专题04 双曲线（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题04 双曲线 双曲线的定义及应用 1．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知、，下列说法中错误的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【答案】BD 【分析】根据中垂线的定义判断选项A；根据椭圆的定义判断选项B；根据双曲线的定义判断选项C;求出动点的轨迹方程判断选项D. 【详解】设所求动点为，由题意可得 对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A正确； 对于B选项，，所以点的轨迹为线段，B错误； 对于C选项，由题意可知，， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支，C正确； 对于D选项，设点，则，可得，满足条件的点不存在，D错误. 故选：BD. 2．（22-23高二上·四川绵阳·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离等于（    ） A．3 B．7 C． D．3或7 【答案】D 【分析】将双曲线方程化为标准式，即可求出、，设到另一个焦点的距离为，根据双曲线的定义可得，从而可得结果. 【详解】解：双曲线，即， 所以，，则，，， 设到另一个焦点的距离为， 根据双曲线的定义可得，解得或， 即点到另一个焦点的距离等于或. 故选：D. 3．（21-22高二上·四川乐山·期末）已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果. 【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，， 则，为常数， 故选：C. 4．（22-23高二上·四川·期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合两圆的位置关系分析可得，再结合双曲线的定义求方程. 【详解】圆N：的圆心，半径， ∵， ∴点在圆N外，则圆P包含圆N， 设圆P的半径为， 由题意可得：，即，可得， 故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 可得，则， 故动圆圆心P的轨迹方程是. 故答案为：. 5．（22-23高二下·四川遂宁·期末）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 【答案】20 【分析】 先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由，得，得， 因为，， 所以或， 解得（舍去），或， 故答案为：20 6．（20-21高二上·四川巴中·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点和，点C在双曲线的右支上，则 . 【答案】/-0.8 【分析】由定义得到，结合正弦定理角化边即可得出结论. 【详解】由条件知，且.又在△ABC中，有(R为△ABC外接圆的半径)， 从而. 故答案为： 方程表示双曲线满足的条件 7．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据方程表示双曲线可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为方程表示双曲线，则，即， 解得或. 故选：D. 8．（21-22高二上·四川宜宾·期末）若方程表示双曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围. 【详解】由题设，，可得. 故选：C. 9．（20-21高二上·四川巴中·期末）已知曲线，给出以下命题： ①若，则是椭圆，其焦点在轴上 ②若，则是圆，其半径为 ③若，则是双曲线，其渐近线方程为 ④若，则是两条直线 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程，判断③；利用，，判断曲线是否是两条直线判断④． 【详解】解：①若，则C是椭圆，其焦点在y轴上， 因为方程化为：，，焦点坐标在y轴，所以①不正确； ②若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以②不正确； ③若，则C是双曲线，其渐近线方程为， 化简可得，所以③正确； ④若，，方程化为，则C是两条直线,所以④正确； 故选：B． 10．（20-21高二上·四川泸州·期末）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示双曲线 B．当时，方程表示椭圆 C．方程不可能表示直线 D．方程可能表示抛物线 【答案】A 【分析】利用双曲线的标准方程判断选项，利用判断选项，利用判断选项，利用抛物线的标准方程的结构特征判断选项． 【详解】解：方程， 当时，根据双曲线的标准方程可知，方程表示双曲线，故选项正确； 当时，若，则方程表示圆，故选项错误； 当时，方程表示和两条直线，故选项错误； 因为方程中没有或的一次项，故方程不可能表示抛物线，故选项错误． 故选：． 11．（23-24高二上·四川成都·期末）已知方程（m为实数） 表示的曲线C，则（    ） A．曲线C不可能表示一个圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】结合圆，椭圆及双曲线的几何性质依次判断即可. 【详解】解：对于A项，当曲线C表示一个圆时，得，得， 显然无解，故A项正确； 对于B项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，得得， 显然无解，故B项错误； 对于C项，当曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，得得， 得，故C项正确； 对于D项，当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，得， 得，故D项正确； 故选：ACD 12．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的特征可直接构造不等式求得结果. 【详解】由双曲线的标准方程可得：，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（22-23高二上·四川泸州·期末）写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值 . 【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数） 【分析】由双曲线焦点在x轴上的特征求解即可. 【详解】∵方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则，即， ∴“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）. 故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）. 双曲线的轨迹方程和标准方程的求法 14．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程. 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆性质以及双曲线的性质即可求解. 【详解】由题知，椭圆焦点为， 设该双曲线方程为，半焦距为， 则，，即， 又，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：A 16．（22-23高二下·四川成都·期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质求解. 【详解】由题可得，解得， 因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 17．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 18．（2023·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以的方程为. 故选：B.    19．（22-23高三上·四川广安·期末）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】双曲线左支上一点为，则，且， 则 ，则， 由已知可得，解得，因此，双曲线方程为. 故选：B. 20．（20-21高二下·四川成都·期末）双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得的值，结合以及渐近线与垂直即可求出的值，进而可得双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的焦距为，所以，可得， 即， 因为双曲线的渐近线与垂直， 所以即， 由 解得：， 所以双曲线的方程为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件得出关于的方程组，解方程组即可求解. 双曲线的几何性质及应用 21．（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误； 虚轴长，故C错误； 离心率，故D正确. 故选：D. 22．（21-22高二上·四川绵阳·期末）若双曲线C：的渐近线方程为，则C的焦距为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以，而， 因此双曲线的焦距为， 故选：D 23．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线， 垂足为P， 则为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由双曲线方程求得得焦点坐标和渐近线方程，设出点坐标，由垂直求得参数得点坐标，再由两点间距离公式计算． 【详解】由已知，，，，， 如图，一条渐近线的方程为，即， ，则的斜率为，设， 由得，所以， ， 故选：B． 24．（20-21高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于两点，为坐标原点，双曲线以为顶点，以直线为渐近线，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程可得焦点坐标，将代入椭圆方程可求得双曲线渐近线方程，由此可得，结合和双曲线关系可求得结果. 【详解】由椭圆方程得：，， 把代入方程，解得： 直线方程为： 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则，且， ，，双曲线的焦距为． 故选：C. 25．（22-23高三下·四川成都·期末）已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由题意可知，可得，所以，，则， 因此，该双曲线的虚轴长为. 故选：B. 26．（22-23高二上·四川宜宾·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】化双曲线的方程为标准方程，求得，可得虚轴长. 【详解】双曲线的标准方程为 ，可得， 则虚轴长=. 故选：D 27．（21-22高二上·四川乐山·期末）曲线与曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．渐近线相同 【答案】D 【分析】将曲线化为标准方程后即可求解. 【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长､虚轴长､焦距均不相等，而渐近线方程同为. 故选： 28．（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（    ） A．焦点坐标为和 B．渐近线方程为和 C．离心率为 D．与直线有且仅有一个公共点 【答案】CD 【分析】A：计算出的值，则焦点坐标可知；B：求出的值，则渐近线方程可知；C：根据可知离心率；D：分析直线与渐近线的关系可知结果. 【详解】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误； B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误； C：因为，所以，故C正确； D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确； 故选：CD. 29．（22-23高二上·四川达州·期末）抛物线的焦点也是双曲线的焦点，则 . 【答案】12 【分析】先利用抛物线求出焦点坐标，结合双曲线性质算出即可. 【详解】∵，故焦点坐标为， ∵抛物线的焦点也是双曲线的焦点， 故，则， 故答案为：12. 30．（22-23高二上·四川眉山·期末）已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知：， 所以该双曲线的实轴长为， 故答案为： 31．（21-22高二上·四川眉山·期末）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则 ． 【答案】 【分析】直接利用双曲线的方程求出实轴长和虚轴长，列出方程即可求解. 【详解】由已知条件得 双曲线的标准方程为， 则，，实轴长为，虚轴长为， 由题意得，解得. 故答案为：. 双曲线的最值问题 32．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解. 【详解】由题意得，故， 如图所示： 到渐近线的距离, 则，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最小值为. 故选：D 33．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确； 设，根据点到直线距离公式求出为定值，可判断③正确； 设，联立直线方程解得的坐标，再根据两点间的距离公式求出可判断④正确. 【详解】因为圆与的渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以，离心率，故①正确； 因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确； 设，则， 为定值，故③正确； 依题意设， 联立，得，则， 联立，，则， 所以 ， 因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确. 故选：D. 34．（21-22高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，，分别为C的左，右焦点，若动点P在C的右支上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】首先根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标，求出双曲线的标准方程；设，根据双曲线的定义可知，从而利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，， 所以，即，所以双曲线方程为. 设，则，且， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是. 故答案为：. 35．（22-23高二上·四川成都·期末）已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 . 【答案】 10 【分析】由题意得动点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，求出轨迹方程，根据双曲线定义及三点共线求得周长的最小值，将直线的方程代入双曲线方程可求得的坐标． 【详解】由题意得动点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 则，动点的轨迹方程为， ∵， ∴的周长最小时，最小，， 又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立， ∴的周长为， 直线的方程为，将其代入到，化简得：，， 则，的坐标为. 故答案为：10，. 36．（22-23高二上·四川成都·期末）已知，动点M满足，则△MNB周长的最小值为 . 【答案】10 【分析】由双曲线的定义得出动点M的轨迹，再由定义以及N，M，A三点共线且M在线段AN上时，△MNB周长取最小值. 【详解】解：动点M的轨迹为双曲线的左支，，△MNB的周长最小时，最小，，又， 当且仅当N，M，A三点共线且M在线段AN上时，等号成立， ∴△MNB的周长为. 故答案为：10 37．（21-22高二上·四川成都·期中）双曲线上一点P到的距离最小值为 . 【答案】2 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答. 【详解】设，则，即， 于是得，而，则当时，， 所以双曲线上一点P到的距离最小值为2. 故答案为：2 38．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点到渐近线的距离为，点为双曲线右支上一动点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用给定条件可得，再利用焦点到渐近线距离求出c即可计算作答. (2)由(1)可得，求出，的坐标，再用数量积的坐标运算结合二次函数性质计算作答. 【详解】（1）因双曲线的渐近线，则， 而右焦点到的距离为，则，解得：，又，于是得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由(1)知，，，，， 则， 所以当时．取得最小值为. 求双曲线的离心率 39．（23-24高二下·四川成都·期末）已知直线与双曲线 分别相交于 两个不同的点， 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】联立方程求出的坐标，通过运算得到，代入，令，设，利用导数研究函数最值，从而得的值，即可求解. 【详解】将代入双曲线方程中， 整理得，得， 设， 则，， 所以， 所以， 令，设， 则， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 则当时，函数取得最小值，此时， 所以，解得， 所以. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：直线方程与曲线方程联立后通过运算得到，从而令，设，利用导数研究最值. 40．（21-22高三下·四川德阳·期末）设直线过双曲线的右顶点A，且与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为与轴交于点.则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设直线方程，进而求出，然后点到直线的距离公式求出，根据向量关系列出方程求解即可 【详解】因为双曲线，则右顶点， 一条渐近线为， 直线l与渐近线垂直，则l的斜率为 又直线l过点A，所以设直线l的方程为， 当时，，即， 根据点到直线的距离公式，得点A到渐近线的距离即， 点Q到渐近线的距离即， 又，所以，即， 又，所以， 故选：C    41．（23-24高三上·四川·期末）已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合双曲线的定义与性质计算即可. 【详解】如图，取线段的中点，连接， 因为，， 所以，且， 所以 ， 设，则， 所以的离心率 ． 故选：D 42．（23-24高二上·四川德阳·期末）设双曲线的离心率为，则当取最小值时，（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先表示出双曲线的离心率，再由基本不等式即可得出答案. 【详解】双曲线的离心率为， ， 当且仅当即时取等，所以. 故选：C. 43．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，P为C左支上一点，与C的右支交于点Q，若，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】依据题意找到等量关系，列齐次方程求解即可. 【详解】    由已知得，结合双曲线定义得，故， 又，故，结合， 故由余弦定理得，化简得，解得. 故选：C 44．（23-24高二上·四川达州·期末）已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线的方程求出，利用离心率的公式可得答案. 【详解】因为双曲线C：的一条渐近线为l：， 所以，所以离心率. 故选：C 45．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可得，再由可求得结果. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：B 46．（22-23高二下·四川德阳·期末）已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，利用点差法得到，即可求出离心率. 【详解】设，则， 由，则点为线段的中点， 则，从而有， 又，所以， 又由， 则，即， 所以， 所以． 故选：D. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 47．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意求直线的方程，进而可得点，根据斜率关系列式解得或，即可得结果. 【详解】由题意可知：渐近线的斜率，则其垂线的斜率为， 且，则直线：， 联立方程，解得，即， 由直线的斜率可得， 整理可得，解得或，即或， 所以双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 48．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【分析】由双曲线中的平方关系、离心率公式列出等式直接计算即可. 【详解】由题意， 从而双曲线的离心率为， 结合，解得满足题意. 故答案为：. 49．（23-24高二下·四川成都·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据题意，得到，且，在中，利用余弦定理求得，得到，结合，利用离心率的定义，即可求解. 【详解】由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，可得，又， 在中，由余弦定理，得，所以， 根据直线OP为渐近线可得，所以，离心率. 故答案为：2. 50．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解，，再由余弦定理列式求解双曲线的离心率即可． 【详解】设为双曲线的左焦点，如图所示，    由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， ∴，， 而，所以， 由双曲线的定义可知，， ∴，， ∵，∴， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 求双曲线的渐近线 51．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（   ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 令，，于是，， 所以. 故选：D 52．（23-24高二上·四川南充·期末）已知双曲线：，则其渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可直接写出双曲线的渐近线. 【详解】所求双曲线的渐近线为：即. 故选：D 53．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆则其圆心到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先整理圆的一般方程为标准方程，得到圆心坐标，再由双曲线方程得到渐近线方程，最后结合点到直线距离公式求解即可. 【详解】由题，圆的方程为，即， 所以圆心为， 又双曲线方程为，则，， 所以渐近线方程为，即， 所以圆心到渐近线的距离为， 故选：B 54．（21-22高二上·四川德阳·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程确定的值，即可得答案, 【详解】对于双曲线，其实半轴长为，虚半轴长为， 故其渐近线方程为， 故选：B 55．（22-23高二下·四川达州·期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程． 【详解】由得双曲线的渐近线方程为． ∵双曲线的离心率为2， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为 ． 故选：A． 56．（22-23高二下·四川成都·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得双曲线的渐近线方程，求得点到双曲线的两条渐近线的距离，根据题意化简得到，结合，求得，即可求解. 【详解】设，则，即， 渐近线方程为，即， 则点到双曲线的两条渐近线的距离分别为：， 因为，则， 可得，即， 又由，可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D． 57．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设在第四象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程． 【详解】，不妨设在第四象限，与渐近线垂直，的斜率为， 所以直线方程为， 由，得， 设，由知：，即， 所以，，在双曲线上， 所以，化简得，则， 所以，故渐近线方程是． 故选：C 58．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为3 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程得，根据双曲线的定义可判断A；由离心率公式可判断B；求出渐近线方程可判断C；根据点到直线的距离公式可判断D. 【详解】由双曲线方程得，， ∵点P在双曲线的右支上，∴，故A正确； 离心率，故B正确； 渐近线方程为，故C错误； 渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 59．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】计算出的面积，可得出，结合已知条件可得出关于、、的齐次等式，求出、的等量关系式，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】如下图所示： 双曲线的渐近线方程为，即， 过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则， 由勾股定理可得， 易知为的中点，则， 即，可得，即， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 60．（23-24高二上·四川南充·期末）已知双曲线的上焦点为，点坐标，点为双曲线下支上的动点，且的周长不小于10，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，求得，根据周长的最小值为10，得到的最小值为7，再由三点共线时，求得，最后根据离心率的公式，即可求解. 【详解】 由题意，双曲线的上焦点为，点的坐标为， 可得， 因为的周长的最小值为10，可得的最小值为7， 又由为双曲线的下焦点，可得, 当三点共线时，取得最小值，且, 即有，解得， 又因为，所以.即， 故选：A. 求双曲线离心率的取值范围 61．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.  线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解. 【详解】当A在圆内时，如图， , 所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中， ，此时，，. 当A在圆外时，如图 ， 因为， 所以的轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中， ，此时，，. 综上可知，. 故选：D 62．（21-22高二上·四川成都·期末）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得. 【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：， 因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即， 从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有， 因此，，而，整理得，即，解得， 又，故有， 所以双曲线M的离心率的取值范围为. 故选：A 63．（20-21高二上·四川宜宾·期末）设为双曲线：的左焦点，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与交于两点.若，则的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意写出，根据余弦定理表示出，然后根据列出关于的不等式，求解范围. 【详解】取右焦点，连接，因为点为圆和双曲线的交点，所以，则，所以，又因为，所以，即，解得. 故选：A. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）． 64．（23-24高二上·四川绵阳·期末）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理进行、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设， 因为两个曲线在第一象限内交于点， 所以有， 解得， 因为， 所以由余弦定理可知：， 因为，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，所以设， 于是有，化简得： ， 因为，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用两种曲线的定义和余弦定理. 65．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设和的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据向量的减法运算得出，从而得出，利用椭圆、双曲线的定义以及离心率的公式，求得与的关系式，根据，从而求出的取值范围. 【详解】设椭圆：，双曲线：， ，为与的公共焦点，则，， 由得，所以，即， 所以，得， 为两曲线的一个公共点，设，， 则，①  ，②  ，③ ②2+③2得，代入①得，， 所以，所以，④， 又因为，，则，， 所以④化为，即， 因为，所以，所以， 又因为， 所以，即， 所以，得，所以的取值范围, 故答案为： 66．（21-22高二上·四川乐山·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】过点作于，过点作于， 因为，所以， 又因为，所以，故， 又因为，且，所以， 因此，所以， 又因为直线与圆有公共点，所以，故， 即，则，所以， 又因为双曲线的离心率，所以. 故答案为：. 67．（21-22高二上·四川成都·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由 可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答, 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，， 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，， 因，即，而O是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有，又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 直线与双曲线位置关系 68．（19-20高二上·四川眉山·期末）过点C(0，﹣1)的直线与双曲线右支交于A，B两点，则直线AB的斜率取值范围为（    ） A． B． C．(﹣1，1) D． 【答案】A 【分析】设直线的斜率为，得到直线方程，与双曲线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程有两正根，根据根的判别式和韦达定理，即可求解. 【详解】设A(x1，y1)､B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx-1， 由消去y，得(2﹣3k2)x2+6kx﹣9=0. ∴x1+x2=，x1x2=. ∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点， ∴，即， 解得. 故选:A. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，注意根与系数关系的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 69．（17-18高二上·四川乐山·期末）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的方程可得， 由椭圆的性质可知： ，则 故选 点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的简单性质以及直线的斜率问题．由椭圆的方程可得，，然后利用椭圆的性质可得，再利用已知给出的的范围即可求出答案． 70．（20-21高三下·四川巴中·期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ． 【答案】/ 【分析】联立直线y=kx+1与双曲线的方程，得到韦达定理，根据中点坐标即可求解. 【详解】联立直线y=kx+1与双曲线可得，即， ∵，直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点， ∴x1+x2=2，， ∴，∴k且 ∵线段AB的中点横坐标为1， ∴x1+x2=2，∴，∴， ∴k，∵，∴k， 故答案为：． 71．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得； （2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得； 【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即， 所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）解：设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 72．（21-22高二上·四川成都·期末）已知双曲线，离心率，虚轴长为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且点为弦的中点?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据离心率及虚轴长即可求解； （2）运用点差法求解，但是要注意检验. 【详解】（1），， ，． ， ． ． ∴双曲线的标准方程为． （2）假设以定点为中点的弦存在， 设以定点为中点的弦的端点坐标为，， 可得，． 由，在双曲线上，可得：， 两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为： ， 则以定点为中点的弦所在的直线方程为．即为， 代入双曲线的方程可得， 由， 所以不存在这样的直线． 73．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意和的关系即可求解； (2)结合（1）中的结论，将直线方程与双曲线方程联立求出交点坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】（1），，解得， ，. （2）设直线方程为， 联立方程，整理得. 解得：... 74．（21-22高二下·四川自贡·期末）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C的方程； (2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程； （2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得； 【详解】（1）解：抛物线的焦点为， 所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点， 所以，即，又，所以， 所以双曲线方程为. （2）解：依题意设，， 由消去整理得， 由，所以，， 所以 . 椭圆的定值、定点问题 75．（21-22高二上·四川德阳·期末）关于双曲线（）与反比例函数，以下说法正确的是 （请把所有正确说法的番号填在对应的答题卡上，少填或各填均不得分）． ①任意反比例函数的图象都是双曲线； ②所有双曲线绕原点旋转都能转化为反比例函数的图象； ③若是反比例函数图象上任意一点，则到点的距离与到直线的距离之比为定值； ④过双曲线（）中心的动直线与双曲线交于、两点，为双曲线上与、不同的任意一点，若直线、均有斜率，则它们的斜率之积为定值． 【答案】①③④ 【分析】根据反比例函数与双曲线的定义与性质可判定①②，根据两点距离及点到直线的距离公式计算可判定③，利用两点斜率公式计算可判定④. 【详解】反比例函数是双曲线，其渐近线为两条坐标轴，①正确； 因为反比例函数的渐近线为两坐标轴，其夹角为直角， 但并非所有双曲线的渐近线夹角均为直角， 所以并非所有双曲线绕原点旋转都能化为反比例函数，故②错误； 设，则， 到的距离为，， 则是定值，故③正确； 由题意可设，则， 是定值，故④正确. 故答案为：①③④ 76．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，圆与C的渐近线相切.P为C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.给出以下结论：①C的离心率；②两渐近线夹角为60°；③为定值.则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②正确； 设，根据点到直线距离公式求出为定值，可判断③正确； 【详解】因为圆与的渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以，离心率，故①正确； 因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②正确； 设，则， 为定值，故③正确； 故选：D. 77．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 ，求的值及点的坐标. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，代入点即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算即可求出点C的坐标及. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以可设双曲线的方程为， 代入可得，，解得， 所以双曲线方程为， 即双曲线的方程为：. （2）设，，， 因为，则，， 由直线与双曲线方程联立可得，， 消元可得：，， ， ， ， ，解得，， ，. 78．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上． (1)求的方程． (2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析 【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程； （2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 故双曲线C的方程为： （2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上， 若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上. 故假设存在定点，使得以为直径的圆过点. 双曲线的左顶点， 由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：， 设，， ∴， ，解得， ∴， 由直线与双曲线的右支交于两点， 则，解得. 又直线的方程为，代入， 同理，直线的方程为，代入. 要使以为直径的圆过点，则. ∴， ∴ ， 解得，或 故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.    79．（22-23高三上·四川成都·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在直线上且不在轴上，直线与双曲线的交点分别为A，B，直线与双曲线的交点分别为C，D． (1)设直线和的斜率分别为，，求的值； (2)问直线l上是否存在点P，使得直线OA，OB，OC，OD的斜率，，，满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】(1)设，结合两点求直线斜率公式即可求解； (2)假设存在满足题意的点，设点A、B、C、D的坐标和直线、方程，联立方程组利用韦达定理和两点求斜率公式表示出和，根据求得或，结合(1)分类讨论求出对应的P点坐标即可. 【详解】（1）设，，则， 所以； （2）假设直线l上存在点，使得． 设，，，， 设直线，直线， 由，得， ，， ∴， 同理， 由，得 得或， 当时，由（1）得，， ，，得， 当时，由（1）得，或，，，，得． 所以或． 椭圆有关最值问题 80．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴，可得点坐标，代入曲线方程，结合离心率可得解； （2）联立直线与椭圆，结合弦长公式及点到直线的距离可得面积，再利用换元法结合基本不等式可得面积的最值. 【详解】（1）由椭圆的对称性，不妨设点在第二象限， 则， 代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率， 则， 解得， 又， 则， 所以椭圆方程为； （2） 由（1）得椭圆方程为， 设直线与椭圆的交点，， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则， 又原点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为． 81．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）设线，联立方程，利用韦达定理可得，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知：， 因为直线的斜率可以不存在，但不为0，且直线与椭圆必相交，    设直线， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，整理可得， 因为，可得 令，则，解得，即， 由题意可知：， 因为， 所以与的面积之比的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 82．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解， （2）根据相切可得，进而联立直线与椭圆方程，可得韦达定理，进而根据弦长公式以及三角形面积，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以，， ，，椭圆的方程为. （2）若圆的切线轴，则,所以, 故，因此，, 当直线有斜率时，设直线的方程为， 直线与圆相切，，， 联立与，消得. 设，，则，. 到直线的距离为1，则 ， 将代入消可得， 令则故， 由于所以，进而， 所以， 综上可得 的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用k表示出来，然后再利用不等式的性质求范围． 83．（23-24高三下·四川·期末）已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． (1)求椭圆的方程； (2)过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由可求出的值，然后利用弦长公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）解：易知点、，则， ，，则，故， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设点、， 若轴，则、关于轴对称，即点， ，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 因为，，同理可得， ， 因为直线不过点，则，整理可得，解得，满足， 所以，，， 则 ， 因为，令， 则， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最大值，且其最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 84．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（不与重合），记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值 (2)若线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，则，设l方程为，联立直线与椭圆的方程由韦达定理可得，代入化简即可得出答案. （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由弦长公式求得，及点的坐标，进而求出，由此化简，可求得正确答案. 【详解】（1）由题意可得：，设， 则，， 由直线不与轴重合，可设其方程为， 于是， 联立，去得， 易知，，， 所以， 故. （2）解：设直线的方程为，， 联立，消去得， 设，所以，， 所以， 设的中点为，则， 所以线段的垂直平分线的方程为： ，令，可得， 所以， 又因为 所以， 由于，可得，即有. 则有的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：设直线的方程为，与椭圆的方程联立，由弦长公式求得，和点的坐标，进而求出，由此表示出并化简，可求得正确答案. 85．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，再由当直线与轴垂直时，得到，代入椭圆的方程，求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，得到的面积为，结合对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的右顶点，可得， 当直线与轴垂直时，且， 所以直线过点，可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，且 所以，， ∴的面积为 ， 令，则 又由对勾函数在上单调递增，则， 所以，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 86．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 双曲线综合应用 87．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（    ）    ① 若，则； ② 若，则的值为1； ③ 的面积； ④ 若，则当时，取得最小值2． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】对于①，由椭圆和双曲线的定义结合得到，①正确；对于②，由椭圆定义和双曲线定义结合得到，从而②错误；对于③，由椭圆和双曲线定义得到，由余弦定理得到，得到，利用三角形面积公式进行求解；对于④，由椭圆和双曲线定义得到，，结合余弦定理得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】①， ， ，即， ，故①正确； ②在第一象限，且，， ， 即，故②错误； ③设椭圆的焦距为，，，则，， 解得，， ，即， ， ，， ，故③正确； ④设椭圆的焦距为，则，， 解得，， 在中，根据余弦定理可得：， 整理得，即， ， 当且仅当时取等号，故④错误. 故选：D． 【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题， 共焦点的椭圆和双曲线的重要结论： ①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，则； ②若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点. 88．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知是双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线左､右两支分别交于两点.若为的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，从而求出渐近线方程. 【详解】 因为P为AB的中点，且即，所以△为等腰三角形， 即， 因为， 设，则， 由双曲线定义可知：， 所以，则， 又， 所以， 解得：， 则， 由勾股定理得：， 在三角形中，由勾股定理得：， 即，即，解得. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 89．（23-24高二上·四川成都·期末）已知曲线，将曲线用函数表示，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减； B．的图象关于对称； C．的最小值为； D．若直线与的图象没有交点，则实数为定值. 【答案】ACD 【分析】分段讨论确定所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A，B，D选项；求出的表达式求其最小值判断C选项； 【详解】当时， 不存在，故在第一象限内无图象； 当时， ，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为， 此时，即， 所以； 当时， ，在第三象限内为椭圆的一部分； 此时，即， 所以 当时， ，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为 ； 此时，即， 所以； 综上：的最小值为，故C正确； 图象如图所示： 对于A：由图象可得在上单调递减，故A正确； 对于B，由图象可得图象不关于直线成轴对称图形，也可以求得关于直线对称的点不在图象上， 故B错误； 对D：若直线与的图象没有交点，则直线与渐近线平行， 即为定值，否则直线与渐近线相交，则一定会与的图象相交，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析. 90．（23-24高二上·四川绵阳·期末）设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，根据椭圆、双曲线的定义求得，进而判断AB；由，结合向量相关知识可得，进而判断CD. 【详解】设，，    则，解得，即，故B正确； 显然，可得，故A错误； 因为， 则， 且， 即，整理得， 则，即，故D正确； 因为不恒为0， 所以不一定垂直，故C错误； 故选：BD. 91．（23-24高二上·四川凉山·期末）我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴㟨点为，，右焦点为，离心率为，则（    ） A．当时， B．当时，则到渐近线的距离为 C． D．的外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】由离心率的意义，结合计算判断AB；利用数量积的坐标表示判断C；确定的外接圆半径判断D. 【详解】双曲线是理想双曲线，则，设，则有， 对于A，当时，，解得，A正确； 对于B，点，双曲线的渐近线，则到渐近线的距离为 ，而，则，B错误； 对于C，由对称性，不妨令点，即有，于是，，即，C正确； 对于D，，则，即， 因此线段是的外接圆的直径，该圆半径为， 该圆面积，由于，不确定，因此的外接圆面积不确定，D错误. 故选：AC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 92．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到l的距离为1 B．若，则的面积为1 C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D．若直线PA，PB的斜率分别为，则 【答案】ABD 【分析】代入点到直线的距离公式，即可判断A；根据几何关系判断，再根据双曲线的定义和面积公式，即可判断B；根据渐近线的斜率求，即可判断C；根据坐标表示斜率，即可判断D. 【详解】A.设点，，其中，点到的距离，故A正确； B.若，则， 则，其中， 则，得， 所以的面积为，故B正确； C.若直线的倾斜角为，则，得， 则其实轴长为，故C错误； D.设，，， ，故D正确. 故选：ABD 93．（23-24高二上·四川成都·期末）双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则双曲线的离心率为 B．若双曲线的渐近线方程为，则 C．若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则 D．若点为双曲线上一点，且，则 【答案】ABD 【分析】根据所给的条件，分别计算，判断真假. 【详解】对A：时，，所以，则，故A正确； 对B：由，故B正确； 对C：因为，，所以.又，所以点在双曲线的左支上，由，故C错误； 对D：为双曲线上一点，则，又，所以，所以. 不妨设在第一象限，，（），且， 所以，故D正确. 故选：ABD 94．（23-24高二上·四川成都·期末）设动点P 到两定点.和的距离分别为和，，使得 (1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程； (2)经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，由双曲线的定义即可证明结果，再根据条件，求出，即可求出的方程； （2）设直线方程为，，联立方程，消得到，根据条件得到，由韦达定理得，进而得到，从而得出，即可求出结果. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 又，所以，即， 由双曲线的定义知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 易知，，又，所以曲线的方程为. （2）易知当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交， 所以可设直线方程为，， 由，消得到， 因为直线与双曲线的左，右两支相交，所以，得到， 由韦达定理知， 又， 因为， 又，所以，得到， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双曲线 双曲线的定义及应用 1．（23-24高二上·四川眉山·期末）（多选）已知、，下列说法中错误的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 2．（22-23高二上·四川绵阳·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离等于（    ） A．3 B．7 C． D．3或7 3．（21-22高二上·四川乐山·期末）已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 4．（22-23高二上·四川·期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 5．（22-23高二下·四川遂宁·期末）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 6．（20-21高二上·四川巴中·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点和，点C在双曲线的右支上，则 . 方程表示双曲线满足的条件 7．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 8．（21-22高二上·四川宜宾·期末）若方程表示双曲线，则（    ） A． B． C． D． 9．（20-21高二上·四川巴中·期末）已知曲线，给出以下命题： ①若，则是椭圆，其焦点在轴上 ②若，则是圆，其半径为 ③若，则是双曲线，其渐近线方程为 ④若，则是两条直线 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（20-21高二上·四川泸州·期末）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示双曲线 B．当时，方程表示椭圆 C．方程不可能表示直线 D．方程可能表示抛物线 11．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知方程（m为实数） 表示的曲线C，则（    ） A．曲线C不可能表示一个圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 12．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为 . 13．（22-23高二上·四川泸州·期末）写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值 . 双曲线的轨迹方程和标准方程的求法 14．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二下·四川成都·期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 17．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 18．（2023·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高三上·四川广安·期末）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（20-21高二下·四川成都·期末）双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 双曲线的几何性质及应用 21．（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 22．（21-22高二上·四川绵阳·期末）若双曲线C：的渐近线方程为，则C的焦距为（    ） A．3 B．6 C． D． 23．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线， 垂足为P， 则为（    ） A． B． C．2 D．4 24．（20-21高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于两点，为坐标原点，双曲线以为顶点，以直线为渐近线，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高三下·四川成都·期末）已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高二上·四川宜宾·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 27．（21-22高二上·四川乐山·期末）曲线与曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．渐近线相同 28．（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（    ） A．焦点坐标为和 B．渐近线方程为和 C．离心率为 D．与直线有且仅有一个公共点 29．（22-23高二上·四川达州·期末）抛物线的焦点也是双曲线的焦点，则 . 30．（22-23高二上·四川眉山·期末）已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为 31．（21-22高二上·四川眉山·期末）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则 ． 双曲线的最值问题 32．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 34．（21-22高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，，分别为C的左，右焦点，若动点P在C的右支上，则的最小值是 ． 35．（22-23高二上·四川成都·期末）已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 . 36．（22-23高二上·四川成都·期末）已知，动点M满足，则△MNB周长的最小值为 . 37．（21-22高二上·四川成都·期末）双曲线上一点P到的距离最小值为 . 38．（21-22高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点到渐近线的距离为，点为双曲线右支上一动点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求的最小值. 求双曲线的离心率 39．（23-24高二下·四川成都·期末）已知直线与双曲线 分别相交于 两个不同的点， 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D．2 40．（21-22高三下·四川德阳·期末）设直线过双曲线的右顶点A，且与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为与轴交于点.则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高三上·四川·期末）已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·四川德阳·期末）设双曲线的离心率为，则当取最小值时，（    ） A． B．2 C． D．3 43．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，P为C左支上一点，与C的右支交于点Q，若，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 44．（23-24高二上·四川达州·期末）已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 46．（22-23高二下·四川德阳·期末）已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 47．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ． 48．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知双曲线的离心率为，则 ． 49．（23-24高二下·四川成都·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 . 50．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 求双曲线的渐近线 51．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（   ） A．4 B． C．6 D．8 52．（23-24高二上·四川南充·期末）已知双曲线：，则其渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 53．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆则其圆心到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 54．（21-22高二上·四川德阳·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 55．（22-23高二下·四川达州·期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 56．（22-23高二下·四川成都·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 57．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为3 59．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为 . 求双曲线离心率的取值范围 60．（23-24高二上·四川南充·期末）已知双曲线的上焦点为，点坐标，点为双曲线下支上的动点，且的周长不小于10，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）， A． B． C． D． 61．（21-22高二上·四川攀枝花·期末）已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.  线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 62．（21-22高二上·四川成都·期中）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 63．（20-21高二上·四川宜宾·期末）设为双曲线：的左焦点，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与交于两点.若，则的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（23-24高二上·四川绵阳·期末）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 65．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设和的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是 . 66．（21-22高二上·四川乐山·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 . 67．（21-22高二上·四川成都·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是 ． 直线与双曲线位置关系 68．（19-20高二上·四川眉山·期末）过点C(0，﹣1)的直线与双曲线右支交于A，B两点，则直线AB的斜率取值范围为（    ） A． B． C．(﹣1，1) D． 69．（17-18高二上·四川乐山·期末）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 A． B． C． D． 70．（20-21高三下·四川巴中·期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ． 71．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 72．（21-22高二上·四川成都·期末）已知双曲线，离心率，虚轴长为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且点为弦的中点?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 73．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点. (1)求的值； (2)求. 74．（21-22高二下·四川自贡·期末）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C的方程； (2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求. 双曲线的定值、定点问题 75．（21-22高二上·四川德阳·期末）关于双曲线（）与反比例函数，以下说法正确的是 （请把所有正确说法的番号填在对应的答题卡上，少填或各填均不得分）． ①任意反比例函数的图象都是双曲线； ②所有双曲线绕原点旋转都能转化为反比例函数的图象； ③若是反比例函数图象上任意一点，则到点的距离与到直线的距离之比为定值； ④过双曲线（）中心的动直线与双曲线交于、两点，为双曲线上与、不同的任意一点，若直线、均有斜率，则它们的斜率之积为定值． 76．（21-22高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，圆与C的渐近线相切.P为C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.给出以下结论：①C的离心率；②两渐近线夹角为60°；③为定值.则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 77．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 ，求的值及点的坐标. 78．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上． (1)求的方程． (2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 79．（22-23高三上·四川成都·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在直线上且不在轴上，直线与双曲线的交点分别为A，B，直线与双曲线的交点分别为C，D． (1)设直线和的斜率分别为，，求的值； (2)问直线l上是否存在点P，使得直线OA，OB，OC，OD的斜率，，，满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 双曲线有关最值问题 80．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 81．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，求与的面积之比的取值范围． 82．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 83．（23-24高三下·四川·期末）已知坐标原点为，椭圆的上顶点为，右焦点为，且，． (1)求椭圆的方程； (2)过作互相垂直的两条直线分别交于、两点，求的最大值． 84．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（不与重合），记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值 (2)若线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围 85．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 86．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 双曲线综合应用 87．（22-23高二下·四川成都·期末）如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（    ）    ① 若，则； ② 若，则的值为1； ③ 的面积； ④ 若，则当时，取得最小值2． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 88．（22-23高二上·四川乐山·期末）已知是双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线左､右两支分别交于两点.若为的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 89．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知曲线，将曲线用函数表示，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减； B．的图象关于对称； C．的最小值为； D．若直线与的图象没有交点，则实数为定值. 90．（23-24高二上·四川绵阳·期末）（多选）设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 91．（23-24高二上·四川凉山·期末）（多选）我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴㟨点为，，右焦点为，离心率为，则（    ） A．当时， B．当时，则到渐近线的距离为 C． D．的外接圆的面积为 92．（23-24高二上·四川泸州·期末）（多选）已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到l的距离为1 B．若，则的面积为1 C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D．若直线PA，PB的斜率分别为，则 93．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则双曲线的离心率为 B．若双曲线的渐近线方程为，则 C．若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则 D．若点为双曲线上一点，且，则 94．（23-24高二上·四川成都·期末）设动点P 到两定点.和的距离分别为和，，使得 (1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程； (2)经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$