第二十七章 圆与正多边形压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

第二十七章 圆与正多边形压轴训练 一、选择压轴 1．正方形内接于，其边长为，则的内接等边三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（  ） A． B．5 C．4 D． 4．如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 5．如图，正内接于半径为1的圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，．把绕点A按顺时针方向旋转后得到，若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图，等边三角形和正方形都内接于，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．2 9．如图，是的直径，交的中点，是的切线，交于点，下列结论：①；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空压轴 11．如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ． 12．如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 13．如图，点是半圆上一动点，以为边作正方形(使在正方形内)，连，若，则的最大值为 ． 14．如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 15．在中直径为4，弦，点C是圆上不同于A、B的点，那么度数为 ． 16．如图，线段是的直径，弦于点H，点M是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连接交于点F，则 ， 17．如图，在等腰三角形中，，，以为直径作圆，与，分别相交于点，，则的长度是 ． 18．已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为 ． 19．图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答压轴 20．如图中，，平分交于点E，以点E为圆心，为半径作交于点F． (1)求证：与相切； (2)若，试求的长． 21．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． (1)求A、B两点到的距离分别是多少； (2)若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 22．如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 24．如图，是的外接圆，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 25．如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过、分别作垂线，垂足记作和，设． (1)若， ①当时，求的长； ②求证：； (2)若，试是否为定值，若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 26．如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：． (3)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆与正多边形压轴训练 一、选择压轴 1．正方形内接于，其边长为，则的内接等边三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解；如图，连接、、，作于， 四边形是正方形， ∴， 是直径，， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中， ∵，则 ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆、垂径定理，等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 2．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 3．如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（  ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，，， ，， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， F为中点， ， ， 故选A． 4．如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：过点O作，连接， ， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选B． 5．如图，正内接于半径为1的圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、，延长交于点D， ∵正内接于半径是1的圆， ∴O为的中心，，， ∴，， ∴在中，， ， ∴，， ∴ 故选：A． 6．如图，在中，，．把绕点A按顺时针方向旋转后得到，若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：扇形的面积是：， 在直角中，因为， 所以，， 由旋转的性质可得：， 所以扇形的面积是：， 则阴影部分的面积是：扇形的面积扇形的面积， 故选：C． 7．如图，等边三角形和正方形都内接于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r， ∴与是直角三角形，， ∵等边三角形和正方形都内接于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 8．如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则， 在矩形中，，， ， ，即， ， 同理可得：， ， ，， ， 又， ， ， 是定值， 若要最大，即最大，则最大， 当与重合时，，此时有最大值，即， 的最大值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证明，从而得出若要最大，则最大． 9．如图，是的直径，交的中点，是的切线，交于点，下列结论：①；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， 连接，如图， ∵点是的中点，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴故③正确； 则正确结论的个数为个． 故选：． 【点睛】此题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的性质及直角三角形的性质等知识，证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线． 10．如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线， 又∵与相切于点F， ∴由切线长定理可得， 同理可得， 设，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴在中，， 故选：B． 二、填空压轴 11．如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，即，是的直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， 当取最大值时，也取得最大值， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 12．如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 【答案】2 【详解】解：是的直径，弦于点E， 根据垂径定理可得， ，， ， ∴， ∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 13．如图，点是半圆上一动点，以为边作正方形(使在正方形内)，连，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：点是半圆上一动点， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接，， 则，，， ， 由旋转得：， 四边形是正方形， ， 即， ， 即， 是等腰直角三角形， ， ， 当且仅当、、三点共线时，最大，的最大值； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 【答案】 5 1 【详解】解：垂直，点C是弧中点， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米． ， 即， 解得． 过点作于点，连接． 米， （米． ， 四边形为矩形， ，， （米． 米， 米． 米． 故答案为：5；1． 15．在中直径为4，弦，点C是圆上不同于A、B的点，那么度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示， ∵在中直径为4， ∴半径 ∵弦， ∴是等边三角形 ∴ ∴①当点在优弧上时， ∴； ②当点在劣弧上时，记为点， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 16．如图，线段是的直径，弦于点H，点M是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连接交于点F，则 ， 【答案】 5 16 【详解】解：连接． ， ， 设半径，则， 在中， ， ， ，即； 连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴ ∴ 即， ， 故答案为：5；16． 【点睛】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题是解题的关键． 17．如图，在等腰三角形中，，，以为直径作圆，与，分别相交于点，，则的长度是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵是圆直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度是， 故答案为：． 18．已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于，交于，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴，， ∴； 如图：当弦和在圆心异侧时，作于，交于，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，、之间的距离为或， 故答案为：或． 19．图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】】0 【详解】解：如图，连接，，， ∵点A，C，D在同一直线上， ∴是的直径， ∴ ． ∵的半径， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 故答案为：】0． 三、解答压轴 20．如图中，，平分交于点E，以点E为圆心，为半径作交于点F． (1)求证：与相切； (2)若，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：作于点H， ∵平分，， ∴， ∴， ∴点H在上， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 21．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． (1)求A、B两点到的距离分别是多少； (2)若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 【答案】(1)点A到的距离是；点B到的距离为， (2) 【详解】（1）解：过点A作于F， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ∴点A到的距离是； 过点B作交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴点B到的距离为； （2）解：由题意得， 在中，，， ， ，，， ∴ ， ， ， ∵点P是的中点， ， 由题意得，切于N，连接， ， 在中，， 根据勾股定理得，，， ， 记线段与的交点为E，则点E到点B的距离最小， ， ， ∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，弧长公式，勾股定理，求出是解本题的关键． 22．如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线． ， ， ， ， ， （2）解：， ， ， ， ， ， ． 23．如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． 24．如图，是的外接圆，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：连接． 由（1）得，， ∵ ∴． ∵为直径， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， 即的半径为2． 25．如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过、分别作垂线，垂足记作和，设． (1)若， ①当时，求的长； ②求证：； (2)若，试是否为定值，若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①，②证明见解析； (2)为定值，定值为 【详解】（1）解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：过O作，连接，连接，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 同理可得：， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、锐角三角函数的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 26．如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：． (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：连接， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3）解：∵， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$