（23-24高二上·四川绵阳·期末）（多选）设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 92．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多选）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$