第04讲 等差数列的前n项和（3个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第04讲 等差数列的前n项和 课程标准 学习目标 1.探索并掌握等差数列前n项和公式； 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系； 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。 1.经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养； 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养； 3.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养. 知识点01　 等差数列的前n项和 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）在等差数列中，，则 . 知识点02　等差数列的前n项和性质 1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和， ，，…组成公差为的等差数列； 2、前n项和与n的比值： 数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则 【即学即练2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 知识点03 等差数列前n项和的最值 1、等差数列的前n项和与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． （2）邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 【即学即练3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 题型01 求等差数列的前n项和 【典例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）记为等差数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）数列中，，，则 题型02 与等差数列前n项公式有关的基本量计算 【典例2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（   ） A．11 B．13 C．15 D．16 【变式2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．36 B．35 C．42 D．38 【变式3】（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在等差数列中，若，则= . 题型03 等差数列的片段和性质 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【变式1】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型04 等差数列前n项和与n的比值 【典例4】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【变式4】设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 题型05 两个等差数列前n项和的比值 【典例5】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 题型06 等差数列奇数项与偶数项的和 【典例6】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【变式1】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【变式2】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【变式4】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 题型07含绝对值的等差数列前n项和 【典例7】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为 ． 【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，，，则数列的前n项和为 ． 【变式3】（（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式4】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型08 等差数列前n项和的最值 【典例8】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【变式2】（24-25高二上·湖南·期中）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）等差数列前n项和为，则取最小时， . 【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 题型09 等差数列前n项和的实际应用 【典例9】（23-24高二下·江西·阶段练习）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（    ） A． B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和 C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍 D．小王入职后第20个月的工资为4550元 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【变式2】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ） A． B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和 C．小王入职后第20个月的工资为4550元 D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元 一、单选题 1．（24-25高二上·福建·期中）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 2．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 3．（24-25高三上·宁夏·期中）数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 7．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意恒成立的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，且，则（   ） A．公差 B． C． D．当时，最大 10．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则 . 12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为 ． 四、解答题 14．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 15．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 16．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知单调递增的等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项和，并求的最小值及此时的值； (3)求使成立的的最小值. 18．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 19．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 等差数列的前n项和 课程标准 学习目标 1.探索并掌握等差数列前n项和公式； 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系； 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。 1.经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养； 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养； 3.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养. 知识点01　 等差数列的前n项和 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）在等差数列中，，则 . 【答案】400 【分析】根据等差数列的前n项和公式计算即可. 【详解】在等差数列中，. 故答案为：400. 知识点02　等差数列的前n项和性质 1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和， ，，…组成公差为的等差数列； 2、前n项和与n的比值： 数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则 【即学即练2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 知识点03 等差数列前n项和的最值 1、等差数列的前n项和与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． （2）邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 【即学即练3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 【答案】 16 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以，， 当时，的最大值为, 故答案为：，16. 题型01 求等差数列的前n项和 【典例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差后，可列出与、有关方程组，解出即可得； （2）利用等差数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）设的公差为，则有， 解得， 故； （2）由题可知. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）记为等差数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的基本量求出公差，再根据等差数列前项和公式即可得出答案. 【详解】设等差数列公差为，则，解得， 所以，. 故选：C. 【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，可得，再利用前项和公式与等差中项，即可求得的值. 【详解】因为数列为等差数列，所以，解得，则. 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）数列中，，，则 【答案】170 【分析】得到为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】，故为公差的等差数列， 又，所以， . 故答案为：170 题型02 与等差数列前n项公式有关的基本量计算 【典例2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式解方程组计算可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 根据可得， 即得，解得. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（   ） A．11 B．13 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式和前项和表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 即，解得，则. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．36 B．35 C．42 D．38 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，故. 故选：D. 【变式3】（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算解得，从而即可对选项进行逐一判断． 【详解】根据题意，由，得，解得， 故A正确，B错误； 则，C正确； ，D正确． 故选：B． 【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在等差数列中，若，则= . 【答案】15 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故答案为：15. 题型03 等差数列的片段和性质 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值. 【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴， ∴，∴． 故选:C. 【变式1】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解. 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 【变式4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 题型04 等差数列前n项和与n的比值 【典例4】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意判断两个条件都等价于，进而判断答案即可. 【详解】设等差数列的公差为， 若对，，即， 若，则，即为单调递增数列， 又因为，所以， 所以，即， 所以“对，”是“”的充要条件. 故选：C 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 【变式4】设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 【答案】B 【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案. 【详解】，故为等差数列， 故，故，解得. 故选：B 题型05 两个等差数列前n项和的比值 【典例5】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质把代数式等价变形，即可得到，结合条件即可得到结果. 【详解】由等差数列性质得，， 由得，. 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解即可. 【详解】解：因为，即， 所以． 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 【变式3】（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等差数列的前项和公式，.根据等差数列的性质，若，则，对于本题，我们可以利用时与的关系以及与的关系来求解. 【详解】根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 而，所以. 故选：C. 【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 题型06 等差数列奇数项与偶数项的和 【典例6】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【变式1】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 【变式2】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 【变式4】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 题型07含绝对值的等差数列前n项和 【典例7】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为 ． 【答案】218 【分析】根据题意，列式求出的通项公式，判断当时，，当时，，列式求出数列的前20项和为. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， ，可得当时，，当时，， 设数列的前20项和为， 则 . 故答案为：218. 【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【详解】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，，，则数列的前n项和为 ． 【答案】 【分析】利用已知易求得数列的通项公式，令，可得，分类讨论可求的前项和公式. 【详解】等差数列的公差为， 故通项公式为． 令，即，解得， 设，分别表示数列与数列的前n项和， 则． 当时，； 当时， ． 由， 得． 故. 故答案为：. 【变式3】（（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得, 令，即，解得， 所以，当时，；当时，， 因为，且数列的前项和， 当时，； 当时， ， 综上可得，数列的前项和. 【变式4】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 题型08 等差数列前n项和的最值 【典例8】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式的类二次函数性质，得到，进而判断出，，再利用等差数列的性质与前项和公式得到与，进而判断出的最大值为11. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为， 因为有最大值，故，即， 又，即一正一负，而， 所以，，又由得，故 所以，，则，， 则当时，的最大值为. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·湖南·期中）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【分析】推导出，利用等差数列的单调性可判断A选项；令，可判断B选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 对于A选项，，则等差数列为单调递增数列，A对； 对于B选项，不妨取，则, 此时，数列不单调，B错； 对于C选项，若，则对任意的，，则， 所以，数列为单调递增数列，则的最小值为； 若，由，可得， 不妨取（其中为不超过的最大整数）， 则当时，，当时，， 此时，为的最小项， 综上所述，的最小值，C对； 对于D选项，若，不妨取，则当时，，即； 若，由，可得， 取，当时，， 所以，存在正整数，当时，总有，D对. 故选：ACD. 【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）等差数列前n项和为，则取最小时， . 【答案】 【分析】求出，并得到，且取等条件恰为，即得答案. 【详解】由于，故，从而. 任意正整数显然都满足或，故. 等号当且仅当时成立，所以恰在时最小. 故答案为： 【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，的最大值为. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解； （2）利用等差的求和公式得到，结合二次函数性质求其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以， 所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 题型09 等差数列前n项和的实际应用 【典例9】（23-24高二下·江西·阶段练习）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（    ） A． B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和 C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍 D．小王入职后第20个月的工资为4550元 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义、通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】A：小王前3个月的工资之和为， 解得，故A正确； B：记小王入职第n个月工资为，则时，是等差数列， 因为，所以，故B正确； C：当时，是公差为100的等差数列， 当时，是公差为50的等差数列，则， ，所以，故C错误； D：小王入职后第13个月的工资为， 第20个月的工资为，D正确． 故选：ABD． 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出第n次报完后共报数的个数，解不等式求出的最小值，并求出对应的最大数即可得解. 【详解】依题意，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 因此A报出的第2035个数字为5995， 所以A报出的第2000个数字为：， 故选：D 【变式2】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C 【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ） A． B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和 C．小王入职后第20个月的工资为4550元 D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用等差数列的定义、通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】小王入职后各月工资依次排成一列，构成数列 对于A，小王前3个月的工资之和为，解得，A正确； 对于B，当时，是等差数列，首项，公差为100， 当时，是等差数列，，公差为50， ，B错误； 对于C，小王入职后第13个月的工资为， 第20个月的工资为，C正确； 对于D，小王入职后前15个月的工资之和 ，D正确. 故选：ACD 一、单选题 1．（24-25高二上·福建·期中）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 2．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·宁夏·期中）数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质与求和公式的性质计算即可. 【详解】设该等差数列的公差为d，则， 则，. 故选：D 4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 故选：D 7．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意恒成立的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和与的关系，结合充要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】， 所以C是的充要条件， A是的充分不必要条件， BD是既不充分也不必要条件. 故选：C. 二、多选题 8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可一一判定选项. 【详解】由，得，故A、B正确； 因为，所以公差.故C错误，D正确. 故选：ABD 9．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，且，则（   ） A．公差 B． C． D．当时，最大 【答案】ACD 【分析】结合可得，进而判断ABC；分析可得时，；时，，进而判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则，则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 由于， ， 则时，；时，， 所以当时，最大，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】380 【分析】由等差数列的性质得，从而，再根据得到结果. 【详解】，所以， . 故答案为：380. 12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 【答案】81 【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到，然后解方程即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为：81. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为 ． 【答案】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可. 【详解】（1） 因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为. （2）由等差数列的求和公式可得：，所以 15．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)36 (3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）解：由题意知在等差数列中，，设公差为， 则，解得，则， 故， ∴通项公式为； （2）解：由（1）可得前项和， ∴当时，取最大值； （3）解：∵， ∴当时，得， 即时有，时有， 当时，， 当时， ， 综上所述. 16．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知单调递增的等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项和，并求的最小值及此时的值； (3)求使成立的的最小值. 【答案】(1)； (2)或3时最小为； (3)7. 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程求基本量，即可得通项公式； （2）根据等差数列前n项和的二次函数的性质求最值，并确定对应n值； （3）由题设可得，结合求最小值. 【详解】（1）令的公差为，且，则， 所以，可得（负值舍），则， 所以. （2）由（1）可得，， 所以，当或3时最小为. （3）由（1）（2）有，则， 又，故时成立，故的最小值为7. 18．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解； （2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解． 【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得， 解得，则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到， 又恒成立，则恒成立， 设，则， 当时，，即； 当时，，则，则； 则，故， 故实数λ的取值范围为． 19．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行证明即可； （3）运用裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列， 所以， 则有， 当时，，两式相减，得， ，显然也适合， 即； （2）由（1）可知， ， 于是有 ； （3）由（1）可知：， 所以， 于是有， ， 当时，显然上述不等式的没有正整数解，即， 当时，显然上述不等式的正整数解为即， 当时，显然上述不等式的正整数解为，即， 于是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据数列的通项公式的形式运用裂项相法进行求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$